29.3 弧长和扇形面积 讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“弧长和扇形面积”核心知识点，系统梳理弧长公式、扇形面积公式的推导过程，延伸至弓形面积计算，衔接圆锥母线、高的关系及侧面积公式，构建从基础公式到实际应用的学习支架。 资料通过“公式推导+例题解析+试题专炼”设计，突出数学思维培养，如结合“不倒翁”切线求弧长、蒙古包搭建计算毛毡面积，引导学生用数学眼光观察现实问题，用数学语言表达计算过程。课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

29.3 弧长和扇形面积 课节学习目标 1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程。 2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算。 3.体会圆锥侧面积的探索过程。会求圆锥的侧面积，并能解决一些简单的实际问题。 课节知识点解读 知识点1. 与弧长相关的计算 扇形的弧长l=； 注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的. 知识点2. 与扇形面积相关的计算 （1）扇形的定义：圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形. 如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB. （2）扇形的面积S==．扇形的面积与圆心角、半径有关. 知识点3. 弓形的面积公式 S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形 知识小结： 知识点4. 圆锥 1.圆锥及相关概念 （1）圆锥的母线：我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线叫做圆锥的母线．圆锥有无数条母线，它们都相等． （2）圆锥的高：从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高． 注意：如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长, l表示圆锥的母线长,那么r、h、l 之间数量关系是：r2+h2=l2 2.圆锥的侧面展开图 圆锥的侧面展开图是扇形。 （1） 其侧面展开图扇形的半径=母线的长l （2）侧面展开图扇形的弧长=底面周长 C=2πr， （3）圆锥的侧面积计算公式(r表示圆锥底面的半径, l 表示圆锥的母线长 ) （4） 圆锥的全面积计算公式 S圆锥全＝侧面积＋底面圆面积=πrl＋πr2． 温馨提醒：求阴影部分面积的几种常见方法： （1）公式法； （2）割补法； （3）拼凑法； （4）等积变形构造方程法； （5）去重法． 重点说明： 1.用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的. 2.扇形面积公式 ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的； ②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）. 课节知识点例题讲析 【例题1】圆心角为，半径为3的扇形弧长为（ ） A. B. C. D. 【例题2】某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 【例题3】如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交弧AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D，若OA＝2，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．+ D． 【例题4】已知圆锥的高为8，母线长为10，则其侧面展开图的面积为_______． 【例题5】如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（ ） A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2 深化对课节知识点理解的试题专炼 1. 如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是，则这个圆锥的底面半径是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（ ） A. B. C. D. 3．某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为O，点C，D分别在OA，OB上．已知消防车道半径OC＝12m，消防车道宽AC＝4m，∠AOB＝120°，则弯道外边缘的长为（　　） A．8πm B．4πm C．πm D．πm 4. 一个扇形的面积为，半径为，则此扇形的圆心角是_____度． 5．如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是 　　．（结果保留π） 6．如图，圆锥的高是4，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则圆锥的侧面积是 　　（结果保留π）． 7. 如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为_______．（结果保留） 8．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆半径为__________． 9.蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为35m2，高为3.5m，外围高为1.5m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（精确到1m2）？ 29.3弧长和扇形面积 课节学习目标 1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程。 2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算。 3.体会圆锥侧面积的探索过程。会求圆锥的侧面积，并能解决一些简单的实际问题。 课节知识点解读 知识点1. 与弧长相关的计算 扇形的弧长l=； 注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的. 知识点2. 与扇形面积相关的计算 （1）扇形的定义：圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形. 如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB. （2）扇形的面积S==．扇形的面积与圆心角、半径有关. 知识点3. 弓形的面积公式 S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形 知识小结： 知识点4. 圆锥 1.圆锥及相关概念 （1）圆锥的母线：我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线叫做圆锥的母线．圆锥有无数条母线，它们都相等． （2）圆锥的高：从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高． 注意：如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长, l表示圆锥的母线长,那么r、h、l 之间数量关系是：r2+h2=l2 2.圆锥的侧面展开图 圆锥的侧面展开图是扇形。 （2） 其侧面展开图扇形的半径=母线的长l （2）侧面展开图扇形的弧长=底面周长 C=2πr， （3）圆锥的侧面积计算公式(r表示圆锥底面的半径, l 表示圆锥的母线长 ) （5） 圆锥的全面积计算公式 S圆锥全＝侧面积＋底面圆面积=πrl＋πr2． 温馨提醒：求阴影部分面积的几种常见方法： （1）公式法； （2）割补法； （3）拼凑法； （4）等积变形构造方程法； （5）去重法． 重点说明： 1.用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的. 2.扇形面积公式 ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的； ②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）. 课节知识点例题讲析 【例题1】圆心角为，半径为3的扇形弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据弧长公式（弧长为l，圆心角度数为n，圆半径为r），由此计算即可． 该扇形的弧长， 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形的弧长计算公式（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），正确记忆弧长公式是解答此题的关键． 【例题2】某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 【答案】A 【解析】如图，根据切线的性质可得，根据四边形内角和可得的角度，进而可得所对的圆心角，根据弧长公式进行计算即可求解．如图， PA，PB分别与所在圆相切于点A，B． ， ∠P＝40°， ， 该圆半径是9cm， cm． 【点睛】本题考查了切线的性质，求弧长，牢记弧长公式是解题的关键． 【例题3】如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交弧AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D，若OA＝2，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．+ D． 【答案】C 【解析】连接OE、AE， ∵点C为OA的中点， ∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°， ∴△AEO为等边三角形， ∴S扇形AOE＝＝π， ∴S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE） ＝﹣﹣（π﹣×1×） ＝π﹣π+ ＝+． 【例题4】已知圆锥的高为8，母线长为10，则其侧面展开图的面积为_______． 【答案】60πcm2 【解析】利用勾股定理易得圆锥的底面半径，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2． 圆锥的高为8cm，母线长为10cm，由勾股定理得，底面半径=6cm，底面周长=12πcm， 侧面展开图的面积=×12π×10=60πcm2． 【点睛】本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解． 【例题5】如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（ ） A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2 【答案】C 【解析】【分析】先利用勾股定理计算出AC=25cm，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则可根据扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积． 【详解】在中， cm， ∴它侧面展开图的面积是cm2． 故选：C 【点睛】本题考查了圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键． 深化对课节知识点理解的试题专炼 1. 如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是，则这个圆锥的底面半径是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】根据圆锥侧面积公式，进行计算即可求解． 设这个圆锥的底面半径是，依题意， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了求圆锥底面半径，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键． 2. 如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据底面周长等于的长，即可求解． 依题意，的长， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图的弧长，熟练掌握圆锥底面周长等于的长是解题的关键． 3．某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为O，点C，D分别在OA，OB上．已知消防车道半径OC＝12m，消防车道宽AC＝4m，∠AOB＝120°，则弯道外边缘的长为（　　） A．8πm B．4πm C．πm D．πm 【答案】C 【解析】根据线段的和差得到OA＝OC+AC，然后根据弧长公式即可得到结论． ∵OC＝12m，AC＝4m， ∴OA＝OC+AC＝12+4＝16（m）， ∵∠AOB＝120°， ∴弯道外边缘的长为：＝（m）． 4. 一个扇形的面积为，半径为，则此扇形的圆心角是_____度． 【答案】70 【解析】设扇形的圆心角是 ，根据扇形的面积公式即可得到一个关于n的方程，解方程即可求解． 设扇形的圆心角是，根据扇形的面积公式得： 解得n=70． 故答案是：． 【点睛】此题主要考查扇形的面积公式，解题的关键是熟知扇形的面积公式的运用. 5．如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是 　　．（结果保留π） 【答案】π﹣． 【解析】由∠C＝45°根据圆周角定理得出∠AOB＝90°，根据S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB可得出结论． ∵∠C＝45°， ∴∠AOB＝90°， ∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB ＝ ＝π﹣． 6．如图，圆锥的高是4，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则圆锥的侧面积是 　　（结果保留π）． 【答案】6π． 【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l， 根据题意得：2πr＝， 解得：l＝3r， ∵高为4， ∴r2+42＝（3r）2， 解得：r＝， ∴母线长为3， ∴圆锥的侧面积为πrl＝π××3＝6π． 7. 如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为_______．（结果保留） 【答案】 【解析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，由扇形面积公式代值求解即可得到答案． 圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为， 烟囱帽的侧面积（）， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥侧面展开图及扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解决问题的关键． 8．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆半径为__________． 【答案】2 【解析】结合题意，根据弧长公式，得圆锥的底面圆周长；再根据圆形周长的性质计算，即可得到答案． ∵母线长为，扇形的圆心角 ∴圆锥的底面圆周长 ∴圆锥的底面圆半径 9.蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为35m2，高为3.5m，外围高为1.5m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（精确到1m2）？ 【答案】见解析。 【解析】如图是一个蒙古包示意图． 根据题意，下部圆柱的底面积为35m2，高为1.5m；上部圆锥的高为3.5－1.5=2（m）． 圆柱的底面积半径为 侧面积为2π×3.34×1.5≈31.46（平方米）， 圆锥的母线长为 侧面展开扇形的弧长为 圆锥的侧面积为 20×（31.46+40.81）≈1446（平方米）． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $