第三章函数的概念与性质 单元试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学人教A版必修一第三章函数的概念与性质单元卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，覆盖定义域、单调性、奇偶性等核心知识点，结合嘉兴粽子销售等实际情境，培养数学眼光、思维与语言，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|定义域（1、2题）、函数模型应用（3题）、幂函数奇偶性（8题）|第3题以嘉兴粽子销售为情境，体现数学应用意识| |多选题|3|幂函数性质（9题）、奇函数单调性与不等式（10题）|第10题结合奇函数单调性解不等式，考查逻辑推理| |填空题|3|值域（13题）、幂函数不等式（14题）|第14题通过幂函数图象求不等式解集，强化几何直观| |解答题|5|单调性证明（15题）、幂函数综合（16、17题）|15题定义法证明单调性，17题结合单调性与奇偶性求范围，分层考查数学思维与表达|

高中数学人教A版必修一第三章函数的概念与性质 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B C A B C BD BC 题号 11 答案 BC 1．C 【分析】利用根式和分式有意义列式求解即可. 【详解】由题意可得解得且， 故的定义域为且， 故选：C 2．D 【分析】根据根式函数和分式函数的定义域求法求解. 【详解】由解得且， 所以的定义域为. 故选：D 3．B 【分析】通过设售价提高的金额，建立收入的二次函数模型，利用二次函数的性质求最大值. 【详解】设每个肉粽的售价提高元，则售价为元，日销售量为个. 收入. 因为二次函数开口向下，当时，取得最大值. 此时最大收入为元. 故选：B 4．B 【分析】根据同一函数定义可知两函数定义域相同、化简后的解析式相同，逐个选项判断即可. 【详解】函数的定义域为，对应关系为 的定义域为，但对应关系不同，A错误； ，且定义域为，因为定义域与对应关系均相同，所以为同一函数，B正确； 的定义域为，C错误； 的定义域为，即或，D错误． 故选：B. 5．C 【分析】根据指数性质化简，构造函数，根据单调性比较大小. 【详解】，，对于幂函数， 因为指数，故在上单调递增，又，所以． 故选：C. 6．A 【分析】首先判断函数的奇偶性，根据奇偶性排除B，再根据即可排成CD，从而得到答案． 【详解】∵的定义域为，关于原点对称， 且， ∴为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B； 又，故排除选项D； 又，故排除选项C； 故选：A． 7．B 【分析】将函数解析式变形为，可得其在上的单调性，利用单调性求出最值. 【详解】因为， 由反比例函数性质可得在上单调递增， 当时，，当时，. 故选：B. 8．C 【分析】根据幂函数的定义以及奇函数的性质求解即可. 【详解】是幂函数，所以,解得或； 当时，是定义在上的偶函数，不满足题意； 当时，是定义在上的奇函数，满足题意； 故选：C 9．BD 【分析】根据幂函数的概念和性质逐项判断即可. 【详解】幂函数的图象不过点，A说法错误； 当幂函数在区间上单调递减时，，B说法正确； 对于幂函数，无奇偶性，C说法错误； 任何幂函数的图象都不经过第四象限，D说法正确； 故选：BD 10．BC 【分析】由题意可得在是减函数，再通过讨论和，可得不等式的解集. 【详解】由题意可得在上单调递减，在上是减函数，且，再讨论和，可得不等式的解集. 由定义在上的奇函数在上单调递减， 可得在上是减函数； 又， 不等式，等价为或， 所以时，即有，解得； 时，即有，解得； 综上可得的解集为. 故选：BC. 11．BC 【分析】首先求出函数的解析式，根据解析式即可判断A，根据函数的奇偶性可判断B，根据函数的单调性可判断C，证明即可判断D. 【详解】因为函数经过，即，所以函数解析式为， 当时，，所以函数经过，故A正确； 为奇函数不为偶函数，图像关于原点对称，故B错误； 在和单调递减，故C错误； 当时，， 故恒成立，故D正确. 故选：BC 12．或． 【分析】根据偶次方根被开方数大于等于零，分母不为零，零次方底数非零即可求解. 【详解】 由题知，，即， 解得， 故函数的定义域为或． 故答案为：或． 13． 【分析】根据函数在上的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上恒正且单调递增，则在上单调递减， 所以，故的值域为． 故答案为：. 14． 【分析】求出幂函数解析式，利用幂函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】设幂函数为，代入可得， 即，解得，所以， 由函数在上单调递增，得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 15．(1)单调递增，证明见解析； (2)最大值为，最小值为1. 