2.2有理数的乘法与除法　自主学习同步练习题　2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 分层梯度清晰，从概念理解到综合应用再到拓展探究，构建“基础运算—情境应用—创新思维”巩固路径，培养运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|有理数乘除法则、倒数|单选题1-4考查基本运算，填空题8-10强化概念理解| |综合应用|符号判断、简便运算、实际问题|单选题7阶梯水价、解答题17气温分析，培养数据观念| |拓展提升|新定义运算、规律探究|解答题18“除方”概念、填空题14“哈利数”规律，发展创新意识|

2026-2027学年人教版七年级数学上册《2.2有理数的乘法与除法》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知的相反数是a，则a的倒数为（    ） A．3 B． C． D． 3．下列说法正确的是（   ） A．如果两个数的和为0，那么这两个数的商为 B．如果两个数的差为0，那么这两个数的商为1 C．如果两个数的积为，那么这两个数的和为0 D．如果两个数的商为，那么这两个数的和为0 4．在2，，，5这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最大的是（   ） A．12 B． C．20 D．10 5．如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，则下列结论正确的是 （    ） A． B． C． D． 6．在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ） A． B． C． D． 7．居民生活用水通常按户计费．某城市居民生活用水的收费标准实行年度阶梯水价，计费标准如下表： 收费方式 年用水量 费用（元） 第一阶梯 第二阶梯 6 第三阶梯 240以上 8 若某用户居民当年用水量为，则该用户居民需缴纳水费（　　） A．1580元 B．1420元 C．1330元 D．1250元 二、填空题 8．的倒数是________． 9．计算：________． 10．若，则□内的数字是______． 11．某同学在计算时，误将“”看成“+”而算得结果是，则的正确结果是_____． 12．如果规定符号“”的意义是，如，求______． 13．负数是与正数表示相反含义的量，例如某水库水位上升记为正，水位下降记为负，若该水库每天水位下降，经过天后，可列算式为，计算结果为，比现在低．若该水库每天下降，天前的水位变化情况可列算式为_____． 14．a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”，如3的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则为________． 三、解答题 15．计算： (1)． (2). (3)． (4)． 16．计算：，方方同学的计算过程如下：原式＝，请你判断方方的计算过程是否正确．若不正确，请你写出正确的计算过程． 17．阅读下述文字，并给出合理的数学解释． 网上发布了“明天的摄氏气温是今天摄氏气温的2倍”的信息，各地有不同的反应： （1）一位南方的网友做出的第一反应是：“明天升温了”； （2）一位北方的网友做出的第一反应是：“明天降温了”； （3）另一位北方的网友做出的第一反应是：“明天的气温没有变化”． 请运用所学的知识解释不同的道理． 18．小强是一个聪明而又富有想象力的孩子，学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．规定：若干个相同有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，小强把记作，记作． (1)直接写出计算结果______， ______． (2)计算：． 19．某学校为提高学生身体素质，积极倡导“阳光体育”运动，开展一分钟跳绳比赛，七年级某班10名参赛代表成绩以160次为标准，超过的次数记为正数；不足的次数记为负数，成绩记录如下表： 选手 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 成绩 根据以上信息回答问题： (1)求该班参赛代表最好的成绩与最差成绩相差多少？ (2)求该班参赛代表一分钟平均每人跳绳多少次？ 20．近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小江家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续七天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第天 第天 第天 第天 第天 第天 第天 路程（） (1)这七天中，路程最多的一天比最少的一天多走多少； (2)这七天平均每天行驶了多少； (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油的价格为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，计算小江家换新能源汽车后，这天比汽油车节省了多少能源费？ 参考答案 1．C 解：A、，故此选项计算错误，不符合题意； B、，故此选项计算错误，不符合题意； C、，计算正确，此选项符合题意； D、，故此选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 2．C 【分析】此题考查了相反数和倒数，根据相反数的定义求出a，再根据倒数的定义求解． 【详解】解：∵的相反数是a， ∴， ∴a的倒数为． 故选：C． 3．D 【分析】本题考查真假命题的判断，根据题意判断命题的真假是解题的关键，通过逐一分析每个选项的条件和结论，判断其是否恒成立，即可得到答案. 【详解】解：选项A：∵如果两个数的和为0，则它们互为相反数，但当其中一个数为0时，商不存在，∴A错误； 选项B：∵如果两个数的差为0，则它们相等，但当数为0时，商不存在，∴B错误； 选项C：∵如果两个数的积为，则它们互为负倒数，但和不一定为0，例如2和，和为，∴C错误； 选项D：∵如果两个数的商为，则设一个数为，另一个数为， ∴， ∴D正确， 故选：D. 4．A 【分析】本题考查有理数的乘法．