北京市日坛中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

参考答案 1．B 2．D 3．C 4．A 5．C 6．C 7．A 8．D 9．D 10．A 11．D 12．D 13．D 14．B 15．B 16． 【详解】由． 17． 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为． 18．； 【详解】依题意，， 而，，于是得，． 19．；（答案不唯一） 【详解】由题设，则，，且均可 20．； 【详解】因为轴，所以，即 故，设，则最小值为的最小值， ，令，， 当时，，因此在上单调递增，又， 所以时，，因此在上单调递增， 故的最小值为，即的最小值为；此时，． 21．①②④ 【详解】先分析函数的基本性质： 当时，，即 图像为顶点在，端点为，的三角形． 当时，，即对任意，时，，故， 图像为前一区间图像横向拉伸为原来的倍，纵向压缩为原来的，区间内的最高点为 ． 逐一判断各结论： ①，， 又，，故①正确． ②函数有个零点，等价于时有个不同实根，即直线与的图像有个交点． 直线过原点，过在的最高点时，斜率，此时直线与段的图像仅交于最高点，共3个交点． 过在的最高点时，斜率，此时直线与段的图像交于最高点，共5个交点． 当时，直线与的图像有4个交点，即函数有4个零点，故②正确． ③当时，的图像为三角形，底长为，高为， 与轴围成的面积，故③错误． ④对任意，设，的最大值为，对应， 此时，其余点处均小于该最大值，故恒成立，即恒成立，故④正确． 22（1）已知，所以， ，切线斜率， 则曲线在点处的切线方程为，即． （2）因为，令，解得或， 极大值 极小值 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为， 又因为所以的最大值为，最小值为． 23（1）由于锐角的终边与单位圆相交于点，因此， 又因为为锐角，所以． （2）由（1）知，，故由题意，， 因为， 由，， 所以． （3）由（2）知，，． 因为，所以， 即时，； 即时，． （易知在上单调递减，在上单调递增， ；；； 在处取得最小值；在处取得最大值．） 24（1）依题意知，，解得，，所以椭圆的方程为； （2）联立，可得， 由，设，． 则，， ． ，在上， ，，，， ， ， 若为定值，则与无关， 故需使，解得，此时． 25（1）当时，函数，， 又，则． 所以在点处的切线方程为． （2）由题意知，的定义域为， ，显然恒成立， ①若，则，此时在上单调递减； ②若，令，解得． 当时，，当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （3）若，由（2）知，至多有一个零点； 若，由（2）知，当时，取得最小值为． 设，则， 故在上单调递增，又． （i）当时，，故此时没有两个零点； （ii）当时，， 又， 故在上有一个零点； 当，由可得即，得，则 故，即，又易知， 则，即， 因此在上也有一个零点． 综上，若有两个零点，实数的取值范围为． 26（1），不具有性质； ，，，具有性质； 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026北京日坛中学高三（上）开学考 数学 命题人：高三数学备课组 时间：120分钟 一、选择共15小题，每小题4分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合，，则 A． B． C． D． （2）下列函数中，是奇函数且在其定义域上单调递增的为 A． B． C． D． （3）下列两个函数和，的图象不可以由的图象经过平移得到的是 A．， B．， C．， D．， （4）设，，，则 A． B． C． D． （5）已知函数，，，，则 A． B． C． D． （6）下列函数中，图象存在与轴平行的切线的是 A． B． C． D． （7）在平面直角坐标系中，角以为始边，为终边上一点，则 A． B． C． D． （8）若角与角的终边关于轴对称，则必有 A． B． C． D． （9）定义在上的函数满足，且当时 则 A． B． C．2 D． （10）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，如图是会徽的几何图形，设弧长，弧长，几何图形面积为，扇形面积为，若，则 A．8 B．7 C．6 D．5 （11）已知函数的定义域为区间，其导函数的图象如图所示，的3个零点分别是，，．下列结论中正确的是 A．在区间上单调递增 B．在处取得极大值 C．有3个极值点 D． （12）已知，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 （13）当时，方程的解的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 （14）某工厂的产量（单位：件）与资本投入（单位：万元）、劳动投入（单位：人）满足柯布-道格拉斯生产函数（其中，，为常数）．在劳动投入不变的前提下，要使该工厂 的产量提升20%，资本投入需增加60%，则该工厂资本产出的弹性系数约为 （参考数据：，） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 （15）已知函数是定义在上的可导函数，若对于，均有，则有 A．， B．， C．， D．， 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． （16）函数的定义域为________________． （17）已知，，且，则的最小值为________________． （18）已知函数化为， 则________________，________________． （19）已知，且，．写出满足条件的一组，的值________________，________________． （20）已知点，分别在函数，的图象上，若轴，则的最小值为________________，此时________________． （21）已知函数，则下列说法中所有正确的序号是________________． ①； ②若函数有4个零点，则实数的取值范围为； ③当时，函数的图象与轴围成的图形的面积为1； ④对于实数，不等式恒成立． 三、解答题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （22）（本小题13分） 已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，求的单调区间，并求其最大值与最小值． （23）（本小题13分） 在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，记点的横坐标为，其中． （Ⅰ）求锐角的值； （Ⅱ）若，求的值； （Ⅲ）求函数的最值． （24）（本小题15分） 已知椭圆：的离心率，点在上，直线与椭圆交于，两点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）当为何值时，为定值． （25）（本小题15分） 已知函数． （Ⅰ）当时，求在处的切线方程； （Ⅱ）讨论的单调性； （Ⅲ）若有两个零点，求实数的取值范围． （26）（本小题4分） 已知数集，若对任意的，，使得成立，则称数集具有性质． （Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质． 学科网（北京）股份有限公司 $