第13章 专题3 利用“8字型飞镖型”转化求角度&数学活动 搭等边三角形与多边形的三角剖分（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

参考答案 第十三章三角形 13.1三角形的概念 1.B2.(1)5△ABE,△BEC,△ABC,△DCE,△BCD(2)∠D,∠DBC,∠DCB (3)BC∠ACB3.B 4.解：图中的锐角三角形有△ABC,△ABE;直角三角形有△ABD,△AED,△ACD:钝 角三角形有△ACE. 5.C6.等边三角形47.9 8.解：(1)△ABC(2)以BC为公共边的“共边三角形”有3对，它们分别是△ABC和 △BCD,△BCD和△BCE,△ABC和△BCE. 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 1.B 2.B 3.1<x<7 4.CE+CD>DE 5.解：(1)根据三角形的三边关系，得7一2<c<7+2,解得5<c<9.∴.c的取值范围是 5<c<9.(2)由(1)可得5<c<9.,c的长为奇数，c=7..c=a.△ABC为等腰三 角形. 6.解：有两种选法.理由如下：当选2,7,8三根木条时，2十7一9>8，能构成三角形；当选 2,7,10三根木条时，2十7=9<10，不能构成三角形；当选2,8,10三根木条时，2十8= 10,不能构成三角形；当选7,8,10三根木条时，7+8=15>10，能构成三角形..共有两 种选法 7.A8.A9.1010.D11.D12.1<a<2.5 13.解：，△ABC的三边长分别为a,b,c,∴.b十c>a,a十c>b.∴.原式=|a-(b十c)一 |b-(a十c)|=(b+c)-a-[(a+c)-b]=b+c-a-a-c+b=2b-2a. 14.解：设腰长为xcm.分两种情况讨论：①当底边长大于腰长时，底边长为(x十6)cm, 由题意，得2x十(x十6)=18，解得x=4.x+6=10.:4十4<10，.不能围成腰长为 4cm的等腰三角形.②当底边长小于腰长时，底边长为(x一6)cm.由题意，得2x十(x一 6)=18,解得x=8.x一6=2.，2十8>8，.能围成腰长为8cm的等腰三角形.综上 所述，三角形各边的长分别为8cm,8cm,2cm. 15.解：甲猴先到达C地.理由如下：延长BD,交AC于点H.甲猴沿B→D→C的线路 走的距离为BD十DC,乙猴沿B→A→C的线路走的距离为AB十AC.,'AB十AH> BD+DH,CH>DC-DH,.AB+AH+CH>BD+DH+DC-DH,AB+AC> BD十DC.,两只猴子同时以相同的速度行走，∴.甲猴先到达C地. 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 1.C2.83.234.319 5.解：DE∥AC.理由如下：CD是△ABC的角平分线，.∠ACD=∠1.，∠1=∠2， ∴∠ACD=∠2.∴.DE∥AC 6.B7.B 8.解：1DSac=号BC·AD=合×10×4=20.(2)如图.由 B D ()知Sa=20.:SaC=合AC·BE,号×8BE=20, ..BE=5. C 9.B10.C11.45°12.(1)高(2)角平分线(3)中线13.6或4 14.解：AD是△ABC的中线，SaAm=SD,即号DE·AB=?DF·AC.:AB= 3,AC=4,DF=1.5,DE=DF:AC=1.5×4=2. AB 3 一1 教材拓展角与三角形中线有关的面积问题【一图多变】 1.号【延伸问3【变式题12.5【变式题21(1)(2)4 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角和 1.D2.D3.20° 2 4.解：“∠A:∠B:∠C=2:3:5,∠A=180°×2+3+5=36，∠B=180× 2+3+5=54”,∠C=180×2+3十5=90、∴这个三角形是直角三角形. 3 5 5.解：在△ADC中，∠ADC=180°-∠A-∠ACD=84°，∴.∠BDC=180°-∠ADC= 96°.在△BDF中，∠BFD=180°-∠BDC-∠ABE=64°. 6.C7.65°8.80°或40°9.A10.40°11.65 12.解：(1)由题意，得∠BAE=40°，∠CAE=15°，∴.∠BAC=∠BAE+∠CAE=55°. (2)由题意，得∠DBC=70°.，DB∥AE,.∠DBA=∠BAE=40°.∠ABC=∠DBC -∠DBA=30°.∴.