专项突破练四　抽象函数的性质-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦抽象函数性质，通过基础概念应用、性质综合辨析到问题解决的三阶分层设计，构建从单一知识点到综合应用的巩固路径，培养数学抽象能力与逻辑推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|抽象函数过定点|直接应用奇函数定义（第1题），强化赋值法基础| |性质综合|奇偶性、对称性|结合多性质辨析（第2-3题），提升推理能力| |问题解决|性质应用与不等式|通过解答题（第7题）深化模型构建，培养综合应用意识|

专项突破练四　抽象函数的性质 【方法综述】 对于没有明确给出函数解析式的抽象函数,其性质主要涉及过定点、奇偶性、单调性及对称性等方面.抽象函数的图象过定点问题,主要采用合理赋值法;对于抽象函数的奇偶性及单调性,其判断主要依据定义,巧妙赋值,通过合理、灵活地变形配凑来判定;若抽象函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x),则f(x)的图象关于直线x=a对称. 【针对训练】 1.已知函数f(x)是R上的奇函数,则函数g(x)=f(x-5)-3的图象恒过点 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.(-5,-3) B.(-5,3) C.(5,3) D.(5,-3) 2.已知奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(4)+f(5)的值为 (　 ) A.-1 B.0 C.1 D.2 3.[2026·辽宁省实验中学高一月考] 定义在R上的函数f(x),g(x)满足[f(x)]3=g(x2),则下列说法正确的是 (　 ) A.f(x)是奇函数 B.f(x)是偶函数 C.g(x)是奇函数 D.g(x)是偶函数 4.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x-y)=f(x)+f(y)+2xy,则 (　 ) A.f(1)=-1 B.f(2)=-4 C.y=f(x)+x2既是奇函数又是偶函数 D.f(1)+f(2)+…+f(2026)=2026 5.已知f(x+1)是偶函数,f(x)在[1,+∞)上单调递增,f(0)=0,则不等式(x+1)f(x)>0的解集为　　　　.  6.已知函数f(x)对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)f(y)成立,且当x<0时,f(x)>1. 有以下结论: ①f(0)=1; ②f(x)是R上的偶函数; ③若f(-2)=2,则f(1)=; ④函数f(x)在R上是减函数. 其中所有正确结论的序号是　　　　.  7.[2026·西安交大附中高一月考] 已知函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)(x≠0),且当x>1时f(x)>0. (1)求f(1)的值; (2)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由; (3)求不等式f(x)+f(x-2)≤0的解集. 学科网（北京）股份有限公司 $专项突破练四抽象函数的性质 1.D[解析]因为函数x)是R上的奇函数，所以fO=0,即fx)恒过定点(0,0)，又因为 8(x)=x-5)3的图象可由x)的图象向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到的，所以函数 g()的图象恒过点(5，-3).故选D 2.A[解析]x)为奇函数，f-x)=fx),0)=0,x+2)为偶函数，尺 x+2)=x+2),5)=1)二1)=-14)=0)=0，则4+5)=1.故选A 3.B[解析]令[x)]3=g(x2)=h(x),则h(-x)=[(-x)]=8x)=(x),即hx)为偶函数，所以 hw)=[x)]泸也是偶函数，即[-x)]=[x)],所以-x)=x),即fx)是偶函数，无法判断函数gw)的 奇偶性故选B. 4.ABC[解析]对于A,令x=y=0,得0)=0，令xy=1,得0)=21)+2=0，则1)=1，故A正确： 对于B,令xy=2,得0)=22)+8=0，则2)=4，故B正确；对于C,由题得fx-)+(xy)2=x) +x2+f)+y2,令gx)=x)+x2,则g(x)的定义域为R,gx-y)=g(x)+gy),令xy=0,得g(0)=0,令xy, 得g(x)=0,所以g(x)=x)+x既是奇函数又是偶函数，故C正确；对于D,由C可知fx)=-x2,则 1)+2)+.+f2026)≠2026，故D错误.故选ABC 5.(-1,0)U(2,+o)[解析]因为fx+1)是偶函数，所以fx)的图象的一条对称轴是直线x=1,因 为x)在[1，+o)上单调递增，所以fx)在(-0,1]上单调递减，又0)=0，所以2)=0，所以当1≤r<2 时fx)<2)=0,当x>2时x)>f2)=0,由对称性知当x<0时，x)>f0)=0,当0<x≤1时， fx)<0)=0,所以不等式(x+1)fx)>0的解集为(-1,0)U(2,+o) 6.①③@[解析]对于①令x二1，y=0,则-1+0)=式-1)×0)，当x<0时x)>1,所以-1)>1，所 以0)=1，故①正确；对于②令x二1，y=1,则f0)孔-1)x1)=1,因为当x<0时x)>1,所以 代-1)>1，所以0<1)<1，所以1)代-1)，故②错误；对于③，令xy二1，则尤-2)=-1)代-1)=2，得 V2 1)=2,令x1=1,则0)10)=21)=1，得1)=之故③正确，对于@设<，则 x2<0,当x<0时，x)>1,所以x1-3)>1,由己知得fx)=(x1-x)+x]=fx1-x))>f),所以 x)>x2),所以fx)在R上是减函数，故④正确故填①③@ 7.解：(1①)令xy=1,得1)=21)，所以1)=0. (2)函数x)为偶函数理由如下： 令xy=1,得1)=2-1)， 所以1)-21)0 令y二1，得x)=x)+-1)=x), 又fx)的定义域为(o,0)U(0,+o), 所以函数)为偶函数 (3)令y>1,则当x>0时xy>x, 因为当x>1时x)>0,所以y)>0, 则fy)x)=fw)>0,即xy)>fx), 故fx)在(0，+o)上单调递增. 由(2)可知，x)的图象关于直线x=0对称， 所以要使fx)+fx-2)=几x(x-2)]0=贰1)， x≠0 则需x(-2)1,所以 X-2≠0，解得1-2≤1+2且40且x2 x2-2x≥-1， x2-2x≤1， 综上，不等式m)t-20的解集为[1-V2,0)U(0,2)U(2,1+只V2]