25.2.3 因式分解法 课后练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学九年级上册一元二次方程因式分解法同步练，以“基础巩固-综合应用-拓展探究”分层设计，通过阶梯式题型培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|因式分解法直接应用|选择题考查方程根的求解，填空题结合提公因式法| |综合层|多种方法选择与综合运用|解答题含十字相乘法、公式法，需判断方法适用性| |拓展层|实际情境与数学思想|综合与实践题用换元法及矩形面积问题，体现模型意识|

新人教版九年级上册 第章 一元二次方程 因式分解法 课后练习（满分分，时间分钟） 【本课知识要点】 · 因式分解法依据：若·，则或。使用前必须把方程化为“右边为”的形式。 · 常用方法：提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法（）。 · 解题步骤：移项使右边为→左边因式分解→化为两个一元一次方程→分别求解。 · 方法选择：形如用直接开平方；缺常数项或可提公因式、可用公式分解的用因式分解法；不便分解的用公式法或配方法。 一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分） ．方程 的根是（　　） ．　　．　　．　　． ．方程 的根是（　　） ．　　．　　．　　． ．方程 的根是（　　） ．　　．　　．　　．无实数根 ．方程 的根是（　　） ．　　．　　．　　． ．方程 的根是（　　） ．　　．　　．　　． ．方程 的根是（　　） ．　　．　　．　　． ．方程 的根是（　　） ．　　．　　．　　． ．若关于的方程 的两个根分别是和，则的值分别为（　　） ．　　．　　．　　． 二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分） ．方程 的根为。 ．方程 的根为。 ．若一个三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程 的根，则这个三角形的周长为。 ．若 满足 ，则 。 ．如图，一个矩形的相邻两边长恰好是方程 的两个根，则这个矩形的周长为。 三、解答题（本大题共小题，满分分） ．（本题分）用因式分解法解下列方程： ； 。 ．（本题分）用适当的方法解下列方程： ； 。 ．（本题分）已知关于的方程 。 求证： 总是该方程的根； 若该方程的一个根为 ，求的值及方程的另一个根。 ．（本题分）阅读材料：对于二次三项式 ，可以用十字相乘法分解为 。 请用十字相乘法分解：； 用十字相乘法解方程 ； 若 ，则方程 的根为。 ．（本题分）用适当的方法解下列方程： ； 。 四、综合与实践（本大题共小题，满分分） ．（本题分）【阅读与思考·整体思想】 阅读材料：解方程 时，如果把 看成一个整体，设 ，那么原方程就变成了关于的一元二次方程，先解出，再回代求。像这样把问题的某一部分看成一个整体来处理的方法，叫做整体思想（换元法）。 请仿照上述方法解方程：。 ．（本题分）【综合与实践·铁丝围矩形】 实践活动课上，老师给每个小组一根长为的铁丝，要求首尾相接围成矩形（不计接缝处的损耗）。 设矩形的一边长为 ，用含的代数式表示它的邻边长； 若围成的矩形面积为，求矩形的长与宽； 用这根铁丝能否围成面积为的矩形？请说明理由。 新人教版九年级上册 第章 一元二次方程 （参考答案与解析） 一、选择题（每小题分，共分） ． ． ． ． ． ． ． ． 二、填空题（每小题分，共分） ． ． ． ． ． 三、解答题 ． ； 【分析】将左边分解为两个一次因式的乘积；先化为一般形式，再分解因式。 【详解】解：因式分解得 ， 或， 。 解：整理得 ， 因式分解得 ， 或， 。 【评分标准】因式分解正确得分，求根正确各得分（共分）；化为一般形式正确得分，因式分解正确得分，求根正确各得分（共分）。 ． ； 【分析】可用直接开平方法或平方差公式分解；可用因式分解法（十字相乘）。 【详解】解：直接开平方得 ， 当时，；当时，。 。 解：因式分解得 ， 或， 。 【评分标准】开平方正确得分，两个根正确各得分（共分）；因式分解正确得分，求根正确各得分（共分）。 ． 见详解； ，另一个根为 【分析】把代入方程左边验证是否为；把代入求，再解方程或利用根与系数关系求另一根。 【详解】证明：把代入方程左边，得 ， 总是该方程的根。 解：把代入方程，得 ， 即，解得。 此时方程为 ，因式分解得 ， 另一个根为。 【评分标准】代入验证正确得分，结论正确得分（共分）；代入求正确得分，求另一根正确得分（共分）。其他合理解法参照评分标准酌情给分。 ． ； ； 【分析】找两个数，和为、积为；找两个数，和为、积为；由因式分解直接写出根。 【详解】 。 解：， 或， 。 解：， 方程 可化为 ， 。 【评分标准】分解正确得分（共分）；分解正确得分，求根正确各得分（共分）；写出根各得分（共分）。其他合理解法参照评分标准酌情给分。 ． ； 【分析】找两个数，和为、积为，用十字相乘法；先移项，再提公因式。 【详解】解：因式分解得 ， 或， 。 解：移项得 ， 提公因式得 ， 即 ， 或， 。 【评分标准】因式分解正确得分，求根正确各得分（共分）；移项提公因式正确得分，求根正确得分（共分）。其他合理解法参照评分标准酌情给分。 四、综合与实践 ． 【分析】设 ，把原方程化为关于的一元二次方程，解出后分别解两个一元二次方程。 【详解】解：设 ，则原方程化为 ， 因式分解得 ， 。 当时，，即 ， 因式分解得 ， ； 当时，，即 ， 这里， ，即 。 【评分标准】设元正确得分，解关于的方程得分，两组方程求解各得分，结论完整得分（共分）。其他合理解法参照评分标准酌情给分。 ． ； 长、宽； 不能 【分析】邻边长周长的一半；由面积列一元二次方程求解；列方程后看判别式的符号。 【详解】解：矩形的周长为， 邻边长为 。 解：由题意得 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 。 当时，邻边长为；当时，邻边长为， 矩形的长为、宽为。 解：若面积为，则 ， 整理得 ， ，方程没有实数根， 不能围成面积为的矩形。 【评分标准】表示邻边长得分（共分）；列方程得分，解方程得分，求出长宽得分（共分）；列方程得分，说明理由得分（共分）。其他合理解法参照评分标准酌情给分。 学科网（北京）股份有限公司 $