1.4 两条直线的交点 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学同步练，新授课使用，聚焦“两条直线的交点”，通过基础到综合的分层设计，巩固交点求解及应用，培养抽象能力、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|交点坐标求解、直线过交点参数计算|单选1-4、填空10直接应用联立方程法，强化基本运算| |综合应用|交点与直线方程关系、参数范围、几何应用|单选5-6结合钝角三角形，填空9-11涉及参数讨论，提升知识迁移| |拓展提升|直线位置关系判断、含参直线相交条件、面积最小化|多选8辨析充要条件，解答题12-13融入建模，发展理性思维|

1．4　两条直线的交点 一、 单项选择题 1 (2025邯郸期中)已知P为直线l1：x－y＋1＝0和直线l2：2x＋y－4＝0的交点，O为坐标原点，则直线OP的方程为(　　) A. y＝ B. y＝2x C. y＝－ D. y＝－2x 2 若直线x＋ay＋15＝0经过两直线5x－3y－17＝0和x－y－5＝0的交点，则实数a的值为(　　) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3 已知直线2x＋y＋5＝0与直线kx＋2y＝0垂直，则它们的交点坐标为 (　　) A. (－1，－3) B. (－2，－1) C. D. (－1，－2) 4 (2025回民中学月考)过直线3x－2y＋3＝0与直线x＋y－4＝0的交点，且与直线2x＋y－1＝0平行的直线方程为(　　) A. 2x＋y－5＝0 B. 2x＋y＋1＝0 C. 3x＋2y－7＝0 D. x－2y＋5＝0 5 (2025六安期中)已知两条直线a1x＋b1y－1＝0和a2x＋b2y－1＝0的交点为P(1，2)，则过Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)两点的直线方程为(　　) A. x－2y－1＝0 B. x＋2y－1＝0 C. 2x－y－1＝0 D. 2x＋y－1＝0 6 (2025广州天河中学月考)已知直线l1过点A(0，1)，直线l1与直线l2：y＝x的交点B在第一象限，O为坐标原点. 若△OAB为钝角三角形，则直线l1的斜率的取值范围是(　　) A. (－∞，－1] B. (0，1) C. (－∞，－1)∪(0，1) D. (－∞，－1)∪(1，＋∞) 二、 多项选择题 7 (2025启东一中月考)已知三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0交于一点，则坐标(m，n)可能是(　　) A. (1，－3) B. (3，－4) C. (－3，1) D. (－4，3) 8 (2025南京师大附中开学考试)设直线l1：y＝px＋q，l2：y＝kx＋b，则下列说法中错误的是(　　) A. 直线l1或l2可以表示平面直角坐标系xOy内任意一条直线 B. l1与l2至多有无穷多个交点 C. l1∥l2的充要条件是p＝k D. 记l1与l2的交点为M，则y－px－q＋λ(y－kx－b)＝0可表示过点M的所有直线 三、 填空题 9 (2025镇江月考)已知直线kx－y＋k＝0与直线2x＋y－2＝0的交点在第四象限，则实数k的取值范围为________． 10 已知直线l1：ax＋y＋1＝0与直线l2：2x－by－1＝0相交于点M(1，1)，则a－b的值为________． 11 (2025扬州一中期中)在平面直角坐标系xOy内有一直角三角形ABC，C＝，顶点A的坐标为(2，1)，边BC所在直线的方程为2x＋y＋1＝0，则顶点C的坐标为________． 四、 解答题 12 (2025洛阳部分高中质检)已知两条直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0. (1) 当m为何值时，l1与l2相交？ (2) l1与l2是两条不同的直线，l2经过定点A，当l1也经过点A时，求实数m的值． 