3.1.2 函数的表示法（2）课时分层作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 课时分层作业聚焦函数表示法，通过基础巩固、情境应用、综合拓展三层设计，实现从概念理解到实际建模的知识进阶，培养数学抽象与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|定义域、图象识别、分段函数求值|单选为主，直接考查概念（如题1定义域求解）| |情境应用|实际问题分段函数建模|填空与解答题结合生活情境（如题8商品购买费用）| |综合拓展|函数性质综合判断与复杂情境应用|多选与解答题融合符号运算与逻辑推理（如题14 max函数综合应用）|

课时分层作业(十九)　函数的表示法（2） 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共97分 一、选择题 1．函数f (x)＝的定义域为(　　) A．⌀　 B． C．　 D． 2．函数f (x)＝x＋的图象是(　　) A　　　　 B　　　　　C　 　　　D 3．已知狄利克雷函数D(x)＝(Q为有理数集)，则D(D(π－1))＝(　　) A．0　 B．1 C．π　 D．π－1 4．已知函数f (x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f ＝(　　) A．－　 B． C．－　 D． 5．(多选)已知函数f (x)＝下列关于函数f (x)的结论正确的是(　　) A．f (x)的定义域是R B．f (x)的值域是(－∞，5) C．若f (x)＝3，则x＝ D．f (x)的图象与直线y＝2有一个交点 二、填空题 6．在函数f (x)＝中，若f (x)＝1，则x的值是________． 7．函数f (x)＝的值域是________． 8．某商品的单价为5 000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件，每件优惠500元；若一次性购买超过10件，则每件优惠1 000元．某单位购买x件(x∈N*，x≤15)，设总购买费用是f (x)元，则f (x)的解析式是________． 三、解答题 9．(13分)已知函数f (x)＝2|x－2|＋|x＋1|． (1)画出f (x)的图象； (2)求f (x)>4的解集． 10．设x∈R，定义符号函数sgn x＝则函数f (x)＝|x|sgn x的图象大致是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D 11．某市实行“阶梯水价”，具体收费标准如下表所示： 年用水量 价格 不超过150 m3的部分 2.4元/m3 超过150 m3但不超过250 m3的部分 3.6元/m3 超过250 m3的部分 7.2元/m3 若小李同学年用水量为200m3，则应交水费为(　　) A．720元　 B．540元 C．480元　 D．560元 12．设集合A＝，B＝，函数f (x)＝已知x0∈A，且f (f (x0))∈A，则实数x0的取值范围为(　　) A．　 B． C．　 D． 13．(13分)《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税，超过5 000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款税率按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过3 000元的部分 3% 超过3 000元至12 000元的部分 10% 超过12 000元至25 000元的部分 20% 某职工每月收入为x元，应缴纳的税额为y元． (1)请写出y关于x的函数解析式； (2)有一职工八月份缴纳了54元的税款，请问该职工八月份的工资是多少? 14．(15分)给定函数f (x)＝x，g(x)＝x2－2x，对任意的x∈R，用M(x)表示f (x)，g(x)的较大者，记为M(x)＝max{f (x)，g(x)}．例如，当x＝2时，M(2)＝max{f (2)，g(2)}＝max{2，0}＝2． (1)用分段函数表示M(x)； (2)求不等式M(x)≤2的解集． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 课时分层作业(十九) 1．C　[由∪＝，得函数f (x)的定义域为{－1，0，1，2}．故选C．] 2．C　[函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 当x>0时，f (x)＝x＋＝x＋1， 当x<0时，f (x)＝x－1， 根据一次函数图象可知C正确． 故选C．] 3．B　[因为π－1∈∁RQ，所以D(π－1)＝0， 而0∈Q，可得D(0)＝1，所以D(D(π－1))＝D(0)＝1． 故选B．] 4．B　[由题图知f (x)＝ 所以f ＝－1＝－， 所以f ＝f ＝－＋1＝．] 5．BCD　[对于A，f (x)的定义域是(－∞，2)，故A错误；对于B，当x≤－1时，x＋2≤1，当－1<x<2时，0≤x2<4，1≤x2＋1<5，所以f (x)的值域是(－∞，5)，故B正确；对于C，由B选项的分析可知，若f (x)＝3，则解得x＝，故C正确；对于D，画出f (x)的图象如图所示，由图可知，f (x)的图象与直线y＝2只有一个交点．故D正确． 故选BCD．] 6．±1　[因为函数f (x)＝ 所以当x≤－1时，x＋2＝1，解得x＝－1； 当－1<x<2时，x2＝1，解得x＝1或x＝－1(舍去)； 当x≥2时，2x＝1，解得x＝(舍去)． 综上，x＝±1．] 7．[0，2]∪{3}　[当0≤x≤1时，0≤f (x)＝2x≤2， 当1<x<2时，f (x)＝2， 当x≥2时，f (x)＝3， 所以函数f (x)的值域为[0，2]∪{3}．] 8．f (x)＝　[当x≤5，x∈N*时，f (x)＝5 000x；当5<x≤10，x∈N*时，f (x)＝(5 000－500)x＝4 500x；当10<x≤15，x∈N*时，f (x)＝(5 000－1 000)x＝4 000x．] 9．解：(1)当x<－1时，f (x)＝2(2－x)＋(－x－1)＝－3x＋3， 当－1≤x≤2时，f (x)＝2(2－x)＋x＋1＝－x＋5， 当x>2时，f (x)＝2(x－2)＋x＋1＝3x－3， 故f (x)＝ 故函数f (x)的图象如图， (2)由解析式知，当x<－1时，－3x＋3>4，解得x<－， 则x<－1； 当－1≤x≤2时，－x＋5>4，解得x<1， 则－1≤x<1； 当x>2时，3x－3>4，解得x>， 则x>． 综上，不等式的解集为 ． 10．C　[由题意知f (x)＝即f (x)＝x，x∈R，则f (x)的图象为C中图象所示．] 11．B　[根据题意可得小李同学应交水费为150×2.4＋(200－150)×3.6＝360＋180＝540(元)．故选B．] 12．C　[法一：画出函数f (x)的图象，如图所示． 令－2x＋＝0，得x＝， 当f (f (x0))∈A时，则f (x0)∈， 令x＋＝，得x＝－， 又因为x0∈A， 所以结合图象得x0∈． 法二：因为x0∈A， 所以f (x0)＝x0＋，且0≤x0＋<， 所以f (f (x0))＝f ＝－2＋＝－2x0－∈A， 所以－≤－2x0－<0， 解得－<x0≤0， 又因为－≤x0<0， 所以－<x0<0， 即实数x0的取值范围为． 故选C．] 13．解：(1)由题意，得y＝ (2)∵该职工八月份缴纳了54元的税款， ∴5 000<x≤8 000，(x－5 000)×3%＝54， 解得x＝6 800． 故这名职工八月份的工资是6 800元． 14．解：(1)当f (x)≥g(x)，即x≥x2－2x时，解得0≤x≤3， 当f (x)<g(x)，即x<x2－2x时， 解得x<0或x>3， 所以M(x)＝ (2)由已知可得或 或 解得1－≤x<0，或0≤x≤2，或⌀， 所以不等式M(x)≤2的解集为{x|1－≤x≤2}． [点评]　求解此类问题的关键是读懂新定义M(x)，在此基础上准确借助图象求解． $