【导学案】27.3 第1课时 实际问题中的反比例函数(1)（word导学案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（人教版·新教材）

该初中数学导学案聚焦“实际问题与反比例函数”，核心是引导学生通过分析实际问题中变量关系建立反比例函数模型并应用。课堂导入以拉面制作实例复习反比例函数概念，衔接此前的函数定义与图象性质，搭建从理论到实际应用的学习支架。 资料特色在于融合生活与跨学科实例，如港口卸货、杠杆原理等，引导学生用数学眼光抽象变量关系，用数学思维推理函数模型及性质应用，用数学语言表达实际问题。习题层次分明，典例与练一练结合，提升应用意识与解决问题能力。

第二十七章 反比例函数 27.3 实际问题与反比例函数 第1课时 实际问题中的反比例函数(1) 【学习目标】 1. 体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力. 2. 能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数的图象、性质的综合能力. (重点、难点) 3. 能够根据实际问题确定自变量的取值范围． 学习重点：能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数的图象、性质的综合能力. 学习难点：能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数的图象、性质的综合能力. 【复习导入】 拉面小哥舞姿妖娆，手艺更是精湛. 假设面条粗细(横截面积)均匀，如果他要把体积为 15 cm3 的面团做成拉面，那么你能写出面条的总长度 y (单位：cm) 与面条粗细 S (单位：cm2) 的函数关系式吗？ 你还能举出我们在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例吗？ 【合作探究】 探究点：反比例函数在实际生活中的应用 [典例精析] 例1 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载 700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了 9 h. (1) 此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度 v (单位：t/h) 与卸载完所有货物的总时间 t (单位：h) 之间有怎样的函数关系？ (2) 由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过 6 h 卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 想一想：第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方 程和求代数式的值的问题有何联系？ [练一练] 1.某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把 1200 立方米的生活垃圾运走． (1) 假如每天能运 x 立方米，所需时间为 y 天，写出 y与 x 之间的函数关系式； (2) 若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？ (3) 在 (2) 的情况下，运了 8 天后，剩下的任务要在不超过 6 天的时间内完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？ [练一练]2. 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80千米/时的平均速度用 6 小时达到乙地. (1) 甲、乙两地相距多少千米？ (2) 当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t 有怎样的函数关系？ 古希腊科学家阿基米德(公元前287—前212 ) 发现：若杠杆上两物体到支点的距离与其所受重力成反比，则杠杆平衡. 后来人们把它归纳为“杠杆原理”. 杠杆原理为：阻力×阻力臂 = 动力×动力臂. [典例精析] 例2 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m. (1) 动力 F (单位：N) 与动力臂 l (单位：m)有怎样的函数关系? 当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力? (2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则动力臂 l 至少要加长多少? 想一想：在物理中，我们知道，在阻力和阻力臂一定的情况下，动力臂越长就越省力，你能用反比例函数的知识对其进行解释吗？ [练一练] 3. 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地. 当人和木板对湿地的压力 F 一定时，随着木板面积 S (m2) 的变化，人和木板对地面的压强 p (Pa) 也随之变化变化. 