13 (2025南京金陵中学月考) (1) 已知两直线l1：x－y－1＝0，l2：x＋y－5＝0，求过两直线的交点，且垂直于直线3x＋4y－5＝0的直线方程； (2) 已知直线l过点P(3，1)，且交坐标轴正半轴于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求△AOB的周长． 1．4　两条直线的交点 1. B　联立解得所以点P的坐标为(1，2)，所以直线OP的方程为y＝2x. 2. B　联立解得即交点坐标为(1，－4).又直线x＋ay＋15＝0经过交点(1，－4)，所以1－4a＋15＝0，解得a＝4. 3. B　因为直线2x＋y＋5＝0与kx＋2y＝0垂直，所以 2k＋2＝0，解得k＝－1.联立解得所以交点坐标为(－2，－1). 4. A　联立解得所以交点坐标为(1，3).设与直线2x＋y－1＝0平行的直线方程为2x＋y＋C＝0，代入点(1，3)，得2＋3＋C＝0，解得C＝－5，所以所求直线方程为2x＋y－5＝0. 5. B　因为两条直线a1x＋b1y－1＝0和a2x＋b2y－1＝0的交点为P(1，2)，所以a1＋2b1－1＝0，a2＋2b2－1＝0，则Q1，Q2两点均在直线x＋2y－1＝0上，所以过Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)两点的直线方程为x＋2y－1＝0. 6. C　因为直线l1过点A(0，1)，直线l1与直线l2：y＝x的交点B在第一象限，所以直线l1的斜率存在．设l1：y＝kx＋1，联立解得即点B.又点B在第一象限，所以>0，解得k<1.当∠OAB为钝角时，＝(0，－1)，＝，则·＝－<0，解得0<k<1；当∠OBA为钝角时，＝，＝，则·＝＋＝<0，解得k<－1.综上，k∈(－∞，－1)∪(0，1). 7. AB　联立解得因为三条直线相交于一点，所以m×1＋n×2＋5＝0，即m＋2n＋5＝0.结合选项可知A，B正确；C，D错误．故选AB. 8. ACD　对于A，当直线的斜率不存在时，直线l1或l2的方程无法表示，故A错误；对于B，当p＝k且q＝b时，两直线重合，此时两直线有无穷多个交点，故B正确；对于C，当p＝k且q≠b时，l1∥l2，故C错误；对于D，点M的坐标满足y＝px＋q且y＝kx＋b，则y－px－q＋λ(y－kx－b)＝0不表示过点M的直线l2，故D错误．故选ACD. 9. (－2，0)　由题意，得两条直线不平行，则它们的斜率不相等，即k≠－2.联立解得所以解得－2<k<0，所以实数k的取值范围为(－2，0). 10. －3　因为直线l1：ax＋y＋1＝0与直线l2：2x－by－1＝0相交于点M(1，1)，所以解得所以a－b＝－3. 11. 　因为C＝，所以AC⊥BC.又边BC所在直线的方程为2x＋y＋1＝0，所以可设边AC所在直线的方程为x－2y＋c＝0，代入点A(2，1)，得2－2＋c＝0，解得c＝0，即边AC所在直线的方程为x－2y＝0.联立解得所以顶点C的坐标为. 12. (1) 由题意，得m2(m－2)－3m≠0， 即m(m－3)(m＋1)≠0， 解得m≠0，且m≠3，且m≠－1. (2) 由题意，得l2：m(x＋3y＋2)－2x＝0， 则解得 所以直线l2过定点A， 所以0－m2＋6＝0，解得m＝±3. 当m＝3时，l1与l2重合，舍去； 当m＝－3时，直线l1与l2的方程分别为l1：x＋9y＋6＝0，l2：5x＋9y＋6＝0，符合题意． 综上，m＝－3. 13. (1) 由题意，得与直线3x＋4y－5＝0垂直的直线斜率为. 联立解得 所以经过直线l1与l2的交点(3，2)且与3x＋4y－5＝0垂直的直线方程为y－2＝(x－3)， 即4x－3y－6＝0. (2) 设点A(a，0)，B(0，b)，a>0，b>0，则AB：＋＝1. 因为直线AB过点P(3，1)，所以＋＝1≥2，则ab≥12，当且仅当a＝6，b＝2时，等号成立， 所以S△AOB＝ab≥6， 此时△AOB的周长为a＋b＋＝8＋2. 学科网（北京）股份有限公司 $