3.3 幂函数限时训练（培优）-2026年新高一数学暑假预习人教A版必修第一册

**基本信息** 幂函数培优同步练以“基础理解-综合应用-拓展提升”分层设计，覆盖奇偶性、单调性等核心考点，通过选择、多选、解答题梯度递进，强化数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|幂函数定义、图像性质|单选聚焦概念辨析（如第2题图像特征判断）| |综合应用|奇偶性与单调性综合|多选整合多性质（如第8题函数图像与象限关系）| |拓展提升|含参问题与不等式求解|解答题深化逻辑推理（如第15题解析式与不等式解集）|

3.3 幂函数限时训练（培优） 1．（25-26高二下·浙江舟山·期末）若，幂函数是非奇非偶函数，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【分析】由幂函数、奇偶性的性质，根据条件间的推出关系确定条件间的关系. 【详解】当，则，显然函数为非奇非偶函数，充分性成立， 当幂函数，则， 即，得或， 若，即为非奇非偶函数，满足， 若，即为奇函数，不满足，所以，故必要性成立， 综上，p是q的充要条件. 2．（25-26高一上·广东广州·期中）下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和 B．幂函数的图象不经过第三象限 C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的增函数 D．幂函数的图象过点，则 【答案】C 【分析】根据幂函数的图象性质分别判断每个选项即可. 【详解】对于A，当时，幂函数在处无定义，故图象不会经过点，选项A错误； 对于B，当时，幂函数都有意义，且，故幂函数的图象不经过第四象限，选项B错误； 对于C，当时，，在R上单调递增；当时，，在上单调递增；当时，，定义域为，且在上单调递增，选项C正确； 对于D，幂函数的图象过点，即，所以，即，所以，选项D错误； 故选：C. 3．（25-26高一上·湖北荆州·期末）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数单调性及二次函数对称轴与区间的关系可得a的取值范围. 【详解】由题意得，二次函数对称轴为直线，幂函数在为增函数， ∵函数区间上单调递减， ∴，解得， ∴a的取值范围是. 故选：D. 4．（25-26高一下·四川南充·阶段检测）已知幂函数在上是增函数，则（    ） A．或3 B． C．3 D．1 【答案】C 【分析】根据是幂函数，解得或，分别代入检验是否在上是增函数，从而得到答案. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，在上是增函数，符合题意， 当时，在上是减函数，不符合题意，舍去， 所以， 故选：C. 5．（25-26高一上·全国·阶段检测）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出的值，然后根据幂函数的单调性可知的大小. 【详解】由题意，均为正数， 因为，且， 所以，由在上单调递增可知． 故选：B． 6．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由幂函数在上是单调递减函数，得到，解得的值，对的值进行讨论结合为奇函数得到，转化为，从此不等式的形式可得到幂函数，其定义域为，且在上为单调递增函数，则转化为，计算此不等式组得到的范围. 【详解】幂函数在上是单调递减函数， ，， ，， 当时，，， 故是偶函数，不符合题意； 当时，，， 故是奇函数，符合题意； 综上可知，，转化为， 的定义域为，且在上为单调递增函数， 转化为，，. 故选：D. 7．（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 不符合题意舍去，所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 8．（25-26高一上·安徽·阶段检测）（多选）已知幂函数.若，则（   ） A． B． C．的图象恒过点 D．的图象不过第二象限 【答案】ACD 【分析】根据幂函数可判断A，根据函数的单调性即可求解B，由幂函数的性质即可求解CD. 【详解】根据题意可得，解得，故，A正确. 因为，则，所以在上单调递增，因为，， 且，故，所以，B错误. ，因为，故,故其图象恒过点，C正确， 当时，，此时定义域为，故图像不经过第二象限， 当时，，当时，，故图像不经过第二象限， 当时， 当时，，故图像不经过第二象限，故D正确. 故选：ACD 9．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，的最小值为0 B．当时，的定义域为 C．当时，为减函数 D．时，在上的最大值为1 【答案】AD 【分析】对于A，当时，根据二次函数的性质，即可判断的最小值；对于B，当时，根据函数的特征，即可求得定义域；对于C，当时，结合函数的定义域，即可判断的单调性；对于D，当时，，，根据在上的单调性，即可求得的最大值. 【详解】对于A，当时，，，所以，当时，有最小值为，故A正确； 对于B，当时，，所以，解得，所以定义域为，故B错误； 对于C，当时，，，所以在和上单调递减，故C错误； 对于D，当时，，，因为在上单调递减，所以当时，有最大值为，故D正确； 故选：AD. 10．（25-26高二下·黑龙江牡丹江·期末）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若函数是幂函数，则实数的值是或2 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若函数，则对于任意的，有 【答案】ABD 【分析】由幂函数可得，即可对A判断；由幂函数的性质，即可对B判断；由为偶函数且在上单调递减，即可对C判断；要证，即证，化简得，从而可对D判断. 【详解】A：函数是幂函数，则，解得或，经检验符合题意，故A正确； B：幂函数始终经过点和，故B正确； C：函数，， 则为偶函数且在上单调递减，所以在区间上单调递增，故C错误； D：则对于任意的，要证，即证， 即，即，则成立，故D正确. 故选：ABD. 11．（25-26高一上·全国·专题训练）已知函数，则其单调递增区间为______． 【答案】 【分析】根据复合函数单调性求解即可. 【详解】由函数解析式可知，解得的定义域为， 令，则在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以在定义域内单调递增， 所以在上单调递增， 故答案为： 12．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若幂函数为偶函数，且函数的最小值为2，则实数______. 【答案】2 【分析】先根据幂函数的定义及奇偶性确定，进而根据二次函数的性质列方程求解即可. 【详解】由为幂函数，得，解得或， 当时，为奇函数，不符合题意； 当时，为偶函数，符合题意， 此时函数， 则时，函数取得最小值， 则，解得. 故答案为：2. 13．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）已知幂函数的图像关于轴对称，且在上单调递减，则关于的不等式的实数取值范围为_____． 【答案】 【分析】根据幂函数的奇偶性和单调性得到，故，根据函数的定义域和单调性，得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】因为幂函数的图像关于轴对称，则函数是偶函数， 即为偶数，所以为奇数，又在上单调递减， ，解得，又，， 故不等式可化为， 函数的定义域为，且在与上均单调递减， 因而或或， 解得或或， 即满足所求不等式的实数取值范围为. 故答案为： 14．（25-26高一上·上海·期中）（1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【分析】由幂函数的性质即可计算求解； 【详解】（1）因为为R上的增函数， 所以若，则， 所以满足题意的实数的取值范围为. （2）因为函数为上的增函数，且定义域为R， 且，即为偶函数， 所以函数为上的减函数， 所以若，则或. 所以满足题意的实数的取值范围为. 15．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)当时，求不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）根据幂函数的定义以及偶函数性质分析求解即可； （2）转化问题解不等式，进而求解即可； （3）整理可得，分类讨论，结合含参一元二次不等式运算求解即可. 【详解】（1）由为幂函数，得，解得或， 当时，为奇函数，舍去； 当时，为偶函数，符合题意. 综上所述，. （2）因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且为偶函数， 则，等价于， 则，整理得，解得或， 所以的取值范围为． （3）由， 则，即， 当时，不等式为，则不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为. 2 / 9 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 幂函数限时训练（培优） 1．（25-26高二下·浙江舟山·期末）若，幂函数是非奇非偶函数，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 2．（25-26高一上·广东广州·期中）下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和 B．幂函数的图象不经过第三象限 C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的增函数 D．幂函数的图象过点，则 3．（25-26高一上·湖北荆州·期末）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·四川南充·阶段检测）已知幂函数在上是增函数，则（    ） A．或3 B． C．3 D．1 5．（25-26高一上·全国·阶段检测）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·安徽·阶段检测）（多选）已知幂函数.若，则（   ） A． B． C．的图象恒过点 D．的图象不过第二象限 9．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，的最小值为0 B．当时，的定义域为 C．当时，为减函数 D．时，在上的最大值为1 10．（25-26高二下·黑龙江牡丹江·期末）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若函数是幂函数，则实数的值是或2 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若函数，则对于任意的，有 11．（25-26高一上·全国·专题训练）已知函数，则其单调递增区间为______． 12．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若幂函数为偶函数，且函数的最小值为2，则实数______. 13．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）已知幂函数的图像关于轴对称，且在上单调递减，则关于的不等式的实数取值范围为_____． 14．（25-26高一上·上海·期中）（1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 15．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)当时，求不等式的解集． 2 / 9 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $