湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2026-2027学年高三上学期开学数学试题

**基本信息** 高三数学开学试卷，涵盖函数、几何、概率等核心知识，通过梯度化题型设计（如17题概率应用、18题椭圆综合、19题函数与数列证明），考查数学抽象、逻辑推理及建模能力，适配开学学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、向量、函数单调性|8题四棱锥外接球结合空间想象，9题复数多选项辨析逻辑推理| |填空题|3题/15分|双曲线离心率、三角函数零点|14题数列构造考查抽象能力，体现数学眼光| |解答题|5题/77分|立体几何证明、概率应用、椭圆综合|17题联考数据分析建模，19题函数不等式与数列证明融合，突出数学思维与语言表达|

高三数学一参考答案 题号 1 3 5 8 9 10 11 答案 BA C B D A D BC ABD ACD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.B【解析】由题意得a+3十4+5十6=5b,a十b=12,解得a=7,6=5,所以样本方差=号[(3-5)2+(4-5)2+(5- 5)2+(6-5)2+(7-5)2]=2,所以标准差为√2. 2.A【解析】将已知两个等式分别两边平方，得|2a十b2=4|al2+4a·b十|b2=(W5)2=5,① |2a-b2=41a2-4a·b+|b12=32=9,② 将①式减去@式，可得(4a+4a·b叶b1)-(4a3-4a·叶1)=5-9，解得a·b=-2 3.C【解标】因为A=(l血x>0)=(>1,B={z0=x-1D(x-2)≤0且≠1)=z1<≤2， 所以CaB={xx>2头. 4.B【解析】f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x十1)， 当x<-1或x>3时，f(x)>0,当-1<x<3时，f(x)<0, 所以函数f(x)在区间（一∞，一1），(3，十∞)上递增，在区间(-1,3)上递减， t-33或t+5≤-1，即t≥6或≤-6. 5.A【解析】当n≥2时，an=Sn-Sn-1=na.-2m(n-1)-(n-1)a-1十2(n-1)(n-2)=a.-(n-1)a-1-4(n-1), 则(n一1)a.一(n-1)a.-1=4(n一1)，即an一an1=4,所以数列{an}是公差为4的等差数列。 又4=1，则a,=1十4n-1）=4n-3,S.=1+(4g-3》×=n(2m-1D. 2 所以a17=4X17-3=65,S6=6X11=66=a47十41. 6.D【解析】设切，点为(，f(x),f(x)=ax8十b十cx十d,斜率=f(m)=3a哈+2bx十c, 切线方程为y-f(x)=(x一)， 所以(ax3+bz2+cx十d)-(a8十b6十cx+d)=(x-x)(3a6+2b+c), 化简，得(x一)2(ax十2am十b)=0,x=或x=-2a十b 所以查西=2a十也，即石=一品时，切线与)有唯一的交点， 当≠一品时，切线与f)有2个不同的交点。 7.A【解析】过点M作y轴的垂线，垂足为D.设，点A(1,h),B(2),M(,%), 因为PALPB,M为AB的中点，则|MP|=IAB=1AF到+BFD=(十+2)=+1， 所以0PM-0=干1=1-6 因为≥OF=1,则sm∠OPME[2,1),所以∠OPME[吾，受) 8.D【解析】分别取AB,CD的中，点E,F,连接PE,PF,EF, PE=√PA-AE=√4-2=2W3,PF=√PC-CF=√8-2=2， 易知△PEF是直角三角形，且∠EPF=90°， 过P作P0LEF于0，点，PO=PE:PE=2BX2=5, EF 4 ,点O到底面中心（设为MD的距离OM=EO-EM=3一2=1. 设四棱锥的外接球球心为O,半径为R. 底面正方形ABCD的外接圆半径r=MC-√干型=22。 数学参考答案(27T)一1 设球心到底面ABCD的距离为x,则有：R2=+2=(2√2)2+=8十之，① 球心到顶点P的距离的平方：R2=|0P12=02+(1-0)2+(W3-z)2=1+3-23z十2=4-23z十之，② 联立①@，解得z=-25(说明球心在底面ABCD的下方). 3 代同0式得半楼的辛方：R=8+(2)‘=8十号-婴， 最后，求得外接球的表面积：S=4R=4x×3-12红 331 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分， 分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.BC【解析】因为虚数不能比较大小，所以A错误； 因为复数2=m十1十(m-1)1是统意数，所以十10：解得m=一，故B正确， m-1≠0， 因为2i一3是关于x的方程2x2十px十q=0(p,q∈R)的一个根，则另一根为一2i一3， 2i-3+(-2i-3)=-含=-6， 由根与系数的关系可得 解得=12,9=26， (2i-3)(-2i-3)=号=13， 则p十q=38,故C正确； 若复数之满足1≤|z<5, 由复数的几何意义可知不等式表示的范围为圆环，如下图所示： - 则复数之对应的点所构成的图形面积为元·（W3)2一元·12=2π，故D错误. 10.ABD【解析】以A为原点，分别以AB,AA,AC的方向为x轴、y轴、之轴的正方向， 建立空间直角坐标系Axyz各点坐标如下：A(0,0,0),B(2,0,0),A1(0,2,0), C00,2,B22,00,C02,2,D1,20,E0,1,0,F(合，1,1. 选项A:亦=（合，0,1），平面ABC的一个法向量为=(0,1,0)， 显然成.m=号X0+0X1+1X0=0,所以成1儿 又因为E在平面ABC,所以EF∥平面ABC,故A正确。 选项B:-(合，0,1)，B心-(-2,0,2)， cos(EF,BC)- E求.BC -1+0+2 =10 个y |EF1·BC +1×V4+45X2w2而10， 1 所以异西直线EF与BC所成角的余孩值为需，女B正确。 选项CB克=(-2,1,0)，CC=(0,2,0),CD=(1,2,一2)， 易得平面CCD的法向量m=(2,0,1). 设直线BE与平面CCD所成角为0， 则血m感=调：-洁-合c 选项D:平面A1CD的法向量n1=(0,1,1). 授两平面夫角为则os=os(m,M小=1洁0安=元=8，威D正确 √5X√2 数学参考答案(27T)一2 11.ACD【解析】对于A,在f(1十x)=2f(1-x)中令x=0,则f(1十0)=2f(1-0),所以f(1)=0,故A正确。 对于B,当x>0时，f(1十x)=2f(1一x),对f(1+x)=2f(1一x)两边求导， 则f(1+x)=2f(1-x)(-1)=-2f(1-x), 所以x>0时，f(1+x)+f(1-x)=-2f(1-x)+f(1-x)=-f(1-x)<0, 所以f(1-x)>0,令1一x=4,∴<1时，f()>0, 所以f(x)在（一∞，1]上单调递增，所以B错。 对于C,由B知，f(x)在(-∞，1]上单调递增，(1，十o∞)上单调递减， 由x<2,f()<f(x2)知，2不可能均大于等于1，否则x2>≥1，则f()>f(m),这与条件矛盾，舍去. ①若方<x2≤1，则f()<f(x2),满足条件，此时十x2<2; ②若x<1<2,则2-x2<1,而f(x2)=2f(2-2), 则f(x)-f(2-x2)=f2-x2)<f1)=0, 所以f(x2)<f(2-x2)→f()<f(2-2),而，2-2<1，所以<2-2→十x<2,C正确. 对于D,由f(x)在(-∞，1]上单调递增，(1，十o∞)上单调递减，知f(x)≤f(1)=0, 注意到g(号)=f(号)<0，g1)=f1+1>0,g(层)=f(受)）<0， 所以∈（合1西∈(1，）， 若f)<f),则西十<2，则)=os{)'eos()Kos(),（*) f(x2)=cos(nx2), 所以<2-2→元<π(2-2)→cos(π)>cos[π(2-x)]=c0s(π2)， (:西(2-)∈（受，元，这与(*）矛盾，舍去。 所以f≥f→得之≥1，故D运确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12号 13.(停，3]【解折】由题意f(）=snaz-0=区s血(ar-牙)o>0)， ”xe[0,x),ior-圣∈[-晋om-晋)， 又集合A={x∈[0，)lf(x)=1)只含有3个元素，且V2sin(-平)=-1， 平<m-吾<，解得号<<3， “实数u的取值范国是（侵，3] 14.2【解析】设数列An:a,a1,a,…,a%,b,其所有各项的和为Sn,即Sn=a十a十a2十十a十b, 则数列A+1:a,a十a,a,a十a2,a2,a2十ag,ag,…,ag-1十ak,ak,a%十b,b, 其所有各项的和S1=3a,十a十十a4)十2(a叶b)=38。-(a+b),即St1-a生-3(3。-） 2 又S=a+a+6)+=2a+0,则S-告的3Ca时》，所以8-时5_3a时Dx9=时xg, 2 从西S=安产g+1).因为Sw=(3+1D=3w+1,所以a叶b=2。 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解析】(1)证明：因为E在BD上，所以CE与DE是平面BCD内的相交直线. 又因为AE⊥CE,AELDE,可得AEL平面BCD.…(2分) 因为CDC平面BCD,所以AE⊥CD. 又已知CD⊥AD,且AE∩AD=A,AE,ADC平面ABD, 所以CD⊥平面ABD. 因为CDC平面ACD,所以平面ACDL平面ABD. (5分) 数学参考答案(27T)一3 (2)由(1)知，CD⊥平面ABD 因为EDC平面ABD,所以CD⊥ED(即∠CDE=90). 又AE⊥平面BCD,AE⊥ED, 以D为坐标原，点，分别以DC,BD的方向为x轴、y轴正方向，以过点D且平行于EA的 方向为之轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxy2,…(7分） 则D(0,0,0),B(0,-3,0),C(2W3,0,0),A(0,-2,2). AB=(0,-1,-2),AC=(2V3,2,-2), 设平面ABC的法向量为m=(x,y,),则有： m·AB=-y-2x=0, 令x=一1，则y=2,x=一√3. m·AC=2W3x+2y-2z=0, 所以平面ABC的一个法向量为m=(一√5,2，一1).…(9分) AD=(0,2,-2),Ci=(-23,0,0), 设平面ACD的法向量为n=(a,b,c),则： …市=26-2c=0解得a=0,6=6,令6=1，则=(0,110.… …（10分) n…Ci=-2W3a=0, 设平面ABC与平面ACD的夹角为0，则： 1-3×0+2×1+(-1)×1一=1 eos0=osm=m1仁3+2+仁XwW0于7元57 故平面ABC与平面ACD夹角的余弦值为大.…（13分) l6.【解析】(1)△ABC中，由余弦定理，a2=b+c2-2 bccos A,又b+c2-a2=2 bcsin A,故sinA=cosA,tanA=1,… …(3分) 又0AK,dA=f… (5分) (②)由题，BD=号a,CD=0,… (7分) 记∠ADB=a,则∠ADC=π一a, △ABD中，e=号e+4-2X2x号asa=音d+4-号asa,① △4CD中，8=日a2+4-2X2X号×os(x-a)=合d+4+9c8a,@ 由①十②X2得：2十26=号a2十12，③…(9分】 由(1)知，a2=b2+c2-√2bc,代入③中整理得： 吉+专5=12-2c≥2√得x8-告c,当且收当号-号时果-”， 4甘22bc≤2解得bc≤4+22=9(2-2)，- (12分) 3 S度=号6csnA=26c≤95E,-1卫， 4 2 故△ABC面积的最大值为9(2，-1) 2 …(15分） 1.【解析I1)由题密，用频率估计概本，甲校学生答对该题的瓶率为P(=部=0.8， 乙校学生容对该题的概率为P(B)-品=0,5， 设从甲、乙两校各抽取的1名学生答对的人数分别为X1,X2,则X1~B(1,0.8),X2~B(1,0.75), 且X1,X2相互独立。 总答对人数X=X1十X2,且X的可能取值为0,1,2. P(X=1)=P(X1=1,X2=0)十P(X1=0,X2=1)=0.8X(1-0.75)+(1-0.8)X0.75=0.35.…(3分) 根据期望的线性性质： 数学参考答案(27T)4 E(X)=E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=0.8+0.75=1.55. …（6分) (也可列分布列计算：P(X=0)=0.05,P(X=1)=0.35,P(X=2)=0.60, 则E(X)=0×0.05+1×0.35+2×0.60=1.55.) (2)①记事件M为“甲校学生掌握该知识，点”，事件C为“甲校学生选择正确”. 由题意知，选项有4个，随机盲猜答对的概率为0.25. 则P(CM0=1,P(CM0=0.25. 根据全概率公式：P(C=P(IMDP(CMD+P(0P(CMD. 代入已知数据：0.8=p1×1+(1一1)×0.25. 解得方程：0.751=0.8-0.25=0.55， 所以甲校学生字报波知识点的就率估计值A-品碧-品 (10分) ②本问即求在事件C发生的条件下，事件M发生的概率， PMO=PC_-PmPC2,代入数据，PMC= 1-)× P(C P(C) 45 12 所以已知甲校学生答对的条件下，该生是靠“盲猜”答对的概率为2 (15分) 18【舞标11)由已知，后=得，则2-号d,即2-8=号c,得4d=96,所以2a=6… (2分) 又2a-2b=2,即a=b+1,则2(b十1)=3b,得b=2,从而a=3. …(3分） 所以E的方程是公十父1…(4分) (2②设点A(国)，B(),周为O心-=ai+号成， 则点C(3西十4,3十4丝）， 5 5 …(5分） 因为点C在E上，则3t4)+③十g)-1, 25×4 25×9 即号（+)+（算+曾）+酷(+g）-1 …(7分) 周为减A,B在E上，则季+普-1，草+音-1，从而号+碧+酷（色经+）=1， 得要+g2-0,即为=8严， 4 所以·as=边头=一9 …(9分） T1T2 4 (3)由题设，直线AD的方程为y=3x,设直线l的方程为y=2十m,联立两方程解得， x=00所以点P(g,）, …(10分） 将=名十m代入等+号-1，得92+4（受+m)°=36，即5x+2mx+2m-18=0 设点M),N(4,则西十4=-2 5 …(12分） 不坊设>4，因为点P在线段AD上，则>> 所以1PM+21PN=。-|·√++2a-√1+=[-+2(-a] =(a-2红+）-9a2%-五-4)=354 …(15分) 2 因为点N在y轴左侧，则一2≤x4<0.当x4=一2时，直线1过E的左顶点（一2,0）， 1的方程为y=x十1，联立y=3x,解得x=号y=号 因为点P(号，号)在捕圆内，从而在线段AD上 数学参考答案(27T)一5 所以当x4=-2时，|PM+2引PN|取最大值3V5. …（17分) 1.【解析11由f)=60sx+是x-1,x∈[0，受]，f0)=0,f(受）=0，求导，f()=-sinx+是令了)=0，在 [0,登]内有唯一零点：当x[0,)时，f)>0,f)递增；当x(云，受]时，f(a)<0,f)递减. 故f(x)≥0，等号当且仅当x=0或x=牙时取得。…(4分) (2②)分离参数法.由不等式cosx+品一1-kr≥0，移项：x≤c0sx十品2一1， 情况1：当x=0时，左边：k·0=0;右边：c0s0十0一1=0， 不等式：0≤0，恒成立，k为全体实数… …(6分) 情况2：当xE(0,受]时，此时父>0，两边可以直接除以t,不等号方向不变： cos 2+2 rx-1 cosx十2x-1 令h(x)= x e(0,登]， 题意等价于：≤h(x)咖… (8分) 求h(x)的最小值： 先看端点：h(受) ( 4 再研究单调性： 由第()问：osx十2x-120,x∈[0，含]，且仅在2=0或x=受取年. 所以，当E(0,受）时，0x+2x一10， 故(x)>0,x∈(0，受)，而（受）=0，所以h(x)=0,从而(x)=0, 所以实数的取值范围是（一∞，0]. (10分) (3)首先，由定义可得a1-a.=cos2开3-1<0， 故{an}单调递减. 其次，利用恒等式1-c0sx=2sin受，令4=2%千？ 则1-cosa=2sin246干2 记以=年2对≥1，则a∈(0，晋]， … …(12分） 当x∈(0，晋]时，有0<n≤x,故sina<, 2X2 2 即1-cosa4≤2暖=(4千2<千D（因为tK16). 又南血≥在0，看]上减将1-碳≥2（侵a)-a2>a是D, 2 因此3异+D<1-os26千106子D 2 …(们4分） 对=1到和泉和利同会子D一会D一3年D 2 2 2n 得2D<21-2千 (16分) 而a=-21-千)-0<<32D 2n (17分) 数学参考答案(27T)一6 高三数学 本试卷分第 Ⅰ 卷 (选择题) 和第 Ⅱ 卷 (非选择题) 两部分，共 6 页。时量 120 分钟，满分 150 分。 第 Ⅰ 卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.一个样本3，4，5，6，a的平均数是 b，且不等式 的解集为(b，a)，则这个样本的标准差是 A. 1 B. C. D. 2 2.已知向量，满足 则·= B. C. - 1 D. 1 3.已知集合 则 A. {x|1<x<2} B. {x|1<x≤2} C. {x|x>2} D. {x|x≥2} 4.已知函数 在区间(t-3，t+5)上单调递增，则实数 t的取值范围是 A. - 6<t<6 B. t≥6或t≤-6 C. t>6或t<-6 D. - 6≤t≤6 5.设数列{}的前n项和为,已知 则 6.三次函数 f(x)在 处的切线与函数y=f(x)的图象的交点个数为 A. 1个 B. 3个 C.1个或者 2个 D. 2个 7.过抛物线 的焦点 F 作直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,点 P 在 y 轴上,PA⊥PB,M 为线段 AB 的中点，O为坐标原点，则∠OPM 的取值范围是 A. B. C. D. 8.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为4 的正方形,PA=PB=4,PC=PD=2 则该四棱锥的外接球的表面积为 C. 32π 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9.下列有关复数的结论正确的是 A. 3+i>1+i B.若复数z=m+1+(m-1)i是纯虚数,则m=-1 C.若 2i-3是关于x的方程2x²+ px+q=0(p,q∈R)的一个根,则p+q=38 D.若复数 z满足 则复数 z对应的点所构成的图形面积为3π 10.如图，在直三棱柱 中, 点 D,E,F 分别为A₁B₁,AA₁,CD 的中点. 下列结论正确的是 A. EF//平面ABC B.异面直线 EF 与 BC 所成角的余弦值为 C.直线 BE 与平面 CC₁D 所成角的正弦值为 D.平面 A₁CD与平面 CC₁D 夹角的余弦值为 11. 已知定义在 R 上的函数 f(x) 的图象连续不间断,当x≥0时,f(1+x)=2f(1-x),且当x>0时,f'(1+x)+f'(1-x)<0,则下列说法正确的是 A. f(1)=0 B. f(x)在 (-∞,1]上单调递减 C. 若 则 D. 若x₁,x₂是g(x)= f(x)-cos(πx)的两个零点，且 则 1<<2 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知双曲线 的一条渐近线方程是 则该双曲线的离心率为 . 13.已知函数f(x)= sinωx-cosωx(ω>0),若集合A = {x∈[0,π)|f(x)=1}只含有3 个元素，则实数ω的取值范围是 . 14.在两个实数a，b之间插入这两个数的和，得到数列 A₁：a，a+b，b；在数列 A₁的每相邻两个数之间插入这相邻两个数的和，得到数列. 用同样的方式依次构造数列A₃,A₄,….若数列 A₁₀₀ 中所有各项的和为 则a+b= . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 如图,在三棱锥 A-BCD 中,点 E 在 BD 上,AE⊥CE,AE⊥DE,CD⊥AD. (1) 证明: 平面 ACD⊥平面 ABD; (2) 若 DE=2,BE=1,AE=2, 求平面 ABC 与平面 ACD 夹角的余弦值. 16.(本小题满分15分) △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 (1)求角 A; (2)点 D 在 BC 边上,且 求△ABC 面积的最大值. 17.(本小题满分 15 分) 某次联考中，有一道四选一的单项选择题考查了某个核心知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各 100 名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为 80，乙校学生选择正确的人数为 75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X 为这2名学生中该题选择正确的人数，求X =1的概率及 X 的数学期望. (2)教育测量学中，常采用如下模型分析单选题：学生如果未掌握该知识点，就会从四个选项中随机盲猜一个作为答案.假设甲校学生只要掌握了该知识点，就能 100%选择正确. ① 求甲校学生真正掌握该知识点的概率估计值 p₁； ② 已知抽查到的一名甲校学生该题选择正确，求该生实际上是靠“盲猜”答对的概率. 18.(本小题满分 17 分) 已知椭圆 的离心率为 长轴长与短轴长的差为2，点 A，B，C 都在 E 上，O为坐标原点，且 (1)求 E 的方程; (2)若直线 OA，OB 的斜率存在，求直线 OA 与 OB 的斜率之积； (3)设直线 OA 与 E 的另一个交点为 D，点 P 在线段 AD 上运动，过点 P 作斜率为 的直线 l 与 E相交于 M,N 两点,若直线 AD 的斜率为3,求|PM|+2|PN|的最大值. 19.(本小题满分 17分) 已知当 时，定义函数： 完成以下问题： (1)证明不等式： 并指出等号成立条件. (2)若 对任意 恒成立，求实数 k 的取值范围. (3)设数列{ }满足: 证明：数列 单调递减，且对任意正整数 n，有 学科网（北京）股份有限公司 $