27.3 第1课时 实际问题与反比例函数（1）-【初中学霸创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦“实际问题与反比例函数”，通过回顾复习京沪线列车速度与时间的反比例关系，以旧知为支架，引导学生从实际情境中抽象变量关系，建立反比例函数模型。 其亮点在于结合工程卸货、杠杆原理等实例，培养学生抽象能力（数学眼光）、推理意识（数学思维）和模型意识（数学语言）。通过“审设列写解”步骤总结，帮助学生掌握建模方法，既提升学生解决实际问题能力，也为教师提供清晰教学路径。

第二十七章 反比例函数 27.3 实际问题与反比例函数（第1课时） 学习目标 1．运用反比例函数的知识解决实际问题. 2．经历“实际问题--建立模型--拓展应用”的过程，发展学生分析、解决问题的能力. 3．经历运用反比例函数解决实际问题的过程，进一步体会数学建模思想，培养学生数学应用意识. 学习重难点 难点 重点 运用反比例函数解决实际问题. 抽象得出实际问题中变量间的反比例函数关系. 回顾复习 第1节问题1回顾 （1）平均速度 v与全程运行时间 t具有反比例函数关系 . （2）该函数的系数1 318>0，v随着t的增大而减小，即路程一定时，用时越长，则行驶速度越小. （3）已知全程运行时间 t，可以由函数解析式求出平均速度 v，反之亦可. 通过前面的学习我们可以从函数的角度得到一下结论： 问题1　京沪线铁路全程为 1 318 km，某次列车的平均速度 v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间 t（单位：h）的变化而变化. 典型例题 例1（工程问题） 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700 t货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9 h. (1)此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机 平均卸载速度v(单位:t/h)与卸载完所有货物的 总时间水(单位:h)之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6 h卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物? 6 解：（1）轮船上的货物总量为700×9=6300(t)，所以v关于的 t函数解析式为 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700 t货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9 h. (1)此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度v(单位:t/h)与卸载完所有货物的总时间水(单位:h)之间有怎样的函数关系? . （2）把 t ＝ 6 代入 ，得 从结果可以看出，如果全部货物恰好用 6 h卸载完，那么平均每小时卸载 1050 t.对于函数 ,当 t＞0 时，t 越小，v 越大.这样若货物不超过6 h卸载完，则平均每小时至少要卸载 1050 t. (2)由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6 h卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物? . 归纳总结 （1）轮船上的货物总量k，平均卸货速度v与卸载时间t三个量之间的关系：k=vt. （2）已知v和t通过上述关系式可以求得k=6300，在k一定的情况下，平均卸货速度v与卸载时间t是反比例关系： （3）已知卸载时间t不超过6 h，求平均卸货速度v的最小值.先求当t=6时，代入 ，求出平均卸货速度v=1050，再根据具体问题的指向，或该反比例函数中t越小，v越大，求出v至少是1050. 实际问题 拓展应用 建立模型 知识拓展 阻力 动力 阻力臂 动力臂 公元前3世纪,古希腊科学家阿基米德发现:若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比,则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆定律”.通俗的说，杠杆原理为: 阻力×阻力臂=动力×动力臂 为定值 反比例关系 典型例题 例2（反比例函数在力学中的应用） 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1 200 N 和 0.5 m. （1）动力 F （单位：N）与动力臂 l （单位：m）有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？ （2）若想使动力 F 不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂 l 至少要加长多少？ 阻力 动力 阻力臂 动力臂 阻力×阻力臂=动力×动力臂 11 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1 200 N 和 0.5 m. （1）动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？ 解：根据“杠杆原理”，得 Fl = 1 200×0.5， 所以 F 关于 l 的函数解析式为 当 l = 1.5 m 时， （N），此时杠杆平衡. 因此撬动石头至少需要 400 N 的力. （2）若想使动力 F 不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂 l 至少要加长多少？ 解：对于函数 ，当l＞0时，F 随 l 的增大而减小.因此，只要求出 F = 200N时对应的 l 的值，就能确定动力臂 l 至少应加长的量. 当 F=400×0.5=200 N 时， 3－1.5=1.5（m）. 对于函数 ，当l>0时，l越大，F越小.因此，若想用力不超过 400 N 的一半，动力臂至少要加长 1.5 m. 归纳总结 （1）根据“杠杆原理”和已知阻力、阻力臂可得动力 F 与动力臂 l 的乘积为定值600. （2） 建立动力 F 与动力臂 l 的反比例关系. （3）已知动力臂 l 时，可利用上述反比例关系求动力 F；已知动力 F时，可利用上述反比例关系求动力臂 l . 力学问题 拓展应用 建立模型 课堂巩固 1.如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1 L (1 L=1 dm3)的圆锥形漏斗. (1)漏斗口的面积S (单位：dm2)与漏斗的深d (单 位：dm)有怎样的函数关系？ (2)如果漏斗口的面积为100 cm2，那么漏斗的深 为多少？ 解：(1) (2) 30 cm. 2.新建成的住宅楼主体工程已经竣工，只剩下楼体外表面需要贴瓷砖，已知楼体外表面的面积为5×103 m2. （1）所需瓷砖的块数 n 与每块瓷砖的面积 S 有怎样的函数关系？ （2）为了使住宅楼的外观更漂亮，开发商决定采用灰、白和蓝三种颜色的瓷砖，每块砖的面积都是 80 cm2，灰、白、蓝瓷砖使用比例为2∶2∶1，则需三种瓷砖各多少块？ 解：（1） （2）设需灰、白、蓝三种瓷砖各2x、2x、x块. 则（2x + 2x + x）·80 = 5×103×104，解得 x = 1.25×105. 因此，需灰、白、蓝三种瓷砖各2.5×105块、2.5×105块、1.25×105块. 3.市煤气公司要在地下修建一个容积 为104 m3的圆柱形煤气储存室. （1）储存室的底面积S (单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系？ （2）公司决定把储存室的底面积S定为 500 m2,施工队施工时应该向地下掘进多深？ （3）当施工队按(2)中的计划掘进到地下15 m时，公司临 时改变计划， 把储存室的深度改为15 m.相应地，储存室的底面积应改为多少（结果保留 小数点后两位)？ 17 解: (1)根据圆柱的体积公式，得 Sd= 104， 所以S关于d的函数解析式为 . 市煤气公司要在地下修建一个容积 为104 m3的圆柱形煤气储存室. 储存室的底面积S (单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系？ （2）公司决定把储存室的底面积S定为 500 m2,施工队施工时应该向地下掘进多深？ （2）把S=500代入  ，得 解得 d=20(m). 如果把储存室的底面积定为500 m2，施工时应向地下掘进20 m深. （3）当施工队按(2)中的计划掘进到地下15 m时，公司临 时改变计划， 把储存室的深度改为15 m.相应地，储存室的底面积应改为多少（结果保留 小数点后两位)？ 解得　 S ≈ 666.67（m2） 当储存室的深度为 15 m 时，底面积约为 666.67 m2. （3）根据题意，把 d =15 代入　　　 ，得 课堂小节 建立反比例函数模型解决实际问题的过程： 审 列 设 写 解 审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系 根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示 由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数 写出函数解析式，并注意解析式中自变量的取值范围 用函数解析式去解决实际问题 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 22 绿卡图书—走向成功的通行证 23 $