第三章 函数的概念与性质单元试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学函数概念与性质单元测试，覆盖定义域、奇偶性、单调性等核心知识点，通过选择、多选、解答题等多样题型，分层考查数学抽象、逻辑推理能力，适配单元复习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|函数定义、定义域、奇偶性|基础辨析，如同一函数判断| |多选题|3/18|单调性、定义域|多选项区分能力，如单调区间判断| |填空题|3/15|解析式求法、分段函数|简洁考查运算能力，如一次函数解析式| |解答题|5/77|奇偶性证明、抽象函数|综合应用，如抽象函数单调性证明，体现逻辑推理|

函数的概念与性质单元测试 时间120分钟 总分：150分 姓名： 得分： 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）. 1.下列各组函数表示同一函数的是（　　） A．f（x）＝x+1，g（x） B．f（x）＝1，g（x）＝x0 C． D．f（x）g（t）＝|t| 解：要判断两个函数是否是同一个函数，需要从三个方面来分析，即定义域，对应法则和值域，A选项两个函数的定义域不同，B选项两个函数的定义域不同，C选项两个函数的定义域不同。故选：D． 2.函数y＝的定义域为(　　) A. B. C. D. 解：由题意得：，解得：≤x≤，所以函数y＝的定义域为.故选：B. 3.已知函数f(x)＝ax3＋bx(a≠0)满足f(－3)＝3，则f(3)等于(　　) A．2 B．－2 C．－3 D．3 解：∵f(－x)＝a(－x)3＋b(－x)＝－(ax3＋bx)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数，∴f(3)＝－f(－3)＝－3.故选：C. 4.已知函数y＝f（x）的定义域为[﹣2，3]，则函数的定义域为（　　） A． B． C．[﹣3，7] D．[﹣3，﹣1）∪（﹣1，7] 解：由题意得，，解得，且x≠﹣1．故选：B． 5.若函数f(x)＝x3(x∈R)，则函数y＝f(－x)在其定义域上是(　　) A．单调递减的奇函数 B．单调递增的偶函数 C．单调递减的偶函数 D．单调递增的奇函数 解：方法一　(数形结合法)：先画出f(x)＝x3的图象，再将其关于y轴对称，得到y＝f(－x)的图象如图，由图象得y＝f(－x)为减函数，由图象关于原点对称得f(－x)为奇函数． 方法二　(直接法)：因为f(x)＝x3，所以f(－x)＝－x3，所以y＝－x3是单调递减的奇函数． 故选：A. 6.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上为增函数，，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 解：f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上为增函数，， 由此画出f（x）的大致图象，如下： 将f（x）的图象向右平移1个单位，得到f（x﹣1）的图象， 则不等式，化为或， 结合图象，可得解集为：（﹣∞，0）∪．故选：B． 7.若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（3）＝0，则不等式（x﹣1）f（x）＞ 0的解集是（　　） A．（﹣3，1）∪（3，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） 解：根据题意，偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，则其在[0，+∞）上为增函数， 又由f（3）＝0，则f（﹣3）＝0， 由图象知当x＜﹣3或x＞3时，f（x）＞0；当﹣3＜x＜3时，f（x）＜0， （x﹣1）f（x）＞0等价为或，即或， 得x＞3或﹣3＜x＜1综合可得：不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（﹣3，1）∪（3，+∞）； 故选：A． 8.已知函数，满足：对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时， 都有成立，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，2] B． C． D．[﹣1，2] 解：根据题意，令g（x）＝f（x）﹣x， 对于任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，都有成立， 变形可得， 即0，则函数g（x）在R上是增函数， 又由， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是．故选：C． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9.（多选）若函数的定义域为R，则实数m可以是（　　） A．0 B．3 C．6 D．8 解：函数的定义域为R，则对任意x∈R，2mx2﹣mx+1＞0恒成立， 当m＝0时，则1＞0恒成立，当m≠0时，则，解得0＜m＜8， 综上所述，实数m取值范围是[0，8）．故选：ABC． 10.（多选）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，+∞） B．f（x）在[﹣1，0]上的值域为[2﹣a，1] C．若f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，则a＜1 D．若a＞1，则f（x）在定义域上单调递增 解：因为，对于A，由x+2≠0，得x≠﹣2， 则f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，+∞），故A正确； 对于B，，由x∈[﹣1，0]，可得x+2∈[1，2]，则， 当a＝1时，f（x）＝a，则f（x）在[﹣1，0]上的值域为{1}； 当a＜1时，，， 即f（x）在[﹣1，0]上的值域为[1，2﹣a]； 当a＞1时，，， 即f（x）在[﹣1，0]上的值域为[2﹣a，1]． 综上，当a＝1时，f（x）在[﹣1，0]上的值域为{1}； 当a＜1时，f（x）在[﹣1，0]上的值域为[1，2﹣a]； 当a＞1时，f（x）在[﹣1，0]上的值域为[2﹣a，1]，故B错误； 对于C，，若f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，则2﹣2a＞0，解得a＜1，故C正确； 对于D，，则a＞1时，2﹣2a＜0，f（x）在（﹣∞，﹣2）和（﹣2，+∞）上单调递增，故D错误．故选：AC． 11.（多选）定义，若函数f（x）＝max{﹣x2﹣2x，2x}，则下列结 论正确的是（　　） A．f（﹣5）＝﹣10 B．若直线y＝t与y＝f（x）的图象有2个交点，则t＝1 C．f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递增 D．f（x）在区间[m，n]上的值域为[0，1]，则n﹣m的最大值为，最小值为 解：令2x≥﹣x2﹣2x，则x≤﹣4或x≥0，令2x＜﹣x2﹣2x，则﹣4＜x＜0， 即． A选项，f（﹣5）＝2×（﹣5）＝﹣10，故A正确． B选项，画出函数y＝f（x）的图象，当直线y＝t与y＝f（x）的图象有2个交点，则t＝1或t＝0，故B错误； C选项，由图可知，函数f（x）在（﹣∞，﹣1）和（0，+∞）上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减，故C正确； D选项，令2x＝1（x＞0），解得；令﹣x2﹣2x＝1（﹣4＜x＜0），解得x＝﹣1， 由图象可知：当时，n﹣m取到最大值为，当时，n﹣m取到最小值为，故D正确．故选：ACD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12.已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）＝2x+17，则函数f（x）的解析 式　 ． 解：由题意设f（x）＝ax+b，（a≠0）． ∵f（x）满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）＝2x+17，∴3[a（x+1）+b]﹣2[a（x﹣1）+b]＝2x+17， 化为ax+（5a+b）＝2x+17，∴，解得．∴f（x）＝2x+7． 故答案为：f（x）＝2x+7． 13.已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是　 ． 解：要使函数在R上为增函数，须有f（x）在（﹣∞，1]上递增，在（1，+∞）上递增， 且，所以有，解得﹣3≤a≤﹣2， 故a的取值范围为[﹣3，﹣2]．故答案为：[﹣3，﹣2]． 14.已知函数f（x﹣1）是定义在[﹣3，3]上的偶函数，且x∈[﹣1，2]时，f（x）＝x2﹣3x+2， 则关于x的不等式的解集为　 ． 解：∵函数f（x﹣1）定义域为[﹣3，3]，∴函数f（x）定义域为[﹣4，2]， ∵函数f（x﹣1）是[﹣3，3]上的偶函数．∴函数f（x﹣1）的对称轴为x＝0， 函数f（x）可以由函数f（x﹣1）向左平移一个单位得到，故函数f（x）对称轴为x＝﹣1， ∴f（﹣1+x）＝f（﹣1﹣x），∴f（x）＝f（﹣x﹣2）， 当﹣4≤x＜﹣1时，有﹣1＜﹣x﹣2≤2， 故此时f（x）＝（﹣x﹣2）2﹣3（﹣x﹣2）+2＝x2+7x+12， 当0＜x≤2时，令，可得x2﹣3x+2≥0，解得0＜x≤1或x＝2， 当﹣1≤x＜0时，令，可得x2﹣3x+2≤0，此时不等式无解， 当﹣4≤x＜﹣1时，令，可得x2+7x+12≤0， 解得﹣4≤x≤﹣3， 综上所述，不等的解集为{x|﹣4≤x≤﹣3或0＜x≤1或x＝2}． 故答案为：{x|﹣4≤x≤﹣3或0＜x≤1或x＝2}． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15.（13分）已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|(x∈R)， （1）证明：函数f(x)是偶函数； （2）利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后画出函数图象； （3）写出函数的值域． 解：（1）证明：由于函数定义域是R， 且f(－x)＝|－x－1|＋|－x＋1| ＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)． ∴f(x)是偶函数． (2)f(x)＝，图象如图所示． (3)由函数图象知，函数的值域为[2，＋∞)． 16.（15分）已知f(x)在R上是单调递减的一次函数，且f(f(x))＝9x－2. （1）求f(x)； （2）求函数y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1，a]上的最大值． 解：（1）由题意可设f(x)＝kx＋b(k<0)， 由于f(f(x))＝9x－2，则k2x＋kb＋b＝9x－2， 故，解得，故f(x)＝－3x＋1. （2）由(1)知，函数y＝－3x＋1＋x2－x ＝x2－4x＋1＝(x－2)2－3， 故函数y＝x2－4x＋1的图象开口向上，对称轴为x＝2， 当－1<a≤5时，y的最大值是6， 当a>5时，y的最大值是a2－4a＋1， 综上，ymax＝. 17.（15分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x． （1）求f（1）的值；并求当x＞0时，f（x）的解析式； （2）若函数g（x）＝f（x）﹣2ax+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最小值． 解：（1）f（1）＝f（﹣1）＝（﹣1）2+2×（﹣1）＝﹣1； 设x＞0，则﹣x＜0，所以f（﹣x）＝x2﹣2x， 因为函数f（x）是定义在R上的偶函数， 所以f（﹣x）＝f（x），则x＞0时，f（x）＝x2﹣2x； （2）当x∈[1，2]时，f（x）＝x2﹣2x， 所以g（x）＝f（x）﹣2ax+2＝x2﹣2（a+1）x+2，对称轴为x＝a+1， 当a+1≤1时，即a≤0时，g（x）min＝g（1）＝1﹣2a； 当1＜a+1≤2时，即0＜a≤1时，； 当a+1＞2时，即a＞1时，g（x）min＝g（2）＝2﹣4a； 综上所述． 18.（17分）已知定义在R上的函数f（x）满足对任意的x，y∈R，f（x+y）＝f（x）+f（y）， 当x＞0时，f（x）＜0，f（2）＝﹣4． （1）求f（﹣2）和f（3）的值． （2）判断f（x）在R上的单调性并证明． （3）求不等式f（x2﹣2x）﹣f（2﹣x）＞4的解集． 解：（1）已知定义在R上的函数f（x）满足对任意的x，y∈R，f（x+y）＝f（x）+f（y）， 当x＞0时，f（x）＜0，f（2）＝﹣4， 令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）+f（0），所以f（0）＝0， 令x＝2，y＝﹣2，得f（0）＝f（2）+f（﹣2），所以f（﹣2）＝﹣f（2）＝4； 令x＝1，y＝1，得f（2）＝f（1）+f（1），所以f（1）＝﹣2， 令x＝2，y＝1，得f（3）＝f（2）+f（1），所以f（3）＝﹣6； （2）f（x）在R上单调递减；设x1＜x2，因为f（x+y）＝f（x）+f（y）， 所以f（x2）＝f（x2﹣x1+x1）＝f（x2﹣x1）+f（x1）， 所以f（x1）﹣f（x2）＝﹣f（x2﹣x1）， 因为x2﹣x1＞0，所以f（x2﹣x1）＜0， 所以f（x1）﹣f（x2）＞0，故f（x）在R上单调递减． （3）由（1）知f（﹣2）＝﹣f（2）＝4， 不等式f（x2﹣2x）﹣f（2﹣x）＞4化为f（x2﹣2x）＞f（2﹣x）+f（﹣2）＝f（﹣x）， 因为f（x）在R上单调递减，所以x2﹣2x＜﹣x， 即x2﹣x＝x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1， 即不等式f（x2﹣2x）﹣f（2﹣x）＞4的解集是（0，1）． 19.（17分）已知函数，． （1）证明：函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，在区间（a，+∞）上单调递增； （2）设h（x）＝f[g（x）]， ①当a＝1时，求h（x）在（﹣1，1）上的最小值； ②若对任意实数r，s，，|h（r）﹣h（s）|＜h（t）恒成立，求实数a的取值范围． 解：（1）证明：函数，在（0，+∞）上任意取x1，x2，设x1＜x2， 则f（x1）﹣f（x2）＝（x1）﹣（x2）＝（x1﹣x2）（x1﹣x2）•， 因为0＜x1＜x2，所以x1﹣x2＞0，x1x2＞0， 当0＜x1a时，x1x2＜a2，所以x1x2﹣a2＜0，此时f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x）在（0，a）上单调递减， 当a＜x1时，x1x2＞a2，所以x1x2﹣a2＞0，此时f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x）在（a，+∞）上单调递增， 即证得函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，在区间（a，+∞）上单调递增； （2）解：①，易知g（x）在（﹣1，1）上单调递减，故g（x）∈（0，+∞）， 令t＝g（x），则，所以，当且仅当，即t＝1时取等号， 故h（x）min＝h（0）＝2； ②因为|h（r）﹣h（s）|＜h（t）恒成立，故h（x）max﹣h（x）min＜h（x）min，即h（x）max＜2h（x）min， 由①知，当时，，令，令， 由（1）知，m（t）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增， 当时，m（t）在上单调递增，故，整理可得， 即或，此时a∈∅． 当时，m（t）在上单调递减，在（a，2）上单调递增， 此时，即，解得， 当a≥2时，m（t）在上单调递减，故， ，故，得，此时a∈∅； 综上，实数a的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的概念与性质单元测试 时间120分钟 总分：150分 姓名： 得分： 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）. 1.下列各组函数表示同一函数的是（　　） A．f（x）＝x+1，g（x） B．f（x）＝1，g（x）＝x0 C． D．f（x）g（t）＝|t| 2.函数y＝的定义域为(　　) A. B. C. D. 3.已知函数f(x)＝ax3＋bx(a≠0)满足f(－3)＝3，则f(3)等于(　　) A．2 B．－2 C．－3 D．3 4.已知函数y＝f（x）的定义域为[﹣2，3]，则函数的定义域为（　　） A． B． C．[﹣3，7] D．[﹣3，﹣1）∪（﹣1，7] 5.若函数f(x)＝x3(x∈R)，则函数y＝f(－x)在其定义域上是(　　) A．单调递减的奇函数 B．单调递增的偶函数 C．单调递减的偶函数 D．单调递增的奇函数 6.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上为增函数，，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 7.若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（3）＝0，则不等式（x﹣1）f（x）＞ 0的解集是（　　） A．（﹣3，1）∪（3，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） 8.已知函数，满足：对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时， 都有成立，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，2] B． C． D．[﹣1，2] 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9.（多选）若函数的定义域为R，则实数m可以是（　　） A．0 B．3 C．6 D．8 10.（多选）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，+∞） B．f（x）在[﹣1，0]上的值域为[2﹣a，1] C．若f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，则a＜1 D．若a＞1，则f（x）在定义域上单调递增 11.（多选）定义，若函数f（x）＝max{﹣x2﹣2x，2x}，则下列结 论正确的是（　　） A．f（﹣5）＝﹣10 B．若直线y＝t与y＝f（x）的图象有2个交点，则t＝1 C．f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递增 D．f（x）在区间[m，n]上的值域为[0，1]，则n﹣m的最大值为，最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12.已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）＝2x+17，则函数f（x）的解析 式　 ． 13.已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是　 ． 14.已知函数f（x﹣1）是定义在[﹣3，3]上的偶函数，且x∈[﹣1，2]时，f（x）＝x2﹣3x+2， 则关于x的不等式的解集为　 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15.（13分）已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|(x∈R)， （1）证明：函数f(x)是偶函数； （2）利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后画出函数图象； （3）写出函数的值域． 16.（15分）已知f(x)在R上是单调递减的一次函数，且f(f(x))＝9x－2. （1）求f(x)； （2）求函数y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1，a]上的最大值． 17.（15分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x． （1）求f（1）的值；并求当x＞0时，f（x）的解析式； （2）若函数g（x）＝f（x）﹣2ax+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最小值． 18.（17分）已知定义在R上的函数f（x）满足对任意的x，y∈R，f（x+y）＝f（x）+f（y）， 当x＞0时，f（x）＜0，f（2）＝﹣4． （1）求f（﹣2）和f（3）的值． （2）判断f（x）在R上的单调性并证明． （3）求不等式f（x2﹣2x）﹣f（2﹣x）＞4的解集． 19.（17分）已知函数，． （1）证明：函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，在区间（a，+∞）上单调递增； （2）设h（x）＝f[g（x）]， ①当a＝1时，求h（x）在（﹣1，1）上的最小值； ②若对任意实数r，s，，|h（r）﹣h（s）|＜h（t）恒成立，求实数a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $