4.4.2 对数函数的图象和性质(一) 课时作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 练习通过“基础全面练”与“综合应用练”分层设计，基础层夯实对数函数图象与性质核心知识，综合层提升跨知识点应用能力，形成从单一概念到综合问题的巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础全面练|对数函数图象过象限、反函数、大小比较、定义域等单一知识点|题型含选择、填空、解答，注重概念理解与基本运算，如判断图象象限、求解定义域| |综合应用练|函数性质综合（凹凸性、奇偶性与单调性结合）、含参数不等式|引入多选与情境题，强调推理能力与模型观念，如结合奇偶性解不等式、分析函数增减性|

　对数函数的图象和性质(一) (时间:45分钟　分值:90分) 【基础全面练】 1.(5分)(2025·洛阳高一检测)已知a>0,且a≠1,则函数f(x)=loga(x+a)的图象必经过 (　　) A.第一、二象限　 B.第二、三象限 C.第三、四象限　 D.第一、四象限 2.(5分)函数y=f(x)与函数y=log2x互为反函数,则f(3)= (　　) A.8 B.6 C.log23 D.9 3.(5分)(2026·阜阳高一检测)若a=log32,b=log0.53,c=2-1.2,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.b<a<c　 B.b<c<a C.c<b<a　 D.c<a<b 4.(5分)若lg (2x-4)≤1,则x的取值范围是(　　) A.(-∞,7] B.(2,7] C.[7,+∞) D.(2,+∞) 5.(5分)(2026·银川高一检测)若函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过点(,),则函数y=loga|x|的大致图象是 (　　) 6.(5分)(多选)(2025·宜宾高一检测)已知函数f(x)=log2(x+4)-lo(2-x),则 (　　) A.f(x)的定义域为[-4,2] B.f(x)图象的对称轴为x=-1 C.f(x)在[-1,2)上单调递减 D.f(x-1)是偶函数 7.(5分)若loga4<1,则a的取值范围为　　.  8.(5分)如果函数f(x)=(3-a)x与g(x)=logax的增减性相同,则实数a的取值范围是　　.  9.(5分)已知函数f(x)=,则f(8)=　　,若直线y=m与函数f(x)的图象只有1个交点,则实数m的取值范围是　　.  10.(10分)已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),且函数的图象过点(4,2). (1)求函数f(x)的解析式; (2)若f(m2+m)<1成立,求实数m的取值范围. 【综合应用练】 11.(5分)(2024·上海高一检测)若f(x)满足x1,x2∈(0,+∞)时,恒有f()≤,则f(x)不可能是 (　　) A.y=log2x B.y=x2 C.y=2x D.y=x 12.(5分)(多选)已知a>0,b>0,且ab=1,a≠1,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx在同一坐标系中的图象可能是 (　　) 13.(5分)已知函数f(x)=,若f(a)=1,则不等式f(x2-8)<f(2x)的解集为 (　　) A.(-2,4) B.(-2,+∞) C.(-4,2) D.(-1,4) 14.(10分)(2026·榆林高一检测)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上的解析式为f(x)=ln (x+1)+x. (1)判断f(x)在区间[0,+∞)上的单调性,并用单调性定义证明; (2)解不等式f(x+1)<f(2x+3). 15.(10分)(2025·滨州高一检测)已知函数f(x)=loga(1+2x)-loga(1-2x)(a>0,且a≠1). (1)判断f(x)的奇偶性并给予证明; (2)求关于x的不等式f(x)>0的解集. 答案解析 【基础全面练】 1.(5分)(2025·洛阳高一检测)已知a>0,且a≠1,则函数f(x)=loga(x+a)的图象必经过 (　　) A.第一、二象限　 B.第二、三象限 C.第三、四象限　 D.第一、四象限 【解析】选A.当0<a<1时,函数f(x)=loga(x+a)的图象经过第一、二、四象限; 当a>1时,函数f(x)=loga(x+a)的图象经过第一、二、三象限, 综上可知,函数f(x)=loga(x+a)的图象必经过第一、二象限. 2.(5分)函数y=f(x)与函数y=log2x互为反函数,则f(3)= (　　) A.8 B.6 C.log23 D.9 【解析】选A.令log2x=3,解得x=8,因为函数y=f(x)与函数y=log2x互为反函数,所以f(3)=8. 3.(5分)(2026·阜阳高一检测)若a=log32,b=log0.53,c=2-1.2,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.b<a<c　 B.b<c<a C.c<b<a　 D.c<a<b 【解析】选B.因为=log3<a=log32<log33=1,b3=-log23<0,0<c=2-1.2<2-1=, 所以b<c<a. 4.(5分)若lg (2x-4)≤1,则x的取值范围是(　　) A.(-∞,7] B.(2,7] C.[7,+∞) D.(2,+∞) 【解析】选B.由lg (2x-4)≤1,得0<2x-4≤10,即2<x≤7. 5.(5分)(2026·银川高一检测)若函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过点(,),则函数y=loga|x|的大致图象是 (　　) 【解析】选C.由函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过点(,),得,解得a=, 函数y=loga|x|,即f(x)=|x|的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), f(-x)=|-x|=|x|=f(x),即函数y=|x|是偶函数,当x>0时,y=x在(0,+∞)上单调递减,A,B,D错误,C正确. 6.(5分)(多选)(2025·宜宾高一检测)已知函数f(x)=log2(x+4)-lo(2-x),则 (　　) A.f(x)的定义域为[-4,2] B.f(x)图象的对称轴为x=-1 C.f(x)在[-1,2)上单调递减 D.f(x-1)是偶函数 【解析】选BCD.对于A,若函数有意义,则,解得-4<x<2, 所以f(x)的定义域为(-4,2),即A错误; 对于B,易知f(x)=log2(x+4)+log2(2-x)=log2(-x2-2x+8),-4<x<2; 且函数y=-x2-2x+8关于x=-1对称,所以f(x)图象的对称轴为x=-1,即B正确; 对于C,易知y=-x2-2x+8在[-1,2)上单调递减,对数函数y=log2x在此区间上单调递增, 由复合函数单调性可得f(x)在[-1,2)上单调递减,即C正确; 对于D,易知f(x-1)=log2[-(x-1)2-2(x-1)+8]=log2(-x2+9),其定义域为(-3,3),且满足偶函数定义,可得f(x-1)是偶函数,即D正确. 7.(5分)若loga4<1,则a的取值范围为　(0,1)∪(4,+∞)　.  【解析】当a>1时,由loga4<1⇒loga4<logaa⇒a>4,当0<a<1时,由loga4<1⇒loga4<logaa⇒a<4,即0<a<1,综上所述,a的取值范围为(0,1)∪(4,+∞). 8.(5分)如果函数f(x)=(3-a)x与g(x)=logax的增减性相同,则实数a的取值范围是　(1,2)　.  【解析】若f(x),g(x)均为增函数,则即1<a<2; 若f(x),g(x)均为减函数,则无解.故1<a<2. 9.(5分)已知函数f(x)=,则f(8)=　 3　,若直线y=m与函数f(x)的图象只有1个交点,则实数m的取值范围是　{0}∪[2,+∞)　.  【解析】当x=8时,f(8)=log28=3;作出函数f(x)的图象,如图所示, 若直线y=m与函数f(x)的图象只有1个交点,由图象可知,当m≥2或m=0时满足条件. 10.(10分)已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),且函数的图象过点(4,2). (1)求函数f(x)的解析式; 【解析】(1)因为函数f(x)=logax的图象过点(4,2),所以loga4=2,所以a2=4, 因为a>0,且a≠1,所以a=2,所以f(x)=log2x. (2)若f(m2+m)<1成立,求实数m的取值范围. 【解析】(2)因为f(2)=1,所以f(m2+m)<1⇔f(m2+m)<f(2),f(x)=log2x在(0,+∞)上单调递增, 则有0<m2+m<2,解得-2<m<-1或0<m<1. 所以实数m的取值范围为{m |-2<m<-1或0<m<1}. 【综合应用练】 11.(5分)(2024·上海高一检测)若f(x)满足x1,x2∈(0,+∞)时,恒有f()≤,则f(x)不可能是 (　　) A.y=log2x B.y=x2 C.y=2x D.y=x 【解析】选A.对于A,取x1=2,x2=4,log2=log23,, 而=log22<log23,即此时有log2>,A不可能,符合题意; 对于B,-=-≤0,于是≤,B不符合题意; 对于C,≥,C不符合题意; 对于D,≤x1x2=,D不符合题意. 12.(5分)(多选)已知a>0,b>0,且ab=1,a≠1,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx在同一坐标系中的图象可能是 (　　) 【解析】选AB.因为g(x)=-logbx=x=logax,所以f(x)和g(x)的单调性相同,结合选项可知A,B正确. 13.(5分)已知函数f(x)=,若f(a)=1,则不等式f(x2-8)<f(2x)的解集为 (　　) A.(-2,4) B.(-2,+∞) C.(-4,2) D.(-1,4) 【解析】选A.因为函数f(x)=,且f(a)=1, 当a≥1时,log3a+a=1,解得a=1,当a<1时,3a-2+=1,解得a=1(舍去), 所以f(x)=,当x≥1时,f(x)=log3x+1单调递增; 当x<1时,f(x)=3x-2+单调递增,且log31+1=31-2+,所以f(x)在R上单调递增, 因为f(x2-8)<f(2x),所以x2-8<2x,即x2-2x-8<0,解得-2<x<4. 14.(10分)(2026·榆林高一检测)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上的解析式为f(x)=ln (x+1)+x. (1)判断f(x)在区间[0,+∞)上的单调性,并用单调性定义证明; 【解析】(1)f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,证明如下: 任取0≤x1<x2,f(x1)-f(x2)=ln (x1+1)+x1-ln (x2+1)-x2=ln +x1-x2, 因为0<<1,所以ln <0,且x1-x2<0, 所以f(x1)-f(x2)<0,f(x)在区间[0,+∞)上单调递增. (2)解不等式f(x+1)<f(2x+3). 【解析】(2)由(1)可知f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,且f(x)是偶函数, 所以f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,且f(0)=0,故函数f(x)在R上连续, 所以不等式f(x+1)<f(2x+3),可化为|x+1|<|2x+3|,即(x+1)2<(2x+3)2, 整理得3x2+10x+8>0,因式分解,得(3x+4)(x+2)>0,解得x<-2或x>-. 所以原不等式的解集为. 15.(10分)(2025·滨州高一检测)已知函数f(x)=loga(1+2x)-loga(1-2x)(a>0,且a≠1). (1)判断f(x)的奇偶性并给予证明; 【解析】(1)函数y=f(x)为奇函数.证明如下: 函数f(x)=loga(1+2x)-loga(1-2x)中,,解得-<x<, 则函数y=f(x)的定义域为(-,),关于原点对称,f(-x)=loga(1-2x)-loga(1+2x)=-[loga(1+2x)-loga(1-2x)]=-f(x),所以函数y=f(x)为奇函数. (2)求关于x的不等式f(x)>0的解集. 【解析】(2)依题意,loga(1+2x)-loga(1-2x)>0,即loga(1+2x)>loga(1-2x), 当a>1时,有1+2x>1-2x>0,解得0<x<, 当0<a<1时,有0<1+2x<1-2x,解得-<x<0, 所以当a>1时,不等式f(x)>0的解集为(0,); 当0<a<1时,不等式f(x)>0的解集为(-,0). 学科网（北京）股份有限公司 $