两个数相乘，同号得正，异号得负，且正数大于一切负数，因此最大积应从同号数对中寻找，并比较正数积的大小． 【详解】解：∵ 同号两数相乘得正， ∴ 考虑同号数对：，， ∵， ∴ 最大积为12， 故选：A． 5．B 【分析】本题考查的是数轴的相关知识．由题意可知：，依据条件逐一验证各个选项即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴，，，， 观察四个选项，只有选项B符合题意； 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了有理数的简便运算，将带分数变形成凑整的形式，便于计算，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴，这样便于后面的运算， 故选：A 7．C 【分析】根据阶梯水价标准，分段计算用水量260立方米对应的水费． 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵用水量260立方米＞240立方米，∴需分段计算： 第一阶梯水费：（元）， 第二阶梯水费：（元）， 第三阶梯水费：（元）， ∴总水费：（元）． 故选：C． 8． 【分析】本题主要考查倒数；先把带分数换成假分数，再求倒数即可． 【详解】解：， 的倒数是， ∴的倒数是． 故答案为：． 9． / 【分析】本题考查了有理数的乘除运算法则． 根据有理数的乘除运算法则，从左到右依次计算，将除法转化为乘法运算，并注意符号规则． 【详解】解： ． 故答案为：． 10．3 【分析】本题考查了有理数的乘除法，利用有理数除法运算求解． 【详解】解：由等式，得． 故答案为：3． 11． 【分析】本题考查了有理数的除法运算．根据错误操作列出方程，求出b的值，再根据有理数除法计算正确结果，即可作答． 【详解】∵在计算时，误将“”看成“+”而算得结果是， ∴， 解得， 因此，， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了新定义运算． 根据新定义，符号“”表示两个数的乘积除以它们的和，直接代入数值计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了有理数的乘法的应用，正负数的意义；根据题意，水位下降记为负，每天下降．对于“天前”的水位变化情况，由于时间方向为过去，时间间隔为负，因此算式应为速率乘以负的时间间隔，即，计算结果表示水位上升，即天前的水位比现在高． 【详解】解：水库每天水位下降，记为 天．天前的时间间隔为天， 因此水位变化算式为． 根据有理数乘法法则，两负数相乘结果为正，故计算结果为，表示水位上升， 即天前的水位比现在高． 故答案为． 14． 【分析】本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ∴该数列每4个数为1周期循环， ∵， ∴． 故答案为: ． 15．(1) (2) (3) (4)2994 【分析】本题主要考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握相关运算是解答的关键． （1）先将除法转化为乘法，再利用乘法运算法则求解即可； （2）先计算括号内的乘法，再利用除法运算法则求解即可； （3）先将小数化为分数，除法转化为乘法，再利用乘法运算法则求解即可； （4）先将原算式化为，再利用乘法分配律去掉括号，再利用乘法和减法运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 16．不正确；计算过程见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握好有理数混合运算的法则是解题关键． 因为没有除法分配律，应该先计算括号内的加减法，再计算除法． 【详解】解：方方的计算过程不正确．正确的计算过程如下： 原式， ， ， ． 17．见解析 【分析】本题主要考查了有理数乘法的应用，熟练掌握有理数乘法运算法则，是解题的关键．根据有理数乘法运算法则，逐项进行判断即可． 【详解】解：（1）∵南方的气温在以上，假设今天南方气温为，则， 又∵， ∴一位南方的网友做出的第一反应是：“明天升温了”； （2）∵北方的气温可能在以下，假设今天北方气温为，， 又∵， ∴一位北方的网友做出的第一反应是：“明天降温了”； （3）∵北方的气温可能为，假设今天北方气温为，， 又∵， ∴另一位北方的网友做出的第一反应是：“明天的气温没有变化”． 18．(1)2； (2) 【分析】本题主要考查了有理数的除法运算，有理数的四则混合运算，正确理解有理数的除方运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的除方运算法则求解即可； （2）根据有理数的除方运算法则求出的结果，再根据有理数的四则混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； ； （2）解：， ， ， ， ． 19．(1)该班参赛代表最好的成绩与最差成绩相差27次； (2)该班参赛代表一分钟平均每人跳绳165次． 【分析】本题考查了有理数减法的应用，有理数混合运算的实际应用，理解题意是解题的关键． （）根据有理数的减法法则计算即可； （）求出记录的成绩的和，再列式求出平均成绩即可． 【详解】（1）解：（次）， 答：该班参赛代表最好的成绩与最差成绩相差27次； （2）解：（次）， （次）， 答：该班参赛代表一分钟平均每人跳绳165次． 20．(1) (2) (3)元 【分析】本题考查正负数的实际意义，平均数的计算，实际问题中的代数应用，理解正负数的含义是解题关键． （1）根据正负数的含义求出最多和最少的实际路程，再计算两者的差值； （2）先算出七天中与基准路程的差值平均数，再加上基准值得到平均每天行驶的路程； （3）先计算七天总路程，再分别算出汽油车和新能源车的总费用，最后求费用差得到节省的金额． 【详解】（1）解：据表可知，行驶路程最多的一天为第天，路程为， 行驶路程最少的一天为第天，路程为， 则路程最多的一天比最少的一天多走． 答：． （2）解： 七天内与标准路程差值的平均数： ， 平均每天行驶的路程为：． 答：这七天平均每天行驶了． （3）解：七天总路程：， 汽油车费用：（元）， 新能源车费用：（元）， 则节省费用（元）， 答：这天的能源费用比原来节省元． 学科网（北京）股份有限公司 $