如果人和木板对湿地地面的压力 F 合计为 600 N，那么： (1) 用含 S 的代数式表示 p，p 是 S 的反比例函数吗？ (2) 当木板面积为 0.2 m2 时，压强是多少？ 4. 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110 Ω ～ 220 Ω. 已知电压为 220 V，这个用电器的电路图如图所示. (1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系? (2) 这个用电器功率的范围是多少? [归纳总结] 其他学科中的反比例函数: ① 电压 U 一定时，电流强度 I 与电阻 R 成反比例函数关系，解析式为 ； ② 压力F一定时，压强 p 与受力面积 S 成反比例函数关系，解析式为 ； ③ 气体质量 m 一定时，密度 ρ 与体积 V 成反比例函数关系，解析式为 . 当堂反馈 1.当电压为220V时(电压＝电流×电阻)，通过电路的电流I(A)关于电路中电阻R(Ω)的函数解析式为( 　) A.I＝ B.I＝220R C.I＝ D.R＝220I 2.若购买xkg的水果需要24元，则购买该水果的单价y(单位：元/kg)与x之间的关系式是(　　) A.y＝(x＞0) B.y＝(x为自然数) C.y＝(x为整数) D.y＝(x为正整数) 3.收音机刻度盘的波长λ和频率f分别是用米和千赫兹为单位标刻的，波长λ和频率f满足函数解析式f＝，这说明波长λ越大，频率f就越　　. 4.在一定范围内，某种物品的需求量与供应量成反比例.现已知当需求量为800t时，市场供应量为10000t，则当市场供应量为16000t时的需求量是　 　. 5.[教材变式]某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200m3的生活垃圾运走. (1)假如每天能运xm3，所需时间为y天，写出y关于x的函数解析式； (2)若每辆拖拉机一天能运12m3，则5辆这样的拖拉机要多少天才能运完？ 参考答案 【合作探究】 探究点：反比例函数在实际生活中的应用 [典例精析] 例1 解：(1) 轮船上的货物总量为 700×9 = 6300 ( t )， 所以 v 关于 t 的函数解析式为v＝ (2) 把 t＝6 代入 v＝ ，得v＝＝1050（t/h） 从结果可以看出，如果全部货物恰好用 6 h 卸载完，那么平均每小时卸载 1 050 t. 对于函数 v＝. 当 t > 0 时，t 越小，v 越大. 因此，若货物不超过 6小时卸载完，则平均每小时至少要卸载 1050 t 货物. 想一想：第 (2) 问实际上是已知函数 v 的值，求自变量 t 的取值，第 (3) 问则是与第 (2) 问相反． [练一练] 1. 解：（1）. （2）x =12×5=60，代入函数解析式得 答：若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的拖拉机要用 20 天才能运完. （3）运了8天后剩余的垃圾有1200－8×60=720 (立方米)， 剩下的任务要在不超过6天的时间完成，则每天至少运720÷6=120 (立方米)， 所以需要的拖拉机数量是：120÷12=10 (辆)，即至少需要增加拖拉机10－5=5 (辆). [练一练]2. 解：（1）80×6=480 (千米) 答：甲、乙两地相距 480 千米. （2）由题意，得 vt=480，整理得 (t ＞0). [典例精析] 例2 解：（1）根据“杠杆原理”，得 Fl =1200×0.5， ∴ F 关于l 的函数解析式为 对于函数，当 l =1.5 m时，F =400 N，此时杠杆平衡. 因此撬动石头至少需要 400 N的力. （2）当F=400×=200 时，由200 =，得l=3，3－1.5 =1.5 (m). 对于函数，当 l ＞0 时，l 越大，F越小. 因此，若想用力不超过 400 N 的一半，则动力臂至少要加长 1.5 m. [练一练] 3. 解：（1）由，得， p 是 S 的反比例函数，因为给定一个 S 的值，就有唯一的一个 p 值和它对应，根据反比例函数定义，得出 p 是 S 的反比例函数． （2）当 S ＝0.2 m2 时，. 故当木板面积为0.2 m2时，压强是3000 Pa． （3）当 p=6000 时，由，得S=0.1. 对于函数，当 S ＞0 时，S 越大，p 越小. 因此，若要求压强不超过 6000 Pa，则木板面积至少要 0.1 m2. 4. 解：（1）根据电学知识，当 U = 220 时，得. （2）根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小. 把电阻的最小值 R = 110 代入求得的解析式，得到功率的最大值W； 把电阻的最大值 R = 220 代入求得的解析式，得到功率的最小值W 因此用电器功率的范围为220~440 W. 当堂反馈 1.　A　2.　A 3.　小　. 4.　500t　. 5.解：(1)∵xy＝1200，∴y＝(x＞0). (2)x＝12×5＝60，代入函数解析式得y＝＝20. 答：5辆这样的拖拉机要20天才能运完. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $