3.3幂函数同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 幂函数同步练习通过“基础+综合”分层设计，以概念理解为起点，逐步深化至性质应用，兼顾知识巩固与能力提升，适配新授课教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础全面练|幂函数定义、解析式、单调性、奇偶性等单一知识点|以选择填空为主，如判断幂函数性质（第1题）、求解析式（第3题），夯实概念理解，培养抽象能力| |综合应用练|单调性比较大小、解不等式等综合应用|含情境题（如第13题解含幂函数不等式）、探究题（第15题不等式求解），深化逻辑推理与应用意识|

　幂函数 (时间:45分钟　分值:90分) 【基础全面练】 1.(5分)下列结论正确的是 (　　) A.幂函数的图象不能在第二象限内 B.当n=0时,幂函数y=xn的图象是一条直线 C.当n>0时,幂函数y=xn是增函数 D.当n<0时,幂函数y=xn在第一象限内的函数值随x的增大而减小 2.(5分)幂函数f(x)=xα的图象关于原点对称,且在(-∞,0)上是增函数,则f(x)可以是 (　　) A.f(x)=x-1　 B.f(x)= C.f(x)=x2　 D.f(x)=x3 3.(5分)若幂函数f(x)=xm的图象过点(2,),则实数m= (　　) A.2 B.3 C.-1 D. 4.(5分)函数f(x)=的图象大致为 (　　) 5.(5分)已知a=,b=,c=2,则 (　　) A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 6.(5分)(2025·昆明高一检测)已知函数f(x)=xα,则 (　　) A.当α=-2时,f(x)是偶函数 B.当α=时,f(x)的值域为(0,+∞) C.f(x)的图象恒过定点(0,0)和(1,1) D.当0<α<1时,f(x)是减函数 7.(5分)已知y=(2a+b)xa+b+(a-2b)是幂函数,则a=　　,b=　　.  8.(5分)已知幂函数f(x)=xα的部分对应值如表: x 1 f(x) 1 则f(x)的单调递增区间是　　.  9.(5分)(2026·无锡高一检测)幂函数f(x)=(m2-m-1)在区间(0,+∞)上单调递减,则f(m-1)= 　　.  10.(10分)已知幂函数f(x)=(3a2+2a-7)xa(a∈R)在(0,+∞)上单调递增. (1)求f(x)的解析式; (2)判断f(x)的奇偶性,并证明. 【综合应用练】 11.(5分)已知f(x)=,若0<a<b<1,则下列各式中正确的是 (　　) A.f(a)<f(b)<f()<f() B.f()<f()<f(b)<f(a) C.f(a)<f(b)<f()<f() D.f()<f(a)<f()<f(b) 12.(5分)(2026·济宁高一检测)已知幂函数f(x)=xα的图象过点(,),则下列说法中正确的是 (　　) A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为R C.f(x)为奇函数 D.f(x)为减函数 13.(5分)已知幂函数f(x)=(m2+4m+4)在(0,+∞)上单调递减,若(2a-1<(a+3,则a的取值范围为　　.  14.(10分)(2026·上海高一检测)已知幂函数f(x)=. (1)求m的值及f(x)的解析式; (2)作出幂函数f(x)的大致图象. 15.(10分)已知幂函数f(x)=(m2-2m-2)xm在(0,+∞)上单调递减. (1)求f(x)的解析式; (2)解不等式f(x)+2>3. 答案解析 【基础全面练】 1.(5分)下列结论正确的是 (　　) A.幂函数的图象不能在第二象限内 B.当n=0时,幂函数y=xn的图象是一条直线 C.当n>0时,幂函数y=xn是增函数 D.当n<0时,幂函数y=xn在第一象限内的函数值随x的增大而减小 【解析】选D.幂函数的图象可以在第二象限,如y=x2,故A错误; 当n=0时,y=xn中x≠0,故其图象是去掉点(0,1)的一条直线,故B错误; y=x2在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故C错误; 幂函数y=xn,当n<0时,在第一象限内函数值随x的增大而减小,故D正确. 2.(5分)幂函数f(x)=xα的图象关于原点对称,且在(-∞,0)上是增函数,则f(x)可以是 (　　) A.f(x)=x-1　 B.f(x)= C.f(x)=x2　 D.f(x)=x3 【解析】选D.A选项,f(x)=x-1=在(-∞,0)上单调递减,不符合题意; B选项,f(x)=的定义域是[0,+∞),图象不关于原点对称,不符合题意; C选项,f(x)=x2是偶函数,图象关于y轴对称,不符合题意; D选项,f(x)=x3是奇函数,图象关于原点对称,且在区间(-∞,0)上单调递增,符合题意. 3.(5分)若幂函数f(x)=xm的图象过点(2,),则实数m= (　　) A.2 B.3 C.-1 D. 【解析】选D.幂函数f(x)=xm的图象过点(2,),所以f(2)=2m=,故m=. 4.(5分)函数f(x)=的图象大致为 (　　) 【解析】选C.f(x)=的定义域为R,且f(-x)==f(x),故f(x)=为偶函数,排除A,B,因为>1,故函数在(0,+∞)上的增长速度越来越快,为下凸函数,C正确,D错误. 5.(5分)已知a=,b=,c=2,则 (　　) A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 【解析】选A.a=,b=,c=2.因为y=在第一象限内单调递增,5>4>3,所以c>a>b. 6.(5分)(2025·昆明高一检测)已知函数f(x)=xα,则 (　　) A.当α=-2时,f(x)是偶函数 B.当α=时,f(x)的值域为(0,+∞) C.f(x)的图象恒过定点(0,0)和(1,1) D.当0<α<1时,f(x)是减函数 【解析】选A.对于A,当α=-2时f(x)=x-2=的定义域为{x|x≠0},且f(-x)==f(x),所以f(x)=x-2为偶函数,故A正确; 对于B,当α=时,f(x)=,则f(x)的值域为[0,+∞),故B错误; 对于C,当α=-2时,f(x)=x-2=的定义域为{x|x≠0},函数不过点(0,0),故C错误; 对于D,当0<α<1时,f(x)=xα在区间(0,+∞)上单调递增,故D错误. 7.(5分)已知y=(2a+b)xa+b+(a-2b)是幂函数,则a=　　,b=　　.  【解析】由题意得解得 8.(5分)已知幂函数f(x)=xα的部分对应值如表: x 1 f(x) 1 则f(x)的单调递增区间是　[0,+∞)　.  【解析】因为f()=,所以()α=,即α=,所以f(x)=的单调递增区间是[0,+∞). 9.(5分)(2026·无锡高一检测)幂函数f(x)=(m2-m-1)在区间(0,+∞)上单调递减,则f(m-1)= 　　.  【解析】因为幂函数f(x)=(m2-m-1),所以m2-m-1=1,即m2-m-2=0, 解得m=2或m=-1,当m=2时,幂函数f(x)=x8在区间(0,+∞)上单调递增,不符合题意; 当m=-1时,幂函数f(x)=x-4在区间(0,+∞)上单调递减,符合题意; 综上,m=-1,则f(m-1)=f(-2)=(-2)-4=. 10.(10分)已知幂函数f(x)=(3a2+2a-7)xa(a∈R)在(0,+∞)上单调递增. (1)求f(x)的解析式; 【解析】(1)由幂函数的概念可知3a2+2a-7=1,解得a=-2或,又因为幂函数在(0,+∞)上单调递增,故a=,即f(x)=. (2)判断f(x)的奇偶性,并证明. 【解析】(2)f(x)为偶函数,证明:f(x)=的定义域为R,f(-x)==f(x),故f(x)=为偶函数. 【综合应用练】 11.(5分)已知f(x)=,若0<a<b<1,则下列各式中正确的是 (　　) A.f(a)<f(b)<f()<f() B.f()<f()<f(b)<f(a) C.f(a)<f(b)<f()<f() D.f()<f(a)<f()<f(b) 【解析】选C.因为函数f(x)=在(0,+∞)上是增函数,又0<a<b<1<, 故f(a)<f(b)<f()<f(). 12.(5分)(2026·济宁高一检测)已知幂函数f(x)=xα的图象过点(,),则下列说法中正确的是 (　　) A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为R C.f(x)为奇函数 D.f(x)为减函数 【解析】选C.因为幂函数f(x)=xα的图象过点(,),所以()α=,所以α=-3, 所以f(x)=x-3=,定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0},故A错误,B错误; f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称, 因为f(-x)==-f(x),即f(x)为奇函数,故C正确; 由f(-1)<f(1)可知f(x)在定义域上不是减函数,故D错误. 13.(5分)已知幂函数f(x)=(m2+4m+4)在(0,+∞)上单调递减,若(2a-1<(a+3,则a的取值范围为　(-∞,4)　.  【解析】由题意可知, 解得m=-3,所以不等式(2a-1)-m<(a+3)-m,可化为(2a-1)3<(a+3)3, 又因为函数y=x3在R上单调递增, 所以2a-1<a+3,解得a<4. 故a的取值范围为(-∞,4). 14.(10分)(2026·上海高一检测)已知幂函数f(x)=. (1)求m的值及f(x)的解析式; (2)作出幂函数f(x)的大致图象. 【解析】(1)由幂函数定义可得=1,解得m=3,则f(x)=; (2)如图所示: 15.(10分)已知幂函数f(x)=(m2-2m-2)xm在(0,+∞)上单调递减. (1)求f(x)的解析式; 【解析】(1)因为幂函数f(x)=(m2-2m-2)xm在(0,+∞)上单调递减,则, 解得m=-1,故f(x)=. (2)解不等式f(x)+2>3. 【解析】(2)由(1)可知,f(x)+2=+2>3,即>3,-3=>0,即x(x-1)<0,所以不等式的解集为(0,1). 学科网（北京）股份有限公司 $