5.5 练习4 二倍角的正弦、余弦、正切公式 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 二倍角公式同步练习，分层设计覆盖基础应用到探究创新，通过“公式直接应用—变形综合—情境探究”路径巩固知识，培养数学运算、推理意识与创新能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一公式直接应用|如已知tanx求tan2x，强化公式记忆与基本运算| |中档|公式变形与简单综合|如结合角范围求sin2θ，涉及符号判断与公式选择| |提升|综合应用与探究创新|如锐角三角形角关系分析、三角恒等式推广，培养逻辑推理与创新意识|

5.5 练习4　二倍角的正弦、余弦、正切公式 1. (2024·江苏南通中学高一月考)sin275°－sin215°的值是(　C　) A. － B. C. D. － 【解析】sin275°－sin215°＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝. 2. 已知tan x＝2，则tan 2x等于(　C　) A. － B. C. － D. 【解析】由tan x＝2，得tan 2x＝＝－. 3. 已知sin θ＝，θ∈，则sin 2θ等于(　C　) A. － B. C. － D. 【解析】∵sin θ＝，且θ∈，∴cos θ＝－，∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝ －. 4. 如图所示，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边为x轴正半轴，P是角α终边上的一点，则cos 2α等于(　C　) A. － B. － C. － D. － 【解析】由题意可得P(－1，2)，得r＝|OP|＝，∴cos α＝ ，则cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－ . 5. 若sin ，cos ＝－，则角α是(　C　) A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【解析】∵sin α＝2sincos＝2××＜0，cos α＝cos2－sin2 ＜0，∴α是第三象限角. 6. 若cos，则sin＝(　A　) A. － B. － C. D. 【解析】sin＝sin＝cos＝cos 2＝ 2cos2 －1＝2×－1＝－. 7. 被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比m＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18°，则等于(　A　) A. 4 B. ＋1 C. 2 D. －1 【解析】∵m＝2sin 18°，∴ ＝4. 8. (多选)下列计算结果中，正确的有　(　ABD　) A. 2cos 15°cos 75°＝ B. ＋2sin215°＝1 C. D. 【解析】对于A，2cos 15°cos 75°＝2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，A正确；对于B，＋2sin215°＝＋1－cos 30°＝＋1－＝1，B正确；对于C，tan 30°＝，C错误；对于D，，D正确. 9. (多选)(2025·海南调研)已知α∈，且cos2α－cos 2α＝，则(　AC　) A. tan α＝－ B. sin 2α＝ C. cos 2α＝ D. tan 2α＝－ 【解析】 cos2α－cos 2α＝cos2α－(cos2α－sin2α)＝sin2α＝，∵α∈， ∴sin α＝，cos α＝－＝－，∴tan α＝＝－，sin 2α＝ 2sin αcos α＝－，cos 2α＝1－2sin2α＝，tan 2α＝＝－. 10. 已知α∈，若2sin 2α＝cos 2α＋1，则cos α＝　－　.   【解析】∵2sin 2α＝cos 2α＋1，∴4sin αcos α＝2cos2α，又α∈， ∴cos α＜0，sin α＜0，则2sin α＝cos α，又sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝， 结合cos α＜0，知cos α＝－. 11. 若等腰三角形的一个底角的正弦值是，则这个三角形的顶角的正切值是　－　.  【解析】设等腰三角形的底角为α，则α必为锐角，顶角为π－2α.由题意可知，sin α＝，∴cos α＝，∴tan α＝，则tan 2α＝， 故tan(π－2α)＝－tan 2α＝－.　 12. 已知sin，其中α∈，则cos＝　－　，sin＝　－　.  【解析】∵sin， ∴cos＝cos＝sin＝sin＝sin＝sin＝－sin＝－.∵α∈，∴α－∈，则sin，∴sin＝sin 2＝2sin·cos＝2××＝－. 13. 已知sin·sin，且α∈，求sin 4α的值. 解：∵sinsin＝sin·sin， ∴2sincos， 即sin，∴cos 2α＝.又α∈， ∴2α∈(π，2π)，∴sin 2α＝－＝－， ∴sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝－. 14. 已知θ∈(0，π)，且sin θ＋cos θ＝. (1)求的值； (2)求的值. 解：由sin θ＋cos θ＝①， 两边平方并化简得2sin θcos θ＝－＜0， ∵θ∈(0，π)，∴sin θ＞0，cos θ＜0， sin θ－cos θ＝②， 由①②得sin θ＝，cos θ＝－. (1)＝. (2)＝ ＝2sin θcos θ＝－. 15. 在锐角三角形ABC中，若B＝2A，则的取值范围是(　A　) A.() B. C. D. 【解析】在锐角三角形ABC中，由B＝2A，可得C＝π－3A，于是解得＜A＜，∴＜cos A＜，则＝2cos A∈(， ). 16. 某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数. cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15°； cos280°＋cos2(－50°)－sin 80°sin(－50°)； cos2170°＋cos2(－140°)－sin 170°sin(－140°). (1)求出这个常数； (2)结合(1)的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论. 解：(1)cos215°＋cos215°－sin 15°·sin 15°＝2cos215°－sin215°＝ 1＋cos 30°－(1－cos 30°)＝1＋×. (2)推广：当α＋β＝30°时，cos2α＋cos2β－sin αsin β＝. 证明如下：∵α＋β＝30°，∴β＝30°－α，cos2α＋cos2β－sin αsin β＝ cos2α＋cos2(30°－α)－sin αsin(30°－α)＝cos2α＋ sin α·＝cos2α＋cos2α＋cos αsin α＋sin2α－ cos αsin α＋sin2α＝cos2α＋sin2α＝. 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.5 练习4　二倍角的正弦、余弦、正切公式 1. (2024·江苏南通中学高一月考)sin275°－sin215°的值是(　 　) A. － B. C. D. － 2. 已知tan x＝2，则tan 2x等于(　 　) A. － B. C. － D. 3. 已知sin θ＝，θ∈，则sin 2θ等于(　 　) A. － B. C. － D. 4. 如图所示，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边为x轴正半轴，P是角α终边上的一点，则cos 2α等于(　 　) A. － B. － C. － D. － 5. 若sin ，cos ＝－，则角α是(　 　) A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 6. 若cos，则sin＝(　 　) A. － B. － C. D. 7. 被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比m＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18°，则等于(　 　) A. 4 B. ＋1 C. 2 D. －1 8. (多选)下列计算结果中，正确的有　(　 　) A. 2cos 15°cos 75°＝ B. ＋2sin215°＝1 C. D. 9. (多选)(2025·海南调研)已知α∈，且cos2α－cos 2α＝，则(　 　) A. tan α＝－ B. sin 2α＝ C. cos 2α＝ D. tan 2α＝－ 10. 已知α∈，若2sin 2α＝cos 2α＋1，则cos α＝　 　.   11. 若等腰三角形的一个底角的正弦值是，则这个三角形的顶角的正切值是　 　.  12. 已知sin，其中α∈，则cos＝　 　，sin＝　 .  13. 已知sin·sin，且α∈，求sin 4α的值. 14. 已知θ∈(0，π)，且sin θ＋cos θ＝. (1)求的值； (2)求的值. 15. 在锐角三角形ABC中，若B＝2A，则的取值范围是(　 　) A.() B. C. D. 16. 某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数. cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15°； cos280°＋cos2(－50°)－sin 80°sin(－50°)； cos2170°＋cos2(－140°)－sin 170°sin(－140°). (1)求出这个常数； (2)结合(1)的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论. 学科网（北京）股份有限公司 $