专题09 抽象函数的性质八类综合题型（压轴题专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以五大核心性质为纲，通过解题通法-题型归纳-压轴挑战三级体系，系统提炼抽象函数定义域、单调性等八大题型的特征识别与方法迁移路径，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心框架|锁定定义域法则等五大核心，强调整体取值范围与定义域优先原则|构建性质研究底层逻辑，为题型突破奠基| |题型归纳|8题型（1典例+3变式）|定义域整体取值法、单调性定义推理、奇偶性赋值验证等|从单一性质到多性质综合，形成“概念-方法-应用”递进链条| |压轴挑战|11道综合题|性质转化（周期推导、对称平移）与参数求解|整合跨性质考点，提升复杂问题分析与数学表达能力|

专题09 抽象函数的性质 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、抽象函数的定义域 题型五、抽象函数的奇偶性 题型二、抽象函数的值域 题型六、抽象函数的奇偶性对称性周期性求值 题型三、抽象函数的解析式 题型七、抽象函数的单调性奇偶性综合解不等式 题型四、抽象函数的单调性 题型八、抽象函数的单调性对称性周期性综合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 抽象函数是高中函数模块重难点，所有题型均围绕定义域法则、函数解析式、单调性、奇偶性、对称性周期性五大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是同一对应法则下括号内整体取值范围一致，二是研究函数性质必须优先锁定定义域，所有推导结论最终均要带回定义域检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、抽象函数的定义域 典例1 （25-26高二下·黑龙江黑河·期末）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：题目给出或复合形式的定义域，求解另一复合抽象函数定义域；只给对应法则，无具体函数表达式。核心规则：括号内整体取值范围恒定不变；定义域永远指字母的取值集合 2.方法：①已知求定义域：列出不等式求解 ②已知求定义域：计算时的值域 ③多层复合由外向内逐层约束，最终取交集 变式1-1（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则的定义域为______． 变式1-2（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 变式1-3（23-24高一上·江西吉安·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 类型二、抽象函数的值域 典例2 （24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数的值域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：已知内层函数范围与抽象函数对应法则，求复合函数输出值范围；无法写出具体解析式，依靠区间与函数性质判断最值 2.方法：①分层求解：先求内层的值域，将其作为自变量区间 ②结合单调性、奇偶性判定最大值与最小值 ③区间端点、间断点务必单独验证 变式2-1（25-26高一上·广东·阶段检测）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 变式2-2（25-26高二上·山西阳泉·开学考试）函数的定义域为，且满足，函数的值域是，若集合可取得中所有值，则的取值范围为______. 变式2-3已知函数的定义域和值域均为，则下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 题型三、抽象函数的解析式 典例3 （25-26高一上·福建宁德·期末）若函数满足：对任意实数x，y都有成立.写出函数的一个解析式__________. 题型模版 1.特征：给出满足恒等式（如、与、关系式），不含完整函数表达式，求解析式 2.方法：①赋值法：令x,y取等特殊值，化简得到基础等式 ②变量代换+方程组法：构造两组方程，联立消元求出 ③结果必须标注定义域，剔除无效自变量 变式3-1设是定义在上的函数，且满足对任意，等式恒成立，则的解析式为______. 变式3-2设是定义在上的函数，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为_______. 变式3-3（25-26高一上·重庆·阶段检测）定义在上的函数 满足，则 的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 题型四、抽象函数的单调性 典例4 （2026高三下·全国·专题练习）已知函数在定义域上是单调函数，，则______． 题型模版 1.特征：给出函数恒等式，要求证明单调性、比较函数值大小；没有具体函数图像与表达式，只能使用定义推理 2.方法：①任取区间内，构造 ②借助题干关系式变形，判断差值正负 ③差值为增函数，差值为减函数；禁止依靠特殊值判定单调性 变式4-1（25-26高一下·四川内江·期末）已知函数的定义域为，对于任意的，都有．若，且对于恒成立，则的取值范围为_________. 变式4-2（2026高一上·广东中山·专题练习）定义在上的函数满足，对任意的，且， 恒成立，则不等式的解集为__________ 变式4-3（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知定义在R上的单调函数满足.若，，，…， ，使得成立，则n的最小值为______. 题型五、抽象函数的奇偶性 典例5 （2026·广西河池·三模）（多选）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 题型模版 1.特征：依靠函数恒等式推导与关系，判断奇偶性；前提条件：定义域关于原点对称 2.方法：①第一步检验定义域是否关于原点对称，不对称直接判定非奇非偶 ②赋值（常令），推导表达式 ③满足为偶函数；满足为奇函数 变式5-1（25-26高三下·浙江宁波·阶段检测）（多选）已知函数的定义域为，，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 变式5-2（25-26高一上·湖南长沙·期末）（多选）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，则以下结论正确的是（    ） A． B．不可能为上的减函数 C．为奇函数 D．为偶函数 变式5-3（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 题型六、抽象函数的奇偶性对称性周期性求值 典例6 （25-26高一下·广东揭阳·期末）（多选）已知函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是（     ） A．为偶函数 B．2是的一个周期 C．图象关于对称 D． 题型模版 1.特征：给出与类恒等式，结合自变量较大的函数值，利用对称、周期转化自变量进行求值 2.方法：①识别关系式：区分轴对称、中心对称条件 ②多个对称条件联立推导周期 ③利用周期性将大自变量转化至已知区间，代入计算函数值 变式6-1（25-26高一下·广东广州·期末）已知是定义域为的偶函数，且是奇函数，，则（     ） A． B． C． D． 变式6-2（25-26高一下·贵州六盘水·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且为偶函数，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 变式6-3（25-26高一下·陕西西安·期末）已知函数，的定义域均为Z，且，.若的图象关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 题型七、抽象函数的单调性奇偶性综合解不等式 典例7 （25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 题型模版 1.特征：同时给出奇偶性、单调性，形如型不等式，需要脱去外壳转化为自变量不等式 2.方法：①统一不等式两侧结构，化为单侧只有一个 ②利用奇函数性质整理正负项 ③三大约束：M、N满足定义域+根据单调性转化不等关系，最后取交集 变式7-1（25-26高一上·福建泉州·期中）若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 变式7-2（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知满足对任意，都有，且，当时，． (1)计算，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断并证明在上的单调性； (3)求不等式的解集． 变式7-3（25-26高一上·广东广州·期末）已知定义在R上的函数满足，且当时，． (1)求的值，并证明：为奇函数； (2)求证：在R上是增函数； (3)若，求不等式的解集． 题型八、抽象函数的单调性对称性周期性综合 典例8 （25-26高一上·广西河池·期末）（多选）已知函数的定义域为，值域为.且满足；当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．在上单调递增 C． D．若，则 题型模版 1.特征：题干同时给出奇偶、对称、周期三类条件，综合求解函数值、参数范围、不等式 2.方法：①优先利用对称+奇偶条件推导周期 ②周期性实现自变量化简，对称性实现自变量平移转换 ③将自变量统一变换到性质清晰的基础区间内再分析单调性、函数取值 变式8-1（24-25高一上·广东广州·期中）（多选）定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（    ） A． B． C．当时， D．在上单调递增 变式8-2（多选）已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（　　） A． B． C．在上的最大值是10 D．不等式的解集为 变式8-3（多选）已知函数满足当时，，且对任意实数，满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．或 C．函数为非奇非偶函数 D． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数的定义域是，的图象与的图象关于点成中心对称，若的定义域为，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·湖南·阶段检测）已知函数的定义域为，，为偶函数，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 4．（25-26高一上·浙江台州·期中）已知函数对于任意的实数都有，且，则下列选项正确的是（   ） A． B．为偶函数 C．在上单调递减 D．为奇函数 5．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知函数的定义域为，若对于任意的， 都有，当时，都有，．则函数在区间上的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）设是定义域为的单调函数，对，则（ ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．当时， 8．（25-26高一上·重庆·期中）已知是定义在上的函数，且满足，．则（   ） A． B．为奇函数 C． D．为偶函数 9．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．的值域为 C．是偶函数 D．是增函数 10．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数的定义域为．若函数的图像关于点对称，，令，则（    ） A． B． C．的图像关于点对称 D． 11．（25-26高一下·湖南娄底·期末）若是定义在上的函数，当时，，且对任意恒成立，则下列说法正确的是（   ） A． B．是奇函数 C．的图象关于对称 D．若，则恒成立 三、填空题 12．（25-26高一下·贵州遵义·期中）若函数的定义域为，且为奇函数，．若，则的值为________ 13．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知定义在上的函数 满足：① ； ②对 ，则 _____. 14．（25-26高一上·辽宁·期末）已知定义域为的函数，满足，且当时，，则__________. 四、解答题 15．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知函数的定义域为，值域为，设，求的定义域和值域； （2）已知函数是定义在上的减函数，若，求的取值范围． 16．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知为定义在上不恒为的函数，对定义域内任意，满足：，．且当时，． (1)证明：； (2)证明：在单调递减； (3)解关于的不等式：． 17．（24-25高一上·河南信阳·阶段检测）求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域，求函数的定义域. 18．（25-26高一下·陕西安康·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，，恒有，且当时，. (1)求证：，且当时，； (2)判断在上的单调性； (3)若存在，使得，求实数的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 抽象函数的性质 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、抽象函数的定义域 题型五、抽象函数的奇偶性 题型二、抽象函数的值域 题型六、抽象函数的奇偶性对称性周期性求值 题型三、抽象函数的解析式 题型七、抽象函数的单调性奇偶性综合解不等式 题型四、抽象函数的单调性 题型八、抽象函数的单调性对称性周期性综合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 抽象函数是高中函数模块重难点，所有题型均围绕定义域法则、函数解析式、单调性、奇偶性、对称性周期性五大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是同一对应法则下括号内整体取值范围一致，二是研究函数性质必须优先锁定定义域，所有推导结论最终均要带回定义域检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、抽象函数的定义域 典例1 （25-26高二下·黑龙江黑河·期末）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抽象函数的定义域的求解方法，列出不等式，即可求解，得到答案． 【详解】设，由函数的定义域为，得函数的定义域为， 即，因此，解得． 所以的定义域为. 题型模版 1.特征：题目给出或复合形式的定义域，求解另一复合抽象函数定义域；只给对应法则，无具体函数表达式。核心规则：括号内整体取值范围恒定不变；定义域永远指字母的取值集合 2.方法：①已知求定义域：列出不等式求解 ②已知求定义域：计算时的值域 ③多层复合由外向内逐层约束，最终取交集 变式1-1（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则的定义域为______． 【答案】 【分析】由抽象函数定义域的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，则，即的定义域为. 变式1-2（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 变式1-3（23-24高一上·江西吉安·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抽象函数定义域结合二次函数不等式即可求解 . 【详解】函数的定义域为，则，所以函数的定义域为； 若函数有意义，则，解得． 则函数的定义域为. 类型二、抽象函数的值域 典例2 （24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数的值域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数水平平移不改变值域的特点，确定的值域，再通过常数运算得到目标函数的值域. 【详解】函数是的水平平移变换，水平平移不改变函数值域，故的值域为. 由，对的取值范围各减2，得，即. 故选：B 题型模版 1.特征：已知内层函数范围与抽象函数对应法则，求复合函数输出值范围；无法写出具体解析式，依靠区间与函数性质判断最值 2.方法：①分层求解：先求内层的值域，将其作为自变量区间 ②结合单调性、奇偶性判定最大值与最小值 ③区间端点、间断点务必单独验证 变式2-1（25-26高一上·广东·阶段检测）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】应用抽象函数定义域性质计算求解，应用函数值域计算判断. 【详解】函数的定义域为，即，所以， 因此函数的定义域为； 由函数的值域为，得函数的值域为， 即，则，故函数的值域为． 故选：C． 变式2-2（25-26高二上·山西阳泉·开学考试）函数的定义域为，且满足，函数的值域是，若集合可取得中所有值，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】令，解得，分类讨论当和时，由的取值范围结合条件，可得出函数的值域，从而得出实数的取值范围. 【详解】令，即，解得或（舍去）， 当时，， 故对任意，都存在，使得， 所以，； 当时，， 故对任意，都存在，使得， 所以，. 综上，函数的值域. 因为集合可取得中所有值， 所以，，则实数的取值范围是. 故答案为：. 变式2-3已知函数的定义域和值域均为，则下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 【答案】D 【详解】函数中的x需满足，解得，故函数的定义域为，故A正确；函数中的x需满足，解得，故函数的定义域为，故B正确；函数和的值域都为，故C正确，D错误. 题型三、抽象函数的解析式 典例3 （25-26高一上·福建宁德·期末）若函数满足：对任意实数x，y都有成立.写出函数的一个解析式__________. 【答案】（不唯一） 【分析】设，根据条件探究满足的条件即可. 【详解】先假设为一次函数，设， 则 . 所以函数都满足条件. 故答案为：（不唯一） 题型模版 1.特征：给出满足恒等式（如、与、关系式），不含完整函数表达式，求解析式 2.方法：①赋值法：令x,y取等特殊值，化简得到基础等式 ②变量代换+方程组法：构造两组方程，联立消元求出 ③结果必须标注定义域，剔除无效自变量 变式3-1设是定义在上的函数，且满足对任意，等式恒成立，则的解析式为______. 【答案】 【分析】利用赋值法，令，即可求出解析式. 【详解】是定义在上的函数，且对任意恒成立， 令，得， 即，整理得 故. 故答案为：. 变式3-2设是定义在上的函数，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为_______. 【答案】 【分析】通过令代入即可求解 【详解】  是定义在上的函数，且对任意恒成立， 令，得， 即， 故答案为：. 变式3-3（25-26高一上·重庆·阶段检测）定义在上的函数 满足，则 的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据，想到令得到关于与的方程组，解方程组得到抽象函数的解析式，进而可求函数值. 【详解】因为，① 令，可得.② ①②得，所以.所以. 故选：B. 题型四、抽象函数的单调性 典例4 （2026高三下·全国·专题练习）已知函数在定义域上是单调函数，，则______． 【答案】 【分析】分析可知，存在唯一的，使得，结合函数的单调性得出，即，再由可求出的值，可得出函数的解析式，进而可得出的值. 【详解】因为函数在定义域上是单调函数，且， 则存在唯一的常数，使得， ，也即， 于是，由，解得，故， 所以. 题型模版 1.特征：给出函数恒等式，要求证明单调性、比较函数值大小；没有具体函数图像与表达式，只能使用定义推理 2.方法：①任取区间内，构造 ②借助题干关系式变形，判断差值正负 ③差值为增函数，差值为减函数；禁止依靠特殊值判定单调性 变式4-1（25-26高一下·四川内江·期末）已知函数的定义域为，对于任意的，都有．若，且对于恒成立，则的取值范围为_________. 【答案】 【分析】构造函数，且判断函数的单调性；结合的定义域和的单调性求解的取值范围. 【详解】因为，由，可得， 即． 令，可得，可知在上单调递减． 由得：， 因为的定义域为，所以，， 故，即. 由得，，因此，所以即， 该式对所有恒成立，因此，即， 又，得的取值范围为. 变式4-2（2026高一上·广东中山·专题练习）定义在上的函数满足，对任意的，且， 恒成立，则不等式的解集为__________ 【答案】 【分析】不等式 可化为，结合单调性定义证明在上单调递减，结合函数的定义域及单调性解不等式可得结论. 【详解】由题意知： 可得， 故 且，所以 令，不妨设，可得，则 即，所以在上单调递减， 则不等式 ， 因为，所以， 则，解得， 所以不等式的解集为. 变式4-3（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知定义在R上的单调函数满足.若，，，…， ，使得成立，则n的最小值为______. 【答案】17 【分析】设，则.分析与的取值，列得相应的不等式，即可求得的最小值. 【详解】设（常数），是R上的单调函数，所以唯一确定，是常数. 故. 易知是增函数. 由，得，所以. 所以. ，，所以； ，，所以，所以. 因为，，，…， ，使得成立， 所以. 所以，所以. 所以n的最小值为. 题型五、抽象函数的奇偶性 典例5 （2026·广西河池·三模）（多选）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 【答案】BCD 【分析】根据抽象函数的对称性、周期性，结合函数奇偶性的定义逐项分析判断即可. 【详解】由为偶函数，得，即， 所以的图象关于直线对称. 由及，得. 令，则，所以， 又，所以，即. 所以，因此是偶函数，故A错误，C正确. 由，得， 又是偶函数，所以， 所以，故为奇函数，故B正确. 由，得，又是偶函数，所以， 所以，即是偶函数，故D正确. 题型模版 1.特征：依靠函数恒等式推导与关系，判断奇偶性；前提条件：定义域关于原点对称 2.