第1章 特殊平行四边形 典例精讲与强化训练-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形性质与判定，以典例为载体系统整合全等、勾股等方法，构建从基础证明到动态应用的逻辑链条，培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例精讲|3道|菱形/矩形/正方形性质判定、全等三角形、勾股定理、分类讨论|从特殊平行四边形定义出发，推导性质与判定定理，结合动态点运动、对称变换拓展应用| |强化训练|19道（单选8/填空6/解答5）|折叠问题处理、中位线定理、面积转化、几何作图|覆盖选择填空解答全题型，强化性质判定综合应用，关联三角形、坐标系知识，提升空间观念|

第1章特殊平行四边形典例精讲与强化训练 Q典例精讲 1.小美周末和妈妈逛家具市场，买回来一盏简单而精致的吊灯，吊灯的外框ABCD为菱形， E,F是对角线AC上的两点，且AE=CF,连接BF,FD,DE,EB.求证：四边形 DEBF是菱形 D E B 2.如图，在矩形ABCD中，AD=1I,点E在边AD上，AE=5,点P从点A出发，沿折线 B-BC向终点C匀速运动，设点P运动的路程为c>0）,连接PE,当点P运动到点B 时， PE=34 E E A D D B B 备用图 (1)求AB的长： 试卷第1页，共3页 (2)当四边形APCE是平行四边形时，求x的值； (3)连接BE,当△BPE的面积为6时，求x的值： (4)作点A关于直线PE的对称点A',当点A恰好落在边BC上时，直接写出x的值. 3.如图，已知点在正方形MCD内，点B在边4D上，B5垂直平分线段从，莲按 A AB B G D E 图1 图2 ①如图1，若在对角线D上，求41D 的度数； (2)在(1)的条件下，若AE=2,求CD的长： ③)如图2，延长M交CD于点R,连接 C∠CAF=45°、 AF,BE .设 相交于点G,连接 CG,DG AD ”.若CG=CB,先猜粗4DC 的形状，再验证你的猜想. 强化训练 试卷第2页，共3页 一、单选题 1.如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开不能拼成的特殊四边形是() A.平行四边形B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是BO,BC的中 点，连接EF,若BD=I0,则EF的长为() D E A.2.5 B.3 C.4 D.5 3.苗族银匠在锻制菱形项圈（如图1）时，常以两个全等直角三角形（如图2）拼合成核 心纹样（每个菱形由两个核心纹样组成）·若单个直角三角形银片的直角边长分别为6cm 与8cm,则拼合后菱形的边长为() 6cm 8cm 8cm 图1 图2 A.10cm B.14cm C.20cm D.28cm 4.如图，已知正方形ABCD的边长为12，点E是边AB上一点，在边BC的延长线上取一 点F,使CF=c,连接4C.F,F与4C交于点6，若4G=22C,则4的K 为() 试卷第3页，共3页 D E G B A3.6 B.4 C.4v2 D.25 5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过D作DH⊥BC于点H,交 OC E OHOE=CE DH=42 OH 于点，连接，若 ,则的长为() A A.2V2 B.25 C.v6 D.26 6.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的顶点A,B分别在y轴、x轴上，顶点C的 坐标为5)，点P是边4C上一点，将△M0P沿OP折益，点A的对应点给好落在线段 PB上，则点A的坐标为() y A 0 B末 912 A.(45 n. e(别 p. 7.如图，ABCD的四个内角的平分线相交于点E,F，,G,H,则线段EG与FH的数 量关系是() 试卷第4页，共3页 B A.EG=FH B.EG>FH C.EG<FH D.无法确定 8.按如下步骤作四边形ABCD:①画∠MAN;②以点A为圆心、2个单位长为半径画弧， 分别交AM、AN于点B、D;③分别以点B、D为圆心、2个单位长为半径画弧，两弧 交于点C;④连接BC、CD、BD.若∠A=40°，则∠CBD的大小是() M D N A.70° B.65° C.50° D.40° 二、填空题 9.如图，菱形ABCD中，∠ACD=30°，BD=6cm,则菱形ABCD的周长为cm D C 10.如图，在四边形ABCD中，DC∥AB,∠ADC=90°，对角线CA平分∠BCD,且 AD=6,CD=4,点E是线段BC上一点，连接AE,若AE=AB,则BC的长为一 D 11.如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，连接BE交对角线AC于点F,连接DF, 试卷第5页，共3页 设∠ADF=a,则LEFD= (用含的代数式表示). D 12.如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠BDC=90°，以线段AC,DC为边构造平行四 边形4CD6,连接B5,BE=25,MD=2,则线段BC的张长为一 BC A D 13,知图，在矩形4CD中，MB=5,MD=2,E为边D的中点，点F在边CD上， 连接EF,将△DF沿F翻折，点D的对应点为D,连接BD,若BD=5,则DF= AB 5-1 14.如图，黄金矩形ABCD中，AD2,以宽AB为边在其内部作正方形ABFE,得 到四边形CDEF是黄金矩形.依此作法，四边形DEGH,四边形KEGL也是黄金矩形.若 AD=2,则GE的长为一 试卷第6页，共3页 G 三、解答题 15.如图，在oABCD中，E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥DB,且CF=DE,连 接AE,BF,EF (I)求证：△ADE≌△BCF: (2)若∠ABE+∠BFC=180°，试判断四边形ABFE的形状并说明理由. 16.在口ABCD中，过点D作DM⊥AB于点M,点N在边CD上，且CN=AM.连接AN BN M D (I)求证：四边形BNDM是矩形： 试卷第7页，共3页 (2)若∠DAB=60°，AN平分∠DAB,AD=8,求AB的长. 17.图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方 形的顶点称为格点，图①、图②、图③中线段AB的端点均在格点上，在图①、图②、图 ③中分别以A、B为顶点画一个四边形，使该四边形的顶点均在格点上，只用无刻度的直 尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图， 4 图① 图② 图③ (1)在图①中画一个平行四边形ABCD,使其面积为6： (2)在图②中画一个矩形ACBD,使其面积为3； (3)在图③中画一个正方形ACBD 18.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,点E是边BC上一点，过点E作EF⊥AC 于点P,交AD于点F,连接AE,CF 试卷第8页，共3页 图1 图2 (1)如图1，当四边形AECF为菱形时，求BE长： (2)如图2， ①判断四边形AEC℉的面积是否为定值，若是，写出说理过程，并求出该定值；若不是， 请说明理由； ②试用几何推理说明四边形AECF周长有最小值，并求出最小值. 19.如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC(不与点B,点C重合)上的一点， ∠AEF=9O°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F. G M 图1 图2 图 (I)如图2，M、E分别为AB、BC的中点，连接DM和AE相交于点G,连接ME,DF」 ①证明：AE=EF; ②试判断四边形DMEF的形状，并说明理由： (2)如图3，若点M是边AB(不与点A,点B重合)上的一点，直接写出BM、BE、AD 三边满足什么数量关系时，四边形DMEF是平行四边形.（不用证明） 试卷第9页，共3页 试卷第10页，共3页 典例精讲解析 1.证明：四边形ABCD是菱形， AB=BC=CD=AD,∠DAB=∠DCB,AC平分∠DAB,CA平分∠DCB, Z∠DCB ∠DAC=∠BAC=)∠DAB ZDCA=∠ACB=A .:.∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠ACB AE=CF,AB=BC=CD=AD ∴.△DAE≌△BAE≌△BCF≌△DCF(SAS), ∴.DE=BE=BF=DF, ∴四边形DEBF是菱形. 【分析】根据菱形的性质可得AB=BC=CD=AD,∠DAB=∠DCB,AC平分∠DAB, CA平分∠DCB,进而得到LDAC=LBAC=∠DCA=∠ACB,根据全等三角形判定“边角边” 得出△DAE≌△BAE≌△BCF≌△DCF,由全等三角形的性质得DE=BE=BF=DF,最 后根据菱形的判定：四条边都相等的四边形是菱形证明结论 【详解】略 2.(1)3 (2)9 3 3)5或7 5 (4)3或7 【分析】(1)勾股定理进行求解即可： (2)易得当点P在BC时，且AE=PC,四边形APCE是平行四边形，求出CP的长，即 可得出结果； (3)分点P在AB上时和点P在BC上时，两种情况进行求解即可； (4)分两种情况进行讨论求解即可. 【详解】(1)解：当点P运动到点B时，如图， 答案第1页，共2页 E B(P) :四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=90°， .AB=VPE2-AE2=√34-25=3 (2)解：，矩形ABCD, .AD∥BC,AD=BC=II」 .AE∥CP ∴当点P在BC时，且AE=PC=5,四边形APCE是平行四边形，如图， D B 由(1)知：AB=3, ∴.x=AB+BC-PC=3+11-5=9. (3)解：当点P在AB上时，如图， E D 小 C.AB=3 AP=x :.BP=3-x, SABPE= BP4E=)x3-xx5=6, x=3 5: 当点P在BC上时，如图， E D ⊙ P C.AB=3 .PB=x-3, 答案第2页，共2页 Ss-2P-AB-0-3k3=6, 2 x=7, 3 综上所述，当ABPE的面积为6时，x的值为5或7： (4)解：①如图，当点A落在边BC上且靠近点B时， E A D B A F ,点A关于PE对称点为A', :.EA=EA'=5,AP=A'P=x, 过E作EF⊥BC于点F,则∠A=∠B=∠EFB=90°， ∴四边形ABFE是矩形， .EF=AB=3,BF=AE=5. 在RtAEF中，A'F=VAE2-EF2=4 ∴.AB=1, :AB=3, :.BP=3-x, 在Rt△A'BP中，AB2+BP2=AP2, 即1+(3-=r 解得X=3: ②如图，当点A恰好落在边BC上且靠近点C时， E D B P F A 同理，A'F=4,BF=AE=5 ..A'B=BF+A'F=9. .BP=x-3. ..A'P=A'B-BP=9-x+3=12-x=AP, 答案第3页，共2页 在Rt△ABP中，AB2+BP2=AP2, 即9+(x-3=-(12-x2 解得x=7; 综上，x的值为3或7. 3.(1)22.5° (②CD=2+22 △ADG (3)猜想： 是等腰直角三角形 .A4 证明：：BE垂直平分A4 AA⊥BEBA=BA ∠ABG=∠ABG ABG=LABG=a 设 ∴.∠ABC=90°-2a .BC=BA=BA ∠BC4=∠B4C-180-ABC_180-90-2a）_=45°+a, 2 2 .∠ACD=90°-∠BCA=90°-(45°+a)=45°-a CG=CB. ∠CBG=∠CBA+∠ABG=90°-2a+a=90°-a=∠CGB ∠BCG=180°-∠CBG-∠CGB=180°-(90°-a)-(90°-a)=2a .∠DCG=90°-∠BCG=90°-2a, ∴.∠ACG=∠DCG-∠DCA=(90°-2a)-(45°-a)=45°-a 答案第4页，共2页 ∴.LACG=LACD CG=CB=CD,CA=CA .△DCA2AGCA(SAS) ∴.AD=AG,∠CAG=∠CAD .∠CAF=45° ∠CA,G=∠CAD=180°-45°=135° .∠DAG=360°-135°-135°=90° :4G=4D.D4G=90° 放44DG 为等腰直角三角形 BA=BA∠ADB=∠ABD=45°，求出 BA4A=∠BAA=67.5 【分析】(1)先得 ,即可 求出结论： (2)连接4C,证明△BE4eBA(SS),符出B4E=∠B1E=90 再求出 EA =DA=2 根据勾股定理得出DE=2V2 即可求出结论： (3)设MBG=∠4BG=a,证明4CG=∠4CD,进而i证 △DCA≌△GCA(SAS) 得出 AD=AG,∠CAG=∠CAD AG=AD∠DAG=90° 即可证明 AA 【详解】(1)解：：BE垂直平分 BA=BA 在正方形中，BA=AD=CD=BC,∠BAD=∠ABC=∠BCD=9O°，BD对角线， .∠ADB=∠ABD=45°」 ∠BAA=∠B4A=180°-45 =67.5° 2 答案第5页，共2页 :44D=∠BMD-∠B14=0-67.5=2.5 AE (2)解：连接 A D E A 图1 :B距垂直平分 A EA=AE=2 BA=BA .BE=BE, :∴.△BEA≌ABEA(SSS) .∠BAE=∠BAE=90° ∠ADB=45°， ∴.∠AED=90°-∠ADE=90°-45°=45° ∠ADE=∠AED EA=DA=2 .DE=AD2+AE2=22 :.CD=AD=2+2√2 (3)略 强化训练解析 1.C 答案第6页，共2页 【详解】解：如图：可知可拼成平行四边形、等腰梯形和矩形三种不同的形状. 可知将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开不能拼成的特殊四边形是菱形。 2.A 【分析】矩形的对角线相等且互相平分，据此可得OC的长，再由三角形中位线定理可得 EF的长 【详解】解：：在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, 1 AC-BD,OC-2AC, 1 OC-2BD=5, :点E,F分别是BO,BC的中点， ∴.EF是△BOC的中位线， .=OC=25 3.A 【分析】根据题意可知，直角三角形的斜边即菱形的边长，根据勾股定理求斜边即可. 【详解】解：拼合后菱形的边长为：V6+8-10em 4.B 【分析】过E作EH⊥AB交AC于点H,则∠AEH=90°，证明△AEH是等腰直角三角形， 设4B=EH=CF=x,则4=V2x,证 GBH2aGFC(ASN）,可得HG=CG,从而得 到CG=HG=AG-AH=V2x 即可求解 【详解】解：过E作EH⊥AB交AC于点H,则∠AEH=90°， 答案第7页，共2页 4 D E-- H G 正方形 的边长为12， B ABCD ∠B=∠BAD=∠BCD=90°=∠AEH,∠BAC=45°，AD‖BC, :AC=VD+CD=I25,△AEH是等腰直角三角形，BH∥BC, :AE=EH, 设4E=BH=CF=x,则 AH=V√2x .EH∥BC, ∴.∠GEH=∠GFC,∠GHE=∠GCF, .EH=CF, '.aGEH≌aGFC(ASA) ∴.HG=CG, AG=22CF=22x ..CG=HG=AG-AH=2x .AC=AG+CG. .12W2=2W2x+V2x x=4,即AE=4. 5.B 【分析】斜边上的中线得到OH=OD:作OG⊥DM,三线合一，得到DG=HG=DH, 证明△CEH≌aOEG,得到OG=CH,设OG=CH=y,利用勾股定理进行求解即可 【详解】解：，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, .AC⊥BD,OB=OD 答案第8页，共2页 DH⊥BC于点H, :.OH-1BD-OD 2 作OG⊥DH, GGD2 Z0GE- .OE=CE,∠OEG=∠CEH, :△CEH≌a0EG(AMS) EG-EH-7HG,0G-CH 设OG=CH=y, Ra0G6中， 0E2=EG2+0G2=2+y2 在 :0C2=(20E2-8+4y 在Ra0GD中0D2=DG2+0G2-8+y 在RIADOC和Rt△DHC中，CD2=CO2+OD2=DH2+CH2, :8+4y+8+)y2=32+y 4 .0D2=8+4=12, :OH=0D=i2=25 GR B 6.B 答案第9页，共2页 【分析】过点A作A'H⊥OB于点H,由矩形的性质和点C的坐标可得OB=5,OA=BC=3, ∠0AC=90°，由折叠的性质得到OA=0A=3,∠0AP=∠0AP=90°，则∠0AB=90, 利用勾股定理求出AB的长，利用等面积法求出A'H的长，最后利用勾股定理求出OH的 长即可得到答案。 【详解】解：如图所示，过点A作A'H⊥OB于点H, B主 ,四边形AOBC是矩形， OA=BC,BC⊥OB,∠OAC=90° ·顶点C的坐标为53) ..OB=5,0A=BC=3. 由折叠的性质可得0A=OA=3,∠0AP=∠0AP=90°. ∴.∠0AB=180°-∠0AP=90°， 4'B=OB2-04=4 .Ssom=1O&.4B-6 2 .AH⊥OB, 1 ÷Sara-20B.AH=6, .4H=12 5 :OH=VOA= 1 912) ·点A的坐标为55刀 7.A 答案第10页，共2页 【分析】根据平行四边形邻角互补的性质以及角平分线的定义，可推导出四边形E℉G的 四个内角均为9O°，从而判定四边形EFGH为矩形，再根据矩形的对角线相等即可得出 EG与FH的关系. 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,AB∥DC .∠DAB+∠ABC=180°，∠DAB+∠ADC=180° AH,BF,DH ∠DAB,∠ABC,∠ADC 分别平分 :∠HAB=∠HAD=∠DAB,∠FBA=∠ABC,∠ADH=∠ADC, 2 2 ∠HMB+∠PBA-(DMB+∠ABC)-0°，∠HAD+∠HD1=DMB+∠ADC)-90°， ∴.∠AGB=180°-（∠HAB+∠FBA)=90°∠AHD=180°-（∠HAD+∠HDA=90° .∠GHE=∠AHD=90°， 同理可得∠HEF=90°，∠EFG=90°， ∴四边形EFGH是矩形， ∴EG=FH 8.A 【分析】根据作图步骤得出四条边相等，判定四边形ABCD为菱形，利用菱形对边平行及 对角线平分对角的性质求解， 【详解】解：由作图步骤可知AB=AD=BC=CD, ∴四边形ABCD是菱形， AD∥BC,BD平分∠ABC, ∠A=40° .∠ABC=180°-∠A=140°， 1 <CBD∠ABC2×140°=7 9.24 【分析】设AC与BD交于点0，根据菱形的性质可得AC⊥BD,OD= BD,再根据含 30度角的直角三角形的性质求出CD的长，进而求得周长. 答案第11页，共2页 【详解】解：设AC与BD交于点O,如图所示： D C O ~四边形ABCD是菱形，BD=6, ACL BD:OD=BD=3cm,CD=BC=AB=AD .∠ACD=30°∠COD=90° ∴.CD=2OD=6cm .菱形ABCD的周长为4×6cm=24cm, 13 10.2 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义证明∠BAC=∠BCA,从而得到AB=BC: 过点C作CH⊥AB于点H,构造矩形ADCH和Rt△BCH;利用矩形的性质得到AH和 CH的长，设BC=x,在Rt△BCH中利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】解：DC∥AB, ∴.∠DCA=∠BAC、 :CA平分∠BCD,即∠DCA=∠BCA, ∴.∠BAC=∠BCA, ∴.AB=BC, 过点C作CH⊥AB于点H, D H B.·∠ADC=90°DC∥AB .∠DAB=180°-∠ADC=90 ∴四边形ADCH为矩形， 答案第12页，共2页 ∴.AH=CD=4,CH=AD=6, 设BC=x,则AB=x,.BH=AB-AH=x-4, 在Rt△BCH中，由勾殷定理得，CH+BW=BC2,即6+(-4=2 解得*3 ， BC=13 2 11.90°-2a △CDF≌△CBF(SAS) 【分析】先根据正方形的性质证明 ,则结合外角的性质得到 ∠CFB=∠CFD=∠DAC+∠ADF=45°+a,再由平角的定义求解即可. 【详解】解：，四边形ABCD是正方形， :.∠DAC=∠ACD=∠ACB=45°，CD=CB .CF=CF ,△CDF≌△CBF(SAS) .∠CFB=∠CFD=∠DAC+∠ADF=45°+C :.∠BFD=∠CFB+∠CFD=90°+2a .∠EFD=180°-∠BFD=90°-2a. 122V3 【分析】将△ABE平移至△CFD使得DC与AE重合，连接AF与BC相交于点O,连接OD DF=BE=2√2CF=AB CFIAB BF,则 ,证四边形 CABE 是矩形，进而证明△ADF 是直角三角形，在R1△ADF中，利用勾股定理即可求解. 【详解】四边形ACDE是平行四边形， ∴AE=DC,AEDC 如图所示，将△ABE平移至△CFD使得DC与AE重合，连接AF与BC相交于点O,连接 OD,BF, 答案第13页，共2页 则DF=BE=22CF=AB CFIAB ,四边形CABF是平行四边形， 又.∠BAC=90°， ∴四边形CABF是矩形， AF=BC,OF=OB=OC=OA,即点O是BC的中点， ∠BDC=90°， ..OD=OB=OC, ∴.OD=OA=OF, .∠ODA=LOAD,∠ODF=∠OFD. .∠ODA+∠OAD+∠ODF+∠OFD=180°， 2(∠ODA+∠ODF)=180° .∠ODA+∠ODF=90°，即∠ADF=90°， .△ADF是直角三角形， ∴在RIADF中，AF=VDF2+AD=2+2=2W5, :.BC=AF=23 13. 2-5 【分析】连接BE,延长FE交BA的延长线于H,根据勾股定理求出BE,利用勾股定理的 逆定理证明△BED'为直角三角形，求出∠AEB的度数，进而求出∠DEF的度数，证明 △BHE为等腰三角形，利用全等三角形的性质求解。 答案第14页，共2页 【详解】解：如图，连接BE,延长FE交BA的延长线于H,取BE的中点G,连接AG, H G 矩形 中 ,为边 的中点， C ABCD AB=√3，AD=2E AD .AE=DE=1,∠BAE=∠D=90° 在Rt△ABE中， BE=V4B+4E=3+=2 AG-EG-IBE-1, 2 、AE=AG=EF=L, .△AGE为等边三角形， ∴.∠AEB=60° ~将△DEF沿EF翻折，点D的对应点为D', ∴ED'=ED=1,∠ED'F=∠D=90°，∠DEF=∠DEF. BD'=5 BE2+ED2=22+1P=5, BD2=(N5=5】 .BE2+ED2=BD2 aBED为直角三角形，且∠BED'=90° 点A,E,D在同一直线上， :.∠DED'=180°-∠AEB-∠BED'=30°， <Dr-<DE0-15 .∠AEH=∠DEF=15° ∠HAE=180°-∠BAE=90°， ∴.∠H=90°-∠AEH=75°，∠HEB=∠AEH+∠AEB=75° .∠H=∠HIEB ∴.BH=BE=2. 答案第15页，共2页 ∴.AH=BH-AB=2-V5 [∠HAE=∠D=90° AE=DE 众 和 中 △HAE△FDE ∠AEH=∠DEF' ∴.AHAE兰AFDE(ASA) .DF=AH=2-3 2-5 故答案为 14.25-4 【分析】先根据黄金矩形ABCD的定义求出AB长，再根据正方形ABFE的性质求出EF和 ED长，最后根据题意判断出在矩形CDEF中截去的正方形边长等于ED长，利用线段的和 差关系即可求出GE的长. AB 5-1 【详解】解：AD2、AD=2, ..AB=5-1 四边形ABFE是正方形， .AE=EF=AB=5-1 :ED=AD-AE=2-(5-1)=3-5 ~四边形CDEF是黄金矩形、四边形DBGH,四边形KEGL也是黄金矩形， ∴在矩形CDEF内部作了一个以宽ED为边长的正方形FGC, ..FG=ED=3-5 .GE=EF-FG=(5-1-(3-5)=25-4 15.(1):平行四边形ABCD 答案第16页，共2页 :AD=BC,AD∥BC, ∴.∠ADB=∠CBD. .CF∥DB, .∠CBD=∠BCF, ∴.∠ADB=∠CBD=∠BCF, DE=CF, ∴.△ADE≌△BCF(SAS) (2)四边形ABFE是菱形，理由如下： :CF∥DB,且CF=DE, ∴，四边形CDEF是平行四边形 .EF∥DC,且EF=DC, ,平行四边形ABCD, .AB=CD,AB∥CD .AB=EF,AB∥EF 四边形ABFE是平行四边形， 由(1)得△ADE≌△BCF. .∠AED=∠BFC, .∠AED+∠AEB=180°，∠ABE+∠BFC=180°， ∴.∠ABE=∠AEB, .AB=AE. 即平行四边形ABFE一组邻边相等， ∴四边形ABFE是菱形 【分析】(1)由平行四边形ABCD,得到AD=BC,AD∥BC,结合CF∥DB,可得 ∠ADB=LCBD=∠BCF,即可证明 ADE≌△BCF(SAS) (2)先证明AB=EF,MB∥EF,得到四边形ABFE是平行四边形，再根据∠AED=∠BFC, 答案第17页，共2页 ∠AED+∠AEB=180°，∠ABE+∠BFC=18O°，得到∠ABE=∠AEB,则AB=AE,即可得 到四边形ABFE是菱形. 【详解】(1)略 (2)略 16.(I)证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴.DC∥ABDC=AB CN=AM, .DC-CN=AB-AM,DN BM, DC∥AB ∴.DN∥BM ∴四边形BNDM是平行四边形， DM⊥AB. .∠DMB=90° ∴.四边形BNDM是矩形 (2)12 DN=BMDN∥BM 【分析】(1)依托平行四边形对边平行且相等的性质，推得 ,判定 四边形为平行四边形；再结合DM⊥AB,按矩形判定定理完成证明； (2)先用含30°的直角三角形性质算出AM,再借助平行线内错角、角平分线做角度等量 代换，由等角对等边得到DA=DN,利用矩形对边相等求出BM,相加得到AB的长度. 【详解】(1)略； (2)∠DAB=60°，AD=8,DM⊥AB, .∠ADM=30° 1 .AM= ×8=4」 2 答案第18页，共2页 .ABIDC .∠AND=∠BAN, :AN平分∠DAB, .∠DAN=∠BAN, .∠AND=∠DAN, .DA=DN=8」 四边形BNDM是矩形， .DN =BM=8 .AB=AM+BM=4+8=12 D 17.(1y (2 (3) B 【分析】(1)根据平行四边形的判定以及题目要求作出图形即可； (2)根据矩形的判定以及题目要求作出图形即可； (3)根据正方形的判定作出图形 【详解】(I)解：由图可得，AD∥BC,AD=BC, :四边形ABCD是平行四边形， SoABCD =2x3=6 符合题意； (2)解：由图可得，AD∥BC,AD=BC,∠DAC=90°， .四边形ABCD是矩形， 答案第19页，共2页 .S.Aw=1x3=3 ∴符合题意； (3)解：由图得， AD=BD=BC=AC=2+22=5 .四边形ABCD为菱形 AB=VP+32=10 .AB2=AD2+BD2, .∠ADB=90° 菱形ABCD是正方形， 符合题意. 18.(1)BE=3 (2)解：①是 Swwr-S.w+S.c-EF.AP+1EF.CP-EF.AC 2 2 2 ·四边形ABCD为矩形， B G .ADI/BC 作AC的中垂线交BCAD于G,H,垂足为O,连接AG.CH,如图， ∴.OA=OC,HA=HC, EF⊥AC, EF∥GH, ,四边形EFHG是平行四边形， :EF=GH, ADlIBC, .∠AHO=∠CG0. 答案第20页，共2页 「∠AHO=∠CGO ∠AOH=∠COG 40=CO △AOH≌ACOG(AAS) ..OH=0G ,四边形AGCH是平行四边形， .HA=HC, .四边形AGCH是菱形， .HA=HC=GA=GC 根据(1)得BG=3,CG=5, S网边形46CH=AB.GC=20 S网边形A=S四边形AGH -EF-AC-GH4C 2 ∴四边形AECF的面积=20， ②由O得Sr=(4F+CE)4】-20 .AF+CE=10为定值. 如图，在AF上截取FN=BE,过N作MN⊥AD且MN=AB, D B 易得△MWF≌AABE .BE+DF=BC-CE+AD-AF=16-10=6. .WD=6 又MN=AB=4, 答案第21页，共2页 M是定点 作矩形MNDQ MO=ND=6,MN=DO=4 CO=CD+DO=8 当M,F,C在同一条直线上时，MF+CF的值最小， 即AE+CF的值最小，即四边形AECF的周长最小. 又：MC=VMg2+Cg2-V6+8=10 ∴.四边形AECF周长的最小值为20 【分析】(1)设BE=x,则AE=EC=BC-BE=8-x,根据勾股定理求解即可； (2)①作AC的中垂线交BC,MD于G,H,连接4G,CH ,证 S边形Ar=S边形4GCH即可： ②根据两点间线段最短，求解即可. 【详解】(1)解：四边形AECF为菱形， .AE=EC ·AB=4,BC=8 ,设BE=x,CE=8-x ,四边形ABCD为矩形， ∴.∠B=90° B 42+x2=(8-x)2 解得x=3,即BE=3 (2)解：①略： ②略 答案第22页，共2页 19.(1)证明：①在AB上截取AH=EC, 四边形 是正方形， B 图1 ABCD ∴AB=BC,∠B=∠BCD=90° .AH EC ∴AB-AH=BC-EC,即HB=EB, ∴△BHE是等腰直角三角形， ∠BHE=45°， .∠AHE=135° :CF是正方形ABCD的外角平分线， ∠DCF=45°， .∠ECF=135°， .∠AHE=∠ECF=135°， :∠AEF=90° .∠AEB+∠FEC=90° :∠BAE+∠AEB=90°， .∠BAE=∠FEC, 在△AHE和△ECF中， 「∠AHE=∠ECF .AH=EC ∠HAE=∠CEF .aAHE≌aECF(ASA) :.AE=EF: ②四边形DMEF是平行四边形.理由如下： 四边形ABCD是正方形， ∴.AD=AB=BC,∠DAB=∠B=90°， 答案第23页，共2页 M,E分别为AB,BC的中点， .AM=BE, 在△DAM和△ABE中， AD=AB {∠DAB=∠B AM=BE .△DAM≌△ABE(SAS) ∴.∠ADM=∠BAE,DM=AE, ∠BAE+∠DAE=90°， .∠ADM+∠DAE=90°， .∠AGD=90°， :∠AEF=90°， :∠AGD=∠AEF, MD∥EF, 由(1)得AE=EF, ∴.MD=EF, ∴四边形DMEF是平行四边形. (2)当BM+BE=AD时，四边形DMEF是平行四边形 【分析】(1)①在AB上截取AH=EC,结合正方形的性质得到HB=EB,则∠BHE=45° 再结合正方形ABCD的外角平分线，得到∠AHE=∠ECF=135°，即可证明 △AHE≌ECF(ASA) 得到AE=EF ②由M,E分别为AB,BC的中点，得到AM=BE,即可证明 DAM≌ABE(SMS), 得 到∠ADM=∠BAE,DM=AE=EF,接着得到∠AGD=∠AEF=90°，则MD∥EF,最后 根据一组对边平行且相等即可得到四边形DMEF是平行四边形. (2)根据BM+BE=AD,得到MM=BE,即可证明 DAM≌△ABE(SAS) 得到 ∠ADM=∠BAE,DM=AE=EF,接着得到∠AGD=∠AEF=90°，则MD/EF,最后根 据一组对边平行且相等即可得到四边形DMEF是平行四边形， 答案第24页，共2页 【详解】(1)略 (2)解：当BM+BE=AD时，四边形DMEF是平行四边形. 理由如下： :四边形ABCD是正方形， ∴.AD=AB=BC,∠DAB=∠B=90° BM +BE=AD,BM+AM=AB, :.AM=BE, 在△DAM和△ABE中， AD=AB ∠DAB=∠B AM=BE ∴.△DAM≌△ABE(SAS) ,∠ADM=∠BAE,DM=AE, ∠BAE+∠DAE=90°， .∠ADM+∠DAE=90°， ∴.∠AGD=90° .∠AEF=90 .∠AGD=∠AEF, .MD∥EF 由(I)得AE=EF, :MD=EF, ∴四边形DMEF是平行四边形. 答案第25页，共2页