∠C=180°-∠ABC-∠BAC=95°. 13.解：(1)A(2)选择图③.证明如下：·DE∥BC,DF∥AC,∴.∠B=∠EDA,∠A= ∠FDB,∠C=∠DFB=∠EDF.根据平角的定义，得∠FDB+∠EDA十∠EDF= 180°，∠A十∠B+∠C=180°，即三角形的内角和是180°.选择图④.证明如下：：CD∥ AB,'.∠ACD=∠A,∠B+∠BCD=180°..'∠BCD=∠ACB+∠ACD,.∠B+∠ACB 十∠ACD=180°..∠A十∠B+∠ACB=180°，即三角形的内角和是180°. 第2课时直角三角形的两锐角互余 1.C2.D3.C 4.解：△ABC是直角三角形.理由如下：，ED⊥AB,.∠ADE=90°..∠1十∠A= 90°.∠1=∠B,∴∠B十∠A=90°.∴.△ABC是直角三角形. 5.C6.58°7.120° 8.解：(1)15°(2)△ABD是“准互余三角形”.理由如下：∠C=90°，∠BAC+∠B =90°.：AD是∠BAC的平分线，∴.∠BAC=2∠BAD..2∠BAD+∠B=90°. ∴.△ABD是“准互余三角形”. 专题一三角形的角平分线与高的夹角问题【一图多变·一题一课】 母题：解：：∠B=30°，∠ACB=110°，∠BAC=180°-∠B-∠ACB=40°.AE平分 ∠BAC,∠BAE=号∠BAC=20,:AD是BC边上的商，∠D=90.∠BAD= 90°-∠B=60°.∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=40°. 【变式题1】解：(1)：∠B=36°，∠C=70°，∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=74°.，AD平 分∠BAC,∴∠CAD=2∠BAC=37.AELBC,∠AEC=90,∴∠CAE=90°-∠C =20.∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=17.(2):AD平分∠BAC,·∠CAD=合∠BAC =2(180°-∠C-∠B.:AELBC,∴∠AEC=90.·∠CAE=90-∠C.·∠DAE= ∠CAD-∠CAE=2180°-∠C-∠B)-(90°-∠C=2(∠C-∠B)=10. 【变式题2】解：猎想：∠DEF=之（∠C-∠B).证明如下：过点A作AGLBC于点G. :EFLBC,∴AG/ER.∠DAG=∠DER.易得∠DAG=(ZC-∠B,∠DEF =2(ZC-∠B. 【拓展应用11)∠P=号（∠C-∠B)(2)32°(3）22 —2 13.3.2三角形的外角 1.D2.C3.D4.D5.A6.C7.C 8.解：根据三角形的外角的性质，得x十70=x十x十10，解得x=60.∴x+70=130. .y=180-130=50. 9.解：DF⊥AB,∠BFD=∠AFE=90°.∠B=90°-∠D=35°.∴∠ACD=∠B +∠A=35°+30°=65°，∠FEC=∠A+∠AFE=30°+90°=120° 10.C11.C12.235 13.(I)证明：AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD.∠EAD=∠EDA,∠CAD+ ∠EAC=∠BAD+∠B.∴∠EAC=∠B.(2)解：设∠CAD=a,则∠E=4a.'AD平分 ∠BAC,∴∠BAC=2∠CAD=2a.∠BAE+∠B+∠E=180°，∠EAC=∠B=60°， .2a十60°+60°+4a=180°，解得a=10°.∴.∠E=40°. 14.解：(1)C(2)∠1+∠2=∠A+180°.理由如下：，∠1=∠A+∠AEF,∠2=∠A +∠AFE,∴.∠1+∠2=∠A+∠AEF+∠A+∠AFE.:∠A+∠AEF+∠AFE= 180°，∴.∠1+∠2=∠A+180°.(3)∠1+∠2是定值210°.理由如下：延长BA,CD交于 点M.∴.∠M=180°-（∠B+∠C)=30°.由(2）可得∠1+∠2=∠M+180°..∠1+ ∠2=30°+180°=210°. 专题二与三角形的双角平分线有关的常见解题模型【回归教材】 1.(1)解：120°(2)解：115°(3)证明：BF平分∠ABC,CE平分∠ACB,∠CBG= 合∠ABC,∠BCG=合∠ACB.∠BGC=180-(∠CBG+∠BCG)=180- (∠ABC+∠ACB.:∠ABC+∠ACB=180-∠A,∠BGC=180°-合(180°- ∠0=90+2∠A 2.解：(1)∠ACB=70°，.∠ACD=180°-∠ACB=110°.：B0平分∠ABC,CO平分 ∠ACD,∠CB0=号∠ABC=30,∠DC0=号∠ACD=5.∠0=∠D00 ∠CB0=25.(2)∠0=号∠A.理由如下：：B0平分∠ABC,C0平分∠ACD, .∠DCO= 2∠ACD,∠CB0=2∠ABc.∴∠0=∠DC0-∠CB0=(∠ACD ∠ABC)-LA. 3.65°4.30°60° 专题三利用“8字型”“飞镖型”转化求角度【教材延伸】 1.140°2.210° 3.(解法一)解：设AB,CD交于点O.∠ABC=64°，∠BCD=46°，.∠COB=180°- ∠ABC-∠BCD=70°..∠AOD=∠COB=70°.易得∠AED=∠A+∠D+∠AOD= 110°. (解法二)解：连接AD.由题意，易得∠DAB+∠ADC=∠ABC十∠BCD=110°. ,∠BAE=28°，∠CDE=12°，.∠DAE+∠ADE=(∠DAB+∠ADC)-∠BAE- ∠CDE=70°.∴.∠AED=180°-（∠DAE+∠ADE)=110°. 4.(1)180°(2)360°【变式题】240 数学活动搭等边三角形与多边形的三角剖分【落实课标】 活动1动手操作1：解：如图所示. (动手操作1图) (延伸问图) (动手操作2图) (变式题图) —3 延伸问：解：先把3根火柴棒拼成一个等边三角形，再把剩下的3根火柴棒与原来的3 根火柴棒组合成三棱锥，如图所示，三棱锥有四个面，每个面都是一样大小的三角形. 动手操作2：解：如图所示，移动最上面两根火柴棒即可. 【变式题】解：如图所示. 活动2解：(1)如图所示.456(2)按照上述三种方法，n边形分别可以被分割成 n一2，n一1，n个三角形， 第十三章章末复习 思维导图 大于小于180°互余互余不相邻 考点整合 1.D2.C3.B4.C5.5(答案不唯一)6.B 7.解：1)：ADLBC,AD=6,△ABC的面积为24，∴Sm=号BC.AD=号BCX6 =24,BC=8.:AE是边BC上的中线，CE=BE=号BC=4.(2):F为AB的中 点，∴.AF=BF.∴.C△AER-CAEF=(AE+AF+EF)-(BE+BF+EF)=AE-BE=T -4=3,即△AEF与△BEF的周长差为3. 8.B9.A10.D11.C12.84° 13.解：(1)，AD是角平分线，BE是高，∠BAE=2∠DAE,∠AEB=90°.∴.∠DAE =90°-∠AOE=30°..∠BAE=2∠DAE=60°..∠ABE=90°-∠BAE=30. (2)AD是角平分线，BE是高，∴∠CAD=∠BAD=30°，∠BEC=90°.∴∠C=90°- ∠CBE=40°.∴.∠ADC=180°-∠C-∠CAD=110. 14.解：(1)：∠ADC是△ABD的外角，.∠ADC=∠B+∠BAD=105°..∠DAC= 180°-∠ADC-∠C=30.:∠ADE=∠AED,∴∠ADE=2(180°-∠DAC)=75 ∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=30.(2)∠CDE=∠BAD 15.解：(1)=(2)2(3)O是△ABC的重心，.CE是 △ABC的中线.∴Sam=SE:由(2)知8S=2,CE= 12,OE=gCE=4.BD1CB,SAm=号BD·B0 =号×9X4=18.S6m=18.()如图，点G即为所求. 第十四章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 1.A2.D3.C4.≌∠A'∠A'B'C'∠CAB与A'B',BC与B'C',AC与 A'C'5.A6.C 7.解：'△ABC≌△DEF,∴.EF=BC=5cm,∠D=∠A.:CE=2cm,∴.CF=EF- CE=3cm.∠B=45°，∠ACB=30°，.∠A=180°-∠B-∠ACB=105°.∴.∠D= 105°. 8.5或49.B10.B11.65° 12.解：(1)△ABE2△ACD,.CD=BE=6.'.CE=CD-DE=4..BC=BE+CE =10.(2)'∠BAC=75°，∠BAD=30°，∴.∠CAD=∠BAC-∠BAD=45°.△ABE ≌△ACD,.∠BAE=∠CAD=45°.∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=15. 13.解：(1)18(2)：△ABD≌△ACE,.∠B=∠ACE=70°，∠BAD=∠CAE. 一4 .∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD,即∠BAC=∠DAE.,CA平分∠BCE, ∴.∠ACB=∠ACE=70°..∠BAC=180°-（∠B+∠ACB)=40°..∠DAE=40° (3)分两种情况讨论：①当点E在线段BC上时，，'△ABD≌△ACE,.BD=CE.,BC =BD十CD=CE十CD.②当点D在线段BC的延长线上时，：△ABD≌△ACE,∴BD =CE.∴.BC=BD-CD=CE-CD.综上所述，BC=CE+CD或BC=CE-CD. 14.2三角形全等的判定 第1课时用“SAS”判定三角形全等 1.B2.C BD=AB, 3.证明：'DE∥AB,.∠D=∠ABC.在△BDE和△ABC中，∠D=∠ABC, DE=BC, ∴.△BDE≌△ABC(SAS).∴.BE=AC 4.A 5.解：∠BAD=∠EAC,.∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD,即∠BAC=∠EAD. (AB=AE, 在△BAC和△EAD中，∠BAC=∠EAD,∴.△BAC≌△EAD(SAS).∴.∠D=∠C= LAC-AD, 50°. 6.A7.B8.B9.56 10.(1)证明：∠BAE=∠CAD,.∠BAE-∠DAE=∠CAD-∠DAE..∠BAD= (AB-=AC, ∠CAE.在△ABD和△ACE中，3∠BAD=∠CAE,,·△ABD≌△ACE(SAS). AD-AE, (2)解：，∠BAC=86°，.∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=94°.：△ABD≌△ACE, .∠ACE=∠ABD=20°.∴∠FBC+∠FCB=(∠ABC+∠ACB)-∠ABD-∠ACE =54°..∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB)=126°. 11.解：(1)BD=CE,BD⊥CE.(2)BD=CE,BD⊥CE.理由如下：，∠BAC=∠DAE= 90°，.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE (AB-AC, 中，∠BAD=∠CAE,∴.△ABD≌△ACE(SAS)..∠ABD=∠ACE,BD=CE.延长 AD-AE, BD交AC于点F,交CE于点H.在△ABF和△HCF中，：∠ABF=∠HCF,∠AFB =∠HFC,.由三角形内角和定理易得∠CHF=∠BAF=90°，.BD⊥CE. 第2课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 1.∠AOC∠BOD2.C I∠EDC=∠B, 3.证明：DE∥AB,.∠EDC=∠B.在△CDE和△ABC中，CD=AB, ∠DCE=∠A, '.△CDE≌△ABC(ASA)..DE=BC. 4.C5.两直线平行，内错角相等CF∠A=∠DBE=CF AAS全等三角形的 对应边相等 6.证明：∠CBE=∠CDF,.180°-∠CBE=180°-∠CDF,即∠ABC=∠ADC.在 (∠ABC=∠ADC, △ABC和△ADC中，∠ACB=∠ACD,.△ABC≌△ADC(AAS).∴.AB=AD. AC=AC, 7.B8.B9.B10.4 5 （∠ABC=∠DEF, 11.(1)证明：AB∥DE,∴.∠ABC=∠DEF.在△ABC和△DEF中，AB=DE, ∠A=∠D, ∴.△ABC≌△DEF(ASA).(2)解：由(1)可知△ABC≌△DEF,.BC=EF.∴.BF+ FC=EC+FC..EC=BF=3 m.'BE=10 m,.FC=BE-BF-EC=4 m. 12.(1)证明：，D是AC边的中点，.AD=CD.AE∥ CF,∴.∠EAD=∠FCD,∠AED=∠CFD.在△ADE和 D I∠EAD=∠FCD, △CDF中，{∠AED=∠CFD,∴.△ADE≌△CDF AD-CD, (AAS).(2)解：当FM=6时，AB∥CM.补全图形如图所示.理由如下：由(1)可知 △ADE≌△CDF,DF=DE=号.BE=BF-DF-DE=6.YAB,∥CM,∠ABD I∠ABD=∠M, =∠M.在△ADB和△CDM中，{∠ADB=∠CDM,∴.△ADB≌△CDM(AAS). AD-CD, ∴.DM=DB..DM-DF=DB-DE,即FM=BE=6.∴.当FM=6时，AB∥CM. 第3课时用“SSS”判定三角形全等 1.D2.C3.AC=BD4.90 (MA=MB, 5.证明：，M是线段AB的中点，∴.MA=MB.在△ACM和△BDM中，AC=BD, MC=MD, ,∴.△ACM≌△BDM(SSS). 6.解：如图，△ABC即为所求. 7.C 8.(1)证明：：AD=CF,.AD十DC=CF+DC,即AC=DF.在△ABC和△DEF中， (AC=DF, AB=DE,.△ABC2△DEF(SSS).(2)解：∠A=53°，∠B=87°，∴.∠ACB=180° BC=EF, -∠A-∠B=40°.，△ABC≌△DEF,.∠F=∠ACB=40. 9.C10.B11.125° (AE=AF, 12.(1)证明：连接AC.在△ACE和△ACF中，CE=CF,△ACE≌△ACF(SSS). AC=AC, ∴.∠AEC=∠AFC.,∠B=∠D,∴.∠AEC-∠B=∠AFC-∠D,即∠BCE= ∠DCF.(2)解：由(1)，得△ACE≌△ACF,∴.AF=AE=8,SAcE=S△Acp.CD=6, 六SaA-合AF,CD=24.六SA=SaaE+SAe=2Se=48. (AB=CD, 13.(1)证明：在△ABC和△CDA中，BC=DA,∴.△ABC≌△CDA(SSS).∴.∠BCA= AC=CA, ∠DAC.AD∥BC.∠AEF=∠CFE.(2)解：仍成立.理由如下：同(1)，得AD∥BC, 即AE∥CF,∴.∠AEF=∠CFE. 第4课时尺规作角及平行线 1.C E MN 2.D 6专题三 利用“8字型”“飞镖型”转化求角度【教材延伸】 基本模型提炼：“8字型”：如图①，∠1十∠2=∠3十∠4； 解法二：（构造“8字型”） “飞镖型”：如图②，连接AO并延长（或延长BO,交 AC于点D或连接BC等)，易得∠BOC=∠B十 ∠BAC+∠C. 20 图① 图② (一)直接运用基本模型 1.一个零件形状的示意图如图所示，∠B 20°，∠D=30°.若按规定∠A=90°时这个零 件合格，则此时∠BCD的度数为 4.(教材P22复习题T9变式)在数学学习中， 整体思想与转化思想是我们常用到的数学 B (第1题图) (第2题图) 思想.如图①，求∠A十∠B十∠C十∠D+十 2.小明一笔画成的图形如图所示，若∠C= ∠E的度数时，我们可以连接CD,利用三角 30°，则∠A十∠B+∠D十∠E的度数为 形的内角和，则有∠B+∠E=∠ECD+ ∠BDC,这样∠A,∠B,∠C,∠D,∠E的和 (二)构造基本模型 就转化到同一个△ACD中，即∠A+∠B十 3.一题多解思维发散一把帆布折椅的侧面示意 ∠C+∠D+∠E=180° 图如图所示，∠A=28°，∠D=12°，∠ABC=64°， ∠BCD=46°，求椅面和椅背的夹角∠AED的 度数.（请将下面解题过程补充完整） 图① 图② 图③ 解法一：（直接运用“飞镖型”结论》 (1)如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的 D 度数为 (2)如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+ ∠F的度数为 【变式题】如图，∠BOF=120°，则∠A十 ∠B+∠C十∠D十∠E+∠F的度数为 第十三章三角形13 数学活动 搭等边三角形与多边形的三角剖分【落实课标】 活动1搭等边三角形 活动2多边形的三角剖分 情境引入：如图，用3根相同的火柴棒搭一个 数学抽象：多边形上或内部的一点与多边形各 三角形： 顶点的连线，可以将多边形分割成若干个小三 角形.如图①，给出了四边形的三种具体分割 方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个 小三角形，这样我们就可以借助研究三角形的 动手操作1：你能用5根相同的火柴棒搭出两 经验研究四边形了. 个三角形吗？先用火柴棒摆一摆，再画出来. 图① (1)请按照上述三种方法分别将如图②所示的 六边形进行分割，并写出每种方法所得到 延伸问：在动手操作1的基础上，再增加1根相 的小三角形的个数. 同的火柴棒，你能否拼出四个三角形？怎样 拼？（画出简图，可以考虑立体图形） 图② 第1个图被分割成 个小三角形； 第2个图被分割成 个小三角形； 第3个图被分割成 个小三角形. (2)如果按照上述三种分割方法分别分割n边 动手操作2：如图，移动哪两根火柴棒可以组成 形，请写出每种方法所得到的小三角形的 四个三角形？先用火柴棒摆一摆，再把结果画 个数.（用含n的代数式写出结论即可，不 出来。 必画图) 【变式题】如图，你能移动四根火柴棒组成三个 三角形吗？试试看。 14数学八年级上册配RJ版