北京市朝阳区对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）2024-2025学年高三上学期开学检测数学试题

第1页 学科网（北京）股份有限公司 北京市区对外经济贸易大学附属中学2024-2025学年 高三上学期开学检测数学试卷 一、选择题共 10 题，每题 4 分，共 40 分. 1．已知集合A= {x∈R | 3x+ 2> 0}，B= {x∈R | (x+ 1)(x - 3)> 0}，则 A B = ( ) A．(−∞,−1) B． C． D．(3,+∞) 2．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1) 上单调递增的是( ) A．y = lg x B． C．y = 2|x| D．y = tan x 3．已知角α的终边经过点 ，则sin 2α = ( ) A． B． C． D. 4．已知a= ,b= ln ，c= sin ） A．a > b> c B．b > c > a C．a > c > b D．c > a > b 5．在ΔABC中，sin B = sin 2A , c = 2a，则( ) A．B为直角 B．B为钝角 C． C为直角 D． C为钝角 6. 已知f (x) 为定义在R 上的函数，f (2) = 2 ，且g(x) = f (2x) + x2 为奇函数，则 f (−2) = A. −4 B. −2 C. 0 D. 2 7．设 →AC和 → BC 的夹角为 为锐角的（ ）条件 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件. 8．我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图（1），伞不管是张开还是收拢， 伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角LBAC，且 AB = AC， 从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动.如图（2），伞完全收拢时，伞圈D 已 滑到De的位置，且A ，B ，De三点共线，AD, = 40cm ，B为AD, 的 中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距 离为 24cm，则当伞完全张开时，LBAC 的余弦值是( ) 第2页 学科网（北京）股份有限公司 17 4 21 3 8 25 25 5 25 9．已知OO 的半径为 1，直线 PA与OO相切于点A，直线 PB与OO交于 B，C两点，D为 BC 的中点，若 PO = · 2，则 PA.PD的最大值为( ) A． B． C．1+ D．2+ 10. 已知函数f (x) = sin①x+ (①> 0)在[0,2]上恰有 4个不同的零点，则实数①的取值 范围为( ) 纟 纟 纟 纟 A． 2 , ú B． 2 , ÷ C． p , 2 ú D． p , 2 ÷ 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11．函数f + ln x 的定义域为 . 12. 如图所示，规定每个小方格的边长是1，又已知向量a,b , c，则 (a+b).c= ，a.b = . 13．能使命题“若 sin 2A = sin 2B ，则 △ABC 为等腰三角形”为假命题的一组 A,B 的值是 . 14．已知函数 ① 函数f(x) 的零点个数为 . ② 若存在实数b，使得关于x的方程f (x) = b有三个不同的根，则实数m的取值范围是 . 15. 已知 ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a,b, c,则下列条件能推导出 ABC一定为 锐角三角形的是 . ① a2 +b2 > c2 ② ③ cos2 A+ cos2 B − cos2 C = 1 ④ tanA+ tan B + tan C > 0 A. − B. − C．- D. − 第5页 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16．（本小题 13分） 在 ABC中，内角A,B, C 的对边分别为a, b, c ，c = 2b, sin A = 3sinB . (Ⅰ) 求sinC； (Ⅱ) 若 ABC 的面积为 ，求AB边上的中线CD 的长. 17.（本小题 13分）设函数f (x) = sin (①x+φ) ( ① > 0 ，φ < ）.若f (x)在区间 上具有单调性 再从条件①, 条件②, 条件③这三个条件中选择一 个作为已知条件，使函数f (x) 存在. ( Ⅰ)求 f (x) 的解析式； (Ⅱ)求函数f (x)在[−π,0]上的最大值和最小值. 条件 为奇函数；条件②： f ；条件③：f 18. （本小题 14 分） 防洪工程对防洪减灾起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用 又有蓄洪作用.北京地区 2010 年至 2019 年每年汛末（10 月 1 日）水库的蓄水量数据如下： 年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 蓄水量（亿立方米） 11.25 13.25 13.58 17.4 12.4 12.1 18.3 26.5 34.3 34.1 ( Ⅰ) 从 2010 年至 2019年的样本数据中随机选取连续两年的数据，求这两年蓄水量数据之差 的绝对值小于 1 亿立方米的概率； ( Ⅱ) 从 2014 年至 2019 年的样本数据中随机选取两年的数据，设X 为蓄水量超过 33 亿立方 米的年份个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (Ⅲ) 由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大？（结论不要求证明） 第7页 学科网（北京）股份有限公司 19．（本小题 15分）已知函数 = x− alnx,g ,(a∈R) . （1）若a = 1，求函数f (x) 的最小值； （2）设函数h (x) = f (x)− g (x)，求函数h (x) 的单调区间； （3）若在区间[1,e] 上存在一点x0 ，使得 f (x0 ) < g (x0)成立，求a 的取值范围. 20.（本小题 15分）已知函数 = eax + x2 + x + b，且曲线y= f (x) 在x = 0 处与x轴 相切. ( Ⅰ)求 a,b的值； ( Ⅱ) 令g(x) = f '(x)，证明：函数g(x)在(0,+∞)上单调递增； (Ⅲ) 求f (x) 的极值点个数.. 第8页 学科网（北京）股份有限公司 21.（本小题 15分） 对于数列 ，定义a 设 的前n项和为S*n . 设an = ，写出a (Ⅱ)证明：“对任意n∈ N*，有S*n = an+1 − a1 ”的充要条件是“对任意n∈ N *，有|an+1 − an |=1”； (Ⅲ) 已知首项为 0，项数为m +1(m ≥ 2) 的数列{an}满足： ①对任意1≤ n ≤ m且n∈ N* ，有an+1 − an ∈ = am . 求所有满足条件的数列{an }的个数. 试卷第 1 页，共 11 页 2024 北京贸大附中高三（上）开学考数学答案 一、单选题 1． 【答案】D 【详解】试题分析： ， 或 ，所以 ， 故选 D. 2． 【答案】D 【详解】对于 A, lgy x= 的定义域为 ( )0, + ，定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函 数，故 A 错误， 对于 B， ( ) 2 f x x = 的定义域为 ( ) ( ),0 0,− + ，定义域关于原点对称，又 ( ) ( ) 1 f x x f x x −- =- =- ，所以 ( )f x 为奇函数，但在 ( )0,1 单调递减，故 B 错误， 对于 C， ( ) | |2 xf x = 的定义域为R ,关于原点对称，又 ( ) ( )| |2 2 xxf x f x= -- = = ，故 ( )f x 为偶 函数，故 C 错误， 对于 D， ( ) tan ,f x x= 由正切函数的性质可知 ( ) tanf x x= 为奇函数，且在 ( )0,1 单调递增， 故 D 正确，故选：D 3． 【答案】A 【详解】设坐标原点为 O，由角 的终边经过点 3 4 , 5 5 P   −    ，则 2 2 3 4 | | ( ) ( ) 1 5 5 OP = − + = , 故 4 3 sin ,cos 5 5  = = − ，则 4 3 24 sin 2 2sin cos 2 ( ) 5 5 25   = =   − = − ，故选：A 4． 【答案】C 【详解】因为 1 02e e 1a = = ， 1 ln ln1 0 2 b =  = ， ( ) 1 sin 0,1 2 c =  ， 所以 a c b  .故选：C. 5． 【答案】C 试卷第 2 页，共 11 页 【详解】由 sin sin 2 2sin cosB A A A= = ，即 2 cosb a A= ， cos 2 b A a = ， 又 2c a= ，所以 2 2 2 2 2 24 cos 2 2 2 2 b c a b a a b A bc b a a + − + − = = =  ，化简得 3b a= ， 则 : : 1: 3 : 2a b c = ，故在 ABC 中， π π π , , 6 3 2 A B C= = = ，故选：C 6． 【答案】A 【详解】因为 2( ) (2 )g x f x x= + 是奇函数，所以有 ( 1) (1) ( 2) 1 (2) 1 0g g f f 即 ( 2) 4f − = − .故选：A 7． 【答案】B 【详解】由题得 | | | |AB BC BC AC BC+ +  − ， | | | |AC BC AC BC +  − ，所以 2 2 2 2 2 2AC BC AC BC AC BC AC BC+ +   + −  ， 0AC BC   .所以 | || | cos 0AC BC   ， cos 0  ，所以向量 AC 和 BC 的夹角 为锐角或零度角. 故选：B 8． 【答案】A 【详解】依题意分析可知，当伞完全张开时， ( )40 24 16 cmAD = − = ， 因为 B 为 AD的中点，所以， ( ) 1 20 cm 2 AB AC AD= = = ， 当伞完全收拢时， ( )40 cmAB BD AD+ = = ，所以， ( )20 cmBD = ， 在 ABD△ 中， 2 2 2 400 256 400 2 cos 2 2 20 16 5 AB AD BD BAD AB AD + − + −  = = =    ， 所以， ( ) 2 2 2 17cos cos 2 2cos 1 2 1 5 25 BAC BAD BAD    =  =  − =  − = −    .故选：A. 9． 【答案】A 【详解】如图所示， 1, 2OA OP= = ，则由题意可知: π 4 APO = ， 由勾股定理可得 2 2 1PA OP OA= − = 试卷第 3 页，共 11 页 当点 ,A D位于直线PO异侧时或 PB为直径时，设 = ,0 4 OPC      ， 则： | | | | cos 4 PA PD PA PD      =  +    1 2 cos cos 4      =  +    2 2 2 cos cos sin 2 2      = −     2cos sin cos  = − 1 cos 2 1 sin 2 2 2   + = − 1 2 sin 2 2 2 4     = − −    0 4    ，则 2 4 4 4    −  −  当 π π 2 4 4  − = − 时，PA PD 有最大值1 . 当点 ,A D位于直线PO同侧时，设 ,0 4 OPC      ， 则： PA PD cos 4 PA PD     =  −    1 2 cos cos 4      =  −    2 2 2 cos cos sin 2 2      = +     2cos sin cos  = + 1 cos 2 1 sin 2 2 2   + = + 1 2 sin 2 2 2 4     = + +    ，0 4    ，则 3 2 4 4 4     +  当2 4 2    + = 时， PA PD 有最大值 1 2 2 . 试卷第 4 页，共 11 页 综上可得， PA PD 的最大值为 1 2 2 .故选：A. 10．已知函数 ( ) 2 sin ( 0) 2 x f x x x   − = +  + 在 0, 2 上恰有 4 个不同的零点，则实数的取值 范围为（ ） A． 3π , 2π 2       B． 3π , 2π 2      C． 5 2π, π 2       D． 5 2π, π 2      【答案】B 【分析】把函数零点问题转化为两个函数交点问题，数形结合即可求解. 【详解】因为函数 ( ) 2 sin ( 0) 2 x f x x x   − = +  + 在 0, 2 上恰有 4 个不同的零点， 则方程 2 sin 0 2 x x x  − + = + 在 0, 2 上恰有 4 个不同的解， 即方程 2 sin 2 x x x  − = + 在 0, 2 上恰有 4 个不同的解， 所以函数 ( ) sin ( 0)g x x =  与函数 2 ( ) 2 x h x x − = + 在 0, 2 上恰有 4 个不同的交点， 因为函数 2 4 ( ) 1 2 2 x h x x x − = = − + + + ，且 4 2 = + y x 在 0, 2 上单调递减， 所以函数函数 2 ( ) 2 x h x x − = + 在 0, 2 上单调递减，且 (0) 1h = ， (2) 0h = ， 函数 ( ) sin ( 0)g x x =  是由 siny x= 函数图象纵坐标不变，横坐标变为原来的 1  倍， 作出两个函数图象，如图： 要使函数 ( ) sin ( 0)g x x =  与函数 2 ( ) 2 x h x x − = + 在 0, 2 上恰有 4 个不同的交点， 由图知： ( ) sin ( 0)g x x =  的周期T 满足 3 2 2 2 T T  ，所以 3π 4π 2     ， 所以 3π 2π 2   ，即实数的取值范围为 3π , 2π 2      . 故选：B 二、填空题 11．【答案】 (0, )+ 试卷第 5 页，共 11 页 【详解】 1 0 0 x x +    得 0x  ，故 ( )f x 的定义域为 (0, )+ . 12． 【答案】 0 3 【分析】建立坐标系，写出每个向量坐标，转化为坐标运算从而便于求解. 【详解】 不妨以 a 的起点为原点建立如图所示坐标系，由图可得 (2,1)a = ， (2, 1)b = − ， (0,1)c = ，则 ( ) (4,0) (0,1) 0a b c ， (2,1) (2, 1) 3a b .故答案为：0；3. 13． 【答案】 60 , 30A B= = （不唯一） 【详解】解：因为在 ABC 中， ( ), 0,A B  ， sin 2 sin 2A B= ， 所以 2 2A B= 或 2 2A B + = ，所以 A B= 或 2 A B  + = ， 所以要使“若 sin 2 sin 2A B= ，则 ABC 为等腰三角形”为假命题，则需 2 A B  + = . 所以 ,A B 的值可以是： 60 , 30A B= = ，此时满足 sin 2 sin 2A B= ，但不 ABC 为等腰三角形 故答案为： 60 , 30A B= = 14． 【答案】 1 ( ) ( )0,2 , 2 − − 【详解】第一空：当 0m  时，可知 ( )f x 有一个零点 x m= − ； 当 0m = 时， ( )f x 有一个零点 0x = ； 当 0m  时，可知 ( )f x 有一个零点 x m= − ；综上函数 ( )f x 的零点个数为 1 个. 第二空： 如图所示，当 0m  时，若要满足题意需 22 m m ，得 ( )0,2m ； 试卷第 6 页，共 11 页 当 0m = 时，不符题意； 如图所示，当 0m  时，若要满足题意需 2 2m m − ，得 2m  − ； 综上 m的取值范围是： ( ) ( )0,2 , 2 − − ，故答案为：1； ( ) ( )0,2 , 2 − − 15．已知 ABC 的三个内角 A，B，C所对的边分别为 , , ,a b c 则下列条件能推导出 ABC 一 定为锐角三角形的是 . ① 2 2 2a b c+  ② sin sin sin 5 6 7 A B C = = ③ 2 2 2cos cos cos 1A B C+ − = ④ tan tan tan 0A B C+ +  【答案】②④ 【分析】利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理，余弦定理逐个分析判断即可 【详解】对于①，若 2 2 2a b c+  ，则余弦定理可得 2 2 2 cos 0 2 a b c C ab + − =  ，得角C 为锐角， 而不能得到其它两个角为锐角，所以 ABC 不一定是锐角三角形，所以①错误， 对于②，由 sin sin sin 5 6 7 A B C = = ，得 sin : sin : sin 5 : 6 : 7A B C = ，所以由正弦定理得 : : 5 : 6 : 7a b c = ， 设 5 , 6 , 7 ( 0)a m b m c m m= = =  ，则可知C 是最大的角，由余弦定理得 2 2 2 2 2 225 36 49 1 cos 0 2 2 5 6 5 a b c m m m C ab m m + − + − = = =    ，所以角C 为锐角，所以 ABC 一定是锐角 三角形，所以②正确， 对于③，因为 2 2 2cos cos cos 1A B C+ − = ，所以 2 2 21 sin 1 sin 1 sin 1A B C− + − − + = ，所以 2 2 2sin sin sinA B C+ = ，由正弦定理得 2 2 2a b c+ = ，所以C 为直角，所以 ABC 为直角三角 试卷第 7 页，共 11 页 形，所以③错误， 对于④，因为 tan tan tan( ) tan 1 tan tan A B A B C A B + + = = − − ，所以 tan tan tan tan tan tanA B C A B C+ = − + ，所以 tan tan tan tan tan tanA B C A B C+ + = ， 因为 tan tan tan 0A B C+ +  ，所以 tan tan tan 0A B C  ，所以 , ,A B C 均为锐角，所以 ABC 一 定是锐角三角形，所以④正确， 故答案为：②④ 三、解答题 16． 【详解】（1）因为 2sin 3sinA B= ，由正弦定理得 2 3a b= ，因为 2c b= ， 由余弦定理得： 2 2 2 2 2 3 22cos 2 43 2 b a b c C ab b + − = = = ， 又 (0, )C  ，所以 2 2 2 14sin 1 cos 1 4 4 C C   = − = − =     . （2）由 2 14 3 7 4 2 1 1 sin 2 ABCS ab C ab ，所以 6 2ab = ， 由（1） 3 2 2 a b= ，所以 2, 3 2b a= = ，因为CD为 AB 边上的中线， 所以 ( ) 1 2 CD CA CB= + ，所以 ( ) 2 2 21 2 4 CD CA CB CA CB= + +  ( )2 2 1 2 cos 4 b a ab C=  + + 1 2 4 18 2 2 3 2 4 4   =  + +        7= ，所以 7CD = ，所以 AB 边上的中线CD的长为 7 . 17． 【详解】（1） 选① 因为 2 ( ) ( ) 0 3 f f  + = ，所以 5 ( ,0) 6  为 ( )f x 的一个对称中心，又因为 ( ) 3 f x  + 为奇函 数，所以 ( ,0) 3  为 ( )f x 的一个对称中心，与 ( )f x 在[ , ] 3   上具有单调性矛盾，故函数 ( )f x 不存在. 选② 试卷第 8 页，共 11 页 因为 2 ( ) ( ) 0 3 f f  + = ，所以 5 ( ,0) 6  为 ( )f x 的一个对称中心，又因为 2 (0) ( ) 3 f f  = ， 所以 3 x  = 为 ( )f x 的一个对称轴，因为 ( )f x 在[ , ] 3   上具有单调性，故 5 4 6 3 2 T    = − = ， 由 2 T   = 得 1 = ，则函数 ( ) sin( )f x x = + ，将 5 ( ,0) 6  代入，得 5 sin( ) 0 6  + = ， 因为 2    ，所以 6   = ，则 ( ) sin( ) 6 f x x  = + . 选③ 因为 2 ( ) ( ) 0 3 f f  + = ，所以 5 ( ,0) 6  为 ( )f x 的一个对称中心，又因为 ( ) ( ) 3 3 f x f x   − = + ，所以 3 x  = 为 ( )f x 的一个对称轴，因为 ( )f x 在[ , ] 3   上具有单调 性，故 5 4 6 3 2 T    = − = ，由 2 T   = 得 1 = ，则函数 ( ) sin( )f x x = + ，将 5 ( ,0) 6  代入， 得 5 sin( ) 0 6  + = ，因为 2    ，所以 6   = ，则 ( ) sin( ) 6 f x x  = + . （2） 0x−   ， 5 6 6 6 x   −  +  ，当 6 2 x   + = − ，即 2 3 x  = − 时， min( ) 1f x = − ， 当 6 6 x   + = ，即 0x = 时， max 1 ( ) 2 f x = . 18． 【详解】解：（Ⅰ）设事件 A 为“连续两年的蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米”， 从 2010 年到 2019 年的样本数据中随机选取连续两年共有 9 种可能， 由图表可知，事件 A包含“2011 年和 2012 年”，“2014 年和 2015 年”，“2018 年和 2019 年”. 所以 3 1 ( ) 9 3 P A = = . （Ⅱ）由表可知，2014 到 2019 年的样本数据中，蓄水量超过 33 亿立方米有 2 年，蓄水量不 超过 33 亿立方米有 4 年. 随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2. 0 2 2 4 2 6 6 2 ( 0) 15 5 C C P X C  = = = = ， 1 1 2 4 2 6 8 ( 1) 15 C C P X C  = = = ， 2 0 2 4 2 6 1 ( 2) 15 C C P X C  = = = . 所以随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 P 2 5 8 15 1 15 试卷第 9 页，共 11 页 所以 2 8 1 2 ( ) 0 1 2 5 15 15 3 E X =  +  +  = . （Ⅲ）从 2016 年开始连续三年的水库蓄水量方差最大. 19． 【详解】（1） ( )f x 的定义域为(0,+∞)， 当 1a = 时， ( )f x x lnx= − ， ( ) 1 1 1 x f x x x −  = − = ， x （0,1） 1 1 +， ( )f x − 0 + ( )f x 单调递减 极小值 单调递增 所以 ( )f x 在 1x = 处取得极小值 1,函数没有极大值． （2） ( ) 1 a h x x alnx x + = + − ， ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 111 1 x x ax ax aa a h x x x x x  + − +− − ++ − = = = − ， ①当 1 0a +  时，即 1 −a 时， 在 ( )0,1 a+ 上 ( ) 0h x  ，在 ( )1 ,a+ + 上 ( ) 0h x  ， 所以 ( )h x 在 ( )0,1 a+ 上单调递减，在 ( )1 ,a+ + 上单调递增； ②当1 0a+  ，即 1a  − 时，在(0,+∞)上 ( ) 0h x  ， 所以函数 ( )h x 在(0,+∞)上单调递增． （3）由题意可知在[1, ]e 上存在一点 0x ，使得 0 0( ) ( )f x g x 成立， 即在[1, ]e 上存在一点 0x ，使得 0( ) 0h x  ， 即函数 1 ( ) ln a h x x a x x + = −  + 在[1, ]e 上的最小值 min( ) 0h x  ，由第（2）问可知： ①当 1a e+  ，即 1a e − 时， ( )h x 在[1, ]e 上单调递减， ∴ min 1 ( ) ( ) 0 a h x h e e a e + = = + −  ，∴ 2 1 1 e a e +  − ，又∵ 2 1 1 1 e e e +  − − ，∴ 2 1 1 e a e +  − ， ②当 1 1a +  ，即 0a  时， ( )h x 在[1, ]e 上单调递增， ∴ min( ) (1) 1 1 0h x h a= = + +  ， 2a  − ， 试卷第 10 页，共 11 页 ③当1 1a e +  ，即0 1a e  − 时，∴ min( ) (1 ) 2 ln(1 ) 0h x h a a a a= + = + −  +  ， ∵0 ln(1 ) 1a +  ，0 ln(1 )a a a  +  ， (1 ) 2h a+  ，此时不存在 0x 使 0( ) 0h x  成立， 综上可得所求 a的范围是： 2 1 1 e a e +  − 或 2a  − . 20． 【详解】（1） ( ) 2e 1axf x a x x = + − + ，由题意可知 0x = 是 ( )f x 在 0x = 处的切线方程， 所以 ( )0 1 0f a= + = 且 ( )0 1 0f b= + = ，故 1, 1a b= − = − （2）由（1）知 1, 1a b= − = − ，所以 ( ) ( ) 2e 1xg x f x x x−= = − + − + ， 所以 ( ) e 2 1xg x x− = + − ，令 ( ) ( ) ( )e 2 1, e 2x xh x g x x h x− − = = + − = − + ， 当 ( ) ( )ln 2, 0,x h x h x −  单调递增，当 ( ) ( )ln 2, 0,x h x h x −  单调递减， 因此 ( ) ( )h x g x= 在 ( )0, + 单调递增，故 ( ) (0) 0g x g  = ， 所以函数 ( )g x 在 ( )0, + 上单调递增 （3）由（2）知: 当 ln 2, ( )x g x − 单调递增，当 ln 2, ( )x g x − 单调递减， 所以当 ln 2x = − 时， ( )g x 取最小值，且 (0) 0g = ， ( ) ( )22 e 5 0, 1 e 3 0,g g − = −  − = −  故存 在 ( )0 2, 1x  − − ，使得 ( )0 0,g x = 因此当 0x  和 0 , ( ) 0,x x g x  当 0 0, ( ) 0,x x g x   因此 ( ) ( )f x g x = 在 ( )0,+ 上单调递增，在 ( )0, x− 上单调递增，在 ( )0 ,0x 时单调递减， 由于 ( ) 3 3 33 e 9 3 1 13 e 13 2.7 0f  − = − + + + = −  −  ， (0) 0f  = ， 因此存在 ( )0 3,0x   − 使得 ( )0 0f x  = ， 故当 0x x  时， ( ) 0f x  ，此时 ( )f x 单调递减，当 0x x  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递增， 故 ( )f x 在 0x x = 时取极小值，故 ( )f x 有 1 个极值点. 21． 【详解】（1）解：因为 1 2 3 4 1 1 3 1 , , , 2 2 8 4 a a a a= = = = ， 5 5 32 a = ， 所以 * * * 1 2 31, 1, 1a a a= = − = − ， * 4 1a = − . （2）证明：必要性：对 1n = ，有 *1 2 1S a a= − ，因此 * * 2 1 1 1| | | | | | 1a a S a− = = = ， 试卷第 11 页，共 11 页 对任意 *n N ，且 2n  ，有 * 1 1n nS a a+= − ， * 1 1n nS a a− = − ，两式作差，得 * * 1 1n n n nS S a a− +− = − ，即 * 1n n na a a+= − ，因此 * 1| | | | 1n n na a a+ − = = ， 综上，对任意 *n N ，有 1| | 1n na a+ − = . 充分性：若对任意 *n N ，有 1| | 1n na a+ − = ，则 * 1n n na a a+= − ， 所以 * * * * 1 2 2 1 3 2 1 1( ) ( ) ( )n n n n nS a a a a a a a a a a a+ += + ++ = − + − ++ − = − ， 综上，“对任意 *n N ，有 * 1 1n nS a a+= − ”的充要条件是“对任意 *n N ，有 1 1n na a+ − = ”. （3）解：构造数列  1: 0nb b = ， 1 1 1 1 , 1 1, 0 n n n n n n n n a a a a b a a a + + + +  − − = − =  − = ， 则对任意1 n m  且 *n N ，有 * * n nb a= ， 1| | 1n nb b+ − = ，结合（2）知， * * * * * * * 1 2 1 2 1 1 1m m m m mS a a a b b b b b b+ += + ++ = + + + = − = ，又 * m mS a= ，因此 1m mb a+ = ， 设 2 1 3 2 1, , , m ma a a a a a+− − − 中有 k项为 0，则 1 1 2 1 3 2 1( ) ( ) ( )m m ma a a a a a a a+ += + − + − ++ − 1 2 1 3 2 1( ) ( ) ( )m mb b b b b b b k+= + − + − + + − − 1m mb k a k+= − = − ，即 1m ma a k+ − = − ， 若 0k = ，则 1 0m ma a+ − = 与 2 1a a− ， 3 2 1, , m ma a a a+− − 中有 0 项为 0，即 0k = 矛盾，不符题 意， 若 1k = ，则 1 1m ma a+ − = − ，所以当 1 1m ma a+ − = − ， 2 1a a− ， 3 2 1, , m ma a a a+− − 中有 1 项为 0， 其余 2m − 项为 1 时，数列 na 满足条件. 2 1 3 2 1, , , m ma a a a a a −− −  − 中有一项为 0，共 1m − 种取法，其余 2m − 项每项有1或 1− 两种取 法，所以满足条件的数列 na 的个数为 2( 1) 2mm −−  .