专题29.3 弧长和扇形面积（培优讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦弧长和扇形面积核心知识点，系统梳理扇形（弧长与面积公式）、弓形（扇形减三角形面积）、圆锥（侧面展开图扇形与底面圆关系）的内在联系，搭建从基础公式到综合应用的学习支架。 资料通过14类题型覆盖求弧长、扇形半径、不规则图形面积等，结合扫地机器人莱洛三角形、斗笠锅盖等实例，融入探究式学习与复盘笔记，培养几何直观、推理能力与应用意识，助力课中教学与课后查漏补缺。

简一数理 初中专题讲义 专题29.3 弧长和扇形面积 （新教材人教版） 知识点一、扇形 2 知识点二、弓形 2 知识点三、圆锥 2 【题型1 求弧长】 3 【题型2 求扇形半径】 4 【题型3 求圆周角】 5 【题型4 求某点的弧形运动路径长度】 5 【题型5 求扇形面积】 6 【题型6 求图形旋转后扫过的面积】 7 【题型7 求弓形面积】 8 【题型8 求其他不规则图形的面积】 9 【题型9 求圆锥侧面积】 10 【题型10 求圆锥底面半径】 11 【题型11 求圆锥的高】 12 【题型12 求圆锥侧面展开图的圆心角】 13 【题型13 圆锥的实际问题】 14 【题型14 圆锥侧面的最短路径问题】 15 【探究式学习】 17 【课后检测】 20 【复盘笔记】 27 知识点一、扇形 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，设扇形的圆心角为，则扇形的面积和弧长：，． 知识点二、弓形 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 弓形的面积等于扇形面积减去三角形AOB的面积。 知识点三、圆锥 沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形.设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积为πrl，圆锥的全面积为πr(r十l). 【题型1 求弧长】 【例1】若一个圆锥侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形（分别以等边三角形的三个顶点，，为圆心，长为半径画弧得到的图形）．若，则此莱洛三角形的周长为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，点A，B，C，D顺次分布在半径为2的上，其中是的直径，点C是弧的中点，顺次连接，，，若，则弧的长为（     ） A． B． C． D． 【题型2 求扇形半径】 【例2】如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】《九章算术》中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周九尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为9尺，米堆的高为5尺，若取3，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（    ） A．30平方尺 B．35平方尺 C．40平方尺 D．45平方尺 【变式2-2】若扇形面积为，圆心角为，则它的弧长为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2 【题型3 求圆周角】 【例3】一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当重物上升时滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】在中，的长与的直径的比为，则所对的圆周角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】在半径为6的圆中，长度为的弧所对的圆周角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，是的直径，，C是上半圆弧的中点，D是下半圆上一个动点，过点A作的垂线，垂足为E，则点D从点A运动到点B的过程中，点E运动的路径长是（   ） A． B． C． D． 【题型4 求某点的弧形运动路径长度】 【例4】如图，半径为的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线，然后把半圆沿直线进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线重合为止，则圆心运动路径的长度等于（       ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，等边三角形和正方形的边长都是a，在图形所在的平面内，将以点A为中心沿逆时针方向旋转，使与重合，如此继续以点B、C、D为中心将三角形进行旋转，只需使点P回到原来位置为止即可，则点P从开始到结束所经过路径的长为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，在中，，，是的外接圆，为上一动点，过作直线的垂线，垂足为．在从沿运动到的过程中，点经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，绕原点顺时针旋转，得到，若，则点所经过的路径长为（      ） A． B． C． D． 【题型5 求扇形面积】 【例5】某工件形状如图所示，的度数为，，点到点的距离等于，，则工件的面积等于（     ）． A． B． C． D． 【变式5-1】如图，长方形的长和宽分别为和，图中阴影部分面积，则图中扇形面积为（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在中，，以为直径的与，分别交于点D，E，连接，，若，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，将弧沿弦翻折恰好过圆心O点，点C为弧的中点，的半径为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【题型6 求图形旋转后扫过的面积】 【例6】如图，将绕点逆时针旋转得到，阴影部分为线段扫过的区域，已知，，则阴影部分面积为（     ） A． B． C． D．9 【变式6-1】如图，钟面上的时针长，从点到点半，时针在钟面上扫过的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图1是某款汽车一扇车门打开实物图；如图2是车门侧开示意图，已知汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为，当车门关闭时，，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到，则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【题型7 求弓形面积】 【例7】如图，所在圆的半径，则和弦围成的图形面积是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，将⊙O 沿弦 AB 折叠，被折叠后的一段弧正好经过圆心 O ，若 AB＝4，则图中阴影 部分的面积为(   ) A． π－4 B． π＋8 C． π＋4 D．8π－8 【变式7-3】如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【题型8 求其他不规则图形的面积】 【例8】如图，在矩形中，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，以为直径作半圆O．C是半圆上一点，以点A为圆心，的长为半径作弧交射线于点D．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，矩形的对角线，交于点，分别以点，为圆心，长为半径作弧，分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为（  ） A． B． C． D． 【变式8-3】不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体制作了一个戴帽子的不倒翁（如图①），图②是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知帽子的边缘分别与相切于点A、B，若该圆半径是1，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【题型9 求圆锥侧面积】 【例9】．“云南十八怪”中第二怪“摘下斗笠当锅盖”．如图，斗笠锅盖可以近似看作一个圆锥，若一个斗笠锅盖的底面直径为，高度为，则该斗笠锅盖的表面积大约为（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】一个圆锥，根据下列所给条件能计算出它的侧面积的是（     ） ①圆锥侧面展开图的圆心角，圆锥的母线长； ②底面圆的面积，圆锥的母线长； ③圆锥侧面展开图的圆心角，底面圆的半径； ④圆锥侧面展开图的圆心角，底面圆的周长． A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【变式9-2】经典歌曲《听妈妈讲那过去的事情》里有一句歌词是“我们坐在高高的谷堆旁边，听妈妈讲那过去的事情．”如图，是一个底面半径为，高为的圆锥形谷堆，则这个谷堆的侧面积是（     ）． A． B． C． D． 【变式9-3】小红测量了某款冰淇淋蛋筒的圆锥形纸套，量得纸套的底部直径为，纸套的侧面长度（即母线长）为．把这个纸套沿母线剪开展平，所得图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【题型10 求圆锥底面半径】 【例10】如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（     ） A． B． C． D． 【变式10-1】若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（     ）． A． B． C． D． 【变式10-2】如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），已知该扇形纸片的面积为，母线长为，则围成的圆锥的底面半径是（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】手工课上，小丽用一张半径为，圆心角为的扇形纸片制作一个圆锥形的玩偶纸帽（接缝处不重叠），则这个圆锥形玩偶纸帽的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【题型11 求圆锥的高】 【例11】如图是一个几何体的三视图，这个几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】将一个以10为半径的半圆，围成一个圆锥，则该圆锥的高是（    ） A．5 B． C． D．10 【变式11-3】若圆锥的侧面展开图是半径为a的半圆，则圆锥的高为（　　） A．a B． C． D． 【题型12 求圆锥侧面展开图的圆心角】 【例12】如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】如图，圆锥的母线长为6，底面直径长为4，为的中点．将圆锥侧面沿母线剪开并展平，在展开图中，之间的距离为（   ） A．4 B． C． D． 【变式12-2】如图，已知圆锥的底面半径为，，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，则蚂蚁爬行的最短距离是（　　）． A．40 B． C．160 D． 【变式12-3】如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型13 圆锥的实际问题】 【例13】如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】在学习“圆锥”时，小明同学进行了研究性学习： 如图，圆锥的母线，底面半径，扇形是圆锥的侧面展开图，． 依据上述条件，小明得到如下结论： ①； ②； ③若，则． 正确的结论是_____．（填写序号） 【变式13-2】工地上有一堆沙子，形状近似于一个圆锥（如图）．这堆沙子的体积大约是多少？ 【变式13-3】综合与实践 （主题）滤纸与漏斗 （素材）如图甲所示： 1：一张直径为10cm的圆形滤纸； 2：一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗． （实践操作） 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图乙所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图甲所示漏斗中． （实践探索） (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，直接写出滤纸围成圆锥形的侧面积．（结果保留π） 【题型14 圆锥侧面的最短路径问题】 【例14】如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（   ）cm A． B． C． D． 【变式14-1】如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【变式14-2】如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（     ） A．12 B．18 C． D．24 【变式14-3】如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是________． 【探究式学习】 1．为了丰富同学们的课余生活，某校数学兴趣小组的成员开展了“玩‘转’数学，乐享数学”的主题活动．请你参与他们的活动，共享他们的成果． 【问题背景】 兴趣小组的成员首先回顾人教版教材九年级上册第60页“探究”部分的内容：          探究 如图，在硬纸板上，挖一个三角形洞，再另挖一个小洞O作为旋转中心，硬纸板下面放一张白纸．先在纸上描出这个挖掉的三角形图案（），然后围绕旋转中心转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形（），移开硬纸板．是由绕点O旋转得到的． 接着，兴趣小组的成员将三角形替换为半径为4，圆心角的扇形，继续探索旋转的奥妙．    【问题探索】 （1）如图1，将扇形绕着点O旋转得到扇形，粗心的小明忘记标记点O的位置，请你帮他找出旋转中心点O的位置并在图中标注出来；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，将扇形绕着点C顺时针旋转得到扇形，若与相切于点C，点M为半径的中点，求点M经过的路径长； 【问题拓展】 （3）如图3，将扇形绕着的中点N逆时针旋转得到扇形，请直接写出两个扇形重叠部分的面积． 2．【课本再现】 （1）如图1，分别与相切于A，B两点，，则（　　） A．      B．      C．      D． 【变式探究】 （2）如图2，分别与相切于A，B两点，若． ①求的度数； ②若，求阴影部分的面积． 3．尺规作图：如图，在的内部有一点． (1)【初步探索】如图1，利用无刻度的直尺和圆规作一个等腰三角形，并使等腰三角形的底边经过点，点，点分别在射线，射线上．（温馨提示：本小题作图不写作法，但需保留作图痕迹） (2)【拓展探究】如图2，若，连接，．以为圆心，为半径画圆，交射线，射线于，两点，则劣弧的长度为_________．（本小题无需在答题卡上作图，只需写出用含的代数式表示的结果） 4．如图，内接于，为直径，在延长线上取一点E，使得，连接，在下方，作，连接交于点D，连接． (1)如图1，若，的长为， ①求的半径长； ②若，求的长． (2)如图2，当，时，试探究与的数量关系，并说明理由． 【课后检测】 1．如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则阴影部分的周长是（     ） A． B． C． D． 2．斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次以1，1，2，3，5为半径的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B．2 C． D．4 3．如图，是的直径，弦垂足为点，连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 4．如图，点，，，都在上，，，且半径为，则弧的长度为（     ） A． B． C． D． 5．如图，为的直径，点C，D是上的两点，连接，，，若，，则长是（     ） A． B． C． D． 6．中国饮食文化源远流长，其中过桥米线是云南的地方特色美食之一．如图是某人吃完过桥米线准备喝汤的示意图，碗体部分为半圆，直径．喝汤时，若，则弧的长为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，以为直径的半圆O交于点D，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，以为直径的半圆分别与，交于点，．若，则的长是（     ） A． B． C． D． 9．2025年中国探月工程在载人登月技术验证和月球科学研究双线并进，取得了扎实的突破．为此，某学校科技小组的学生设计了一枚纪念徽章，徽章中心设计图案如下：在一个边长为2的正方形内，以正方形的四个顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形内画弧，四条弧相交于点O，象征四支火箭轨道汇聚于月球．则四段圆弧围成的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 10．月洞门是中国古典园林建筑中的圆形过径门，又称圆洞门、月亮门、月光门，其形如满月，门框采用磨砖对缝工艺，不设门扇与门槛，主要作为建筑群入口或分隔院落的交通孔道，兼具通行与框景功能（如图1），图2是其在由小正方形组成的网格中的平面示意图，每个小正方形的边长均为1，点O是圆心，点A，B均在格点上．若，优弧所对的圆心角为，则优弧的长为（   ） A． B． C． D． 11．如图，扇形纸片的半径为，沿折叠扇形纸片，点恰好落在弧上的点处，则图中阴影部分的面积为______． 12．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分．历来中国有“制扇王国”之称．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，的长为，则的长为______________． 13．如图，在矩形中，以B为圆心，为半径画弧交于点C，连接，，的面积为1，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留π和根号） 14．用半径为，圆心角为的扇形纸板，做一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的侧面积是________． 15．如图，将半径为的圆形纸板，沿着边长分别为和的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置，圆心所经过的路线长度是______（）． 16．光明灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径、分别为、，． (1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），需要多长的花边？ (2)求灯罩的侧面积（接缝不计）．（以上计算结果保留） 17．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于x轴对称的； (2)请画出绕点B逆时针旋转后的； (3)求出（2）中点C所经过的路径长． 18．如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题： (1)的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 19．如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，连接，求图中阴影部分的面积．（用含的式子表示运算结果） 20．在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组尚未完成的活动报告． 主题 求生活中的圆弧长 研究内容 本次活动选取学校的铅球场地，将场地的一部分抽象为扇形（如图1所示），已知扇形所在圆的半径于点，，用不同的方案分别求的长． 工具 软尺（长度足够）、测角仪（可测量角度的大小）等 研究方案与实践成果 方案一 方案二 方案三 用软尺直接测量的长． 测量数据： 第一次 第二次 用测角仪测角，利用弧长公式计算的长． 测量数据： 查阅文献，发现北宋沈括的《梦溪笔谈》中收录了近似计算圆弧长度的“会圆术”．图1中，弧长． 测量数据： 反思应用 取两次测量结果的平均数，则． 利用弧长公式，…… 根据“会圆术”，…… ①方案一可通过____________的方法减少误差； ②我们可以利用上面的活动经验解决一些生活中的问题． 如图2所示，公园里一座桥的主桥拱是圆弧形，已知其跨度为，拱高为，虽然弧长和圆心角不方便测量，但可以通过计算近似得出． 计算过程如下：…… 请你帮助该小组完成活动报告，具体如下： (1)写出“反思应用”①中减少误差的方法；（写出一种方法即可） (2)分别利用方案二（结果保留）和方案三计算的长； (3)求图2中弧长和圆心角．（取3.1） 【复盘笔记】 第 2 页 共 69 页 第 1 页 共 69 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题29.3 弧长和扇形面积 （新教材人教版） 知识点一、扇形 2 知识点二、弓形 2 知识点三、圆锥 2 【题型1 求弧长】 3 【题型2 求扇形半径】 5 【题型3 求圆周角】 8 【题型4 求某点的弧形运动路径长度】 10 【题型5 求扇形面积】 13 【题型6 求图形旋转后扫过的面积】 17 【题型7 求弓形面积】 19 【题型8 求其他不规则图形的面积】 23 【题型9 求圆锥侧面积】 27 【题型10 求圆锥底面半径】 29 【题型11 求圆锥的高】 31 【题型12 求圆锥侧面展开图的圆心角】 33 【题型13 圆锥的实际问题】 36 【题型14 圆锥侧面的最短路径问题】 40 【探究式学习】 43 【课后检测】 52 【复盘笔记】 69 知识点一、扇形 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，设扇形的圆心角为，则扇形的面积和弧长：，． 知识点二、弓形 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 弓形的面积等于扇形面积减去三角形AOB的面积。 知识点三、圆锥 沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形.设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积为πrl，圆锥的全面积为πr(r十l). 【题型1 求弧长】 【例1】若一个圆锥侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设该圆锥的底面半径为，据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，即可求解． 【详解】解：设该圆锥的底面半径为， ∵圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴， 解得， 即该圆锥的底面半径为． 【变式1-1】如图，某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形（分别以等边三角形的三个顶点，，为圆心，长为半径画弧得到的图形）．若，则此莱洛三角形的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和正三角形的性质可得，此莱洛三角形为三段圆心角为，半径为的圆弧组成，利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴的长为， 同理，与的长都为， ∴此莱洛三角形的周长为． 【变式1-2】如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角性质求出的度数，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：， ， 是的外角， ， 是的直径， 的半径为， 的长为：． 【变式1-3】如图，点A，B，C，D顺次分布在半径为2的上，其中是的直径，点C是弧的中点，顺次连接，，，若，则弧的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，．求出的度数，利用弧长公式进行解答即可． 【详解】解：连接，． 点C是弧的中点， ， ． ， ， ， ∴弧的长． 【题型2 求扇形半径】 【例2】如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面半径，由弧长公式求出圆锥的母线，再由勾股定理计算圆锥的高即可． 【详解】解：圆锥的底面半径为，圆锥的母线为， ∴ ． 【变式2-1】《九章算术》中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周九尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为9尺，米堆的高为5尺，若取3，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（    ） A．30平方尺 B．35平方尺 C．40平方尺 D．45平方尺 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥底面半径的计算以及弧长的计算． 设圆锥的底面半径为尺，根据米堆底部的弧长为9尺求出底面半径，再由这个米堆遮挡的墙面面积为两个三角形的面积和计算即可得出答案． 【详解】解：设圆锥的底面半径为尺， 由米堆底部的弧长为9尺，可得， 解得：， （平方尺）， 这个米堆遮挡的墙面面积为平方尺． 故选：A． 【变式2-2】若扇形面积为，圆心角为，则它的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查扇形的面积公式，弧长公式等知识，利用扇形的面积公式求出扇形的半径，再利用弧长公式计算即可．解题的关键是记住扇形的面积公式以及弧长公式． 【详解】解：设扇形的半径为， 由题意：， 解得， ∴扇形的弧长， 故选：C． 【变式2-3】用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2 【答案】C 【详解】解：方案1： 设垂直于墙面的一边长为x，则平行于墙面的边长为， ， ∴当时，y有最大值，最大值为； 方案2： 设等腰三角形底边长为d，高为h， ∵为等腰三角形， ∴，， ∴，即，整理得：， ∵， ∴， 令，则， ∴当时，有最大值，最大值为324， ∴当时，S有最大值，最大值为18， 方案3： 设半圆半径为r， ∵半圆的弧长为12米， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴最佳方案是方案3． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了用二次函数求图形面积的最大值，和求弧的半径，解题的关键是熟练掌握二次函数的图图象和性质，以及根据弧长求半径的方法． 【题型3 求圆周角】 【例3】一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当重物上升时滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长的计算公式，正确理解公式是关键． 重物上升，即弧长是，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：设旋转角度为，由题意得， ， 解得． 故选D． 【变式3-1】在中，的长与的直径的比为，则所对的圆周角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题的关键是根据弧长公式求圆心角，但要注意的是圆心角与圆周角的转化． 根据弧长与直径的比求出圆心角，再根据圆周角与圆心角的关系求解． 【详解】解：设的半径为，则直径， ∵的长与直径的比为， 即，解得． ∴所对圆周角为． 故选：A． 【变式3-2】在半径为6的圆中，长度为的弧所对的圆周角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求弧长所对的圆心角度数，圆周角定理，根据弧长公式求出圆心角，再根据圆周角定理求出圆周角的度数即可． 【详解】解：设圆心角度数为， ∵ 弧长，其中，， 解得， ∴ 圆周角的度数； 故选B 【变式3-3】如图，是的直径，，C是上半圆弧的中点，D是下半圆上一个动点，过点A作的垂线，垂足为E，则点D从点A运动到点B的过程中，点E运动的路径长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角定理、勾股定理．作出辅助线并找到点的运动轨迹是解答的关键． 连接，，根据圆心角定理可得，根据勾股定理可得，根据，可知点在以为直径的半圆上运动，根据圆的周长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，， 点是上半圆的中点， ， ， ， ， 在中， ， ， 点在以为直径的半圆上运动， ． 故选B． 【题型4 求某点的弧形运动路径长度】 【例4】如图，半径为的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线，然后把半圆沿直线进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线重合为止，则圆心运动路径的长度等于（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轨迹、弧长公式、圆的周长公式等知识，解题的关键是搞清楚轨迹是什么图形，记住弧长公式，圆周长公式．通过观察图形可知圆心运动路径的长度等于长加上的长，其中的长为圆的周长，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图所示，圆心运动路径的长度等于． 故选：A． 【变式4-1】如图，等边三角形和正方形的边长都是a，在图形所在的平面内，将以点A为中心沿逆时针方向旋转，使与重合，如此继续以点B、C、D为中心将三角形进行旋转，只需使点P回到原来位置为止即可，则点P从开始到结束所经过路径的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查弧长的计算和等边三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质，此题难度不大． 首先作出图形，于是可得点P所经过的路径是半径为a、圆心角分别为和和的三段圆弧，根据弧长公式即可求出总长度． 【详解】解：作图如图 点P所经过的路径是半径为a、圆心角分别为和和的三段圆弧， 故总长度为． 故选：C． 【变式4-2】如图，在中，，，是的外接圆，为上一动点，过作直线的垂线，垂足为．在从沿运动到的过程中，点经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，先确定点在以为直径的圆上运动，当与重合时，连接，取的中点，连接，求得点最终位置，根据已知条件得出点E旋转，进而最后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵，则 ∴在以为直径的圆上运动， 如图，当与重合时，连接，取的中点，连接， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∴即点E旋转， ∵， ∴ 在中， ∴ ∴点经过的路径长为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、旋转的性质、解直角三角形、弧长公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，绕原点顺时针旋转，得到，若，则点所经过的路径长为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，弧长的计算及勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．根据点可得，由勾股定理可得，由旋转的性质得到，最后根据弧长公式求出答案即可． 【详解】解：， ， ， 绕原点顺时针旋转，得到， ， 点所经过的路径长为. 故选：A． 【题型5 求扇形面积】 【例5】某工件形状如图所示，的度数为，，点到点的距离等于，，则工件的面积等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作过点、、的圆，圆心为，连接、、，交于点，由圆周角定理推出是等边三角形，再根据垂径定理和三线合一的性质，易证，得到，进而得出工件的面积，即可得解． 【详解】解：如图，作过点、、的圆，圆心为，连接、、，交于点， ， ， ， 是等边三角形， ，， 点到点的距离等于， ， ，， ，即， ，， ， ， ， 工件的面积． 【变式5-1】如图，长方形的长和宽分别为和，图中阴影部分面积，则图中扇形面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设空白部分的面积为，则，，得到，根据，即可求解． 【详解】解：设空白部分的面积为， ，， ， ， ， 故选：D． 【变式5-2】如图，在中，，以为直径的与，分别交于点D，E，连接，，若，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，．先求出，从而得到，再证得，，从而得到，即，最后求得阴影面积． 【详解】解：如图，连接，． 在中，． ∵是的直径， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴． 【变式5-3】如图，将弧沿弦翻折恰好过圆心O点，点C为弧的中点，的半径为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据翻折的对称性，得出和是等边三角形，再利用三角形全等将求阴影部分的面积转化为求扇形的面积，最终求出答案． 【详解】解：如图所示，连接，交于点， ∵点C为弧的中点， ∴， 又∵弧沿弦翻折恰好过圆心O点， ∴点关于对称，所在直线是线段的垂直平分线， ∴，即和是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴阴影部分的面积等于扇形的面积． 【题型6 求图形旋转后扫过的面积】 【例6】如图，将绕点逆时针旋转得到，阴影部分为线段扫过的区域，已知，，则阴影部分面积为（     ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出，根据旋转的性质得出，，根据，利用扇形面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴ ． 【变式6-1】如图，钟面上的时针长，从点到点半，时针在钟面上扫过的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查扇形面积的计算．首先根据钟面的特点求出时针转过的圆心角度数，再结合时针长度（即半径），利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：钟面一圈为，共有12个大格，时针每小时转过的角度为， 从点到点半，经过了30分钟，即小时， 时针转过的圆心角， 时针长，即扇形半径， 时针扫过的面积． 【变式6-2】如图1是某款汽车一扇车门打开实物图；如图2是车门侧开示意图，已知汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为，当车门关闭时，，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据这扇车门底边扫过的区域是扇形，以及扇形的半径和圆心角，由扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意这扇车门底边扫过的区域是扇形， 其中扇形的半径为，圆心角最大角度为， ∴扇形的最大面积为：． 【变式6-3】如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到，则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的关键； 本题根据扇形的面积公式，进行计算，即可求解； 【详解】解：由题意可得：，边旋转了， ∴边在旋转过程中所扫过的图形的面积为：， 故选：B； 【题型7 求弓形面积】 【例7】如图，所在圆的半径，则和弦围成的图形面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，求扇形面积，设圆心为，连接，过点作于点，得出是等边三角形，进而根据扇形面积减去等边三角形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，设圆心为，连接，过点作于点， ∵，即 ∴是等边三角形 ∴， 在中， ∴和弦围成的图形面积是 故选：C． 【变式7-1】如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠问题，求扇形面积，等边三角形的性质与判定，勾股定理；连接，交于点，根据折叠得出是等边三角形，进而得出是等腰直角三角形，求得半径，进而根据即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点 ∵折叠， ∴，， 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 【变式7-2】如图，将⊙O 沿弦 AB 折叠，被折叠后的一段弧正好经过圆心 O ，若 AB＝4，则图中阴影 部分的面积为(   ) A． π－4 B． π＋8 C． π＋4 D．8π－8 【答案】B 【分析】过O作OC⊥AB于C，连结AO，BO，根据被折叠后的一段弧正好经过圆心 O，得出OC=，根据垂径定理得出AC=BC=，根据锐角三角函数得出sin∠CAO=，求出∠CAO=30°，可确∠AOB=2∠AOC=120°，AO=2OC=4，先求△AOB面积，再求弓形AOB面积，然后利用圆的面积-2个弓形面积即可． 【详解】解：过O作OC⊥AB于C，连结AO，BO， ∵被折叠后的一段弧正好经过圆心 O， ∴OC=， ∵CO⊥AB，AB为弦， ∴AC=BC=，sin∠CAO=， ∴∠CAO=30°，   ∴∠AOC=90°-∠OAC=60°，OC=tan30°×AC=， ∴∠AOB=2∠AOC=120°，AO=2OC=4， ∴S△AOB=， ∴弓形AOB=， ∴S阴影=S圆-2S弓形AOB=． 故选择B． 【点睛】本题考查折叠问题，锐角三角函数，三角形面积，弓形面积，圆心角的度数，阴影面积，掌握折叠问题，锐角三角函数，三角形面积，弓形面积，圆心角的度数，阴影面积是解题关键． 【变式7-3】如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理和弧之间的关系，扇形的面积等．连接，根据，得出，进而得到，利用即可求解． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【题型8 求其他不规则图形的面积】 【例8】如图，在矩形中，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，根据解直角三角形求出，，再利用求解即可． 【详解】解：连接，， ∵在矩形中，，， ∴，，， 由作图可得， ∴在中，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴ ． 【变式8-1】如图，以为直径作半圆O．C是半圆上一点，以点A为圆心，的长为半径作弧交射线于点D．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据圆周角定理得出，结合图形得出阴影部分的面积为即可求解 【详解】解：连接，如图所示： ∵以为直径作半圆O， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【变式8-2】如图，矩形的对角线，交于点，分别以点，为圆心，长为半径作弧，分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于点，则，由矩形的性质可得，，，，，然后求出，，，，然后通过阴影部分的面积为即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴图中阴影部分的面积为 ． 【变式8-3】不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体制作了一个戴帽子的不倒翁（如图①），图②是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知帽子的边缘分别与相切于点A、B，若该圆半径是1，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据切线的性质得，再说明，可得，，接下来根据勾股定理求出，然后根据得出答案． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴，， 根据勾股定理，得． ∴． 【题型9 求圆锥侧面积】 【例9】．“云南十八怪”中第二怪“摘下斗笠当锅盖”．如图，斗笠锅盖可以近似看作一个圆锥，若一个斗笠锅盖的底面直径为，高度为，则该斗笠锅盖的表面积大约为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意由斗笠锅盖的底面直径得圆锥的底面半径；因为圆锥的高、底面半径和母线构成了一个直角三角形，求出母线长度；再由圆锥的侧面积求出斗笠锅盖的表面积即可． 【详解】解： ∵斗笠锅盖的底面直径为，高度为， ∴底面半径， ∵圆锥的高、底面半径和母线构成了一个直角三角形，设母线为， ∴根据勾股定理有， ∴， ∴圆锥的侧面积为： ∴该斗笠锅盖的表面积大约为． 【变式9-1】一个圆锥，根据下列所给条件能计算出它的侧面积的是（     ） ①圆锥侧面展开图的圆心角，圆锥的母线长； ②底面圆的面积，圆锥的母线长； ③圆锥侧面展开图的圆心角，底面圆的半径； ④圆锥侧面展开图的圆心角，底面圆的周长． A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】圆锥侧面积等于其侧面展开扇形的面积，只需根据已知条件推导出计算侧面积所需的量，即可判断能否计算侧面积． 【详解】解：设圆锥底面半径为，母线长为，侧面展开图圆心角为，圆锥侧面积，且侧面展开扇形弧长等于底面周长，即， ① 已知和，由扇形面积公式，可直接计算侧面积，①符合要求； ② 已知底面圆面积，由可求出，又已知，代入，可计算侧面积，②符合要求； ③ 已知和，由可求出，代入可计算侧面积，③符合要求； ④ 已知和底面周长，由可求出，再由扇形面积公式可计算侧面积，④符合要求。 因此①②③④都能计算圆锥侧面积． 【变式9-2】经典歌曲《听妈妈讲那过去的事情》里有一句歌词是“我们坐在高高的谷堆旁边，听妈妈讲那过去的事情．”如图，是一个底面半径为，高为的圆锥形谷堆，则这个谷堆的侧面积是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先使用勾股定理计算出母线的长，再使用圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 在中，， 由圆锥侧面积公式可得，． 【变式9-3】小红测量了某款冰淇淋蛋筒的圆锥形纸套，量得纸套的底部直径为，纸套的侧面长度（即母线长）为．把这个纸套沿母线剪开展平，所得图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】圆锥沿母线剪开后侧面展开为扇形，所得扇形的面积就是要求的面积，利用扇形面积公式即可求解． 【详解】解：纸套的底部直径为， 底面圆的周长为， 圆锥侧面展开后，扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长， 扇形面积公式为， 即所得图形的面积为． 【题型10 求圆锥底面半径】 【例10】如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式求出阴影扇形的弧长，根据圆的周长公式求出圆锥底面圆半径，再利用勾股定理求出圆锥的高． 【详解】解：如下图所示， 扇形的半径为， ， 阴影扇形的弧长是， ， ， ． 【变式10-1】若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长这一关系列方程求解即可． 【详解】解：设该圆锥的底面圆的半径为， ∵圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴，化简得，解得， ∴该圆锥的底面圆的半径为． 【变式10-2】如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），已知该扇形纸片的面积为，母线长为，则围成的圆锥的底面半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算，设该圆锥的底面半径为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则根据扇形的面积公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：设该圆锥的底面半径为， 根据题意得， 解得， 即该圆锥的底面半径为， 故选：C． 【变式10-3】手工课上，小丽用一张半径为，圆心角为的扇形纸片制作一个圆锥形的玩偶纸帽（接缝处不重叠），则这个圆锥形玩偶纸帽的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形弧长的相关计算．设这个圆锥形玩偶纸帽的底面圆的半径为，根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长列出方程，求解即可． 【详解】解：设这个圆锥形玩偶纸帽的底面圆的半径为，则 ， 解得， ∴这个圆锥形玩偶纸帽的底面圆的半径为． 故选：B． 【题型11 求圆锥的高】 【例11】如图是一个几何体的三视图，这个几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质以及勾股定理求解高，再由圆锥的体积公式求解即可． 【详解】解：由三视图可得该几何体为圆锥，如图， 由题意得， ∴ ∴， ∴这个几何体的体积为． 【变式11-1】如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形的弧长公式，勾股定理，先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出，最后用勾股定理即可得出结论. 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r， ∵，， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， 故选：B． 【变式11-2】将一个以10为半径的半圆，围成一个圆锥，则该圆锥的高是（    ） A．5 B． C． D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面展开图、圆锥的高等知识点，弄清圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解题的关键． 根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，即可求得圆锥的底面半径，底面半径、母线长以及圆锥的高满足勾股定理，据此求解即可． 【详解】解：设圆锥底面的半径是r，则，解得：． 则圆锥的高是：． 故选：C． 【变式11-3】若圆锥的侧面展开图是半径为a的半圆，则圆锥的高为（　　） A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】圆锥的母线即半圆的半径是a，圆锥的底面周长即半圆的弧长πa，再根据圆周长公式，得圆锥的底面半径是．最后根据圆锥的高、母线和底面半径组成的直角三角形的勾股定理，即可求圆锥的高． 【详解】解：∵圆锥的母线即半圆的半径是a， ∴圆锥的底面周长即半圆的弧长， ∴，即圆锥的底面半径是． 圆锥的高、母线和底面半径组成直角三角形，由勾股定理，得圆锥的高是 ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 【题型12 求圆锥侧面展开图的圆心角】 【例12】如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的周长公式和扇形的弧长公式，设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是，根据圆锥侧面展开图的扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，可得，解方程即可求出扇形圆心角的度数． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是，母线的长为， 圆锥侧面展开图的扇形的弧长是， 圆锥底面圆的半径的长为， 圆锥底面圆的周长是， 由题意可得：， 解得：． 故选：D． 【变式12-1】如图，圆锥的母线长为6，底面直径长为4，为的中点．将圆锥侧面沿母线剪开并展平，在展开图中，之间的距离为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面展开图，根据圆锥的底面圆周长是其侧面展开图得到是的扇形弧长可求出侧面展开图扇形的圆心角度数，过点M作于D，分别求出的长，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数为， 由题意得，， ∴， 如图所示，在扇形中，， 过点M作于D， ∴， ∴， ∴， ∴在展开图中，之间的距离为， 故选：D． 【变式12-2】如图，已知圆锥的底面半径为，，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，则蚂蚁爬行的最短距离是（　　）． A．40 B． C．160 D． 【答案】D 【分析】本题利用了勾股定理，弧长公式，等腰直角三角形的判定． 蚂蚁爬行的最短距离是圆锥的展开图的扇形中的长度．根据勾股定理求得母线长后，利用弧长等于底面周长求得扇形的圆心角的度数为90度，再由勾股定理求解． 【详解】解：设扇形的圆心角为n，圆锥的顶点为B， ∵，， ∴由勾股定理可得母线， 而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为， ∴， 即是等腰直角三角形， 由勾股定理得： ． ∴蚂蚁爬行的最短距离为． 故选：D． 【变式12-3】如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形面积公式，根据题意得出圆锥的底面圆周长即为侧面展开图弧长，再根据，求出扇形半径，最后根据，即可求出圆心角度数． 【详解】解：∵该圆锥的底面圆周长为， ∴侧面展开图弧长， ∵侧面积为，， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴这个扇形的圆心角的度数是， 故选：D． 【题型13 圆锥的实际问题】 【例13】如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到2πr，解方程求出r，然后求得直径即可． 【详解】解：设圆锥的底面的半径为rcm，则AE=BF=6-2r 根据题意得2 πr， 解得r＝1， 侧面积= ， 底面积= 所以圆锥的表面积=， 故选：B． 【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系： （1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径； （2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键． 【变式13-1】在学习“圆锥”时，小明同学进行了研究性学习： 如图，圆锥的母线，底面半径，扇形是圆锥的侧面展开图，． 依据上述条件，小明得到如下结论： ①； ②； ③若，则． 正确的结论是_____．（填写序号） 【答案】②③ 【分析】由可得即可判断①；由化简可得；由和化简可得结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ①错误，不符合题意； ， ②正确，符合题意； ， ， ， ， ③正确，符合题意； 综上所述， 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了圆锥及圆锥的侧面展开图；解题的关键是熟练掌握圆锥和和展开图的关系． 【变式13-2】工地上有一堆沙子，形状近似于一个圆锥（如图）．这堆沙子的体积大约是多少？ 【答案】 【分析】根据圆锥的体积为，求解即可； 【详解】解：根据题意，得圆锥底面圆的半径为：，高为， 根据题意，得； 答：这堆沙子的体积大约是； 【变式13-3】综合与实践 （主题）滤纸与漏斗 （素材）如图甲所示： 1：一张直径为10cm的圆形滤纸； 2：一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗． （实践操作） 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图乙所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图甲所示漏斗中． （实践探索） (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，直接写出滤纸围成圆锥形的侧面积．（结果保留π） 【答案】(1) 滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下： 设滤纸围成的圆锥侧面展开图的扇形圆心角为． ∵漏斗口直径与母线均为， ∴滤纸围成的圆锥底面直径与母线均为， ，解得． 正好与将圆形滤纸两次对折后撑开得到的扇形圆心角相同， ∴滤纸能紧贴此漏斗内壁； (2) 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图与扇形的相关计算，关键是利用圆锥底面周长与侧面展开图扇形弧长的关系，判断形状是否匹配，并计算侧面积． （1）验证“滤纸折叠后形成的扇形”与“漏斗侧面展开的扇形”是否完全匹配，关键看圆心角是否一致； （2）核心逻辑是“圆锥的侧面积=其侧面展开图扇形的面积”，滤纸围成的圆锥，其侧面展开图是半径为的半圆，计算其面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：滤纸围成的圆锥的侧面展开图是半径为的半圆， ∴侧面积为半圆的面积，即：． 【题型14 圆锥侧面的最短路径问题】 【例14】如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（   ）cm A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧面展开图圆心角的大小是解题关键．由题意可求出圆锥的侧面展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵底面圆半径为2， 底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为， 根据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短路径． 圆锥的母线长为， ， ∴， 故最短路径长是． 故选：D． 【变式14-1】如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出的长，再利用勾股定理求出以及的长即可． 【详解】连接，过B作于D， 设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥底面圆周长为，， 则， ∵，， ∴， 由，可求得， ∴，， 即这根绳子的最短长度是． 【变式14-2】如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（     ） A．12 B．18 C． D．24 【答案】C 【分析】易得圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可． 【详解】解：将圆锥的侧面展开成扇形，连接，则蜘蛛爬行的最短路程就是线段的长度． 由题意知，， ， 设，根据弧长公式可求， 则最短路程为：在中，． 【变式14-3】如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是________． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧展开图圆心角的大小是解题关键．由题意可求出圆锥的侧展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵圆锥的侧展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为n， 根据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短路径． ∵，， ∴， 故最短路径长是． 故答案为：． 【探究式学习】 1．为了丰富同学们的课余生活，某校数学兴趣小组的成员开展了“玩‘转’数学，乐享数学”的主题活动．请你参与他们的活动，共享他们的成果． 【问题背景】 兴趣小组的成员首先回顾人教版教材九年级上册第60页“探究”部分的内容：          探究 如图，在硬纸板上，挖一个三角形洞，再另挖一个小洞O作为旋转中心，硬纸板下面放一张白纸．先在纸上描出这个挖掉的三角形图案（），然后围绕旋转中心转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形（），移开硬纸板．是由绕点O旋转得到的． 接着，兴趣小组的成员将三角形替换为半径为4，圆心角的扇形，继续探索旋转的奥妙．    【问题探索】 （1）如图1，将扇形绕着点O旋转得到扇形，粗心的小明忘记标记点O的位置，请你帮他找出旋转中心点O的位置并在图中标注出来；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，将扇形绕着点C顺时针旋转得到扇形，若与相切于点C，点M为半径的中点，求点M经过的路径长； 【问题拓展】 （3）如图3，将扇形绕着的中点N逆时针旋转得到扇形，请直接写出两个扇形重叠部分的面积． 【答案】 （1）连接，，作，的垂直平分线，交于点O，旋转中心点O的位置，如图1即为所求； （2）；（3） 【分析】（1）由旋转的性质可知，旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，即连接，，作，的垂直平分线即可； （2）连接，可知是等边三角形，求得，结合切线的性质可知旋转角为，则点M的路径为以C为圆心，为半径，圆心角的扇形的弧长，利用弧长公式即可求解； （3）连接，分别交，于P，H，令，交于点Q，结合旋转可知点A以为圆心，4为半径的圆上，即点N，，A在同一个圆中，再根据重叠部分的面积为即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）连接，，如图2， ∵，， ∴是等边三角形， ∵点M为半径的中点，则， ∴，则， ∵与相切于点C， ∴，即旋转角为， 则点M的路径为以C为圆心，为半径，圆心角的扇形的弧长， ∴点M的路径长为； （3）两个扇形重叠部分的面积为，理由如下： 如图3，连接，分别交，于P，H，令，交于点Q， ∵点N为的中点， ∴，则， ∵将扇形绕着的中点N逆时针旋转得到扇形， ∴，，，，，则为等边三角形， ∴，， ∴，则点A以为圆心，4为半径的圆上，则，即点N，，A在同一个圆中， ∴，， ∴，则， ，则， ∴重叠部分的面积为： ． 【点睛】本题考查了旋转的性质、弧长公式、扇形面积、解直角三角形、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 2．【课本再现】 （1）如图1，分别与相切于A，B两点，，则（　　） A．      B．      C．      D． 【变式探究】 （2）如图2，分别与相切于A，B两点，若． ①求的度数； ②若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）D；（2）①，② 【分析】本题考查了圆的切线的性质定理，切线长定理，扇形面积公式，圆周角定理，勾股定理等知识点． （1）连接，根据切线的性质定理，结合四边形的内角和定理，即可推出的度数，然后根据圆周角定理，即可推出的度数． （2）①连接，根据切线长定理以及圆的切线的性质可得．然后根据四边形内角和定理以及圆周角定理可得，则； ②连接，延长交于点D，由①得，可得是等边三角形，证明出，在中，，则，在中，，设，则，根据勾股定理得：，解得，再由求解即可． 【详解】解：（1）连接，如图所示， 分别与相切于A，B两点， ， ， ， ， 故选：D． （2）①如图1，连接． 分别与相切， ． ． 又， ， ． ②连接，延长交于点D． 由①得． ， 是等边三角形． ， ， ， ， ． 在中，，则 在中，，设， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理得：，解得（舍负） ． 3．尺规作图：如图，在的内部有一点． (1)【初步探索】如图1，利用无刻度的直尺和圆规作一个等腰三角形，并使等腰三角形的底边经过点，点，点分别在射线，射线上．（温馨提示：本小题作图不写作法，但需保留作图痕迹） (2)【拓展探究】如图2，若，连接，．以为圆心，为半径画圆，交射线，射线于，两点，则劣弧的长度为_________．（本小题无需在答题卡上作图，只需写出用含的代数式表示的结果） 【答案】(1)解∶如图，即为所求， (2) 【分析】（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线、射线分别交于点C、点D，连接，作射线，以C为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线、线段分别交于点E、点F，以P为圆心，为半径画弧，弧与射线相交于G，以G为圆心，为半径画弧，两弧相交于H，作直线，与射线，射线分别相交于点M、点N，则即为所求； （2）直接根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：画图略， 理由：由作图知：，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴即为所求； （2）解：由作图知：， ∴劣弧的长度为． 4．如图，内接于，为直径，在延长线上取一点E，使得，连接，在下方，作，连接交于点D，连接． (1)如图1，若，的长为， ①求的半径长； ②若，求的长． (2)如图2，当，时，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①2；② (2) ，理由如下： 在上取一点使得， ， ∴设， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）①根据弧长公式进行解答即可；②连接，证明，得到，则，在中，，得到，即可求出答案； （2）通过构造相等线段的点，利用圆周角、等腰三角形性质推导角的关系，证明三角形全等，结合弧与弦的关系，得出与的数量关系． 【详解】（1）解：①设的半径长为； ∵，的长为， ∴， 解得， 即的半径长为； ②连接， ∵，， ∴， ∵为直径， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ∵， ∴，则， ∴在中，， ∴在中，， ∵为直径， ， ∴， ∴ （2）略 【课后检测】 1．如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则阴影部分的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形和圆的对称性，易得阴影部分的周长为的长与正方形的边长的和，进行求解即可. 【详解】解：观察可知，阴影部分的周长为的长与正方形的边长的和， ∵正方形的边， ∴， ∴的长为， ∴阴影部分的周长为. 2．斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次以1，1，2，3，5为半径的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】结合斐波那契数的规律，及扇形的弧长公式进行转化是解题关键．根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的半径和弧长，结合圆锥的侧面积性质进行求解即可． 【详解】解：根据斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和， ∴接下来的扇形半径为， 对应的弧长， 设圆锥底面半径为r，则． ． 3．如图，是的直径，弦垂足为点，连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质和垂径定理，证明，从而推出这两个三角形的面积相等，即可知道三角形的面积即是扇形的面积，利用平行线的性质和圆周角定理推出，即可知道度数，最后利用扇形面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：， ， ， ，， ， ． 阴影部分的面积为． ，， ， ， ， ， 阴影部分的面积为． 4．如图，点，，，都在上，，，且半径为，则弧的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据圆周角定理可得，再根据垂径定理可得，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， 又， ∴， ， 弧的长度为：． 5．如图，为的直径，点C，D是上的两点，连接，，，若，，则长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，由圆内接四边形的性质得出，由直径所对的圆周角等于90度得出，由三角形内角和定理得出，由圆周角定理得出，最后由弧长公式计算即可． 【详解】解：连接，， ∵四边形内接于，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．中国饮食文化源远流长，其中过桥米线是云南的地方特色美食之一．如图是某人吃完过桥米线准备喝汤的示意图，碗体部分为半圆，直径．喝汤时，若，则弧的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，，再根据弧长公式求解即可； 【详解】解：∵为的直径，且， ∴， ∵， ∴， ∴弧的长为． 7．如图，在中，，，，以为直径的半圆O交于点D，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用直角三角形的性质求出，由圆周角定理得到，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴的直径为， ∴，即的长为． 8．如图，在中，以为直径的半圆分别与，交于点，．若，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据三角形内角和定理求出的度数，利用等腰三角形的性质表示出和，进而求出圆心角的度数，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴圆的半径， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的长为：． 9．2025年中国探月工程在载人登月技术验证和月球科学研究双线并进，取得了扎实的突破．为此，某学校科技小组的学生设计了一枚纪念徽章，徽章中心设计图案如下：在一个边长为2的正方形内，以正方形的四个顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形内画弧，四条弧相交于点O，象征四支火箭轨道汇聚于月球．则四段圆弧围成的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据正方形边长求出对角线长，从而确定扇形半径；然后计算四个扇形的面积之和；最后利用面积的和差关系，用四个扇形的面积和减去正方形的面积即可得出阴影部分的面积． 【详解】解： 正方形边长为， 正方形面积 ， ∴对角线长为． 扇形半径为对角线长的一半 ， 半径． 四个扇形的圆心角均为 ， 四个扇形的面积之和． ∵正方形被四个扇形完全覆盖，其中阴影部分为两个扇形的重叠部分，空白部分为一个扇形的非重叠部分 ， ． 10．月洞门是中国古典园林建筑中的圆形过径门，又称圆洞门、月亮门、月光门，其形如满月，门框采用磨砖对缝工艺，不设门扇与门槛，主要作为建筑群入口或分隔院落的交通孔道，兼具通行与框景功能（如图1），图2是其在由小正方形组成的网格中的平面示意图，每个小正方形的边长均为1，点O是圆心，点A，B均在格点上．若，优弧所对的圆心角为，则优弧的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明为等边三角形，可得，，从而得到，再由弧长公式解答即可． 【详解】解：根据题意得：， ，， 为等边三角形， ，， ， ∴优弧的长为． 11．如图，扇形纸片的半径为，沿折叠扇形纸片，点恰好落在弧上的点处，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和圆的半径相等，可得到，是等边三角形，由此可得圆心角的度数为，利用直角三角形所对的边等于斜边的一半和勾股定理可解得，，用扇形面积减去四边形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：连接，交于点， 由折叠的性质可知，，， ∵点恰好落在弧上的点处， ∴、、为扇形的半径， ∴， ∴在中，， ∴是等边三角形， ∴， 同理，是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形，扇形的圆心角， ∴， 扇形的面积， ∴，， ∴，， ∴， 菱形的面积， 阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积． 12．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分．历来中国有“制扇王国”之称．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，的长为，则的长为______________． 【答案】 【分析】根据弧长公式，进行计算即可求解． 【详解】解：，，， ， 的长为． 13．如图，在矩形中，以B为圆心，为半径画弧交于点C，连接，，的面积为1，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留π和根号） 【答案】 【分析】根据题意求得是等腰直角三角形，求得，，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ．， ，的面积为1， ， ， 是等腰直角三角形， ， ∴， ， ， ∴图中阴影部分的面积． 14．用半径为，圆心角为的扇形纸板，做一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的侧面积是________． 【答案】 【分析】扇形半径直接作为圆锥母线，直接代入扇形面积公式，得到圆锥侧面积． 【详解】解：由题意可知，扇形纸板的半径就是圆锥的母线长，即，圆心角． ∵圆锥的侧面积等于扇形纸板的面积． ∴． 15．如图，将半径为的圆形纸板，沿着边长分别为和的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置，圆心所经过的路线长度是______（）． 【答案】68.56 【分析】通过观察可以发现圆转动时四个角上各转动了个圆，利用弧长公式即可计算，然后再加上矩形的周长即可． 【详解】解： 答：圆心所经过的路线长度是． 16．光明灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径、分别为、，． (1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），需要多长的花边？ (2)求灯罩的侧面积（接缝不计）．（以上计算结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别求劣的长与劣的长，进而即可求解； （2）分别求出小扇形和小扇形的面积，进而即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，劣的长， 劣的长， ∴花边的长度为； （2）解：由题意得，， ， ∴ ． 17．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于x轴对称的； (2)请画出绕点B逆时针旋转后的； (3)求出（2）中点C所经过的路径长． 【答案】(1)解：如图所示即为所作， (2)解：如图所示即为所作， (3) 【分析】（1）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，则可得点的坐标，据此作图即可； （2）根据旋转的特点作图即可； （3）利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由题意得，． 点C所经过的路径长为． 18．如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题： (1)的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用同弧所对圆周角相等得到，再由是的直径得，最后通过直角三角形两锐角互余计算出度数； （2）先根据直径长度得到圆半径，借助直角三角形性质与勾股定理、垂径定理求出底边和高，再依据圆周角定理得出，最后由算出阴影部分面积． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，过点作于点， ∵是的直径，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ 即阴影部分的面积为． 19．如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，连接，求图中阴影部分的面积．（用含的式子表示运算结果） 【答案】(1)证明：如图，连接． 为的直径， ． ． 又， ． (2)阴影部分的面积为 【分析】（1）连接．利用直径对的圆周角是直角及等腰三角形三线合一的性质即可证明； （2）连接．由题意可求得的半径及的度数，的长度，由即可求解． 【详解】（1）解：略 （2）解：如图，连接． 为的直径， ． ，， ，，． 在中，， ． ， 即阴影部分的面积为． 20．在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组尚未完成的活动报告． 主题 求生活中的圆弧长 研究内容 本次活动选取学校的铅球场地，将场地的一部分抽象为扇形（如图1所示），已知扇形所在圆的半径于点，，用不同的方案分别求的长． 工具 软尺（长度足够）、测角仪（可测量角度的大小）等 研究方案与实践成果 方案一 方案二 方案三 用软尺直接测量的长． 测量数据： 第一次 第二次 用测角仪测角，利用弧长公式计算的长． 测量数据： 查阅文献，发现北宋沈括的《梦溪笔谈》中收录了近似计算圆弧长度的“会圆术”．图1中，弧长． 测量数据： 反思应用 取两次测量结果的平均数，则． 利用弧长公式，…… 根据“会圆术”，…… ①方案一可通过____________的方法减少误差； ②我们可以利用上面的活动经验解决一些生活中的问题． 如图2所示，公园里一座桥的主桥拱是圆弧形，已知其跨度为，拱高为，虽然弧长和圆心角不方便测量，但可以通过计算近似得出． 计算过程如下：…… 请你帮助该小组完成活动报告，具体如下： (1)写出“反思应用”①中减少误差的方法；（写出一种方法即可） (2)分别利用方案二（结果保留）和方案三计算的长； (3)求图2中弧长和圆心角．（取3.1） 【答案】(1)多次测量取平均值 (2)方案二弧长为；方案三弧长为 (3)， 【分析】（1）方案一可通过多次测量取平均值的方法减少误差； （2）方案二利用弧长公式求解即可，方案三代入已知数据求解即可； （3）先由垂径定理以及勾股定理求解，再由“会圆术”求解弧长，最后根据弧长公式求解圆心角的度数即可． 【详解】（1）解：方案一可通过多次测量取平均值的方法减少误差； （2）解：方案二：的长； 方案三：∵，，， ∴； （3）解：∵， ∴ 在中，由勾股定理得，， ∴ 解得 由“会圆术”可得，， 设的度数为，则由得，， 解得 【复盘笔记】 第 2 页 共 69 页 第 1 页 共 69 页 学科网（北京）股份有限公司 $