29.2圆的有关性质 同步讲解 2026-2027学年人教数学九年级上册

本初中数学讲义聚焦圆的有关性质，系统梳理垂径定理及其推论、垂径定理与勾股定理的应用、圆心角弧弦关系、圆周角定理及圆内接四边形性质，形成从基础性质到实际应用的递进式学习支架。 资料以定义加推论明确知识内核，配套赵州桥、桨轮船等情境例题，培养数学眼光（抽象几何模型）、数学思维（推理与运算），课中辅助教师系统教学，课后例题解析助学生查漏补缺，强化应用意识。

人教版（2024）九年级上册29.2圆的有关性质 【知识点1】垂径定理 （1）垂径定理      垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论      推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．      推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．      推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 1.（2025•朝阳区校级模拟）如图，在⊙O中，弦AB的长为2，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（　　） A．4 B．2 C． D．1 2.（2025•宣州区校级开学）已知圆的半径为5，圆中弦长为6，则圆心到弦的距离是（　　） A．5 B．4 C．6 D．8 3.（2024秋•腾冲市期末）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，将劣弧沿弦AB折叠交OC于点D，OD=OC，若AB=16cm,则⊙O的半径为 ______cm. 【知识点2】垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 1.（2023秋•海南期末）唐代李皋发明的“桨轮船”，靠人力踩动桨轮轴，使桨叶拨水推动船体前进，是近代明轮航行模式的先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长12m,轮子的吃水深度CD为3m,则该桨轮船的轮子半径为（　　） A．4m B．5m C．6m D．7.5m 2.（2024秋•老河口市校级期末）如图，在直径为82cm的圆柱形油槽内装有一些油以后，油面宽AB=80cm,则油的最大深度为（　　） A．32cm B．31cm C．9cm D．18cm 3.（2024•邵阳模拟）赵州桥始建于隋朝，由匠师李春设计建造，屹立千年而不倒，是我国著名的历史文物，如图为某圆弧型石拱桥的侧面图，桥的跨径AB=18m,拱高CD=5m,则拱桥的半径为 ______m. 4.（2022秋•兴隆台区期末）如图，圆形输水管的横截面阴影部分为有水部分，水面AB宽为24cm,经测量目前水的深度为8cm,则该水管的半径为 ______． 【知识点3】圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 1.（2024秋•丰县期中）在⊙O中=2，则弦AB与弦CD的大小关系是（　　） A．AB＞2CD B．AB=2CD C．AB＜2CD D．AB=CD 2.（2023•碑林区校级四模）如图，这是“太极”图案的一部分，也称为“阴阳鱼”，其柔和而流畅的曲线构造既包含了国人的智慧文化，同时也蕴藏着很多的数学知识．该图案可以看作是三段弧线的组合，即以AB为直径的半圆弧AB，以BC为直径的半圆弧BC，以AC为直径的半圆弧AC．且满足，A，B，C三点在同一直线上，若AB=4cm,则该图案的面积为 ______cm2． 3.（2023秋•龙海区校级月考）将一个圆分成六个完全相同的小扇形，则这些小扇形的圆心角为 ______度． 【知识点4】圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 1.（2025•潮阳区校级二模）如图，点A、B、C在⊙O上，∠OBC=18°，则∠A=（　　） A．18° B．36° C．72° D．144° 2.（2025春•沙坪坝区校级月考）如图，AD是半圆O的直径，B，C两点在半圆上，且，点P在CD上，连接OP，若∠PCB=130°，则∠BPO=（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 3.（2025秋•仪征市月考）如图，点O是⊙O的圆心，点A、B、C在⊙O上，∠AOB=48°，则∠ACB的度数是______． 【知识点5】圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 1.（2024秋•北仑区期末）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠ADC=120°，∠ABC的度数是（　　） A．150° B．120° C．60° D．30° 2.（2023秋•龙川县校级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD=20°，则∠C=______． 人教版（2024）九年级上册29.2圆的有关性质 (参考答案) 【知识点1】垂径定理 （1）垂径定理      垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论      推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．      推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．      推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 1.（2025•朝阳区校级模拟）如图，在⊙O中，弦AB的长为2，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（　　） A．4 B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出CD即可． 【解答】解：连接OD，如图， ∵CD⊥OC， ∴∠DCO=90°， ∴CD=， 当OC的值最小时，CD的值最大， 而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合， ∴CD=CB=AB=×2=1， 即CD的最大值为1， 故选：D． 2.（2025•宣州区校级开学）已知圆的半径为5，圆中弦长为6，则圆心到弦的距离是（　　） A．5 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理可求出BD的长，在Rt△BOD中，利用勾股定理即可得出OD的长． 【解答】解：如图所示，过点O作OD⊥AB于点D， ∵OD⊥AB，AB=6， ∴， ∵OB=5， ∴． 故选：B． 3.（2024秋•腾冲市期末）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，将劣弧沿弦AB折叠交OC于点D，OD=OC，若AB=16cm,则⊙O的半径为 ______cm. 【答案】10． 【分析】如图所示，延长DC交⊙O于点E，连接OA，则OA=OE，根据折叠得到CD=CE，设OD=x,则OC=3x,CD=CE=2x,由垂径定理得到，在Rt△AOC中由勾股定理得到OA2=OC2+AC2，由此列式（5x）2=（3x）2+82，求解即可． 【解答】解：如图所示，延长DC交⊙O于点E，连接OA，则OA=OE， ∵将劣弧沿弦AB折叠交OC于点D， ∴CD=CE， ∵， ∴设OD=x,则OC=3x,CD=CE=2x, ∴OE=OA=5x, ∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，AB=16cm, ∴， 在Rt△AOC中，OA2=OC2+AC2， ∴（5x）2=（3x）2+82， 解得，x1=2，x2=-2（负值舍去）， ∴OA=5x=5×2=10（cm）， 故答案为：10． 【知识点2】垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 1.（2023秋•海南期末）唐代李皋发明的“桨轮船”，靠人力踩动桨轮轴，使桨叶拨水推动船体前进，是近代明轮航行模式的先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长12m,轮子的吃水深度CD为3m,则该桨轮船的轮子半径为（　　） A．4m B．5m C．6m D．7.5m 【答案】D 【分析】由垂径定理得AD=6m,设该桨轮船的轮子半径为r m,则OD=（r-3）m,然后在Rt△AOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：由题意得：AB=12m,OC⊥AB， ∴AD=BD=AB=6m, 设该桨轮船的轮子半径为r m,则OD=（r-3）m, 在Rt△AOD中，由勾股定理得：62+（r-3）2=r2， 解得：r=7.5， 即该桨轮船的轮子半径为7.5m, 故选：D． 2.（2024秋•老河口市校级期末）如图，在直径为82cm的圆柱形油槽内装有一些油以后，油面宽AB=80cm,则油的最大深度为（　　） A．32cm B．31cm C．9cm D．18cm 【答案】A 【分析】先连接OA，过点O作OC⊥AB，交⊙O于D，根据垂径定理，即可求得AC的值，然后在Rt△OAC中，利用勾股定理，即可求得OC的值，继而求得油的最大深度． 【解答】解：如图，过O作OC⊥AB于点C，并延长交⊙O于点D，连接OA， 依题意得CD就是油的最大深度， 根据垂径定理得：AC=AB=40cm,OA=41cm, 在Rt△OAC中，根据勾股定理得：OC===9（cm）， ∴CD=OD-OC=41-9=32（cm）， 故选：A． 3.（2024•邵阳模拟）赵州桥始建于隋朝，由匠师李春设计建造，屹立千年而不倒，是我国著名的历史文物，如图为某圆弧型石拱桥的侧面图，桥的跨径AB=18m,拱高CD=5m,则拱桥的半径为 ______m. 【答案】． 【分析】设所在圆的圆心为O，半径为r m,由垂径定理可得∠ADO=90°，，最后由勾股定理即可求解， 【解答】解：如图，设所在圆的圆心为O，半径为r, 由题意可知：AB=18m,OD=（r-5）m, ∵OC⊥AB， ∴∠ADO=90°，AD=BD=AB=9（m）， 则由勾股定理得：OA2=AD2+OD2，即92+（r-5）2=r2， 解得：， 故答案为：． 4.（2022秋•兴隆台区期末）如图，圆形输水管的横截面阴影部分为有水部分，水面AB宽为24cm,经测量目前水的深度为8cm,则该水管的半径为 ______． 【答案】13cm． 【分析】先过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，由垂径定理可知AD=AB，设OA=r,则OD=r-8，在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求出r的值，从而得出该输水管的直径的长． 【解答】解：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA， 则AD=AB=×24=12cm, 设OA=r cm,则OD=（r-8 ）cm, 在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r-8）2+122， 解得r=13． 