第三章 函数的概念与性质单元练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 函数的概念与性质单元卷，45分钟105分，覆盖定义域、奇偶性、单调性等核心知识，通过基础题与创新题（如曼哈顿距离）结合，适配单元复习，培养数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|7/35|定义域、分段函数求值、奇偶性|结合骑行情境考函数图像，体现数学眼光| |多选|2/12|定义域、值域、抽象函数|多选项设计考查逻辑推理，发展数学思维| |填空|3/15|分段函数零点、二次函数单调性|存在性问题强化数学语言表达| |解答|3/43|函数求值与解析式、奇函数性质、抽象函数单调性|分层设问，综合考查概念应用与推理能力|

函数的概念与性质单元练习 (时间:45分钟　分值:105分) 一、选择题:本题共7小题,每小题5分,共35分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.函数f(x)=的定义域是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.(-∞,4] B.(0,1)∪(1,4] C.(-∞,1)∪(1,4] D.(-∞,1)∪(1,4) 2.已知函数f(x)=则f[f(-1)]= (　 ) A.2 B.1 C.0 D.-1 3.若函数f(x)=x2+ax+1是定义在(-b,2b-2)上的偶函数,则f= (　 ) A. B. C. D.2 4.[2026·河南漯河中学高一月考] 周末某同学骑行共享单车匀速由学校前往某地游玩,前进α km,疲惫不堪,休息半小时后,沿原路返回,归途中又觉得不能半途而废,便调转车头继续向该地方向前进,则该同学到起点(学校)的距离s与时间t的函数图象大致为 (　 ) A B C D 5.若定义在R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,且f(3)=0,则不等式≤0的解集为 (　 ) A.(-3,-1]∪(3,5] B.(-3,-1)∪(3,5) C.(-∞,-1]∪[5,+∞) D.[-3,-1]∪[5,+∞) 6.已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数,若对任意x∈(0,+∞),都有f=2,则f= (　 ) A. B.2025 C.2026 D.2027 7.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇,用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和,其定义如下:在平面直角坐标系上任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)的曼哈顿距离d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|,若点M(2,1),点P是直线y=2x+5上的动点,则d(M,P)的最小值为 (　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 8.[2026·江苏常州高一期中] 给出以下四个说法,其中正确的是 (　 ) A.若函数f(x)的定义域为[0,2],则函数f(2x-2)的定义域为[1,2] B.函数y=x2+2x的值域为(0,+∞) C.函数f(x)=x2的定义域A⊆R,值域B={4},则满足条件的f(x)有3个 D.若函数f=x2+,且f(m)=4,则实数m的值为 9.已知f(x)是R上不恒为零的函数,且对任意x,y∈R都有f(xy)=xf(y)+yf(x),则下列说法正确的是 (　 ) A.f(1)=1 B.f(x)是奇函数 C.若f=-,则f(2)=2 D.若当0<x<1时,f(x)>0,则g(x)=在(0,1)上单调递减 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 10.已知f(x)=若f(x)=0,则x=　　　　　.  11.已知二次函数f(x)=kx2-2x+3在[2,3]上具有单调性,则实数k的取值范围为　　　　.  12.已知函数f(x)=x2+2和函数g(x)=-x-a,若对任意的x1∈[2,4],总存在x2∈[0,1],使得g(x2)<f(x1)成立,则实数a的取值范围是　　　　.  四、解答题:本题共3小题,共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13.(13分)[2026·黑龙江绥化高一期中] 已知f(x)=(x≠2),g(x)=x+4. (1)求f(1),g(1)的值; (2)求f[g(1)]的值; (3)求g[f(x)]的解析式. 14.(15分)已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且当x∈(0,1]时,f(x)=x2+2x+3. (1)求f(x)的解析式; (2)求f(x)的值域. 15.(15分)已知定义在(-1,1)上的函数f(x)满足对任意x,y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f且当x∈(-1,0)时,f(x)>0. (1)判断函数f(x)的奇偶性并用定义证明; (2)判断函数f(x)在(-1,1)上的单调性,并用定义证明; (3)解不等式f(x+1)+f>0. 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的概念与性质单元练习 1.C　[解析] 由题知可得x≤4且x≠1,故f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,4].故选C. 2.A　[解析] 因为f(x)=所以f(-1)=1,则f[f(-1)]=f(1)=2.故选A. 3.D　[解析] 因为函数f(x)=x2+ax+1是定义在(-b,2b-2)上的偶函数,所以-b+2b-2=b-2=0,解得b=2,所以f(-x)=x2-ax+1=x2+ax+1,所以a=0,所以f(x)=x2+1,所以f=f(1)=12+1=2.故选D. 4.C　[解析] 第一段时间,该同学骑行共享单车由学校往目的地方向匀速骑行,前进了α km,则该同学离起点的距离s与时间t的函数图象应是一段上升的线段;第二段时间,休息了半小时,随时间变化,该同学离起点的距离并没有发生变化,因此该同学离起点的距离s与时间t的函数图象应是一条平行于x轴的线段;第三段时间,原路返回,其距离起点应越来越近,因此该同学离起点的距离s与时间t的函数图象应是一段下降的线段;第四段时间,调转车头继续向漯湾古镇方向前进,该部分对应的图象和第一段时间的图象相似.故选C. 5.A　[解析] 因为定义在R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,且f(3)=0,所以f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,且f(-3)=0,由≤0,得或即或解得3<x≤5或-3<x≤-1.综上所述,不等式的解集为(-3,-1]∪(3,5].故选A. 6.D　[解析] 令f(x)-=t>0,则f(t)=2,f(x)=+t,所以f(t)=+t=2,可得t=1,所以f(x)=+1,所以f=+1=2026+1=2027.故选D. 7.C　[解析] 设P(a,2a+5),由定义可知d(M,P)=|a-2|+|2a+5-1|=|a-2|+|2a+4|=当a<-2时,d(M,P)>4,当-2≤a≤2时,4≤d(M,P)≤8,当a>2时,d(M,P)>8,所以d(M,P)的最小值为4.故选C. 8.AC　[解析] 对于A,因为函数f(x)的定义域为[0,2],所以0≤2x-2≤2,解得1≤x≤2,故A正确;对于B,函数y=x2+2x=(x+1)2-1≥-1,则函数y=x2+2x的值域为[-1,+∞),故B错误;对于C,由x2=4,解得x=±2,所以f(x)的定义域A={2},{-2}或{2,-2},故C正确;对于D,令t=x+,则t≥2或t≤-2,则t2=x2++2,x2+=t2-2,所以f(t)=t2-2(t≥2或t≤-2),则f(m)=m2-2=4,解得m=±,故D错误.故选AC. 9.BCD　[解析] 令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0,故A错误;令x=y=-1,得f(1)=-f(-1)-f(-1),所以f(-1)=0,令y=-1,得f(-x)=-f(x)+xf(-1),又f(-1)=0,所以f(-x)=-f(x),又f(x)的定义域为R,所以函数f(x)是奇函数,故B正确;令x=2,y=,得f(1)=2f+f(2),又f(1)=0,f=-,所以f(2)=2,故C正确;当x,y≠0时,由f(xy)=yf(x)+xf(y),可得=+,又因为g(x)=,所以g(xy)=g(x)+g(y),在(0,1)上任取x1,x2,不妨设x1>x2,则g(x1)-g(x2)=g(x1)-g=g(x1)-g(x1)-g=-g,因为0<x2<x1,所以0<<1,所以g=>0,所以-g<0,即g(x1)<g(x2),所以g(x)=在(0,1)上单调递减,故D正确.故选BCD. 10.-2或0　[解析] 依题意,得或或解得x=-2或x=0. 11.(-∞,0)∪∪　[解析] f(x)的图象的对称轴方程为x=(k≠0).因为二次函数f(x)=kx2-2x+3在[2,3]上具有单调性,所以≥3或≤2,解得k<0或0<k≤或k≥.故实数k的取值范围为(-∞,0)∪∪. 12.(-7,+∞)　[解析] 因为f(x)=x2+2的图象开口向上,对称轴方程为x=0,所以f(x)在[2,4]上单调递增,所以f(x)在[2,4]上的最小值为f(2)=6.因为g(x)=-x-a在[0,1]上单调递减,所以g(x)在[0,1]上的最小值为g(1)=-1-a.因为对任意的x1∈[2,4],总存在x2∈[0,1],使得g(x2)<f(x1)成立,所以-1-a<6,解得a>-7,所以a的取值范围为(-7,+∞). 13.解:(1)因为f(x)=(x≠2),g(x)=x+4, 所以f(1)==1,g(1)=1+4=5. (2)由(1)知g(1)=5,所以f[g(1)]=f(5)==-. (3)因为f(x)=(x≠2),g(x)=x+4, 所以g[f(x)]=g=+4(x≠2). 14.解:(1)因为f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数, 所以f(x)=-f(-x),则f(0)=-f(0),得f(0)=0, 当x∈[-1,0),-x∈(0,1], f(x)=-f(-x)=-(x2-2x+3)=-x2+2x-3, 所以f(x)= (2)因为f(x)=-x2+2x-3=-(x-1)2-2在[-1,0)上单调递增, 所以f(x)在[-1,0)上的取值范围为[-6,-3); 因为f(x)=x2+2x+3=(x+1)2+2在(0,1]上单调递增,所以f(x)在(0,1]上的取值范围为(3,6]. 又因为f(0)=0,所以f(x)的值域为[-6,-3)∪{0}∪(3,6]. 15.解:(1)函数f(x)是奇函数,证明如下: 令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0),解得f(0)=0, 令x∈(-1,1),则-x∈(-1,1), 令y=-x,则f(x)+f(-x)=f=f(0)=0. ∴f(x)为定义在(-1,1)上的奇函数. (2)函数f(x)在(-1,1)上单调递减,证明如下: 设-1<x1<x2<1,则-x2∈(-1,1), ∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f, ∵-1<x1<x2<1,∴1-x1x2>0,∴<0. 又-(-1)==>0,∴-1<<0, ∵当x∈(-1,0)时,f(x)>0,∴f>0, ∴f(x1)+f(-x2)>0,即f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),∴f(x)在(-1,1)上单调递减. (3)由f(x+1)+f>0,得f(x+1)>-f=f, ∵f(x)的定义域为(-1,1)且在(-1,1)上单调递减, ∴解得-2<x<-, ∴不等式的解集为(-2,-). 学科网（北京）股份有限公司 $