3.1.2 函数的表示法 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学函数的表示法同步练，分层设计清晰，通过基础巩固与素能提升双层次，实现从概念理解到综合应用的递进，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础落实|函数解析式求法、分段函数、函数相等判定|以选择填空为主，如等腰梯形高与上底关系题，直接应用面积公式，强化运算能力| |素能提升|函数图象变换、动态面积建模、实际问题求解|含作图与综合解答题，如动态梯形面积题需分类讨论，发展几何直观与模型观念|

3.1.2　函数的表示法 一、基础落实 1.已知一个面积为100 cm2的等腰梯形,上底长为x cm,下底长为上底长的3倍,则把它的高y(单位:cm)表示成x的函数为(　　) A.y=50x(x>0) B.y=100x(x>0) C.y=(x>0) D.y=(x>0) 2.已知函数f(x)=若f(a)=-,则实数a的值为(　　) A. B. C.或- D.- 3.已知函数y=f(x)的对应关系如表所示,如图,函数y=g(x)的图象是曲线ABC,其中点A(1,3),B(2,1),C(3,2),则f(g(2))的值为(　　) x 1 2 3 f(x) 2 3 0 　　 A.3 B.2 C.1 D.0 4.若二次函数f(x)满足f(x-1)-f(x)=2x,且f(0)=-1,则f(x)的解析式为(　　) A.f(x)=-x2-x-1 B.f(x)=-x2+x-1 C.f(x)=x2-x-1 D.f(x)=x2+x-1 5.为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”,计费方法如下: 每户每月用水量 水价 不超过10 m3的部分 2.5元/m3 超过10 m3但不超过15 m3的部分 5元/m3 超过15 m3的部分 7.5元/m3 若某户居民上月缴纳的水费为65元,则该户居民上月用水量为(　　) A.17 m3 B.15 m3 C.13 m3 D. m3 6.已知函数f()=-2,则f(x)的解析式为(　　) A.f(x)=x2-2x-1 B.f(x)=x2-2(x≠0) C.f(x)=x2-2x-3(x≠1) D.f(x)=x2-2x-1(x≠1) 7.(多选题)下列各组函数中,两个函数是同一个函数的是(　　) A.f(x)=,g(x)=|x|+ B.f(x)=x-3,g(t)=t-3 C.f(x)=,g(x)=x2 D.f(x)=x2+1,g(x)=x4+1 8.已知函数D(x)=则D[D()]=　　　　.  9.已知函数f(x)=则不等式f(x)≥1的解集为　　　　　　　.  10.(1)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9,求f(x)的解析式; (2)已知函数f(+1)=x+2,求f(x)的解析式; (3)已知函数f(x)的定义域为{x|x≠0},且满足f(x)+2f()=-3,求f(x)的解析式. 二、素能提升 11.已知函数f(x)=则下列结论正确的是(　　) A.f(0)=2 B.f(x)的值域为(-∞,4) C.f(x)<1的解集为(-1,1) D.若f(x)=3,则x的值为1或 12.已知函数g(t)=1.06×(0.75[t]+1),其中t>0,[t]为t的整数部分,则g(5.5)=(　　) A.5.035 B.5.56 C.5.84 D.5.38 13.已知函数f(x)=则使f(x)<2成立的x的值组成的集合为　　　　　　　　　　.  14.已知函数f(x)=且f(f(-1))=,则a=　　　　　.  15.作出下列函数的图象: (1)y=x2-4x; (2)y=x2-4|x|; (3)y=|x2-4x|. 16.给定函数f(x)=4-x2,g(x)=3x. (1)作出函数f(x),g(x)的图象; (2)∀x∈R,用m(x)表示f(x),g(x)中的较小者,记为m(x)=min{f(x),g(x)},请分别用图象法和解析法表示函数m(x). 17.如图所示,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC长为7,腰长为2,当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共 点)时,令BF=x,试写出梯形ABCD位于直线l的左边部分的面积y关于x的函数解析式,并画出它的大致图象. 参考答案 一、基础落实 1.C 解析:由·y=100,得2xy=100,则y=,x>0. 2.D 解析:当a>0时,f(a)=a-1=-,解得a=.当a≤0时,f(a)=4a=-,解得a=-.故选D. 3.B 解析:由函数g(x)的图象知g(2)=1,则f(g(2))=f(1)=2. 4.A 解析:设f(x)=ax2+bx+c,a≠0,∵f(0)=-1,∴c=-1,∴f(x)=ax2+bx-1.又f(x-1)-f(x)=2x,∴a(x-1)2+b(x-1)-ax2-bx=-2ax+a-b=2x,∴-2a=2,且a-b=0,∴a=-1,b=-1.∴f(x)=-x2-x-1.故选A. 5.A 解析:设一户居民的月用水量为x m3,缴纳的水费为y元,则当0≤x≤10时,y=2.5x,此时0≤y≤25.当10<x≤15时,y=25+5(x-10)=5x-25,此时25<y≤50.当x>15时,y=50+7.5(x-15)=7.5x-62.5,此时y>50.根据题意,令7.5x-62.5=65,解得x=17.故该户居民上月用水量为17 m3.故选A. 6.D 解析:令t=,则x=(t≠1),所以f(t)=(t-1)2-2=t2-2t-1(t≠1).所以f(x)=x2-2x-1(x≠1).故选D. 7.AB 解析:对于A,函数f(x),g(x)的定义域均为R,f(x)==|x|+=g(x),故两个函数是同一个函数.对于B,函数f(x),g(t)的定义域均为R,且这两个函数的对应关系相同,故两个函数是同一个函数.对于C,函数f(x)的定义域为{x|x≠0},函数g(x)的定义域为R,这两个函数的定义域不相同,故两个函数不是同一个函数.对于D,函数f(x),g(x)的对应关系不相同,故两个函数不是同一个函数.故选AB. 8.1 解析:由已知得D[D()]=D(0)=1. 9.(-∞,-1]∪[1,+∞) 解析:当x≤0时,由-x≥1,解得x≤-1.当x>0时,由2x-1≥1,解得x≥1.故不等式f(x)≥1的解集为(-∞,-1]∪[1,+∞). 10.解:(1)设f(x)=ax+b(a≠0). 0∵3f(x+1)-f(x)=2x+9, ∴3a(x+1)+3b-ax-b=2x+9, 即2ax+3a+2b=2x+9, ∴解得∴f(x)=x+3. (2)令t=+1,则t≥1,x=(t-1)2. ∵f(+1)=x+2, ∴f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1. ∴f(x)=x2-1(x≥1). (3)∵f(x)+2f()=-3, ① ∴f()+2f(x)=6x-3. ② 联立①②,消去f()得f(x)=4x--1. 二、素能提升 11.B 解析:作出函数f(x)的图象如图所示. 由图可知f(0)=0,故A错误.f(x)的值域为(-∞,4),故B正确.f(x)<1的解集为(-∞,-1)∪(-1,1),故C错误.当f(x)=3时,解得x=,故D错误.故选B. 12.A 解析:由已知得g(5.5)=1.06×(0.75×5+1)=5.035. 13.{x|x<-,或<x<} 解析:当x≥1时,3x2-2x<2,解得1≤x<. 当x<1时,-2x2+3<2, 解得x<-<x<1. 所以x<-<x<. 14.0 解析:因为f(-1)=(-1)2+1=2,所以f(f(-1))=f(2)=,解得a=0. 15.解:(1)函数y=x2-4x的图象如图①所示. (2)函数y=x2-4|x|的图象如图②所示. (3)函数y=|x2-4x|的图象如图③所示. 16.解:(1)在同一平面直角坐标系中作出函数f(x),g(x)的图象,如左下图所示. (2)结合函数m(x)的定义,可得m(x)的图象如右上图所示. 由4-x2=3x,得x=-4或x=1,结合m(x)的图象,得m(x)的解析式为m(x)= 17.解:如图,过点A,D分别作AG⊥BC,DH⊥BC,垂足分别是G,H. 因为四边形ABCD是等腰梯形,底角为45°,AB=2, 所以BG=AG=DH=HC=2. 又BC=7,所以AD=GH=3. 当点F在线段BG上,即x∈[0,2]时,y=x2; 当点F在线段GH上,即x∈[2,5]时,y=2+2(x-2)=2x-2; 当点F在线段HC上,即x∈[5,7]时,y=×(7+3)×2-(7-x)2=-(x-7)2+10. 综上,梯形ABCD位于直线l的左边部分的面积y关于x的函数解析式为y= 其大致图象如图所示. 学科网（北京）股份有限公司 $