5.3.2导数的综合应用课时同步作业-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 高中数学导数综合应用同步练习，分层设计梯度清晰，知识覆盖从单一到综合，适配新授课巩固，培养数学思维与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|导数与单调性、极值单一应用|选择1-6直接考查导数公式应用，夯实概念理解| |综合应用|导数与函数性质小综合|填空9-12结合定义域、零点分析，提升运算推理能力| |拓展提升|含参数讨论与恒成立问题|解答15需构建函数模型论证，发展逻辑推理与创新意识|

课时同步作业5.3.2导数的综合应用 一、选择题 1.若函数f(x)=x3-3ax-a在区间(0,1)内有最小值，则a的取值范围为() A.[0,1) B.(0,1) c.(-1,1 2定义域为R的两数满足f刊=1，若的导函数f>,则满足 2f(x)<x+1的x的集合为() A.{x-1<x<1} B.{x|x<1} C.{xx<-1或x>1 D.{x|x>1 3.设定义在区间(0，+∞)上的函数f(x)的导函数f'(x)满足xf'(x>1,则() A.f(2)-f(1>ln2 B.f(2)-f(1<ln2 C.f(2)-f1)>1 D.f(2)-f(1)<1 4.设函数'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(-1)=0,当x>0时， f'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是() A.(-o,-1U(0,1 B.(-1,0)U(1,+o) C.-o0,-1U-1,0 D.(0,1U(1,+o) 八+八 5,定义在R上的屬数的导函数为了，若f<0,且 >1,则 () Af3包到<0 B.(2 D.f3)<e2.f1 Inx,x>0, 6.设函数f(y={ex+1,x≤0， 若函数g(x)=f(x)-b有三个零点，则实数b的值 可能是() A.0 B.、I D.2或-2 2 7.(多选题)已知函数y=f(x)在R上可导且f(0)=1,其导函数f'(x)满足 x-f因>0，对于函数s(=,下列结论正确的是() x-1 e A.函数g(x)在区间(1，+o）上单调递增 B.x=1是函数g(x)的极小值点 C.函数gx)至多有两个零点 D.当x≤0时，不等式f(x)≤e恒成立 8.(多选题)已知函数f(x)=ax-lnx(a∈R),则下列说法正确的是() A.若a≤0，则函数f(x)没有极值 B.若a>0,则函数f(x)有极值 C.若函数f(x)有且只有两个零点，则实数a的取值范围是 D若函数（有且只有一个零点，则实数：的取值范国是（一，小~日 二、填空题 9已知函数八-+2r-,若八在区间日2 单调递增，则实数a的 取值范围为 10.已知函数fx=x-9x2+6x+a,若3x∈-1,4使f=2a成立，则实数a 2 的取值范围是一。 11.若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在区间(0，+o)内有且只有一个零点，则f(x) 在区间[-1，川上的最大值与最小值的和为。 12设函数=+足-：若不等式s0有正尖数解，则实数口的段 小值为 三、解答题 13.己知函数f(x)=xnx. (1)求fx的最小值， (2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围. 14,设函数f=2 knx,k0 (1)求f(x)的单调区间和极值. (2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间1，Ve内仅有一个零点， 15.已知函数f(x)=ax+lnxa∈R), (1)讨论f(x)的单调性 (2)当a=1时，不等式xe+1>f(x)+m对于任意x∈(0，+oo)恒成立，求实数m的取 值范围， 参考答案 1.B 解析：：f'(x)=3x2-3a,令f'(x)=0,可得a=x2.又：x∈(0,1，.0<a<1,故 选B 2.B 解析：令g(x=2f(x)-x-1 周为f>,所以g到=2到-1>0 所以gx)为增函数 因为f(1)=1,所以g1)=2f1山-1-1=0 所以当x<1时，gx)<0,即2f(x)<x+1.故选B 3.A 解析：根据题意，函数f(x)的定义城为(0，+o),则f'(x>1→f'(x)>二=(Ix), 即f'(x)-(nx)'>0.令F(x)=f(x)-lnx,则F(x)在区间(0，+oo)上单调递增，故 f(2)-ln2>f(1-lnl,即f(2)-f(1)>ln2.故选A 4.A 解折：设y=g=f国(x≠0，则g闪=f ,当x>0时， x2 xf'(x)-f(x)<0,g(x)<0,gx在区间(0，+o)上单调递减，且 g(1)=f1)=-f(-1)=0. :f(x为奇函数，∴gx)为偶函数，∴gx)的图象如图所示 当x>0,gx)>0时，f(x>0,0<x<1; 当x<0,g(x)<0时，f(x)>0,x<-1 ∴.使得fx)>0成立的x的取值范围是-00，-1)U(0,1),故选A 5.c f八+f八 解析：因为 2 >1= 所以f(x+2f'(x)<0构造函数 g(x)=e·f2(x) 所以g'(x)=e·f2(x+2e·f(x)f'(x=e·f(x):[f(x+2f'(x)]>0.所以函数 g(x)在R上单调递增， 所以g2>g,脚e2产(2>ef,0<f2,散tc e 6.C 解析：由题意，函数gx)=f(x)-b有三个零点，则gx)=f(x)-b=0,即 f(x)=b有三个根 当x≤0时，f(x=e(x+l,则f'(x)=e(x+)+e=e(x+2) 由f'(x)<0得x+2<0,即x<-2,此时f(x)单调递减； 由f'(x)>0得x+2>0,即-2<x≤0，此时f(x)单调递增即当x=-2时，f(x)取 得板小值f-2列=己，就合f的周象知， 1 要使f()=b有三个根，则0<b≤1，则实教b的值可能是2或1故选C 7.ABC 解析：函数g(x=f八国，则g=四到-因 e 当x>1时，'(x)-f(x)>0,故g(x)在区间(1，+0)上单调递增，A正确； 当x<1时，f'(x)-f(x)<0,故gx)在区间(-0,1)上单调递减，故x=1是函数 gx)的极小值点，B正确； 若g(1<0,则y=gx)至多有两个零点， 若g(1=0,则y=gx)有一个零点， 若g1>0,则y=gx没有零点，故C正确； g(x)在区间(-0,1)上单调递减，则g（x)在区间(-0,0)上单调递减， 8(0)=0 =1,可知当≤0时，gx≥g0),数f国≥1，即≥c,D错 e 误.故选ABC 8.ABD 解折：由题意，得函数f(y的定义城为(0，+切)，且f(x)=a-上_ar-l xx 当a≤0时，'x)<0恒成立，此时∫x)单调递减，没有极值.又当x趋近于0时， f(x趋近于+0，当x趋近于+0时，f(x)趋近于-0，f(x)有且只有一个零，点 当a>0时，在区间 0,二内，f'(x)<0,f(x)单调递减， a 在区间二，+o上，f'(x)>0,f(x单调递增， 当x=时，f)取智板小值，同时之是最小值， .f(x)min 1+Ina, a 当x趋近于0时，nx趋近于o0，f(x)趋近于+o, 当x趋近于+0时，f(x)趋近于+0， 当1+na=0,即a=L时，f)有且只有一个零点； 当1+lna<0,即0<a<二时，f(x有且仅有两个零点 综上可知ABD正确，C错误故选ABD, 解析：由题意知f'(x)=x+2a-1≥0在区阿 上恒成立，即2a≥-x+二在区间 x 、8 4 3 [6 解折：f5=2a,即r-9x+6x+a=2a,可化为x-9x+6x=a, 2 2 设8划=x29 x+6x,则g)=3r2-9x+6=3x-1x-2到=0，得x=1或 x=2, g1-3e12-28-=-81=16 由题意，g(m≤a≤ge，-23sa≤16 2 11.-3 解折：由f八到=6x-2ax=0得x=0,=号，因为西数f八到在区同0+m)上有且只 有-个本ao=1,号0侣)-0，周2g-居 +1=0,a=3.从 而函数f(x在区间[-1,0]上单调递增，在区间[0，刂上单调递减，所以f(x)mx=f(0）, f(x)mn=min{f(-1,f1}=f(-1),所以 f(x)max+f(x)mn=f(0)+f(-1=1-4=-3 12.e 解析：原问题等价于存在x∈(0，+o),使得a≥e(x2-3x+3,令 g(x=e(x2-3x+3,x∈(0，+oo）,则a≥g(x)mn,而g'(x)=e'(x2-x由 g(x)>0可得x∈(1，+0），由g(x)<0可得x∈(0，).据此可知，函数gx)在区间 (0,+o)上的最小值为g1)=e.综上可得，实数a的最小值为e 13.解：(I)f（x)的定义域为(0，+oo),f(x)的导数f'(x)=1+lnx.令f'(x)>0,解得 x>L; e 令f八<0，好行0<x。从而孔国在区0日内半得港成，在区同心四上 单调递增 所以，当=前，儿4取行果小值日 1 (2)依题意，得f(x)≥ax-1在区间1，+oo)上恒成立，即不等式a≤lnx+二对于 x∈[l,+o)恒成立 1 令g(x=lnx+二， g国=士 当x>1,周务g=->0, 所以g(x)在区间[1，+0)上单调递增，所以g(x)的最小值是g(1)=1,从而a的取值范 国是(-o,1 40)解：由fx=)-x,k>0,得f'x=x-kx- xx 由f'(x)=0解得x=√R f(x)与f'(x)在区间(0，+∞)上的变化情况如下： (0R √R (Vk,tc0 '(x) 0 f(x刘 单调递减 k(1-Ink) 单调递增 2 所以，f(x)的单调递减区间是(0，V),单调递增区间是(N无，+∞)； f在x=匠处取得极小位1- 2 ②证明：0咖，fy在区同(0，+o)上的最小夜为f小)=1,1n 2 因为f(x)存在零点，所 k1-lnk≤0，从而k2e 2 当k=e时，f(x)在区间(，E)内单调递减，且f(We)=0, 所以x=E是f(x)在区间山，Ve内的唯一零点 当k>e时，f到在区同0回)为单消运减，且f刊=分>0小0)-<0， 所以f(x)在区间（山，V内仅有一个零点 综上可知，若f(x)存在零点，则f(x在区间1，V内仅有一个零点 15解：①函数f川)的定义城为(0，+o,f川x)=a+=ar+ ,x>0, xx 当a≥0时，f'(x)>0,所以f(x)在区间(0，+0)上单调递增； 当a<0时，由ar+1<0,得x>- a :因在区同Q 内单调递增，在区间 -,+00 上单调递减。 综上所述，当a≥0时，f(x)在区间(0，+oo）上单调递增； 上单调递减 (2)设g(x)=xe*+1-f(x)=xe*-x-lnx+1(x>0), 则题意等价于当x>0时，g(x)>m恒成立， 8国=+e-1x+心. 设h(x)=xe-1,则h'(x=(x+1)e>0,所以h(x)在区间(0，+oo)）上单调递增 又h(1)=e-1>0,h 所以存在唯一。 行伐6=xe-1=0,即e= 且当x∈(0，x)时，h(x)<0,即g'(x)<0,函数g(x)单调递减，当x∈(x,+oo)时， h(x>0,即g'x>0,函数gx单调递增 所以g(x)mm=gx)=xoe--lnr,+1=x·-x,-lne6+1=2.即m<2 所以实数m的取值范围为-oo,2)