第1章 特殊平行四边形 单元测试卷 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为北师大版九年级上册“特殊平行四边形”单元测试卷，覆盖矩形、菱形、正方形的性质与判定，通过基础概念辨析、几何推理及实际应用问题，全面检测单元知识掌握，适配九年级单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|菱形判定、正方形对称轴等基础概念|结合图形辨析（题3矩形判定），强化几何直观| |填空题|5/15|矩形与圆结合、菱形坐标计算等|融入坐标几何（题13菱形顶点坐标），体现数学语言表达| |解答题|8/75|矩形性质证明、中点四边形探究等|设计“中方四边形”定义探究（题22）及折叠问题（题23），突出推理能力与创新意识|

绝密★启用前 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 特殊平行四边形单元测试卷 （北师大版） 考试范围：九年级上册第1章全部内容；考试时间：90分钟 满分：120分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质和菱形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，故B、D不符合题意； 当时，不能判定四边形是菱形，故A不符合题意； 当时，可以根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明四边形是菱形，故C符合题意． 2．下列说法错误的是（　　） A．平行四边形的对角相等 B．正方形的对称轴有四条 C．矩形既是中心对称图形又是轴对称图形 D．菱形的对角线相等且互相平分 【答案】D 【详解】解：∵平行四边形的对角相等，∴A选项说法正确，不符合题意； ∵正方形沿对边中点连线、两条对角线对折都能重合，共有条对称轴，∴B选项说法正确，不符合题意； ∵矩形绕对角线交点旋转能与自身重合，沿对边中点连线对折能重合，因此矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，∴C选项说法正确，不符合题意； ∵菱形的对角线互相垂直平分，并不一定相等，∴D选项说法错误，符合题意． 3．如下图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（     ） A．当时，它是矩形 B．当时，它是矩形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是矩形 【答案】D 【分析】根据矩形的判定逐一分析即可． 【详解】解：A选项，∵平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，选项正确，不符合题意； B选项，∵平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，B选项正确，不符合题意； C选项，平行四边形中， ，， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，C选项正确，不符合题意； 选项，当时，平行四边形是菱形，不一定是矩形，结论错误，D选项符合题意． 4．如图1，将一个菱形截去一个边长为原来一半的菱形，得到图2，用三个图2刚好拼出一个如图3所示的平面图形，则图1中的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得，， ∵四边形是菱形， ∴． 5．如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据菱形的性质得，，再根据平行线的性质得，然后根据入射角等于反射角可得，最后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，． ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 6．如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径作弧交于点．若分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧在内部交于点，连接，，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图，判断，利用菱形的判定和性质求出和，结合已知条件的度数，即可求出度数． 【详解】解：根据题意，画图可知，， 四边形为菱形， ，， ， ， ， ． 7．如图，在矩形中，，连接，，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用矩形的性质得出 ，，再根据含角的直角三角形性质求出的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形 ， ∴，． 在中，，， ， ∴． 8．如图，，矩形的顶点B在直线m上，则等于（     ） A． B． C． D．无法计算 【答案】B 【分析】过点C作，设与l交于点F，根据平行线的性质求出，然后由矩形得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点C作，设与l交于点F， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．在数学实践课上，老师要求各小组设计检测学校窗户玻璃是否为矩形的方案，下列四个小组提交的方案中，可行的是（     ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量对角线是否互相垂直 C．测量一组邻边是否相等 D．测量对角线是否相等且互相平分 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定定理，需根据特殊四边形的判定规则判断各方案是否可行． 【详解】解：选项A，∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，不能判定是矩形，∴A不可行； 选项B，对角线互相垂直的四边形无法判定是矩形，∴B不可行； 选项C，一组邻边相等无法判定是矩形，∴C不可行； 选项D，∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形， ∴对角线相等且互相平分的四边形是矩形，D可行，符合题意． 10．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，另两张直角三角形纸片的面积都为，中间一张矩形纸片的面积为，与相交于点．当，，，的面积相等时，下列结论一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形、菱形的性质判断A、B选项不一定成立，根据，可判断C选项不一定成立，根据矩形的性质及中位线的性质得出，，进而得出，根据三角形面积公式得出，，根据，得出，利用三角形面积公式得出，即可得出，可判断D选项成立，综上即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，取中点，连接， ∵只有四边形是正方形时，， ∴A选项不一定成立，符合题意； ∵只有四边形是菱形时，， ∴B选项不一定成立，符合题意； ∵两张等腰直角三角形纸片的面积都为， ∴， ∴， ∵，不一定等于， ∴C选项不一定成立，符合题意； ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵是中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴，即， ∴，故D选项成立，不符合题意. 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在矩形中，连接，以为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】由题意可得，，，由勾股定理可得，从而可得，求出，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得，，， 由勾股定理可得， ∵以为圆心，为半径画弧交射线于点， ∴， ∴， ∴． 12．如图，设计师采用正五边形与菱形搭配设计地面镶嵌图案，菱形地砖的锐角为________． 【答案】72 【分析】根据正五边形的一个内角是，进而利用平面图形镶嵌的内角和是解答即可． 【详解】解：∵正五边形的一个内角是，平面图形镶嵌的内角和是， ∴菱形地砖的锐角． 13．如图，菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】首先根据菱形的性质得到，，推出轴，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点在轴上， ∴轴，即轴， ∵点的坐标为， ∴，点B的横坐标为3， ∴点B的纵坐标为， ∴点的坐标为． 14．如图，在正方形中，，点、分别为、边上的动点，保持不变，则的最小值为______． 【答案】 【分析】延长至点使，连接，，可证得，于是有；又与关于轴对称，所在的直线是线段的垂直平分线，可知，，由勾股定理即可求解的最小值． 【详解】解：延长至点使，连接，，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， 又∵ ∴， ∴， ∵，， ∴与关于轴对称，所在的直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 当，，三点共线时，有最小值，最小值为． 15．如图，在矩形中，交于点，点在边上，连接交于点，且，若，则的长为___________． 【答案】 【分析】连接交于点O，连接，令交于点M，根据三角形中位线定理、平行线的性质、对顶角相等和余角的性质可得，设，，则，、，再利用勾股定理解方程求出x的值，即可求出的长． 【详解】解：如图，连接交于点O，连接，令交于点M， ∵， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴，解得：（已舍弃负值）， ∴． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（7分）如图，四边形是矩形，点、分别是左侧、右侧的点，连接、、、，延长、交于点，，，求证：． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】通过论证来证明结论即可. 【详解】略 17．（7分）如图，在中，，是的中点，过点作于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，是的中点， ， 为等腰三角形， ， 是中线， 是中点， 是的中点， 是的中位线， ． (2)5 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线是斜边一半推出，等到等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质推出是中点，再利用中位线定理判定和性质即可推出． （2）根据勾股定理求出的长度，再利用第（1）问的结果，即可求出长度． 【详解】（1）略 （2）解：，，， 在中，， 由（1）可得． 18．（8分）如图，在梯形中，，，交于点，，求证：四边形是正方形． 【答案】证明：， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形 【分析】根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形证明出四边形是平行四边形，根据有一个角为直角的平行四边形为矩形证明出四边形是矩形，再根据有一组邻边相等的矩形为正方形证明出最后结论． 【详解】略 19．（9分）如图，菱形的对角线，相交于点，过点，分别作，的平行线，两线相交于点．已知，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】根据菱形的性质和矩形的判定，易得四边形是矩形，再根据“所对的直角边是斜边的一半”和勾股定理，可得，，最后根据矩形的面积公式，即可求解． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 菱形， ，即， 四边形是矩形， ， ， ， ， 在中，， 四边形的面积为． 20．（10分）综合与实践 【问题】尺规作图：如图，，平分交于点M．在上作出点N，使四边形为菱形． 【作图】甲、乙作图的过程如下： 甲的作图 如图，作的平分线交于点N，连接，则四边形是菱形． 乙的作图 如图，以点M为圆心，长为半径作弧，交于点N，连接，则四边形是菱形． 【探究】 (1)判断甲的作图是否正确，说明理由； (2)老师说乙的作图不正确，若添加一个条件后，才能使四边形是菱形．请你添加一个合理的条件，并说明四边形是菱形； (3)请你再给出另外一种符合要求的作图方法（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)解：甲的作图正确，理由如下： ， ，， ∵平分， ， ， ； 同理可得， ， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形； (2)解：添加条件，说明如下： 同理可证明， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 由作图方法可知， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； (3) 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义可证明，则可得到；同理可得，则，据此可证明四边形是菱形； （2）添加条件，可证明是等边三角形，得到，由作图方法可知，则，据此可证明四边形是菱形； （3）以点为圆心，长为半径作弧，交于点N，连接，同理可证明据此可证明四边形是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 21．（10分）用矩形纸片可以折叠出等边三角形，但折叠会损耗矩形纸片的面积，能否将整张矩形纸片无损耗地剪拼成一个等边三角形呢？ (1)有些矩形纸片很容易剪拼成等边三角形．下面两个矩形纸片只需剪刀就可以拼成等边三角形，请画出分割线，并做必要标注． (2)任意矩形要剪拼成等边三角形很难想到，不妨倒过来考虑，即研究将等边三角形纸片剪拼成矩形．图③是一种可行的分割方案： 分割方案 对等边三角形纸片，分别取，的中点，，在上取点，在上取点，使．连接，过作，过作，垂足分别为，． ①求证； ②将图③中甲、乙、丙三部分进行平移或旋转可以拼出矩形，在原图中画出拼接矩形的示意图． (3)如何将一张纸（如图④，，）剪拼成等边三角形？在图中画出分割线（标注必要的长度或角度，写出必要的文字说明）． 【答案】(1)解：分割线如图所示： 和可以拼成等边三角形；、和梯形可以拼成等边三角形； (2)①证明：连接，如图所示： 是的中点，是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ； ②解：将四边形和四边形分别绕点和旋转至四边形和四边形，将平移至，拼接矩形的示意图如图所示： ； (3)解：设拼成的等边三角形的边长为， ，解得，即， 取的中点，以为圆心，为半径画弧，交于，以为边作等边，过作，交于，交于，如图所示： 在（2）中，如图所示： 则，且将平移至，即， 同理可得，， ， 和是分割线． 【分析】（1）图①连接，沿着对角线剪开，得到的两个和可以拼成等边三角形；图②取边的四等分点，连接，沿着剪开，得到的、和梯形可以拼成等边三角形； （2）①连接，由中位线的判定与性质得到相关角度与边的等量关系，再由三角形全等的判定定理证明，从而得出结论； ②将四边形和四边形分别绕点和旋转至四边形和四边形，将平移至，即可拼出矩形； （3）取的中点，以为圆心，为半径画弧，交于，以为边作等边，过作，交于，交于，参考（2）中等边三角形与矩形的拼接过程即可得到和是分割线，在图中画出分割线即可． 【详解】（1）解：连接，如图所示： 在中，设，，则由勾股定理可得， ， ，则， 在矩形中，，，则，， 将的边与的边重合，即可拼成等边三角形，如图所示： 先对折矩形，使重合，再次对折，展开得到的三个四等分点，连接并延长，交于点，连接，如图所示： ， ∵四边形是矩形， ， 设，，则， 由勾股定理可得， ， ，则， 同理可得，， 是等边三角形， 在矩形中，，则，， 是等边三角形，则， ， ， 在和中， ， 同理可得，， 沿着和剪开矩形，得到、和梯形可以拼成等边三角形； （2）略 （3）略 22．（12分）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【性质探究】： (2)如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系； 【拓展应用】： 如图2，已知四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点． (3)试探索与的数量关系，并说明理由． (4)若，求的最小值． 【答案】(1)D (2)， (3)，理由如下： 如图，记、的中点分别为、， 四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点， 四边形是正方形， ，， ， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， ； (4)的最小值为 【分析】（1）根据正方形的性质和三角形中位线定理求解即可； （2）根据正方形的性质和三角形中位线定理求解即可； （3）根据“中方四边形”的定义，得到，再结合三角形中位线定理求解即可； （4）连接交于，连接、，当点在上（即、、共线）时，最小，最小值为的长，由性质探究（2）知：，再结合直角三角形的斜边中线，得出，则的最小值，再结合（3）的结论求解即可． 【详解】（1）解：中点四边形是个正方形， 中点四边形四条边相等，且四个角是直角， 四边形各边中点连线得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”， 由三角形中位线定理可得，原四边形的对角线互相垂直且相等， 只有正方形满足条件； （2）解：四边形是“中方四边形”， 四边形是正方形， ，， ， 点、、、分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，， ，； （3）略 （4）解：如图，连接交于，连接、， 当点在上（即、、共线）时，最小，最小值为的长， 的最小值， 由性质探究（2）知：， 又、分别是、的中点， ，， ， 的最小值， 由拓展应用（3）知：； 又， ， 的最小值为． 23．（12分）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，点为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明； 独立思考： (1)请解答老师提出的问题； 实践探究： (2)勤学小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断四边形的形状，并加以证明； 问题解决： (3)善思小组突发奇想，将矩形沿着（为的中点）所在直线折叠，如图③，点的对应点为，连接．该小组提出一个问题：若，，求四边形的面积．请你思考此问题，并直接写出结果． 【答案】(1)，证明如下： 如图，延长，相交于点， 四边形是平行四边形， ， ，． 为的中点， ， ， ，即为的中点， 又， ∴在中，； (2)四边形为平行四边形，证明如下：如图， 由折叠可知，． 为的中点， ， ， ． ， ， ， ． 四边形为平行四边形， ， 四边形为平行四边形； (3) 【分析】（1）延长，相交于点，证明，得到，然后利用直角三角形的性质证明即可； （2）由折叠的性质得到，，然后推出，得到，进而证明即可； （3）连接，首先求出，然后利用等面积法求出，利用勾股定理求出，然后利用四边形的面积求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接， ∵四边形是矩形 ∴， ∵为的中点 ∴ ∴ 由折叠得，，即 ∴ ∴ ∴ 由折叠得，，， ∴ 由（2）得， ∴ ∴ ∴四边形的面积 ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 特殊平行四边形单元测试卷 （北师大版） 考试范围：九年级上册第1章全部内容；考试时间：90分钟 满分：120分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列说法错误的是（　　） A．平行四边形的对角相等 B．正方形的对称轴有四条 C．矩形既是中心对称图形又是轴对称图形 D．菱形的对角线相等且互相平分 3．如下图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（     ） A．当时，它是矩形 B．当时，它是矩形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是矩形 4．如图1，将一个菱形截去一个边长为原来一半的菱形，得到图2，用三个图2刚好拼出一个如图3所示的平面图形，则图1中的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径作弧交于点．若分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧在内部交于点，连接，，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，，连接，，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，，矩形的顶点B在直线m上，则等于（     ） A． B． C． D．无法计算 9．在数学实践课上，老师要求各小组设计检测学校窗户玻璃是否为矩形的方案，下列四个小组提交的方案中，可行的是（     ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量对角线是否互相垂直 C．测量一组邻边是否相等 D．测量对角线是否相等且互相平分 10．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，另两张直角三角形纸片的面积都为，中间一张矩形纸片的面积为，与相交于点．当，，，的面积相等时，下列结论一定成立的是（     ） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在矩形中，连接，以为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，若，，则的长为________． 12．如图，设计师采用正五边形与菱形搭配设计地面镶嵌图案，菱形地砖的锐角为________． 13．如图，菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标为___________． 14．如图，在正方形中，，点、分别为、边上的动点，保持不变，则的最小值为______． 15．如图，在矩形中，交于点，点在边上，连接交于点，且，若，则的长为___________． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（7分）如图，四边形是矩形，点、分别是左侧、右侧的点，连接、、、，延长、交于点，，，求证：． 17．（7分）如图，在中，，是的中点，过点作于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 18．（8分）如图，在梯形中，，，交于点，，求证：四边形是正方形． 19．（9分）如图，菱形的对角线，相交于点，过点，分别作，的平行线，两线相交于点．已知，，求四边形的面积． 20．（10分）综合与实践 【问题】尺规作图：如图，，平分交于点M．在上作出点N，使四边形为菱形． 【作图】甲、乙作图的过程如下： 甲的作图 如图，作的平分线交于点N，连接，则四边形是菱形． 乙的作图 如图，以点M为圆心，长为半径作弧，交于点N，连接，则四边形是菱形． 【探究】 (1)判断甲的作图是否正确，说明理由； (2)老师说乙的作图不正确，若添加一个条件后，才能使四边形是菱形．请你添加一个合理的条件，并说明四边形是菱形； (3)请你再给出另外一种符合要求的作图方法（保留作图痕迹，不写作法）． 21．（10分）用矩形纸片可以折叠出等边三角形，但折叠会损耗矩形纸片的面积，能否将整张矩形纸片无损耗地剪拼成一个等边三角形呢？ (1)有些矩形纸片很容易剪拼成等边三角形．下面两个矩形纸片只需剪刀就可以拼成等边三角形，请画出分割线，并做必要标注． (2)任意矩形要剪拼成等边三角形很难想到，不妨倒过来考虑，即研究将等边三角形纸片剪拼成矩形．图③是一种可行的分割方案： 分割方案 对等边三角形纸片，分别取，的中点，，在上取点，在上取点，使．连接，过作，过作，垂足分别为，． ①求证； ②将图③中甲、乙、丙三部分进行平移或旋转可以拼出矩形，在原图中画出拼接矩形的示意图． (3)如何将一张纸（如图④，，）剪拼成等边三角形？在图中画出分割线（标注必要的长度或角度，写出必要的文字说明）． 22．（12分）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【性质探究】： (2)如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系； 【拓展应用】： 如图2，已知四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点． (3)试探索与的数量关系，并说明理由． (4)若，求的最小值． 23．（12分）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，点为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明； 独立思考： (1)请解答老师提出的问题； 实践探究： (2)勤学小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断四边形的形状，并加以证明； 问题解决： (3)善思小组突发奇想，将矩形沿着（为的中点）所在直线折叠，如图③，点的对应点为，连接．该小组提出一个问题：若，，求四边形的面积．请你思考此问题，并直接写出结果． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $绝密★启用前 学校： 姓名： 班级： 考号： 特殊平行四边形单元测试卷 (北师大版) 考试范围：九年级上册第1章全部内容：考试时间：90分钟满分：120分 题号 二 三 总分 得分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.已知四边形ABCD是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形ABCD为菱形的是() A.AB⊥BC B.∠A=∠C C.AC⊥BD D.AB=CD 2.下列说法错误的是() A.平行四边形的对角相等 B.正方形的对称轴有四条 C.矩形既是中心对称图形又是轴对称图形 D.菱形的对角线相等且互相平分 3.如下图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是() A.当∠BAD=90°时，它是矩形 B.当AC=BD时，它是矩形 C.当OA=OB时，它是矩形 D.当AC⊥BD时，它是矩形 4.如图1，将一个菱形截去一个边长为原来一半的菱形，得到图2，用三个图2刚好拼出一个如图3所示 的平面图形，则图1中∠D的度数为() 试卷第1页（共10页） 图1 图2 图3 A.100° B.135° C.110° D.120° 5.如图，菱形盒子ECDF底部有一面平面镜1，从点A处射入一道平行于CD的光线，入射光线经过镜面反 射后恰好经过点B(法线与平面镜l垂直，反射角等于入射角)，若∠C=35°，则∠的度数为() 法线：E AC B反射入射 角 77777777 GD A.110° B.105° C.100° D.95° 6.如图，∠MAW=44°，点B在射线AM上，以点A为圆心，AB长为半径作弧交AN于点D.若分别以点B, D为圆心，AB长为半径作弧，两弧在∠MAN内部交于点C,连接BC,CD,BD,则∠CBD的大小是() M B D N A.46° B.56° C.68 D.73 7.如图，在矩形ABCD中，AB=3,连接AC,BD,若∠BCA=30°，则BD的长为() A D A.3 B.23 C.6 D.35 8.如图，I∥，矩形ABCD的顶点B在直线m上，则∠a等于() 试卷第2页（共10页） 65o1 m B A.10° B.25° C.35° D.无法计算 9.在数学实践课上，老师要求各小组设计检测学校窗户玻璃是否为矩形的方案，下列四个小组提交的方案 中，可行的是() A.测量两组对边是否分别相等 B.测量对角线是否互相垂直 C.测量一组邻边是否相等 D.测量对角线是否相等且互相平分 10.如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形ABCD,相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直 角三角形纸片的面积都为S,另两张直角三角形纸片的面积都为S,中间一张矩形纸片EFG班的面积为S?, H与GE相交于点O.当△AEO,VBFO,△CGO,△DHO的面积相等时，下列结论一定成立的是() D A.EH=GH B.AB=AD C.S=S3 D.S=S2 二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11.如图，在矩形ABCD中，连接BD,以B为圆心，BD为半径画弧交射线BC于点E,连接DE,若AB=6, AD=8,则DE的长为 B 12.如图，设计师采用正五边形与菱形搭配设计地面镶嵌图案，菱形地砖的锐角为 试卷第3页（共10页） 13.如图，菱形OABC的顶点O,A的坐标分别为(0,0)，(3，-4)，点C在y轴上，则点B的坐标为 B 14.如图，在正方形ABCD中，CD=6,点E、F分别为BC、AB边上的动点，保持CE=AF不变，则AE+DF 的最小值为一 D B E 15.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC交BC于点E,点F在边CD上，连接BF交DE于点G,且 BG=GF=DF,若AC=6√2，则BC的长为 D G 三.解答题（共8小题，共75分） 16.(7分)如图，四边形ABCD是矩形，点M、N分别是AB左侧、CD右侧的点，连接BM、AM、CN、 DN,延长MA、ND交于点E,∠ABM=∠DCN,BM=CN,求证：∠BAE=∠CDE. 试卷第4页（共10页） 17.(7分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过点D作DE⊥BC于点E,连接CD. 0求证：DB4c: (2)若AC=8,BC=6,求CD的长. D E 试卷第5页（共10页） 18.(8分)如图，在梯形ABCD中，AD川BC,∠A=90°，DE‖AB交BC于点E,AB=BE,求证：四边 形ABED是正方形 A 19.(9分)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点A,B分别作BD,AC的平行线，两 线相交于点F.已知AB=10,∠BAC=60°，求四边形AOBF的面积. 试卷第6页（共10页） 20.(10分)综合与实践 【问题】尺规作图：如图，AB‖CD,AM平分∠BAC交CD于点M.在AB上作出点N,使四边形ACN 为菱形 【作图】甲、乙作图的过程如下： 甲的作图 如图，作∠ACD的平分线CN交AB于点N,连接MN,则四边形ACMN 是菱形 N M 乙的作图 如图，以点M为圆心，AM长为半径作弧，交AB于点N,连接MN,则 四边形ACMN是菱形. A N B M 【探究】 (1)判断甲的作图是否正确，说明理由： (2)老师说乙的作图不正确，若添加一个条件后，才能使四边形ACW是菱形.请你添加一个合理的条件， 并说明四边形ACMN是菱形； (3)请你再给出另外一种符合要求的作图方法（保留作图痕迹，不写作法）. B M D 试卷第7页（共10页） 21.(10分)用矩形纸片可以折叠出等边三角形，但折叠会损耗矩形纸片的面积，能否将整张矩形纸片无损 耗地剪拼成一个等边三角形呢？ (1)有些矩形纸片很容易剪拼成等边三角形.下面两个矩形纸片只需剪1-2刀就可以拼成等边三角形，请画 出分割线，并做必要标注. D D B C ①AB:BC=1:V3 ②AB:BC=V3:4 (2)任意矩形要剪拼成等边三角形很难想到，不妨倒过来考虑，即研究将等边三角形纸片剪拼成矩形.图③ 是一种可行的分割方案： D 用 丙 G ③ 分割方案 对等边三角形纸片ABC,分别取AB,AC的中点D,E,在BC上取点F(BF<CF), 在BC上取点G,使G=二BC,连接EF,过D作DM1EF,过G作GVL丽，垂足分 别为M,N. ①求证DM=GN; ②将图③中甲、乙、丙三部分进行平移或旋转可以拼出矩形，在原图中画出拼接矩形的示意图. (3)如何将一张A4纸（如图④，AB=21cm,BC=21√2cm)剪拼成等边三角形？在图中画出分割线（标注 必要的长度或角度，写出必要的文字说明) A D B ④ 试卷第8页（共10页） 22.(12分)定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点 四边形”.如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”. D N 图1 图2 【概念理解】： (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是 A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形 【性质探究】： (2)如图1，四边形ABCD是“中方四边形'，观察图形，直接写出四边形ABCD的对角线AC,BD的关系； 【拓展应用】： 如图2，己知四边形ABCD是“中方四边形”，M、N分别是AB、CD的中点. (3)试探索AC与MW的数量关系，并说明理由. (4)若AC=2,求AB+CD的最小值. 试卷第9页（共10页) 23.(12分)综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在口ABCD中，BE⊥AD,垂足为E,点F为CD的中点， 连接EF,BF,试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明： D D D 独立思考： G 图① 图② 图③ (1)请解答老师提出的问题： 实践探究： (2)勤学小组受此问题的启发，将口ABCD沿着BF(F为CD的中点)所在直线折叠，如图②，点C的对应点 为E,连接DE并延长交AB于点G,请判断四边形DGBF的形状，并加以证明 问题解决： (3)善思小组突发奇想，将矩形ABCD沿着BF(F为CD的中点)所在直线折叠，如图③，点C的对应点为 E,连接DE.该小组提出一个问题：若AB=6,BC=4,求四边形DEBF的面积.请你思考此问题，并 直接写出结果 试卷第10页（共10页）