方法：①第一步检验定义域是否关于原点对称，不对称直接判定非奇非偶 ②赋值（常令），推导表达式 ③满足为偶函数；满足为奇函数 变式5-1（25-26高三下·浙江宁波·阶段检测）（多选）已知函数的定义域为，，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合奇偶函数的定义性质逐项判断即得. 【详解】对于A，令，则，解得或，A错误； 对于B，令，得，则， 令，得，则，因此，B正确； 对于C，依题意，， 则，对，取， 得，又，则，即，为偶函数，C正确； 对于D，由或，得，因此不为奇函数，D错误. 变式5-2（25-26高一上·湖南长沙·期末）（多选）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，则以下结论正确的是（    ） A． B．不可能为上的减函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】ABC 【分析】利用赋值法，根据奇偶函数的定义，逐项检验，可得答案. 【详解】由，， 令，则， 令，则，即， 令，则，即， 令，则，即，A正确； 由，即，则函数不可能是减函数；故B正确. 令，则，即. 令，由，则函数为奇函数，故C正确； 令，由，则函数非偶函数，故D错误； 故选：ABC. 变式5-3（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】B 【分析】令，根据为偶函数得，进而判断即可得答案. 【详解】由函数为定义在上的函数，故函数的定义域也是， 令， 则，即为偶函数， 所以也是偶函数，即， 所以，即是偶函数， 对于函数无法判断函数的奇偶性. 故选：B 题型六、抽象函数的奇偶性对称性周期性求值 典例6 （25-26高一下·广东揭阳·期末）（多选）已知函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是（     ） A．为偶函数 B．2是的一个周期 C．图象关于对称 D． 【答案】ACD 【分析】选项A，由与，得，是偶函数，A正确.选项B，由，推出，周期为，不是，B错误.选项C，有对称中心，周期为，半个周期平移后得到对称中心，C 正确.选项D，每项函数值之和为，前项和为，剩余两项得；除以余，故，D正确. 【详解】令， 因为为奇函数，所以， 即， 令，解得，即， 得到，即， 所以关于点中心对称. 因为为偶函数，所以， 即，关于直线轴对称. 由轴对称得， 由中心对称得， 联立得， 把换成得到， 则，所以的周期，故B错误. 因为的对称中心为，所以， 又周期， ，， 由， 令得到，即， 即， 所以图象关于对称，C正确. 由，则， 又，则， 则，对比， 得到 ，即， 所以是偶函数，A正确. 周期，先看一个周期内， 由， 令得到， 由为奇函数，令得到， 又都是对称中心，故， 一个周期：， 中，有项，包含个完整周期加上， 个周期的和为， 又，，故， 所以每项之和为，前项和为， 余下两项， 因为，所以，解得， 则，D正确. 题型模版 1.特征：给出与类恒等式，结合自变量较大的函数值，利用对称、周期转化自变量进行求值 2.方法：①识别关系式：区分轴对称、中心对称条件 ②多个对称条件联立推导周期 ③利用周期性将大自变量转化至已知区间，代入计算函数值 变式6-1（25-26高一下·广东广州·期末）已知是定义域为的偶函数，且是奇函数，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据奇偶函数的性质找到函数的周期，再根据求和的表达式找出数列的周期，从而求出数列前2026项的和. 【详解】设，因为是奇函数， 所以，即， 因为是偶函数， 所以，即， 令，则，所以， 即， 因此以4为周期， 因为是奇函数，所以，即， 因为，是偶函数， 所以， 因此，， ，， 设，则，， 因为以4为周期， 所以，即数列每8项重复一次， 当时，前8项之和为，即每8项的和都是0， 因为， 所以前2024项正好是253个完整周期，和为0，剩下两项的和为， 所以，故选项D正确. 变式6-2（25-26高一下·贵州六盘水·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且为偶函数，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据奇函数性质和偶函数的性质，推导的对称性与周期性，再逐一验证各选项即可. 【详解】因为是定义域为的奇函数，所以对任意，有； 因为为偶函数，所以， 令可得，即的图象关于直线对称， 故对任意，. 所以， 所以，即是周期为4的周期函数. 选项A，，故A错误； 选项B，，故B正确； 选项C，，故C错误； 选项D，，故D错误. 变式6-3（25-26高一下·陕西西安·期末）已知函数，的定义域均为Z，且，.若的图象关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图象关于直线对称的性质，推导的对称性表达式，判断A；联立已知的两个含和的等式，通过变量替换消去相关项，推导的递推关系，判断B；代入特殊值到已知等式中，结合的条件，计算，判断C；根据的递推关系确定其周期，计算一个周期内的和，再计算2026项的总和，判断D. 【详解】 ①， ②， 关于对称，故 ③， 从②式换元得， 代入①式得：，即， 代入③式得，得， 换元得： ④，再将 得，联立得，即周期为4， 对应也满足，周期也为4. 选项A：即，但由式④， 得，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，由得， ，故C错误； 选项D：由得， 又，故，解得，，， ，. 因为周期为4，且一个周期和为：， 从到共506个完整周期（2024项）， 剩余，， 所以， 故D正确. 题型七、抽象函数的单调性奇偶性综合解不等式 典例7 （25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 【答案】C 【分析】由偶函数定义可得，再通过偶函数的性质，对称区间上单调性相反，可得到函数在定义域上的单调性情况，通过单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以． 又函数在上单调递减，所以函数在上单调递增． 所以等价于,即，解得． 题型模版 1.特征：同时给出奇偶性、单调性，形如型不等式，需要脱去外壳转化为自变量不等式 2.方法：①统一不等式两侧结构，化为单侧只有一个 ②利用奇函数性质整理正负项 ③三大约束：M、N满足定义域+根据单调性转化不等关系，最后取交集 变式7-1（25-26高一上·福建泉州·期中）若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原不等式等价于或，然后由函数单调性，奇偶性结合题设可得答案. 【详解】因为奇函数在区间上单调递增且，所以函数在区间上单调递增且， 因此，当或时，；当或时，， 不等式等价于或，解得或， 所以不等式的解集为. 变式7-2（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知满足对任意，都有，且，当时，． (1)计算，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断并证明在上的单调性； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) 依题意，函数对任意的，都有， 令，得， 是奇函数，理由如下： 用代替，得，则， 所以是奇函数. (2) 在上是单调递减的函数，证明如下： 任取，则，由已知得， 则， ∴，∴在上是单调递减函数． (3) 【分析】（1）利用赋值法求得，根据函数奇偶性的定义判断并证明函数的奇偶性. （2）根据函数的单调性的定义进行判断并证明即可. （3）利用特殊值法，结合代入法进行求解，再根据已知等式，结合函数的单调性及一元二次不等式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由于，则，所以， 又因为，所以． 因为， 又因为，所以不等式可化为， 由于在上是单调递减， ，即，即， 所以不等式的解集为. 变式7-3（25-26高一上·广东广州·期末）已知定义在R上的函数满足，且当时，． (1)求的值，并证明：为奇函数； (2)求证：在R上是增函数； (3)若，求不等式的解集． 【答案】(1)，证明如下： 定义在上的函数满足， 取，则，所以， ，取，则， 于是， 即， 所以为奇函数. (2) ，则，由当时，，得， ， 所以在上是增函数. (3). 【分析】（1）利用赋值法计算，再利用奇函数定义证明即可. （2）根据给定的等式，利用增函数的定义证明即可. （3）求出，结合给定等式化不等式为，再利用单调性求解即得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由，得， 不等式， 则，由（2）知，，即，解得或， 所以原不等式的解集为. 题型八、抽象函数的单调性对称性周期性综合 典例8 （25-26高一上·广西河池·期末）（多选）已知函数的定义域为，值域为.且满足；当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．在上单调递增 C． D．若，则 【答案】ABD 【分析】利用赋值法判断A，利用单调性的定义证明B，可得，再由基本不等式判断C，推导出，即可判断D. 【详解】对于A：因为，令可得， 解得或，又的值域为，所以，故A正确； 对于B：设任意的且，令， 所以， 因为，，则，所以， 即，即，所以在上单调递增，故B正确； 对于C：因为且，令，则， 又，所以， 所以，当且仅当，即时取等号，故C错误； 对于D：因为且，， 所以，则（舍去）， 所以， 则，故D正确. 故选：ABD 题型模版 1.特征：题干同时给出奇偶、对称、周期三类条件，综合求解函数值、参数范围、不等式 2.方法：①优先利用对称+奇偶条件推导周期 ②周期性实现自变量化简，对称性实现自变量平移转换 ③将自变量统一变换到性质清晰的基础区间内再分析单调性、函数取值 变式8-1（24-25高一上·广东广州·期中）（多选）定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（    ） A． B． C．当时， D．在上单调递增 【答案】ACD 【分析】利用赋值法可以逐次判断选项，对于A，取可得；对于C，取，再由条件当时，推理可得；对于B，虽能用基本不等式，但因在上的符号不定，得不出结论；对于D，运用单调性定义法推导即可. 【详解】对于A，由， 取，得，故A正确； 对于C，由， 取，因，故，即， 当时，，则，故，即，故C正确； 对于B，由， 取，可得，，整理得，， 因为，，当且仅当时取等号， 由选项C可知的符号可正可负，故不一定有， 即不一定成立，故B错误； 对于D，任取，则， 依题意，，而， 则，即， 即在上是增函数， 于是对于， 任取，因为，则，即， 即函数在上单调递增，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题选项D的解决关键在于，熟练掌握单调函数的定义，利用构造函数法分析抽象函数的单调性，从而得解. 变式8-2（多选）已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（　　） A． B． C．在上的最大值是10 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】依题意令，求出，从而判断A；令得到，再令，，即可判断B；再利用定义法证明函数的单调性即可判断C；依题意原不等式等价于，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式，即可判断D. 【详解】因为，则有， 令，则，则，故A正确； 令，则， 令代，则， 即，即，故B错误； 设且，则，由， 令，则，即， 令，，则，即， 因为时，，又，故， 所以，所以，即在上单调递减， 又，所以，， 又，所以， 故在上的最大值为，故C正确； 由，即， 即，即， 又因为，即， 所以，即， 故，即，解得， 即原不等式的解集为，故D正确； 故选：ACD. 变式8-3（多选）已知函数满足当时，，且对任意实数，满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．或 C．函数为非奇非偶函数 D． 【答案】AC 【分析】对于A，由函数单调性定义可判断正误； 对于B，令，可判断正误； 对于C，由A，B选项分析可判断正误； 对于D，利用做差法及可判断正误. 【详解】对于B，令，，得， 由题意知，所以，故B错误； 对于A，当时，，则， 又，则当时，.即对任意，. 取任意，且，则，得， 则 即，所以是上的增函数，故A正确； 对于C，由是上的增函数，可知不是偶函数，又由可知不是奇函数，故C正确； 对于D，注意到， 同理，则， 又，则 .即， 故D错误． 故选：AC． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数的定义域是，的图象与的图象关于点成中心对称，若的定义域为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数图像中心对称的坐标性质推导与的解析式关系，结合的定义域求出的定义域，再根据抽象函数“同一对应法则作用对象范围一致”的规则，令落在的定义域范围内，解不等式得到的定义域，最终计算的值. 【详解】设函数图象上任意一点的坐标为. ∵ 的图象与的图象关于点成中心对称， ∴ 点关于点的对称点为，且该点在的图象上， ∴ ，即. ∵ 的定义域是，∴ ， 即 ，解得 ，故的定义域为. 对于函数，则需满足， 即 ，解得 ∴ 的定义域为，即，， ∴ .故选C. 2．（25-26高一下·湖南·阶段检测）已知函数的定义域为，，为偶函数，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据已知条件及为偶函数，结合周期函数的定义，可得函数是周期为4的周期函数，利用周期性及求解即可. 【详解】因为函数为偶函数，所以，则， 又因为，所以，则， 所以函数是周期为4的周期函数， 由中，令，得到， 所以，， 故. 3．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】B 【分析】对进行赋值即可根据奇偶性的定义进行函数奇偶性的判断. 【详解】已知的定义域关于原点对称， 因为，， 故令时，则， 令时，， 令，时，， 所以，即 ，所以是偶函数， 又当时，，即不恒为零，故只能为偶函数，不能为奇函数，故B正确. 4．（25-26高一上·浙江台州·期中）已知函数对于任意的实数都有，且，则下列选项正确的是（   ） A． B．为偶函数 C．在上单调递减 D．为奇函数 【答案】B 【分析】首先赋值，求函数和的解析式，再根据函数的解析式，直接判断函数的性质. 【详解】令，则，且，所以，是非奇非偶函数，故D错误； 设，，， 则，，故A错误； ，所以是偶函数，且在上单调递增，故B正确，C错误. 故选：B 5．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知函数的定义域为，若对于任意的， 都有，当时，都有，．则函数在区间上的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用函数单调性定义确定在上的单调性，再利用单调性求出最大值. 【详解】任取，则， 由当时，都有，得， 任意的，都有， 即， 则， 因此函数在上单调递增， 故时， . 故选：B 6．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由及可得，进而可得的一个对称中心，再由是轴对称可知函数是周期函数，从而根据周期及对称可得所求值. 【详解】因为．所以， 又因为，所以， 即，所以的图象关于点对称，且． 又因为的图象关于直线对称，所以，且 所以，则， 所以，所以是函数的一个周期． 所以 ． 又因为，所以． 所以，所以. 二、多选题 7．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）设是定义域为的单调函数，对，则（ ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．当时， 【答案】ACD 【分析】令可得判断A，令可得，再令得判断C，结合单调性结合特例判断B，根据函数单调递增即可比较大小判断D. 【详解】在等式中， 对于A，令，可得，则，故A正确； 对于C，令可得，则， 因为函数的定义域为， 令可得，则， 故函数为奇函数，故C正确； 对于B，是定义域为的单调函数，因为， 所以是上的增函数，故B错误； 对于D，由上分析可知是上的增函数， 当时，，即， 因此，故D正确. 8．（25-26高一上·重庆·期中）已知是定义在上的函数，且满足，．则（   ） A． B．为奇函数 C． D．为偶函数 【答案】ACD 【分析】通过对已知函数关系式进行赋值，求出函数的表达式，再逐一分析选项． 【详解】令，代入中， 可得，即． 令，代入中， 可得：，即， 因为，所以，所以选项A正确； 令，代入中， 可得：， 则， 则 ， 即， 令，其定义域为． ， 所以不是奇函数，选项B错误； ，，所以，选项C正确； 令，其定义域为． ，所以是偶函数，选项D正确． 故选：ACD． 9．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．的值域为 C．是偶函数 D．是增函数 【答案】ABC 【分析】根据给定的函数等式可得，再结合求出函数解析式，然后利用二次函数性质逐项判断得解. 【详解】由，得，令函数， 则，为常函数，令，则，， 因此，的值域为是偶函数， 函数在上单调递减，在上单调递增，ABC正确，D错误. 故选：ABC 10．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数的定义域为．若函数的图像关于点对称，，令，则（    ） A． B． C．的图像关于点对称 D． 【答案】ACD 【分析】令，代入即可判断选项；利用函数关于点对称，则的关系，进行赋值，结合周期函数的定义，即可判断选项，，. 【详解】解：由，令，则， 所以，正确； 由函数的图像关于点对称，令，当时，， 所以的图像关于对称，即的图像关于点对称，正确； 由，用替换得①， 又的图像关于点对称，则， 用替换得②， ①②得，所以，错误； 由，则， 由上可知， 所以，正确. 11．（25-26高一下·湖南娄底·期末）若是定义在上的函数，当时，，且对任意恒成立，则下列说法正确的是（   ） A． B．是奇函数 C．的图象关于对称 D．若，则恒成立 【答案】ABC 【分析】利用赋值计算即可判断AB，根据的奇偶性，即可判断C，利用即可判断D. 【详解】对于A，在中，令， 可得，故，即，故A正确； 对于B，令，则，结合，得， 当时，有，即不恒为0，故必有，即是奇函数，故B正确， 对于C，由于是奇函数，故，令， 则， 因此的图象关于对称，即的图象关于对称，故C正确， 对于D，当且时，此时，显然，故D错误. 三、填空题 12．（25-26高一下·贵州遵义·期中）若函数的定义域为，且为奇函数，．若，则的值为________ 【答案】4050 【分析】根据函数的奇偶性求出函数的周期，利用函数的周期和赋值法进行求解即可. 【详解】因为为奇函数， 所以，即， 所以函数关于中心对称； 因为，所以关于对称， 所以函数是周期为4的周期函数， 所以在中令，又， 则. 令，则； 令，则， 所以. 则. 13．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知定义在上的函数 满足：① ； ②对 ，则 _____. 【答案】 【分析】通过赋值，得到，再令，得到，通过累加即可求解. 【详解】令， 可得：，又， 所以， 令，得， 所以，， 由， 令， 则， 两式相加可得： 所以， 当时，满足； 所以， 故答案为： 14．（25-26高一上·辽宁·期末）已知定义域为的函数，满足，且当时，，则__________. 【答案】 【分析】令，得，结合得到，进而得到，代入求出，令，求得，即可求出答案. 【详解】令，有，即， 因为当时，， 所以， 又， 所以， 即，所以， 所以， 令，得，所以， 所以. 故答案为： 四、解答题 15．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知函数的定义域为，值域为，设，求的定义域和值域； （2）已知函数是定义在上的减函数，若，求的取值范围． 【答案】（1）定义域为，值域为；（2）. 【分析】（1）根据已知有，即可确定的定义域，结合确定值域； （2）由函数的定义域及单调性列不等式组求范围. 【详解】（1）因为的定义域为， 所以中，有，即， 所以的定义域为， 令，可知，则与的值域相同， 而的值域为，所以的值域为. （2）是定义在上的减函数，， 所以，可得，解得. 故的取值范围是 16．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知为定义在上不恒为的函数，对定义域内任意，满足：，．且当时，． (1)证明：； (2)证明：在单调递减； (3)解关于的不等式：． 【答案】(1) 当时，成立， 当时，成立， 当时，，且， 所以，所以，解得， 综上所述，当时，. (2) 由（1）得当时，， 任取，，且， 则，，，， 所以， 所以， 即， 所以函数在上单调递减； (3) 【分析】（1）当时，，可知，可得，即可得证； （2）利用定义法证明函数单调性， （3）根据函数的定义可知，再根据函数的定义域与单调性解不等式. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）得函数在上单调递减， 又， 所以， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 17．（24-25高一上·河南信阳·阶段检测）求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域，求函数的定义域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由的定义域可得，求出x的取值集合即可得出的定义域； （2）由的定义域可得，求出的取值集合即可得出的定义域，进而得出的取值集合，再求出x的取值集合即可； 【详解】（1）设，由于函数定义域为， 故，即，解得， 所以函数的定义域为； （2）因为函数的定义域为，即， 所以，所以函数的定义域为， 由，得， 所以函数的定义域为. 18．（25-26高一下·陕西安康·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，，恒有，且当时，. (1)求证：，且当时，； (2)判断在上的单调性； (3)若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) 由题可知，所以， 因为，则，又， 所以， 所以当时，； (2)单调递增 (3) 【分析】（1）利用已知条件，对自变量赋值可证且当时； （2）根据函数单调性的定义判断； （3）利用（2）的单调性和函数的定义域建立不等式组，求解； 【详解】（1）略 （2）任取，则，则， 又， 所以， 所以在上的单调递增； （3）由题意，需满足定义域条件 ，解得，且， 由（2）知 单调递增，原不等式等价于 ， 要使该不等式有解，只需 小于 在其定义域 上的最大值， 令，则， 所以，解得， 所以的取值范围为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $