湖南省长沙市第一中学2026-2027学年高三上学期开学数学试题

**基本信息** 高三数学开学试卷注重基础覆盖与能力梯度，通过概率计算、立体几何翻折、函数零点讨论等问题，考查数学眼光（空间观念）、数学思维（逻辑推理）与数学语言（模型表达），贴合高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、向量基底、概率、三角函数|第6题矩形翻折轨迹问题，融合空间观念与解析几何，考查数学眼光| |填空题|3题/15分|二项式定理、导数切线、函数零点|第13题公共切线问题，需联立方程求解，体现数学思维的严谨性| |解答题|5题/77分|立体几何证明、数列求和、双曲线综合、函数极值|18题双曲线对称点探究，结合面积与位置关系分析，19题零点个数分类讨论，强化数学语言表达与逻辑推理|

高三数学一 时量：120分钟　满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设全集，集合，则 A． B． C． D． 2．设，，则“且”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列各组向量中，可以作为平面内所有向量的一组基底的是 A．， B．， C．， D．， 4．已知，则 A． B． C． D． 5．已知甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个红球和3个白球．从甲袋中随机摸出一个球放入乙袋，再从乙袋中摸出一个球，则从乙袋中摸到红球的概率为 A． B． C． D． 6．如图，点为矩形边的中点，以动直线为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点都落在边上，记该落点为，过点作垂直交直线于点，则点的轨迹为（ ）的一部分． A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 7．已知在中，内角，，的对边分别为，，，满足，且，则面积的最大值为 A． B． C． D． 8．已知，且，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．设函数，则下列结论正确的是 A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．的值域为 10．下列说法正确的是 A．两点分布中，时，方差最大 B．设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品的均值为0.6 C．用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性，如果把列联表中所有的数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，结论不受任何影响（参考公式：） D．随机变量满足，若，则 11．关于二次曲线，下列说法正确的是 A．当时，的图象为一条直线 B．，的图象为中心对称图形 C．已知时，的图象为椭圆，则上一点到原点的最大距离为2 D．已知时，的图象为双曲线，则其离心率 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．的展开式中常数项为_________． 13．函数与函数在公共点处切线相同，则_________． 14．已知函数总存在，使得关于的方程有四个实数解，则实数的取值范围是_________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 如图，已知四棱锥的底面是矩形，底面，，，是侧棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16．（本小题满分15分） 已知向量，，且，． （1）求的值； （2）在中，角，，的对边分别为，，．若，求的取值范围． 17．（本小题满分15分） 已知数列的前项和为，且，． （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的前项和； （3）若，求正整数的所有取值． 18．（本小题满分17分） 在平面直角坐标系中，已知点在双曲线上，且的离心率为． （1）求的方程； （2）若直线与交于，两点，设关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，记直线为． （ⅰ）若的斜率为，的面积为，求的方程； （ⅱ）若经过点，试判断与单位圆的位置关系，并说明理由． 19．（本小题满分17分） 已知函数，． （1）当时，求的最值； （2）当时，证明：有唯一极值点； （3）讨论的零点个数． 学科网（北京）股份有限公司 $高三数学一参考答案 一、选择题 题号 3 4 5 6 7 8 答案 C A B A A D C B 1.C【解析】因为全集U={x|0<x<6,x∈Z)=(1,2,3,4,5),A=(1,2,3),故CoA=(4,5). 2.A【解析】由x<1且y<1可得x十y<2; 若x十y<2,可取x=2,y=一1，则x<1且y<1不成立 所以“x<1且y<1”是“x十y<2”的充分不必要条件. 3.B【解析】对于A:因为b=一2a,所以a,b共线，故A不符合题意； 对于B:因为-1X1≠2X分，所以a,b不共线，故B符合题意； 对于C:因为b=a,所以a,b共线，故C不特合题意， 对于D:因为b=一2a,所以a,b共线，故D不符合题意， 4A【解1标迪sn(e+）=9,得a叶eo8=合则(m6 +十0u)2-子 1 4 所以sina+casa+2 ino-子申sima+casa十sn2a=寻 由ma十ea5a=1,得sn2a=-孕 5.A【解析】设事件A表示“从甲袋取出又放入乙袋中的球是红球”，则事件A表示“从甲袋中取出又放入乙袋中 的球是白球”，事件B表示“最后从乙袋中取出的球是红球”， 所以P(A)-是，Pa=号，放P(BlA)=是=，P(8不=号=号， 故P(B)=PAa)+P(B)=P(AP(BlA+PaP(B=号×号+号X号品 6.D【解析】由题意知翻折后点E与点F重合，因此折痕1是线段E℉的垂直平分线， 点P在直线i上，根据垂直平分线性质可得iPE1=iPi, 已知FP⊥CD,因此|PF就是，点P到定直线CD的距离， 即点P满足：到定点E的距离等于到定直线CD的距离，符合抛物线的定义， 因此点P的轨迹是抛物线的一部分 另解：如下图所示，以A为原点，AB方向为x轴，AD方向为y轴，建立平面直角坐标系， F B 设AB=2a,BC=h,则A(0,0),B(2a,0),C(2a,h),D(0,h), 因为E是AB的中，点，所以E(a,0), 因为翻折后点E落在CD上，落点为F,所以设点F的坐标为(t,h)(t∈[O,2a]), 折寒1是E布F连线的每直平分线，F的中点丝标为空，号》， F的制率为8产。属晚1的率为是- t-a 所以直线1的点斜式方程为y一台-爱（一些）， 点P在直线l上，且PF⊥CD,设点P的坐标为(t,y), 就进七北炉安127门)一1 R入可得y会安（学）化商可得y罗+会 图为点P的坐标为(1)，把1替换成x可得点P的轨连方程为y=-工a上+ 2h 2x∈[0,2a], 是一个二次函数，所以，点P的轨迹为抛物线的一部分。 7C【屏折报据正弦定理，已知等式可化为号+日=4cosC,教理得coC-若， 4ab 由余弦定理得2=a2+62-2 abeos C=(a2+6)-2ad.Q2+=Q2+世 4ab 2 已知c=5,代入得a2+2=6. 由基本不等式a2十b≥2ab,得ab≤3，当且仅当a=b=√3时取等号. 由C-+=岛得s血C-√F高： 2ab 则△ABC的函软为S=号sihC=2VW-号， 当b取最大值3时，S取最大值为S-26是-3 4 8.B【解析】函数f(x)的定义域为(-o∞，1]U[2,十∞)，且f(x)=f(3-x), 即函数f(x)的图象关于直线x=号对称，=x(x一3)与y=(x一1)(z一2)均在[2，十∞)上单调递增， 令t=(x一1)(x一2)，y=e2十E在[0，十∞)上单调递增，由复合函数单调性可知，函数y=f(z)在 [2,十心)上单调递增，由对称性，y=f(x)在（一∞，1]上单调递减. 周为fo<fa+1,故la-<a+1-引温m11或+122， {a≤1或a≥2， 解得a≥2. 二、选择题 题号 9 10 11, 答案AC ABD BCD 9.AC【解祈】对于A:函数(x)=2sin(2x一吾)，根据周期公式可得T-经-，故A正确： 对于B:令2红-晋-登+m(k∈Z),解得x=号+2m(k∈2)， 当=0时，x=号，当=一1时，x=一晋，所以直线x=否不是函数f(x)图象的对称轴，故B错误： 对于C:令2z-晋-x(∈2)，解得x=登+合x(∈z), 当=0时，x=亚所以登是f(x)的一个零点，故C正确； 对于D:对于函数f(x)=2sin(2z-晋)，因为y=sin(2x-晋）的值域为[-1,1]， 所以f(x)的值域为[一2,2]，故D错误 10.ABD【解析】对于A:两点分布的方差公式为D(X)=(1一)（其中p为成功概率）， 将其视为关于力的二次函数f(p)=一少+力，图象开口向下，顶点在力=之处， 此时方差取最大值是，故A正确： 对于B:设查得次品数为X,则X服从超几何分布， 其中N=10(产品总数)，M=3(次品数)，n=2(抽取的产品数)， 根据超几何分有的均值公式BX)=n·的，可得E(0=2X品=0.6，放B正确 n(ad-bc)2 对于C:报据独立性检验的统计量X的计算公式为X=(a十b)十a)a千e)b+a(其中n=a+b+c+d为 数学来若父宏(2.70)-2 样本量)，若所有数据扩大10倍，则新数据为a'=10a,b=10b,c'=10c,d'=10d,n=10m, 10m·(10a·10d-10b·10c)2 代入公式得：X2-10a+108C10c10a10a10e106+10d=10t, 所以统计量的值变为原来的10倍，结论会改变，故C错误； 对于D:X~N(1,100),正态分布对称轴μ=1， 若P(X2a十1)=P(X≤a-2),则2a+1+a-2=,即30,1-=1，解得a=1,故D正确。 2 2 11.BCD【解析】对于A:当m=2时，曲线C:x2+y2-2xy一2=0，即x一y=土√2，此时C的图象为两条直线，A 选项错误； 对于B:若P(xy)在曲线C上，则P关于原，点对称的点P'(一x,一y)也在曲线C上，即曲线C的图象关于原 点中心对称，B选项正确； 对于C:当m=1时，曲线C:x2十y2一xy一2=0，若P(x,y)在曲线C上，则P关于直线y=x对称的，点 P,(y,x)也在曲线C上，即曲线C关于直线y=x对称，同理也可证明曲线C关于直线y=一x对称，又因为 曲线C的图象为椭圆，所以其长短轴应在y=x与y=一x上.将y=x代入曲线中，得C:x2十x2一x·x一2= 0,解得x=)=2,将y=一x代入曲线中，得x2+(一x)2-x(-x)-2=0,得x=士⑤ 3 此时椭圆的长半轴长a=√2十y2=2,故C上一点到原点的距离最大为2，C选项正确； 对于D当m=4时，曲线C2十y2-4xy-2=0,将其看成y的方程，解得y=4红士2+8，当z→00时， 2 y=士厘工，即双曲线的渐近线为y=(2士3)x,由C选项易知，曲线C关于直线y=一x对称，计算y= 2 (2+5)x与y=一x的夹角8，有tan8= 2+5-(-1) 1+(2+3)·(-1) =3,又一2x2-2=0无实根，故双曲线实 轴为)y=一云而在双曲线中渐近线与其过焦点的对称轴夹角0满足tan0=名，即b=3a,故e=台= @于五=2，D选项正确。 三、填空题 1224【解折】上项式(2x+》八最开式的通项为T*-C·(2x)(任)广=C·2t·x,及=0,14， 令4一2k=0,解得h=2,所以二项式的展开式第三项为常数项，常数项为T=C号X22=24, 13.一21+h2)【解折】由题意得了(x)=是，g'(x)=2z, 设f(x)与g(x)图象的公共点为(0,0)(x>0),f(xo)=lnx0十a,g(x)=x6十b, 根据两条直线州率相等可得-2，解得0-竖。 再根据公共点处纵坐标值相等得lnx。十a=z品十b, 即6a=na一=h号-合=-1+ln2). 14.(一©，号)【解析】由题意可画出fx)的图象，令=f(x)十a,为了使 关于x的方程f(f(x)十a)=m有四个实数解，即使得关于t的方程f(t) =m有2个实数解1,2(<1)，其中∈(o,l),t2∈(We,十o), me(合，+o） 要使原方程f(f(x)十a)=m有四个实数解，即关于x的方程f(x)= 一a与f(x)=2-a各自有两个解，又一a∈(-∞，1-a),t2一a∈ 6-a,+o),所以只需1->2即< 四、解答题 15.【解析】(1)，PA⊥底面ABCD,AB,BCC底面ABCD,∴.PAL⊥BG,PA⊥AB: 在△PAB中，PA⊥AB,PA=AB=2,E是PB的中点，故AELPB.…2分 四棱锥P-ABCD的底面是矩形，，BC⊥AB, PA⊥BC,AB∩PA=A,AB,PAC平面PAB,BC⊥平面PAB,…4分 故BC⊥AE. 由AE⊥BC,AE⊥PB,BC∩PB=B,BC,PBC平面PBC,得AE⊥平面PBC. …6分 (2)以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为x轴建立空间直角坐标系， 其中A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),P(0,0,2), 由于E为PB中点，故E(1,0,1),AE=(1,0,1), …8分 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),Pi=(0,4,-2),DC=(2,0,0), (PD·n=0,m4yr2x=0, D花n=0,2x=0, 得 令y=1,得平面PCD的一个法向量n=(0,1,2), 10分 设直线AE与平面PCD所成的角为日， 所以sim8=eos(范，ml-套n 2 =0 AEIn√2X5 ,…12分 5 即直线AE与平面PCD所成角的正弦值为@ 5 …13分 16.【解析】(1)根据向量的数量积公式：m*n=cos0.1+sin0V3=1, 用辅助角公式化简：W3sin+cos0=2sin(叶否)=1， 即si动(+晋）=是 …3分 已知6e0,,放+吾∈（答·2），则叶晋=晋 解得0=经 …6分 2)已知A=0=F故B+C=元-A=晋，即C=晋-B,B∈0，音)月 振据玉弦定理品A品B益c一2R,得中=血B时典C, b …8分 sin A 代入血A=血弩=号C=血传一B)化简得， s血B+nC=snB+sn(晋-Bj=nB+号osB-7nB=名nB+骨osB=n(B+号》 因此+c二n（B十s】-后n(B+爱】 …12分 由Be(0晋)得B+∈（肾）， 故sin(8+晋)(，1]代入得牛∈(1,2] …15分 17.【解析】1)证明：因为a=20-1十21，两边同时除以2得，号=2=，十2 2n 化简得号器-景+，所以学一导=受 …3分 又号=合所以教列{学}为以号=为首项，2为公差的等差数列。 所以，会=十号(m-1)=受… …4分 (2)由（1)可知，2=号，所以a=受·20=n·21,… …5分 则Sn=a1十a2+a3+十am=1十2X2+3X22+…+n·2-1①， 又2Sn=1X2十2X22十3X23十+(n-1)·2-1十n…2"②，…6分 0-②得-S.=1+2+2+2+…+21-n·2=1X(122-n…2二(1-n)2-1, 1-2 所以Sn=(n-1)2"十1.…9分 (3)由(1)(2)可知，an=n·2-1,Sn=(n一1)2"+1. 所以as=·21,Su=(2k-1)·4+1. 由2a暖<Sa可得，22·41<(2k-1)·4+1,整理可得及2-4+2-2<0， …10分 令f(x)=x2-4红十2-2，易知)y=2-4x十2=(x-2)-2在(2，十o0)上单调递增， y=一2一在(2，十∞)上单调递增， 所以f(x)=x2-4红+2-22一在(2，十∞)上单调递增。 …12分 又f1)=1-4+2-号=-是<0，f(2)=4-8+2-日-号<0， f3)=9-12+22=一8<0，f(4)=16-16+2-8=2-23>0, 1 所以当≥4时，有f(x)>0,即2-4+2-2与<0在>4，b∈N时不成立，…14分 所以可取1,2,3. …15分 是-1， 18.【解析】(1)由题可知 e=c_6 …2分 c2=a2+b, 解得a=1,6=号6-号，所以E的方程为2-2=1.… 4分 (2)(1)若直线1平行于x轴，则'垂直于x轴，不合题意。 设M(x1,y),N(x2,y2),则M(,一y),N'(一x2y2), 共中直线1的斜率1=二器直线1的斜率(=一的牛器=一分， x1一x2 x1十x2 x号-2y=1, 由于M(x1,),N(x2y2)在E上，故 x3-2y3=1, 两式相减得（好一）一2（奶一）=0，整理可得”士业，当二业=号 …6分 3十2一x2 29… 将=一丰器=一受代入，可得出=1，设直线：y一x十， x1十x2 x1一x2 联立2”1得云+红z+2E+1=0,A=16r-42r+)=8x-4, 得1MN1=2B24-2√4-2，… …8分 数学参考答案(27Q)-5 而原.点到直线1的距离d=,所以S6N=之MNd=V2可=27,9分 √2 化简得22-t2-28=0,即(22+7)(t2-4)=0,解得t=士2， 所以1的方程为y=x士2. …10分 （菲)直线'与圆x2+y2=1相切，理由如下： 当L斜率为0时，可知M,N重合，不合题意. 由题可设直线l:x=my十√3，联立双曲线E的方程可得(m2一2)y+23my十2=0， 故十均= 23m 2 2hh=m222 …12分 由(1)知直线1y十y=-主业(x一)， x1十x2 y2x1-yit 要证明直线1'与圆x2十y2=1相切，即证明 x1十x2 =1, +业)+1 √1十x2 即证明(y为十归)2十(x1十x2)2=(yx1一y1x2)2,14分 将x=m十3，=1,2代入，即证明(y1+y)2+[m(y+2)+25]=3(-2)2, 将韦达定理代入上式左边， 边-+为+[a+)+2]P=(婴}°+(2变+2°-生提 （m2-2)2 而右边=30为)=（婴）广-X2]-2》提。 …16分 故等式恒成立，即直线1与图x2十y2=1相切.……17分 19.【解析】(1)f(x)=sinx十eos-sinx=,z[0,],令f(x)=0,得x=受或x=0, 在(0，受)上，f(x)>0,f(x)单调递增； 在（受x上，(x)<0,f(x)单调递减，… …2分 故f(x)在[0，x]上的校大值为f（受)=1+交，又因为f(0)=2,f(π)=0， 所以f(x)的最大值为1+罗，最小值为0.… …4分 (2)方法一：f(x)=asin x十azcos-sinx=(a-1)sinx十axcos x, 令g(x)=f(x)=(a-1)sinx十axcos x, g（2)）=(2a-10 c0in=(2a-10nz(臣-2a2…5分 令9e)-器兰-21pa)-品z2<0,故pe)在(0，)上学说减， 2a2(0,号）且4（餐）-1-2a2·>0,94(登)=-2a2与·<0， 从而存在唯一值（径，变）使得p()=0,…8分 且在x∈(0，a)时，g(x)<0,g(x)单调递减； 在x∈(a,π)时，g(x)>0,g(x)单调递增， 即a为g(x)的极小值点，且g(x)无极大值点。 故f(x)有唯一的极值点。…10分 方法二：f(x)=asin x-十Axcos z--sinx=(a-l)sinx+axcos x, f"(x）=(a-l)cosx十acos x--axsin x=(2a-1)cosx-axsin x,…5分 数学参考答案(27Q)-6 分两段讨论， ①在(0,5）上，f(x)=(1-3a)sinx-,由于a<0,(1-3a)sinx>0 QC0S<0, 即产(x)>0恒成立，故f(x)单调递增，又发现广(0)=2a-1<0f（受)=-受>0， 由零点存在定理及"(x)单调递增可知，在(0，受)上一定存在唯一的使得∫"(x)=0, 且在(0,2)上”(x)<0,在(，2)上(x)>0. …7分 ②在（受元上，对于产(x)=(2a-1)cosx-arsin, 由于a<0,(2a-l)cosx>0,axsinx<0,即f"(x)>0恒成立.9分 通过这两段分析可知在(0，x0)上”(x)<0,f(x)单调递减； 在(，r)上f(x)>0,f(x)单调递增， 故当a<0时，∫(x)有唯一的极值点，且是极小值点.…10分 (3)①当a=0时，f(x)=c0sx十1，在[0，元]上有唯一的零点π；…11分 ②当a>0时，f(x)=axsin x十cosx十l≥0恒成立，当且仅当x=元时取等号， 故f(x)）在[0，元]上有唯一的零点；i…12分 ③当a<0时，由(2)知，f(x)=(a一l)sinx十axcos x有唯一的极小值点&， 且∫(0)=0，f(π)=一元a>0,f(x)的大致图象如下， 即f(a)<0f(π)>0，故存在唯一值∈(a,π)，使得f(8)=0…14分 且在(0，)上，f(x)<0,f(x)单调递减；在(B,π)上尹(x)>0,f(x)单调递增， 因为f(π)=0，故f(8)<0,又f(0)=2>0,f(x)的大致图象如下， y 0 所以存在唯一值x0∈(0，π)，使得f(x0)=0,即f(x)在[0，π]上有2个零，点。…16分 综上所迷，当≥0时，f(x)有1个零，点，当a<0时，f(x)有2个零点.…17分高三数学一参考答案 一、选择题 题号1 2 3 6 7 答案C A A A D 1.C【解析】因为全集U={x|0<x<6,x∈Z}=(1,2,3,4,5),A=(1,2,3),故uA=(4,5}. 2.A【解析】由x<1且y<1可得x十y<2, 若x十y<2,可取x=2,y=一1，则x<1且y<1不成立. 所以“x<1且y<1”是“x十y<2”的充分不必要条件. 3.B【解析】对于A:因为b=一2a,所以a,b共线，故A不符合题意； 对于B:因为-1X1≠2X号，所以a,b不共线，故B符合题意； 对于C:因为b=a,所以a,b共线，故C不符合题毫； 对于D:因为b=一2a,所以a,b共线，故D不符合题意. 《A【解折】由m(a+）-9,得血十asa=合，则(e十cos)=子， 所以sina十cos3a+2 2sin-},甲sir2a十cos2a十sn2a-}, 由sina十cosa=1,得sin2a=-是 5.A【解析】设事件A表示“从甲袋取出又放入乙袋中的球是红球”，则事件五表示“从甲袋中取出又放入乙袋中 的球是白球”，事件B表示“最后从乙袋中取出的球是红球”， 所以PA)=号，P=号tP(BaA)=是-，P(B不=号-日 故P(B)=P(AB)+PB)=P(AP(BA)+PIP(BIA)=号×号+号X号-号 6.D【解析】由题意知翻折后点E与点F重合，因此折痕L是线段EF的垂直平分线， 点P在直线1上，根据垂直平分线性质可得|PE=|PF引， 已知FP⊥CD,因此|PF就是点P到定直线CD的距离， 即点P满足：到定点E的距离等于到定直线CD的距离，符合抛物线的定义， 因此，点P的轨迹是抛物线的一部分 另解：如下图所示，以A为原点，AB方向为x轴，AD方向为y轴，建立平面直角坐标系， B 设AB=2a,BC=h,则A(0,0),B(2a,0),C(2a,h),D(0,h), 因为E是AB的中点，所以E(a,0), 因为翻折后点E落在CD上，落点为F,所以设点F的坐标为(t,h)(t长[0,2a]), 折痕1是E和下连线的叠直平分线，即的中点坐标为（生兰，号）， 邵的斜率为8产a国此1的斜率为宝-=， t-a 所以直线1的点斜式方程为y一受-后(2-空)， 点P在直线l上，且PF⊥CD,设点P的坐标为(t,y), 数学参考答案(27Q)一1 代入可得y受=分(-空），化简可得)=一+会 因为点P的坐标为红，》，北：替换成上可得点P的轨连方程为)=-怎2+合，zE[0,20], 2h 是一个二次函数，所以点P的轨迹为抛物线的一部分。 1.C【解折们振据正孩定理，已知等式可化为号+日=4c0sC,整理得cosC=, a 4ab, 由余弦定理得c2=a2+62-2 abcosC=(a2+6)=2ab.g十女=Q2十拉， 4ab 2 已知c=√5，代入得a2十b=6. 由基本不等式a2+b≥2ab,得ab≤3，当且仅当a=b=√5时取等号. 由as0-=品得如C-品， 则△ABC的面积为S=名C=228-是， 当山取最大位3时，S取最大值为S=是-3日 4 8.B【解析】函数f(x)的定义域为（一∞，1]U[2,+∞），且f(x)=f(3-x), 即画数f(x)的图象关于直线工=号对称，y=x(x一3)与y=(x-10(x一2)均在[2，十o∞)上单河递增， 令t=(x一1)(x一2)，y=2十E在[0，十oo)上单调递增，由复合函数单调性可知，函数y=f(x)在 [2,十∞)上单调递增，由对称性，y=f(x)在（一∞，1]上单调递减. a≤1或a≥2， 周为aa+,e-Ke+1-引冬或224≥2 二、选择题 题号 9 10 11 答案 Ac ABD BCD 9.AC【解析】对于A:函放f(x)=2sin(2红一晋），根据周期公式可得T-受=，故A正确； 对于B:令2x-晋=受十kr(∈2Z),解得x=号+合m(∈2)， 当=0时，x=于，当=一1时，z=一吾，所以直线x=晋不是通数x)图象的对称轴，故B错误； 对于C:令2x-晋-m(∈2，解得x=登+号m(∈2)， 当=0时，x=最，所以爱是f(x)的一个零点，故C正确， 对于D:对于函数f(x)=2sin(2x一晋)，国为y=sin(2x-)的值城为[-1,1]， 所以f(x)的值域为[一2,2]，故D错误. 10.ABD【解析】对于A:两点分布的方差公式为D(X)=(1一p)(其中力为成功概率)， 将其视为关于p的二次函数f(p)=一p2+p,图象开口向下，顶点在力=合处， 此时方差取最大值子，故A正确； 对于B:设查得次品数为X,则X服从超几何分布， 其中N=10(产品总数)，M=3(次品数)，n=2(抽取的产品数)， 根据超几何分布的均值公式E(X)=m·总，可得E(X)=2×品-0.6，故B正确； n(ad-bc)2 对于C,根据独立性检验的皖计量X的计算公式为X=a+bC千a干c6+a(其中n=a+6叶c+d为 数学参考答案(27Q)一2 样本量)，若所有数据扩大10倍，则新数据为a=10a,b=10i,d=10c,d'=10d,n'=10m, 10m·(10a·10d-10b·10c)3 代入公式得：x”=a0a+10810c+10d0aY10c106+10a-10t, 所以统计量的值变为原来的10倍，结论会改变，故C错误； 对于D:X~N(1,100),正态分布对称轴μ=1， 若P(X2a十1)=P(X≤a-2),则2+1+a-2-1,即301-1，解得a=1,故D正确。 2 2 11,BCD【解析】对于A:当m=2时，曲线C:x2+y2-2xy-2=0,即x一y=士√2，此时C的图象为两条直线，A 选项错误； 对于B:若P(x,y)在曲线C上，则P关于原点对称的点P'(一x,一y)也在曲线C上，即曲线C的图象关于原 点中心对称，B选项正确； 对于C:当m=1时，曲线C:x2+y2一xy一2=0，若P(x,y)在曲线C上，则P关于直线y=x对称的点 P(y,x)也在曲线C上，即曲线C关于直线y=x对称，同理也可证明曲线C关于直线y=一x对称，又因为 曲线C的图象为椭圆，所以其长短轴应在y=x与y=一x上.将y=x代入曲线中，得C:x2十x2一x·x一2= 0,解得=y一厄，#)=-z代入南线中，得中（一P-(一）一2=0，得三=士写 此时椭圆的长半轴长a=√x2十y=2,故C上一点到原点的距离最大为2，C选项正确； 对于D:当m=4时，尚线C:2十y-y2=0,将其看点y的方程，解得)=红土牛B,当o0时， 2. y=4红±)区区，即双曲线的渐近线为y=(2士3)x,由C选项易知，曲线C关于直线y=一x对称，计算)y 2 (2十√5)x与y=-x的夹角0，有tan0= 2+3-(-1) 1+(2+3)·(-1) =√5，又一2x2一2=0无实根，故双曲线实 轴为y=一公而在双曲线中渐近线与其过焦点的对称轴夹角日满足ta日=名，即b=3,故e=二= @于亚=2，D选项正确。 √a2 三、填空题 1224【解折】上项式(2x+'晨开式的通项为T41=C·(2x)()广=C·2t,c-,k=0,1 令4一2k=0,解得=2，所以二项式的展开式第三项为常数项，常数项为T3=C8X22=24, 13.-号1+h2)【解析】由题意得了(x)=士g(x)=2z, 设f(x)与g(x)图象的公共点为(xo)(x>0),f(xa)=lnx0十a,g(x)=x8十b, 根据两条直线斜率相等可得片-2，解得马-号。 再根据公共点处纵坐标值相等得nx十a=x号十b, 即6a=n4一对=h号-方=-合1+h2》, 14.(一o,号)【解析】由题意可画出x)的图象，令=fx)十a,为了使 关于x的方程f(f(x)十a)=m有四个实数解，即使得关于t的方程f(t) =m有2个实数解4,2(<2)，其中∈(-∞，1)，∈(W,十o∞)， m∈（合，+o 0 要使原方程f(f(x)十a)=m有四个实数解，即关于x的方程f(x)= -a与f(x)=一a各自有两个解，又一a∈(-o,l-a),2一a∈ (e-a,十oo),所以只需1-a>号，即a<2 数学参考答案(27Q)-3 四、解答题 15.【解析】(1)PA⊥底面ABCD,AB,BCC底面ABCD,∴，PA⊥BC,PALAB. 在△PAB中，PA⊥AB,PA=AB=2,E是PB的中点，故AE⊥PB,…2分 ,四棱锥P-ABCD的底面是矩形，BC⊥AB, PA⊥BC,AB∩PA=A,AB,PAC平面PAB,.BC⊥平面PAB,…4分 故BC⊥AE 由AE⊥BC,AE⊥PB,BC∩PB=B,BC,PBC平面PBC,得AE⊥平面PBC.…6分 (2)以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为之轴建立空间直角坐标系， 其中A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),P(0,0,2), 由于E为PB中点，故E(1,0,1),AE=(1,0,1),…8分 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),P=(0,4,-2),DC=(2,0,0), Pi·n=0,g4y-2x=0, 由 DC·n=0,2x=0, 令y=1,得平面PCD的一个法向量n=(0,1,2), …10分 设直线AE与平面PCD所成的角为6， 所以sig=|cos应，m0l=怎a AE·n 2 =0 …12分 即直线AE与平面PCD所成角的正弦值为四 5 …13分 16.【解析】(1)根据向量的数量积公式：m·n=cos0·1十sin0·√3=1， 用辅助角公式化简：W3sin叶cos0=2sin(什晋)-1， 即s血（什晋）=之 …3分 已知9(0，，故叶晋∈（骨，），则0叶晋=晋， 解得0=红 …6分 (2)已知A=0=年，故B+C=元-A=晋，即C=晋-B,B∈(0，号) snA五c=2R,得计-血B+nC 根据正弦定理0一 b sin A …8分 代入sinA=如等=写血C=如（赁-B)化商得， saB叶s血C-血B叶如（肾-B-s血B+停sB-nB=号mB+停cosB=n(B+晋）》， 因此+e “-e …12分 3 由B∈(o,)得B+骨∈（胥，）， 故sm(B+肾)(，1]，代入得∈(1,2] …15分 12.【獬折11证明：国为a=2a十21，两边同时除以2公得，多-2-2二 化简得会=+子所以是一岩=2 …3分 数学参考答案(27Q)一4 又号=受，所以数列{份}为以号=合为首项，合为公差的等差数列， 所以，会=+(a一1)=受 … …4分 (2)由（1)可知号=受，所以a=受·20=…21，… …5分 则Sn=a4十a2十ag十…+an=1+2X2十3X22+…+n·2-1①， 又2S,=1X2+2X22+3X23十…十(n-1)·2"-1+n·2②，… …6分 ①-②得-S.=1+2+2+2+…+2-1-n+2=1X12)-2·20=(1-)20-1, 1-2 所以Sn=(n一1)24十1.… …9分 (3)由(1)(2)可知，an=n·2m-1,Sn=(n-1)2m+1. 所以a4=·2-1,S2=(2k-1)·4+1. 由2<Sm可得，2·41<(2-1)·4+1，基理可得&-+22<0， …10分 令f(x)=x2-4z十2-2，易知y=x2-4x+2=(x-2)2-2在(2，+∞)上单调递增， =一2品在(2，十∞)上单调递增， 所以f(x)=z2-4x十2-2在(2，十oo上单调递增. 12分 又f1)=1-4+2-号-是<0，f2=48+2日=-g<0, f3)=9-12+2-2=器<0，f4)=16-16+2离3=2-8>0， 所以当24时，有f(x)>0,即及一级+2-2<0在公4，EN”时不成立 …14分 所以可取1,2,3. …15分 是=1， 18.【解析】(1)由题可知 e==6 …2分 a2, c2=a2+b2, 解得a=1,0=号6-写，所以E的方程为-2对=1… …4分 (2)(1)若直线1平行于x轴，则1垂直于x轴，不合题意. 设M(x1h),N(x2,2),则M(x1,-),N（-x2,2), 共中直线的外本一会瓷，立线了的外卡=一密贸=一宁 xI-x2 x子-2y1=1, 由于M(x1,h),N(x2,)在E上，故 x号-2y呢=1， 两式相减得（好一）一2（听一）=0，整理可得边士兰.边二业=吾 …6分 1十x2 x1-x22 将好=一必十密=-合代入，可得为=二路=1，设直线1y=2十， x1十x2 一x2 联立x+,得+x+2+1=04=162-4(2+1)=82-4, (x2-2y2=1, 得MN=√28-4=24-2，…8分 数学参考答案(27Q)一5 而原点到直线1的距离d=是，所以So=号MNd=√2可=2万，…9分 √2 化简得2-2-28=0，即(22+7)(2-4)=0，解得t=土2， 所以l的方程为y=江士2。…10分 ()直线t与圆x2+y2=1相切，理由如下： 当1斜率为0时，可知M,N重合，不合题意. 由题可设直线l:x=my十5，联立双曲线E的方程可得(m2一2)y2+2W5my十2=0， 故M十为= 23m 2 m 211):m 2 …12分 由(1)知直线：y叶=-边2(x一)， x1十x2 2x1一1x2 要证明直线与圆x2十y2=1相切，即证明 x1十x2 =】1 (+边)+1 √八x+x2 即证明(h十2)2+（十x2)2=(y2x一yx2)2, …14分 将x,=my十V3,i=1,2代入，即证明(+2)2+[m(十2)+25]2=3(h一)2， 将韦达定理代入上式左边， 在边=++[m6+)42-(3)°+(+25 =12m2+48 m2-2 (m2-2)2 西右边=8052-[(2}-X名]产2艺》， 1_12m2+48 …16分 故等式恒成立，即直线与圆x2十y2=1相切.…17分 19.【解析】(1)f(x)=sinx十x0osx-sinx=xosx,x∈[0，r],令f(x)=0,得x-受或x=0, 在(0，)上，f(x)>0,f(x)单调递增； 在（受，m上，f(x)<0,f(x)单调递减，… …2分 故f(x)在[0，π]上的极大值为f(受)=1+受，又因为f(0)=2,f(π)=0， 所以f(x)的最大值为1十交，最小值为0.…4分 (2)方法-：f(x)=asin x十axcos-sinx=(a-l)sinx十axcos x, 令g(x)=f'(x)=(a-l)sinx十axcos z, ()=(2a-1)c0s z-azsin =(2a-1)sin …5分 令9(e)=器是2,9a)=z2品0，放px)在(0，x)上单递流， 2a2与(0，)且9(）=1-202·>0，p(）-2a2与·<0， 从而存在唯一值a∈（年，受）使得p(a)=0,… …8分 且在x∈(0，a)时，g'(x)<0,g(x)单调递减； 在x∈(a,π)时，g(x)>0,g(x)单调递增， 即α为g(x)的极小值点，且g(x)无极大值点 故f(x)有唯一的极值点。… …10分 方法二：f(x)=asin x十axcos x-sinx=(a-l)sinx+axcos x, f"(x)=(a-1)cos xtacos x-axsin x=(2a-1)cos x-axsin x,..... …5分 数学参考答案(27Q)-6 分两段讨论， ①在(0，)上，"(x)=(1-3a)sinx-,由于a<0,(1-3a)sinx>0,s<0, 即产(x)>0恒成立，故f'(x)单调递增，又发现f(0)=2a一1<0，j(受）=-受>0， 由零点存在定理及∫(x)单调递增可知，在(0，零)上一定存在唯一的0使得f"()=0, 且在(0,2)上(x)<0虜在(2四，受)上f'(x)>0。…7分 ②在（受，元上，对于f”(x)=(2a-1)cosx-axsinx, 由于a<0,(2a一1)cosx>0,axsin x<0,即(x)>0恒成立.…9分 通过这两段分析可知在(0，x0)上'(x)<0,f(x)单调递减； 在(x0,π)上”(x)>0,f(x)单调递增， 故当Q<0时，f(x)有唯一的极值，点，且是极小值点。…10分 (3)①当a=0时，f(x)=c0sx十1，在[0，π]上有唯一的零，点π；…11分 ②当a>0时，f(x)=axsin x十cosx十1≥0恒成立，当且仅当x=π时取等号， 故f(x)在[0，π]上有唯一的零点影…12分 ③当a<0时，由(2)知，f(x)=(a一l)sinx十axcos x有唯一的极小值，点a, 且f(0)=0,f(r)=一πa>0,f(x)的大致图象如下， 0 即f(a)<0,f(x)>0,故存在唯一值∈(a,r),使得f(8)=0.…14分 且在(0，)上，f(x)<0,f(x)单调递减；在(B,π)上f(x)>0,f(x)单调递增， 因为f(π)=0，故f(8)<0,又f(0)=2>0,f(x)的大致图象如下， 0 所以存在唯一值x0∈(0，π)，使得f(x)=0,即f(x)在[0，π]上有2个零点。…16分 综上所述，当a≥0时，f(x)有1个零点，当a<0时，f(x)有2个零点。…17分高三数学 命题人：贲腾 审题人：胡雪文唐彬彬 命题研究中心 时量：120分钟满分：150分 得分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的》 1.设全集U={x|0<x<6,x∈Z},集合A={1,2,3},则uA= A.{1,2,3} r B.{4,5,6} C.{4,5}》 D.{xl3<x<6} 最 2.设x,y∈R,则“x<1且y<1”是“x+y<2”的 地 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 长 分 C.充要条件 郑 D.既不充分也不必要条件 杯 3.下列各组向量中，可以作为平面内所有向量的一组基底的是 期 茶 A.a=(3,2),b=(一6，一4) B.a=(-1,2),b=(合，1 C.a=(2,-5),b=(1,-号) D.a=(3,7),b=(一6，一14) 4.已知sin(e+)=,则sin2a= 扯 A-是 B.月 D 5.已知甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个红球和3个白球.从 甲袋中随机摸出一个球放入乙袋，再从乙袋中摸出一个球，则从乙袋中 摸到红球的概率为 A号 B器 c D.o 数学试卷(27Q) 第1页（共8页） 6.如图，点E为矩形ABCD边AB的中点，以动直线L为折痕将矩形在其 下方的部分向上翻折，每次翻折后点E都落在边CD上，记该落点为F, 过点F作FP垂直CD交直线L于点P,则点P的轨迹为()的一 部分. A圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 7.已知在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a6,c满足血A血B sin B sin A =4cosC,且c=5,则△ABC面积的最大值为 2 8.已知fx)=e-)+√x-I)(x-2),且f(a)<f(a十1)，则实数a的 取值范围是 A(1,+∞) B.[2,十o∞) C.(-∞，0] D.(-∞，1) 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个 选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0分） 9,设函数f)=2sim2z-},则下列结论正确的是 Af(x)的最小正周期为π Bf(红)的图象关于直线工=看对称 Cfx)的-个零点为号 D.f(x)的值域为[-1,1] 数学试卷(27Q)第2页（共8页） 10.下列说法正确的是 A两点分布中，p=时，方差最大 B.设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品的 均值为0.6 C,用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性，如果把2X2列联 表中所有的数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，结论 n(ad-bc)2 不受任何影响参考公式：t=a十bc十d)a+)(b叶d D.随机变量X满足X~N(1,100),若P(X>2a+1)=P(X≤a-2), 则a=1 11.关于二次曲线C:2+y-mxy一2=0(m∈R),下列说法正确的是 A当m=2时，C的图象为一条直线 B.Ym∈R,C的图象为中心对称图形 C.已知m=1时，C的图象为椭圆，则C上一点到原点的最大距离为2 D.已知m=4时，C的图象为双曲线，则其离心率e=2 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 22z+) 的展开式中常数项为 13.函数f八x)=l血x十a与函数g(x)=x2+b在公共点处切线相同，则 b-a= lnx,x≥l, 14.已知函数f(x)三 总存在m∈R,使得关于x的方程 1-<1, f(f八x)十a)=m有四个实数解，则实数a的取值范围是 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 15.(本小题满分13分) 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD,AP= AB=2、AD=4,E是侧棱PB的中点. (1)求证：AE⊥平面PBC: (2)求直线AE与平面PCD所成角的正弦值. 16.（本小题满分15分) 已知向量m=(cos0,sin0),n=(1,N3),且m·n=1,0∈(0，x). (1)求9的值； (2)在△ABC中，角A,B.C的对边分别为a,bc,若A=9,求的取 值范围。 17.(本小题满分15分) 已知数列{an}的前n项和为Sm,且an=2an-1+2m-1(n≥2)，a1=1. 2 (1)证明：数列 是等差数列； (2)求数列{an)的前n项和Sn; (3)若2a?<S2k,求正整数k的所有取值 18.（本小题满分17分) 在平面直角坐标系0中，已知点(5,1)在双曲线E:若-卡-1 @>0,b>0上，且E的离心率为9。」 (1)求E的方程； (2)若直线l与E交于M,N两点，设M关于x轴的对称点为M',N关 于y轴的对称点为N',记直线MN'为'. (i)若的斜率为-，△OMN的面积为27，求L的方程； (i)若l经过点(5,0)，试判断与单位圆x2+y2=1的位置关系， 并说明理由。 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=axsin x十cosx十1，x∈[0，π]. (1)当a=1时，求f(x)的最值； (2)当a<0时，证明：(x)有唯一极值点； (3)讨论f(x)的零点个数.