【分析】（1）在上任取两个数，且，计算与0的大小，利用单调性定义得解； （2）由（1）的结论可知为最小值，为最大值，利用求出和，即得函数在区间上的最大值和最小值. 【详解】（1）在上任取两个数，且， ，，， ， ，，， ，，在区间上单调递增. （2）在区间上单调递增， 在区间上为增函数， 在时，取最小值，且最小值为， 在时，取最大值，且最大值为. 16．(1) (2)证明:由（1）可知，，则， 任取，，且， 则 . 因为，所以，， 则，，所以， 则， 所以， 则，即， 故在上单调递增. 【分析】（1）根据幂函数定义列出方程，解得m，将m的值代入检验，得出符合题意的函数解析式； （2）由（1）可知，，利用单调性的定义证明在上的单调性即可. 【详解】（1）因为为幂函数，所以，解得或. 当时，，定义域为R，关于原点对称， 显然成立，故为奇函数，其图象关于原点对称，所以不符合题意； 当时，， 此时的定义域为，不关于原点对称， 故不是奇函数，其图象不关于原点对称，所以符合题意. 故. （2）略. 17．(1)为奇函数． (2) 【分析】（1）由幂函数的定义可得，结合单调性解出的值，然后根据奇偶性定义判断奇偶性. （2）由（1）得,由定义域和单调性可得答案. 【详解】（1）由幂函数的定义得， 解得或，又由幂函数在区间上单调递减得指数，即， 故，则， 又为奇函数． （2）由（1）得，因为函数在区间和上单调递减， 当时，无解，舍去； 当时，解得； 当时，解得． 综上，的取值范围是． 18．(1) (2)在区间和和上分别单调递减 【分析】（1）直接根据题意代入求值即可； （2）根据定义法判断函数的单调性即可. 【详解】（1）因为，所以，则， 故． （2）易得的定义域为，， 则， ①当时，， 则，即， 故在区间上单调递减； ②当时，， 则，即， 故在区间单调递减， ③当时，， 则，即， 故在区间单调递减， 综上，在区间和和和上分别单调递减． 19．（1），；（2）或；（3），. 【分析】（1）利用换元法求函数的解析式； （2）利用待定系数法求函数的解析式； （3）用代替，构造函数方程，求函数的解析式. 【详解】（1）设，则，，且， 所以，. 用代替，得：，. （2）因为为一次函数，可设，. 所以， 又， 所以或. 所以或. （3）因为① 用代替，得② ①②得：，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版必修一第三章函数的概念与性质 一、单选题 1．函数的定义域是（   ） A． B． C．且 D．且 2．函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 3．嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（   ） A．440元 B．450元 C．460元 D．470元 4．下列函数中，与函数是同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   7．函数在区间上的最大值､最小值分别为（    ） A．最大值为，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 8．已知幂函数是定义在上的奇函数，则的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．所有幂函数的图象均过点 B．若幂函数在区间上单调递减，则 C．幂函数一定具有奇偶性 D．任何幂函数的图象都不经过第四象限 10．定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围有（   ）. A． B． C． D． 11．已知函数的图象经过点，则下列结论错误的是（    ） A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称 C．在定义域上为减函数 D．当时，恒成立 三、填空题 12．函数的定义域为______． 13．函数在区间上的值域为_______． 14．已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是________. 四、解答题 15．已知函数. (1)判断在区间上的单调性并用定义法证明； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 16．已知幂函数的图象不关于原点对称. (1)求函数的解析式； (2)设函数，用单调性的定义证明：在上单调递增. 17．已知幂函数在区间上单调递减． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 18．已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 19．（1）已知，求的解析式． （2）已知是一次函数，并且，求． （3）函数满足方程，且，求． 学科网（北京）股份有限公司 $