故该输水管的半径为13cm； 故答案为：13cm. 【知识点3】圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 1.（2024秋•丰县期中）在⊙O中=2，则弦AB与弦CD的大小关系是（　　） A．AB＞2CD B．AB=2CD C．AB＜2CD D．AB=CD 【答案】C 【分析】根据两弧的关系，作出的中点E，则AE=BE=CD，根据三角形两边之和大于第三边就可以得到结论． 【解答】解：AB＜2CD． 取的中点E，连接EA、EB，则==， 所以EA=EB=CD， 在△ABE中，AE+BE＞AB，即2CD＞AB， 则AB＜2CD， ∴CD＜AB＜2CD， 故选：C． 2.（2023•碑林区校级四模）如图，这是“太极”图案的一部分，也称为“阴阳鱼”，其柔和而流畅的曲线构造既包含了国人的智慧文化，同时也蕴藏着很多的数学知识．该图案可以看作是三段弧线的组合，即以AB为直径的半圆弧AB，以BC为直径的半圆弧BC，以AC为直径的半圆弧AC．且满足，A，B，C三点在同一直线上，若AB=4cm,则该图案的面积为 ______cm2． 【答案】8π． 【分析】根据，可得S半圆AB=S半圆BC，即有S图案=S半圆AC+S半圆AB-S半圆BC=S半圆AC，此题随之得解． 【解答】解：∵半圆， ∴S半圆AB=S半圆BC， ∴S图案=S半圆AC+S半圆AB-S半圆BC=S半圆AC， ∵AB=4cm, ∴， 故答案为：8π． 3.（2023秋•龙海区校级月考）将一个圆分成六个完全相同的小扇形，则这些小扇形的圆心角为 ______度． 【答案】60． 【分析】设六个相同扇形的圆心角的度数是x,根据6x=360°，求出方程的解，即可得出答案． 【解答】解：设四个扇形的圆心角的度数是x, 得出方程6x=360°， 解得：x=60°， 故答案为：60． 【知识点4】圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 1.（2025•潮阳区校级二模）如图，点A、B、C在⊙O上，∠OBC=18°，则∠A=（　　） A．18° B．36° C．72° D．144° 【答案】C 【分析】根据圆周角定理可知∠A=∠BOC，求出∠BOC的度数即可得出答案． 【解答】解：∵OB=OC， ∴∠BOC=180°-2∠OBC=144°， 由圆周角定理可知：∠A=∠BOC=72° 故选：C． 2.（2025春•沙坪坝区校级月考）如图，AD是半圆O的直径，B，C两点在半圆上，且，点P在CD上，连接OP，若∠PCB=130°，则∠BPO=（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【答案】D 【分析】先连接OB，OC，OP，得到△AOB、△BOC均是等边三角形，求得∠PCO=70°，再根据等边对等角和三角形内角和定理可求得∠BOP=100°，然后根据等边对等角即可求解． 【解答】解：连接OB，OC，OP，如图： ∵AD是半圆O的直径， ∴∠ADO=180°， 由条件可知∠AOB=∠BOC=∠COD=60°， 由题可得：OA=OB=OC=OD=OP=r, ∴△AOB、△BOC均是等边三角形， ∴∠BCO=60°， ∵∠PCB=130°， ∴∠PCO=∠PCB-∠BCO=130°-60°=70°， ∵OC=OP， ∴∠PCO=∠CPO=70°， ∴∠COP=180°-∠PCO-∠CPO=180°-70°-70°=40°， ∴∠BOP=∠COP+∠BOC=100°， ∵OB=OP， ∴， 故选：D． 3.（2025秋•仪征市月考）如图，点O是⊙O的圆心，点A、B、C在⊙O上，∠AOB=48°，则∠ACB的度数是______． 【答案】24°． 【分析】根据在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解即可得． 【解答】解：∵点O是⊙O的圆心，点A，B，C在⊙O上， ∴∠ACB=∠AOB， ∵∠AOB=48°， ∴， 故答案为：24°． 【知识点5】圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 1.（2024秋•北仑区期末）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠ADC=120°，∠ABC的度数是（　　） A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】C 【分析】由圆内接四边形的性质推出∠ABC+∠ADC=180°，即可求出∠ABC的度数． 【解答】解∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∵∠ADC=120°， ∴∠ABC=60°． 故选：C． 2.（2023秋•龙川县校级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD=20°，则∠C=______． 【答案】110°． 【分析】由圆周角定理得到∠ADB=90°，求出∠A=90°-20°=70°，由圆内接四边形的性质推出∠A+∠C=180°，即可得到∠C=110°． 【解答】解：∵AB是圆的直径， ∴∠ADB=90°， ∵∠ABD=20°， ∴∠A=90°-20°=70°， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠C=180°， ∴∠C=110°． 故答案为：110°． 学科网（北京）股份有限公司 $