25.2.3 因式分解法 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦因式分解法解一元二次方程，以“原理理解-方法应用-综合优化”为路径，分层递进巩固知识，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|知识点01-02（原理、提公因式法）|结合期末真题设计直接因式分解题，强化零积性质应用| |方法应用|知识点03-05（公式法、十字相乘法）|通过平方差、完全平方公式专项训练，嵌入易错点辨析| |综合提升|知识点06-07（形式识别、解法选择）|设置换元法、解法优化题，融合阅读理解情境，发展创新意识|

2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十五章 一元二次方程 25.2.3 因式分解法 ▌课时目标 1. 理解因式分解法解一元二次方程的原理，掌握“若ab=0，则a=0或b=0”的数学依据，能准确识别适合因式分解法的方程形式。 2. 能熟练运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式及十字相乘法对一元二次方程进行因式分解，并正确求解方程。 3. 能根据方程特征灵活选择最优解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法），体会因式分解法在解特定方程时的简便性。 ▌课时目录 知识点01：因式分解法原理 知识点02：提公因式法因式分解解方程 知识点03：平方差公式因式分解解方程 知识点04：完全平方公式因式分解解方程 知识点05：十字相乘法因式分解解方程 知识点06：方程一边为零、另一边可分解的形式识别 知识点07：四种解法（直接开平、配方、公式、因式分解）的选择与优化 ▌知识点01：因式分解法原理 因式分解法的理论依据是“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的零积性质。将一元二次方程通过因式分解化为A·B＝0的形式，则A＝0或B＝0，从而将一元二次方程降次为两个一元一次方程求解。 例如：方程x²－3x＝0可因式分解为x(x－3)＝0，则x＝0或x－3＝0，解得x₁＝0，x₂＝3。注意：使用因式分解法的前提是方程的一边为0，另一边能分解为两个一次因式的乘积。若原方程不是这种形式，需先移项使右边为0，再因式分解。 1．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ，． （2）解： 或 ，． 2．（25-26八年级下·广西百色·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 因式分解得， 则或， 解得，； （2）解：， 因式分解得， 则或， 解得，． 3．（25-26八年级下·福建莆田·期末）解方程： 【答案】， 【详解】解： ∴或 ， 4．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）对二次三项式十字相乘分解因式； （2）提取公因式分解因式，分别令每个因式等于0即可得到方程的根． 【详解】（1）解： 因式分解得 或 解得， （2）解： 提取公因式得 整理得 或 解得， ▌知识点02：提公因式法因式分解解方程 当方程左边各项含有公共因式时，可提取公因式进行因式分解。步骤： 1. 移项使方程右边为0； 2. 提取公因式，将方程化为“公因式×另一个因式＝0”的形式； 3. 令每个因式等于0，得到两个一元一次方程； 4. 分别求解。 例如：解方程3x²－6x＝0→提取公因式3x得3x(x－2)＝0→3x＝0或x－2＝0→x₁＝0，x₂＝2。又如：解方程(x－1)(x＋2)＝x－1→移项得(x－1)(x＋2)－(x－1)＝0→提取公因式(x－1)得(x－1)[(x＋2)－1]＝0，即(x－1)(x＋1)＝0→x－1＝0或x＋1＝0→x₁＝1，x₂＝－1。易错点：两边直接约去公因式（如3x²＝6x两边约去x得3x＝6），会导致漏解x＝0，必须移项后提取公因式。 5．（25-26八年级下·福建莆田·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】先整理方程，提取公因式因式分解后，转化为两个一元一次方程求解． 【详解】解：， ， ， ， ∴或， 解得：，． 6．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 7．（25-26八年级下·江苏南通·期末）解方程 【答案】， 【详解】解： 或 ∴，； 8．（25-26九年级下·山东淄博·期末）解方程： 【答案】， 【分析】移项后提取公因式分解因式，即可求出方程的解． 【详解】， 解： 则 或 解得 ，． ▌知识点03：平方差公式因式分解解方程 当方程左边是平方差形式（即a²－b²）时，使用平方差公式a²－b²＝(a＋b)(a－b)进行因式分解。 步骤： 1. 移项使方程右边为0； 2. 将左边写成平方差形式； 3. 应用平方差公式分解； 4. 转化为两个一次方程求解。 例如：解方程x²－9＝0→(x＋3)(x－3)＝0→x₁＝3，x₂＝－3。 9．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解是解题的关键． 运用因式分解得，根据一元一次方程的方法即可求解． 【详解】解：， 因式分解得，， 整理得，， ∴或， 解得，． 10．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．利用因式分解法解方程； 【详解】解：∵ ∴， ∴或， ∴，. 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）运用平方差解方程： 【答案】，． 【分析】此题考查了解一元二次方程—因式分解法，方程移项后，左边利用平方差公式分解，再利用两数相乘积为两数至少有一个为转化为两个一元一次方程求出解即可，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：方程移项得：， 分解因式得：， 整理得：， 所以或， 解得：，． 12．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， ， ， ， ， 或， ，． ▌知识点04：完全平方公式因式分解解方程 当方程左边是完全平方式（即a²±2ab＋b²）时，使用完全平方公式a²±2ab＋b²＝(a±b)²进行因式分解。 步骤： 1. 移项使方程右边为0； 2. 将左边化为完全平方式； 3. 利用直接开平方法或因式分解法求解。 例如：解方程x²－6x＋9＝0→(x－3)²＝0→x₁＝x₂＝3。又如：解方程4x²－12x＋9＝0→(2x－3)²＝0→x₁＝x₂＝1.5。使用公式法时需先识别方程是否符合公式的结构特征。 13．（25-26九年级上·河南南阳·期末）解方程：． 【答案， 【分析】令，根据换元法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： 令，则 ∴ ∴， 当时，， 当时，， 故， 14．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【答案】， 【分析】设，则原方程化为一元二次方程：，先解出的值，再进一步解出的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， （1）当时，，解得，， （2）当时，，此方程无实数根， 综合（1）（2），可得原方程的解是：，． 15．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程：． (2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 【答案】(1)原方程的解为，， (2)这四个整数为2，3，4，5 【分析】（1）将原方程整理，设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程，再求x． （2）设最小数为，由题意得，即，设，则再利用因式分解法解一元二次方程，最后再求出x即可． 【详解】（1）解：原方程整理得 ， 设， 则原方程可化为， 因式分解得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得， 原方程的解为，，． （2）解：设最小数为， 由题意得， 即， 设， 则，即， 因式分解得 ， ，， 为正整数，，即， 因式分解得， 解得， 舍去． 这四个整数为． 16．（25-26八年级下·山东济南·期末）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角三角形；理由如下： 是的三边， ， ， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 【分析】（1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，设，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可变为：， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； ∴原方程的解为：，； （2）略 ▌知识点05：十字相乘法因式分解解方程 对于形如x²＋px＋q＝0（二次项系数为1）的方程，若能找到两个数m、n满足m＋n＝p且mn＝q，则x²＋px＋q＝(x＋m)(x＋n)，从而实现因式分解。 例如：解方程x²＋5x＋6＝0，需找两数满足和为5、积为6，即2和3，故原式＝(x＋2)(x＋3)＝0→x₁＝－2，x₂＝－3。 对于二次项系数不为1的方程ax²＋bx＋c＝0，需使用广义十字相乘法：将a分解为a₁·a₂，c分解为c₁·c₂，使a₁c₂＋a₂c₁＝b，则ax²＋bx＋c＝(a₁x＋c₁)(a₂x＋c₂)。例如：解方程2x²－7x＋3＝0，2＝2×1，3＝(－1)×(－3)，且2×(－3)＋1×(－1)＝－7，故原式＝(2x－1)(x－3)＝0→x₁＝0.5，x₂＝3。 十字相乘法是速度最快的因式分解方法，但适用范围有限，需通过练习熟练掌握。 17．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】， ， 或， 解得：，． 18．（25-26八年级下·福建福州·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】解： 因式分解得，， ∴或， 解得：，． 19．（25-26八年级下·山东东营·期末）解方程：． 【答案， 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， 或， ，． 20．（26-27八年级·上海·暑假作业）解下列方程： (1)； (2)； 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 解得或 所以，原方程的根是，． （2）解： 整理得 或 解得或 所以，原方程的根是，． ▌知识点06：方程一边为零、另一边可分解的形式识别 因式分解法的适用条件是：方程一边必须为0，另一边必须能分解为两个一次因式的乘积。识别要点： 1. 检查方程是否已整理为ax2＋bx＋c＝0的形式； 2. 观察左边多项式是否能提取公因式、是否为平方差或完全平方、是否能用十字相乘法分解； 3. 若左边为不可分解的二次三项式（如x2＋x＋1），则不能用因式分解法。 21．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）用适当方法解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）先展开整理为一元二次方程，再利用因式分解法解方程． 【详解】（1）解：， ， ∴或， 解得； （2）解：， ， ， ∴， ∴， 解得． 22．（25-26八年级下·福建福州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先移项，把右侧整体移到左边，提取公因式，利用因式分解法求解一元二次方程． （2）用因式分解法求解． 【详解】（1）解:， ， ， 由因式乘积为0可得： 或， 解得:,． （2）解：， ， 由因式乘积为0可得： 或， 解得：，． 23．（25-26八年级下·云南昆明·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【详解】（1）解：， ， ， 或， 解得，； （2）解：， ， ， ， 或， 解得，. 24．（25-26九年级下·山东淄博·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， 解得，； （2）解：， 整理得， 因式分解得， ∴或， 解得，． ▌知识点07：四种解法（直接开平、配方、公式、因式分解）的选择与优化 四种解法的适用场景： 1. 直接开平方法：适用于左边是完全平方式、右边是非负常数的方程，如(x－2)²＝9，速度最快； 2. 因式分解法：适用于能较容易分解为两个一次因式乘积的方程，如x²－5x＋6＝0，速度较快； 3. 公式法：适用于所有一元二次方程，是通法，但计算量大，适用于无法用前两种方法求解的方程； 4. 配方法：适用于推导求根公式和理解方程本质，日常解题较少使用，但在解决代数式最值问题时很有用。 5. 选择原则：优先尝试直接开平方法和因式分解法，若不易分解再用公式法，配方法一般用于特定目的。 例如：解方程x²－4x＋3＝0，用十字相乘法得(x－1)(x－3)＝0最简便；解方程2x²－4x－1＝0，不易分解，用公式法；解方程(x＋1)²＝4，用直接开平方法最简便。 25．（25-26八年级下·陕西西安·期末）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 移项得 配方得 即 开方得或 解得； （2） 移项得 变形得 提取公因式得 化简得 即或 解得． 26．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：对方程因式分解，得， 解得． （2）解：移项，得， 判别式， 由公式法解得，． 27．（25-26八年级下·山东日照·期末）解方程： (1)用配方法解方程：； (2)用适当方法解方程：． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ，； （2）解： 或 ，． 28．（25-26八年级下·山东青岛·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】根据公式法解一元二次方程求解即可； 根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴，； （2）解：； ， ， 即， 或， ∴，． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·山东泰安·期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：A、对于方程，，方程没有实数根，不符合题意； B、对于方程，，方程有两个相等的实数根，符合题意； C、对于方程，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、对于方程，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 2．（25-26八年级下·山东泰安·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于一元二次方程，当时，方程有两个相等的实数根. 对本题而言， ，解得． 3．（25-26九年级下·山东淄博·期末）若用配方法解一元二次方程，则下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再配方得到完全平方形式，对比选项即可得到正确结果． 【详解】解：， 移项得， 配方得， 整理得． 4．（25-26八年级下·河北衡水·期末）一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】计算一元二次方程根的判别式的值，根据与的大小关系即可判断根的情况． 【详解】解：∵对于一元二次方程，可得，，， ∴， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 二、填空题 5．（24-25八年级下·上海·阶段检测）方程的解是___________； 【答案】 【详解】解： ． 6．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是________ ． 【答案】 【分析】把代入方程中，求出的值，结合即可得解． 【详解】解：由题意得：把代入方程中得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 7．（2026·山东·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 【答案】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为，即可求出另一个根 ． 【详解】解：已知方程为 得 或 ， 解得，， 方程的一个根是， ， 因此方程的另一个根为2． 8．（2026·山东济宁·三模）关于x的方程如果是一元二次方程，则其解为________． 【答案】， 【分析】先根据一元二次方程的定义，列方程与不等式，解得，得到该一元二次方程为，再解该方程即可． 【详解】解：关于x的方程是一元二次方程， 且， 解得， 该一元二次方程为， 整理，得， ， ，． 三、解答题 9．（25-26八年级下·江西南昌·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：原方程化为， 开平方，得， ； （2）解：， ， ， 或， ，． 10．（25-26八年级下·浙江台州·期末）观察下列等式： 第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，…… (1)按照你发现的规律，写出第5个等式：_． (2)若为正整数，，求的值． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）根据题干规律即可解答； （2）根据题干规律，列方程即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得第n个等式为， 所以第5个等式：； （2）解：， ， 解得或（舍去）． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十五章一元二次方程 25.2.3因式分解法 课时目标 1. 理解因式分解法解一元二次方程的原理，掌握“若b0,则0或b0”的数学依据， 能准确识别适合因式分解法的方程形式。 2.能熟练运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式及十字相乘法对一元二次方程进 行因式分解，并正确求解方程。 3. 能根据方程特征灵活选择最优解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法） 体会因式分解法在解特定方程时的简便性。 课时目录 知识点01：因式分解法原理 知识点02：提公因式法因式分解解方程 知识点03：平方差公式因式分解解方程 知识点04：完全平方公式因式分解解方程 知识点05：十字相乘法因式分解解方程 119 知识点06：方程一边为零、另一边可分解的形式识别 知识点07：四种解法（直接开平、配方、公式、因式分解）的选择与优化 知识点01：因式分解法原理 因式分解法的理论依据是“若ab=0,则α=0或b=0”的零积性质。将一元二次方程通过 因式分解化为A·B=0的形式，则A=0或B=0,从而将一元二次方程降次为两个一元一 次方程求解。 例如：方程x2一3x=0可因式分解为x(x一3)=0，则x=0或x一3=0，解得x1=0,x2=3。 注意：使用因式分解法的前提是方程的一边为0，另一边能分解为两个一次因式的乘积。 若原方程不是这种形式，需先移项使右边为0，再因式分解。 1.(25-26八年级下·辽宁大连期末)解一元二次方程： 0)+2x-3=0 ②x(x-4)=8-2x 2.(25-26八年级下广西百色期末)解下列方程： a)r-2x-8=0 22r-5x-3=0 3.(25-26八年级下福建莆田期末)解方程： 3x(x-1)+(x-1)=0 4.(25-26八年级下·河北石家庄·期末)解下列一元二次方程： )-2x-3=0 ②4(x-y+x(x-1)=0 知识点02：提公因式法因式分解解方程 当方程左边各项含有公共因式时，可提取公因式进行因式分解。步骤： 移项使方程右边为0： 219 提取公因式，将方程化为“公因式×另一个因式=0”的形式： 令每个因式等于0，得到两个一元一次方程： 分别求解。 例如：解方程3x2一6x=0→提取公因式3x得3xx一2)=0→3x=0或x一2=0x1=0,x2= 2。又如：解方程(x-1)x十2)=x一1→移项得x-1)x十2)-x一1)=0→提取公因式x-1)得 x-1)[x+2)-1]=0,即(x-1)x+1)=0→x一1=0或x+1=0→x1=1,x2=-1。易错点： 两边直接约去公因式（如3x2=6x两边约去x得3x=6)，会导致漏解x=0,必须移项后提 取公因式。 3x(x+1=3x+3 5.(25-26八年级下福建莆田期末)解方程： 6.(25-26八年级下江苏苏州期末)解方程： x(x-2)=-3(x-2) x(x-1)=2(x-1) 7.(25-26八年级下·江苏南通期末)解方程 8。(25-26九年级下山东淄博期末)解方程： 3(x+4)=(x+4)(x+) 知识点03：平方差公式因式分解解方程 当方程左边是平方差形式（即2-b)时，使用平方差公式-b=(a十b)(a一b)进行因式 分解。 步骤： 移项使方程右边为0： 将左边写成平方差形式： 应用平方差公式分解： 转化为两个一次方程求解。 例如：解方程x2-9=0→(x十3)x一3)=0→x1=3,x2=一3。 9(24-25九年级上甘肃兰州期中)解方程：4r-(3x+1=0 10.(23-24九年级上湖南郴州期末)解方程：(5x-4-(4r-3}=0 9x+1)2=4(x-1)2 11.(25-26九年级上全国课后作业)运用平方差解方程： 319 12.(25-26八年级下·辽宁大连期末)解方程：x2-1=x+1. 知识点04：完全平方公式因试分解解方程 当方程左边是完全平方式（即±2ab+bP)时，使用完全平方公式㎡±2b十b=(肚b)?进行 因式分解。 步骤： 移项使方程右边为0： 将左边化为完全平方式； 利用直接开平方法或因式分解法求解。 例如：解方程x2-6x十9=0→(x一3)？=0→x1=x2=3。又如：解方程4x2-12x十9=0→(2x一 3)P=0一→x1=x2=1.5。使用公式法时需先识别方程是否符合公式的结构特征。 13.(25-26九年级上河南南阳期末)解方程：(2x--4(2x-)+3=0 14.(25-26九年级上江苏扬州阶段检测)请阅读下列材料： 解方程(x-°-5(x2-1)+4=0 解法如下： 将x-1视为一个整体，然后设2-1=y,则(x-=y户」 y2-5y+4=0 y=1y2=4 原方程可化为 ,解得 )当=时，-1=1， 解得七±V2 （2)当=4时，-1=4 解得术=±5 综合（1)(2)，可得原方程的解为=V2,x=V2,。=5,x=5 请你参考明明同学的思路，解方程(x-1刂小-5(x--6=0 15.(25-26八年级下安徽滁州期末)阅读材料： 为新方程以-护-或-小+4=0，我回以将仁-小把为一个整，然后设-1，则 419 (x2-102=y2 y2-5y+4=0 ,原方程可化为 ① 解得片=4乃=1 当=4时，-1=4，=5，=5 当=时，-1=，=2，x=5 六原方程的解为=5，名=2.考=5名=5 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想， 请仿照材料解决问题： (x2-2x)2-5x2+10x-6=0 (1)解方程： (②)若四个连续正整数的积为120，求出这四个连续的正整数. 16。(25-26八年级下山东济南期末)解方程x-少-5(x-)+4=0时，我们可以将x-1看成一个整体， 2-5y+4=0 ,则原方程可化为 得=1，为=4.当1，即-1=1，解特=2 ,解得 当 4,即-1=4.解得5.所以原方程的解2名=5 (①)请你利用这种方法解方程： (2x-1)-4(2x-1)+3=0 2已知△ABC三条边的长度分别为a,b,c,若满足(d+b-3(口+b）4=0,且c=2,请判断 △ABC的形状，并说明理由， 知识点05：十字相乘法因式分解解方程 对于形如x2十px十q=0（二次项系数为1)的方程，若能找到两个数、n满足十n=p且 n=q,则x2+px十q=(x十mx十)，从而实现因式分解。 例如：解方程x2+5x十6=0，需找两数满足和为5、积为6，即2和3，故原式=(x十2)x十 3)=0→x1=-2,2=-3。 对于二次项系数不为1的方程ax2+bx十c=0,需使用广义十字相乘法：将a分解为：a2, 5/9 c分解为c1c2,使ac2十bc1=b,则ar2十bx十c=(ax十c)(a2x十c2)。例如：解方程2x2-7x 十3=0,2=2×1,3=(-1)×(-3)且2×(-3)十1×(-1)=-7，故原式=(2x-1)0x-3)= 0→x1=0.5,x2=3。 十字相乘法是速度最快的因式分解方法，但适用范围有限，需通过练习熟练掌握。 17. (25-26八年级下·湖南长沙期末)解方程：x2-4x-5=0. 18.(25-26八年级下·福建福州期末)解方程：x2-4x+3=0. 19.(25-26八年级下山东东营期末)解方程：2x2-5x+3=0. 20.(26-27八年级·上海·暑假作业)解下列方程： 0)2-7x+12=0 220-2=y+5 知识点06：方程一边为墨另一边可分解的形式识别 因式分解法的适用条件是：方程一边必须为0，另一边必须能分解为两个一次因式的乘 积。识别要点： 检查方程是否已整理为ax2+bx十c=0的形式： 观察左边多项式是否能提取公因式、是否为平方差或完全平方、是否能用十字相乘法分 解： 若左边为不可分解的二次三项式（如x2十x十1），则不能用因式分解法。 21. (25-26八年级下·浙江杭州期末)用适当方法解下列方程： 0)-2=0 2x+(x+4)=x 22.(25-26八年级下·福建福州期末)解方程： 0)x(x-5)=3x-15 23r+2x-1=0 6/9 23.(25-26八年级下·云南昆明期末)解方程： 0t-6x=27 3x(x-2)=2x-4 (2) 24.(25-26九年级下·山东淄博期末)解下列方程： a①t-2x-8=0 @2x(x-3)=5x-3) 知识点07：四种解法（直接开平配方公式。因试式分解）的选择与优化 四种解法的适用场景： 直接开平方法：适用于左边是完全平方式、右边是非负常数的方程，如(x一2}=9，速度最 快： 因式分解法：适用于能较容易分解为两个一次因式乘积的方程，如x2一5x十6=0，速度较 快； 公式法：适用于所有一元二次方程，是通法，但计算量大，适用于无法用前两种方法求解 的方程 配方法：适用于推导求根公式和理解方程本质，日常解题较少使用，但在解决代数式最值 问题时很有用。 选择原则：优先尝试直接开平方法和因式分解法，若不易分解再用公式法，配方法一般用 于特定目的。 例如：解方程x2一4x十3=0，用十字相乘法得(x一1)x一3)=0最简便；解方程2x2一4x一1 =0,不易分解，用公式法；解方程(x十1)=4，用直接开平方法最简便。 25.(25-26八年级下陕西西安·期末)解下列一元二次方程： a)r-6r+3=0 2)2(x+}=x2-1 26.(25-26八年级下·安徽毫州期末)解方程： 04r-4r+1=0 719 (2)3x2-1=-4x 27.(25-26八年级下山东日照期末)解方程： (1)用配方法解方程：x2+6x+3=0: x-1=(x-1)(2x+3) (2)用适当方法解方程： 28.(25-26八年级下山东青岛期末)解方程： 4)r-2V2x-1=0 2-1=4x+1) 课时训练 一、选择题 1.(25-26八年级下山东泰安·期末)下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是() A.x2-2x+2=0 B.x2-4x+4=0 C.x2+3x=0 D.x2-5x+6=0 2.(25-26八年级下山东泰安期末)关于x的一元二次方程x2+4x-k=0有两个相等的实数根，则k的值 是() A.2 B.4 C.-4 D.-16 3.(25-26九年级下·山东淄博期末)若用配方法解一元二次方程x2+4x-3=0,则下列配方正确的是 () A.(x-)}'=3 B.(x+I)}2=3 c.(x-22=7 D.(x+2}2=7 4.(25-26八年级下·河北衡水期末)一元二次方程x2-2x-6=0的根的情况是（) A.没有实数根 B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 819 二、填空题 5.(24-25八年级下·上海阶段检测)方程3x-48=0的解是 6.（25-26八年级下山东烟台期末)若=1是关于x的一元二次方程m-1)r-x+m=0。 的一个根，则 m的值是 7.(2026山东中考真题)若关于x的一元二次方程(x-2x-m)=0的一个根是10，则另一个根是 8,（2026山东济宁三模)关于x的方程mr+(m-x-2=0。 如果是一元二次方程，则其解为： 三、解答题 9.(25-26八年级下·江西南昌·期末)解下列方程： 0)r-2x+1=0 2)*(x-2)=x-2 10.(25-26八年级下浙江台州期末)观察下列等式： 1.13 117 1+ ,1,1_13 第1个等式： √+下+22，第2个等式： 空+子6，第3个等式：V+字+平2， (I)按照你发现的规律，写出第5个等式：一 1 1+ +1111 2)若n为正整数，√(n+1110,求n的值. 919