精品解析：北京市第十二中学2026-2027学年第一学期开学练习高三数学试题

北京市第十二中学2026-2027学年度第一学期开学练习 高三数学 考生须知 1.答题前，考生务必先将答题卡上的班级、姓名用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的教育ID号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码. 2.本次练习所有答题均在答题卡上完成. 3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在练习卷、草稿纸上答题无效. 4.本练习卷满分共150分，作答时长120分钟. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的顶点在坐标原点，始边为轴非负半轴，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列选项中，的图象不可以由的图象经过平移得到的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 不等式对任意恒成立，则的最小值是（ ） A. B. C. 8 D. 10 7. 若函数的值域为，则可以为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，则“，，当时，都有”是“为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则.其中表示环境温度，为半衰期.现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要，那么从降温到大约需要（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 10. 已知，是平面直角坐标系中的点集，则（） A. 对任意不同的两点，，存在点，使得为正三角形 B. 对任意不同的两点，，存在点，使得为等腰直角三角形 C. 对任意点，存在点，，，使得四边形为菱形 D. 存在互不重合的四点，，，使得四边形为正方形 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 不等式的解集为___________. 12. 平面直角坐标系中与关于轴对称，则的一个取值为________. 13. 函数在上单调递减，则实数的取值范围是_________. 14. 已知函数，若，则的解集为_________；若，，则实数的取值范围是_________. 15. 已知函数.给出下列四个结论：①对任意，在区间上有最小值和最大值；②对任意，在上都有无数个零点；③当时，方程在上的解集有3个元素；④存在，使方程在上的解集为空集.其中正确结论的序号是_________. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 设为全集，集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知函数的最小正周期为，且. （1）求函数的单调递减区间； （2）当时，求函数的最大值和最小值，并求出取得最值时的值. 18. 某公司为了解，两个地区用户对其产品的满意程度，从地区随机抽取名用户，从地区随机抽取名用户，请用户对公司产品评分.该公司将收集的评分数据按照，，，分组，统计如下： 地区 地区 40 30 120 20 160 40 80 10 合计 400 100 用频率估计概率. （1）对地区所抽取的名用户按评分区间，，，进行分层随机抽样，从中抽取名用户参加座谈活动.求参加座谈的用户中，对公司产品的评分不低于分的人数； （2）从，两个地区各随机抽取名用户，设为这两人中评分不低于分的人数，求的分布列和数学期望； （3）记地区所抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，地区所抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，两个地区所抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小.（结论不要求证明） 19. 已知椭圆过点，且. （1）求椭圆的方程； （2）设为原点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线和分别与轴交于，两点，求证：为定值. 20. 已知函数. （1）若在处取得极小值，求的值； （2）讨论函数在上的单调性. （3）设曲线在点处的切线为，直线交轴于点，求证：点在轴下方. 21. 给定正整数n（），记集合或且.对于由中的三个元素组成的子集，若满足对于任意，均为偶数，则称该三元子集具有性质T. （1）在的子集中，写出一个具有性质T的三元子集；（结论不要求证明） （2）证明：在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集； （3）在的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集？说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网组卷网 北京市第十二中学2026-2027学年度第一学期开学练习 高三数学 1答题前，考生务必先将答题卡上的班级、姓名用黑色字迹签字笔填 写清楚，并认真核对条形码上的教育ID号、姓名，在答题卡的“条形 码粘贴区”贴好条形码 考生 2本次练习所有答题均在答题卡上完成 须知 3请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写 的答案无效，在练习卷、草稿纸上答题无效： 4.本练习卷满分共150分，作答时长120分钟. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项， 1.已知集合M={-2≤x<3列，N={x>,则MUN=() A{x<3 B.{xx≥-2} c.{x> D.{1<x<3} 【答案】B 【解析】 第1页/共26页 命学科网命组卷网 【详解)MUN={-2≤x<3U{x>}={x≥2} 2.已知角Q的顶点在坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边经过点P(3,4),则sina=（） 3 4 A.5 B.5 C.5 D.5 【答案】A 【解析】 4 4 sina 【详解】由三角函数定义可得 V32+(-4)2 5 3.若2°<2<1 则下列不等式成立的是() A.a>bo b>a>0 B. c.a<b<o D.b<aso 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数y=2 的单调性求解即可 【详解】指数函数y=2 的定义域为R，且在定义域上单调递增， 若2”<20<1=20 则a<b<0 4.已知a>0,b>0,则() A.a+b2>2ab B.a+b>ab 112 C.a+b>ab D.a'b√ab 【答案】B 【解析】 第2页/共26页 6学科网命组卷网 【详解】因为a>0,b>0, 对于A选项，a+b-2ab=(a-b}≥0，当且仅当a=b时，等号成立， +≥2ab,A错； 对于B选项，a+b-Vab 2>0,所以 a+b>Vab,B对： 对于C选项，不妨取a=b=2,则a+b=4=ab,C错： 11=1= 2 对于D选项，不妨取a=b=2,则ab√ab,D错 5.下列选项中，8（冈）的图象不可以由(x的图象经过平移得到的是() A.f(x)=Inx g(x)=In(3x) B.f(x)=28(x)=42 c.f()=sint,()-cos+ D.f(x)=sinx g(x)=sin2x 【答案】D 【解析】 【详解】对于A,8()=血x+血3,8()的图象可由()的图象向上平移n3个单位而得，A不是， 对于B,8(四)-=2,8()的图象可由（✉）的图象向左平移2个单位而得，B不是： 对于C,8()=-si血x=si血(x+),8(的图象可由f(x的图象向左平移π个单位而得，C不是： 1 对于D,8(x)的图象可由∫(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2而得（纵坐标不变），D是 第3页/共26页 6学科网命组卷网 6,不等式2-m+16≤0对任意x∈[2,4刊恒成立，则m的最小值是() -10 A. B.8 C.8 D.10 【答案】D 【解析】 16 【详解】对任意x∈[2,4]，不等式 x2-mx+16≤0台m≥x+ x恒成立， 而函数 Q)=x+ x在[2,4]上单调递减，则f(,)=f(2)=10,因此m≥10 所以m的最小值是10. 7,若函数f(:=cosx+sim(x+)的值域为-2,2]，则P可以为（) π π A.4 B.3 C.2 D.π 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换先化简，进而求解. 【详解】由f(x)=cosx+sin(c+p）=cosx+-sin xcos+cosxsin =cososinx+(1+sinp)cosx=cos2+(1+sinp)sin(x+B)=2+2singsin(x+B), tanB=1+sinp c0Sp· 又因为f()的值域为[-2,2]，所以V2+2sinp=2,解得sinp=1 +2km,k∈Z 解得02 当k=0时，0= 2,故C符合题意，其余选项均不符合 第4页/共26页 6学科网列组卷网 f(x)-五 8已知函数f(x)的定义域为R’则“x’为∈R,当xf()≠0时，都有f(x):”是“f(x)为 奇函数”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先验证慰设条件能否推出()是奇函数判断充分性，再举反例验证奇函数是否一定满足题设条 件判断必要性，最终确定条件类型。 f(x)_ 【详解】己知Vx,x2∈R,当x2f(x)≠0时，都有f(x)x, f0)=0 当x=0时，可得f(3)0,因此f0)=0 f(x)x 对任意x≠0，令x=x,x2=1,可得f(四1，即f(x)=f()x. 记k=f0,由分母不为零可知k≠0，因此f(=a,x∈R 此时()=k()=红=-()，满足奇函数定义，充分性成立： 若（四是奇面数，取反例(）=t,其定义拔为R且满足()=-（四是奇函数， 取2·小则广-8，而名2者不相经，不清足政条件战要不成立一 f(:)_x 综上所述，“x,∈R，当xf(x)≠0时，都有f(x)为”是“f(x)是奇函数”的充分不必要 条件。 ).物体在斧温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描达：设物体的初始温度是，1m”后的温度是了， 第5页/共26页 命学科网命组卷网 T-工。-2 则T。-T。 ·其中T,表示环境温度，h为半衰期现有一杯88°C的咖啡放在24°C的房间中，如果咖啡 降温到40C大约骺要20min,那么从8C 30C大约需要() 降温 1g2≈0.3011g3≈0.477 (参考数据： 32 min A B.34min 36 min C. D.38min 【答案】B 【解析】 T-T。=2 【分析】当T,=88,T。=24,T=40时，1=20：代入公式T0-T。2,可求出h的值，再将 T-T4=2 T,=88,T。=24,T=30代入公式。-刀，2，结合换底公式以及对数的运算性质化简可求得，的值 【详解1由题意.当6=8,7。=24，T=40时，1=20， T-工=2440-24=2” 代入公式T。-T,得88-24 即2==2，解得h=10 4 T-工2=2“狼 将T。=88,T。=24,T=30代入公式T,-T =2得26=30-243 88-2432: 3 lg- 82-lg3-5lg2_13-5*047m-534,故134(mim 所以10=16g2321021g2lg2 0.301 所以从88C降温到30C大约需要34min 10己知2={(x,y+y=2,「={《cr-y+1=0,x>0)是平面直角坐标系中的点集，则) 第6页/共26页 命学科网组卷网 A.对任意不同的两点A,B∈2，存在点C∈T,使得△ABC为正三角形 B.对任意不同的两点A,B∈2，存在点C∈「，使得△ABC为等腰直角三角形 C.对任意点A∈T,存在点B∈T,C,D∈2，使得四边形ABCD为菱形 D.存在互不重合的四点A,B∈2，C,D∈T使得四边形ABCD为正方形 【答案】D 【解析】 【分析】先计算曲线到定直线的最小距离，结合特殊三角形高与边长的数量约束排除A、B,利用菱形对 边平行排除C,借助正方形对边平行、边长等于平行线间距建立方程解出参数m,联立方程算出C、D坐 标，再由中点与线段长度确定AB坐标，验证四点满足正方形条件. 【详解1白r:-灯1=0x>0)安形得=x+片.y=-是 x, 令11 3W2 可得 2,此时y= 2, 2+32-2 利用点到直线距离公式中的点到直线 的距离最小值dn= 22 =2-√2 r x+y=2 V12+12 选项A: 正三角形中顶点C到底边4B的垂距h、3 =248,约束h≥d 代x司9≥2-反，h4-29 3, 可取0上满足AB<4-22 √3的两点A,B,不存在C∈下构造正三角形，A错误. 第7页/共26页 6学科网6组卷网 选项B: AB为等腹直角三角形斜边时，垂距h=24B,AB≥4-25 AB为直角边时，垂距h=AB,AB≥2-V2 选取线段AB满足AB<2-V2 两种构型均无符合要求的点C,B错误. 选项C: 菱形对边平行，CD落在直线2上，则边AB所在直线斜率为-1， 1 设B:y=x+b,联立y=x+ x化简得2x2-bx+1=0, 令△=b2-8=0,得b=22,取b=22 ，效时少3的 解2r-22x+1=0商x=g9 2, √232 所以当 2 时，不存在 点B∈T'C'D∈Q'使得四边形ABCD为菱形，C错误 选项D: 正方形一组对边平行，AB/CD, x+y=m 设 ，联立 1,整理得 CD:x+y=m y=x+- 2x2-mx+1=0 直线与「交于两点需△=m-8>0即m>2V2 V2,弦长|Dl=V2m2-16 平行线间h-m2 2,正方形满足CD=h, 第8页/共26页 命学科网命组卷网 √2m2-16m-2 2 √2，等式平方后化简m2-8=m2-4m+4’m=3, m=3时△=1>0，方程2x2-3x+1=0的两根=12均大于0， 不c23引km--2--月 过C 分别作直线x+y=2 B,A 的垂线，垂足分别为 +y=3+-2的商c-0-号-盟-回 此时 A,B,C,D 四点构成正方形，D正确 B +y=3 2 3式 x+=2 第二部分（非选择题共110分) 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分 1 11.不等式x<x的解集为， 【答案)（l,0U(1,+∞) 【解析】 【分析】根据分式不等式以及一元二次不等式解法即可求解. 第9页/共26页 学科网命组卷网 x<0, -x<0,即 【详解】x 即l-x)K0,即xr-l(x+>0 x>0 [x<0 所以(x-1)(x+1)>0或l(x-1)(x+1)<0 解得x>1或-1<x<0 所以不等式的解集为（l,0)小U(化，+∞) 故答案为： （-1,0)u(1,+o) 12平面直狗华标系中(e心Rp与(o@p-写引n(口-写)关于销对歌，则p的个取为 2 【答案】6（答案不唯一） 【解析】 =km+元，keZ 【分析】由对称的性质列方程求 6 即可得答案。 【f1长为如pl与(p-引n-》天于时 sp=个p引.mp=mo】 所以 所以c0sp= 3 2c0sp+ np,sno= 2 3cos-2 ino 整理得cosp=V5sin0,所以tan9-加g=5 cosp 3, 第10页/共26页 6学科网6组卷网 9=版+爱keZ 个 故答案为：6（答案不唯一） 13.函数f()=l1og,(r+2r+5)在(，2)上单调递减，则实数a的取值范围是 [ 【解析】 【详解】复合函数：f(因=1og,4(),其中u(c)=r+2ac+5 外层函数'=108，”底数2>1，外层函数单调递增， 所以u()=r+2x+5在（L,2)上单调递减，且“()>0在区间恒成立. u(x)=x2+2a+5 是开口向上抛物线，对称轴：x=一4. -a≥2 9 所以12)≥03-4S0≤-2 [9 14已知函数f()= 2"+a,x≥0 am,x<0，若a=-2'则f(x)>0的解集为—：若x∈R' f(x)>0 则实数a的取值范围是 【答案】 ①. （-w,0U(4,+o）②.（-l,0) 【解析】 【分析】代入a=-2,分x之≥0和x<0丙种情况，分别求解心>0，最后取并笑即可得出)>0的 第11页/共26页 6学科网 组卷网 解集：原盟等价于当之0时，2产+a>0恒成立”以及当x<0时，>0作 恒成立”同时满足，分别求出 a的取值范围，最后取公共部分即可得解， 2*-2,x≥0 【详解】当g三2时，f(- -2x,x<0· 当x20时，由)>0可符2-2>0，解得x>1, 当x<0时，由f)>0可得2x>0.解得<0 综上所述，f)>0的解集为{xx<0或x> 若x∈R,f)>0等价于“当x之0时，2+a>0恒成立以及当x<0时，>0 恒成立”同时满 足 当x20时，2*+a>0恒成立，因为当x≥0时，y=2*+a单调递增， 所以应满 2°+a=a+1>0,即a>1 当x<0时，r>0恒成立，则a<0 则-1<a<0,即a的取值范围为(-l,0) 15.已知函数f(x)=xsix-c,给出下列四个结论：①对任意c≥0，f(x)在区间4'4上有最小值 和最大值：②对任意c之0，f)在R上都有无数个零点：③当c=1时，方程f()=l在【-元，上的解 [元 集有3个元素：④存在c>0,使方程f(x)=C在2’2上的解集为空集其中正确结论的序号是 【答案】①②③④ 【解析】 第12页/供26页 6学科网命组卷网 【分析】已知函数f(,=sinr-c】 需要判断给出四个结论是否正确；首先明确(x)的性质：由 y=xsin是偶函数，得到f()=sir-c也是偶函数，因此希要主要关注x≥0的情况，再利用对称 性分析 ππ 【详解】①令g(,)=xsinx,在xe 4’4时：g'(x)=sinx+xc0sx, 由8（←W=-xsi(-)=xsin=g(6) 8(x) ,知 是偶函数， 而g)20在心4上成立，且单调递增，80=0，g孕=×5_N2 0 4428, 故对任意之0，（闭）的最大最小值均可在区间内取得，①正确。 ②f冈的零点满足xsinx=c2,当c=0时，f=xsin刘， x=kπ，k∈Z 得到零点为 ，有无数个零点： 时，在xsinx=c2中，x=2k±，ie(0,d) 当c>0 中， 时， sinx>0,y=xsinx 得到 由 周期性趋势，振幅持续变大的震荡曲线， 而snx本身周期2元，在【1，来回震荡，x充当振幅因子， 得到x≤xsinx≤xy=xsinx y=x,y=一x 图象夹在两条直线 中间， 整体关于'轴对称)可知有无数解，故 (x) 有无数个零点，②正确： 第13页/供26页 命学科网命组卷网 ③当c=lf四=sinx-l=l,xsinx=-0或xsin=2: 当xsinx=0时，在[元，可上为x=-元，0，元， 当sinx=2时，在【-，元列无解，因此解集为{元，0，心共3个元素，③正确； 引.Hm引 方程f)）=c,即xsinx=c2+c或xsinx=c2-c 要使两方程均无解，(1)c+C>1.571,(2)c-c<0→0<c<1 不等式联立解得c>0.85,因此取C=0.9方程无解，故解集为空，④正确 三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16设R为全集，集合A={a+1≤x≤2a+1号，B={y=2+2x-3,0≤x≤2} 1)若a=3,求(GA)nB (2)若AUB=B,求实数a的取值范围 【答案】()(GA)nB={树-3≤r<4 (2)a as2 【解析】 【分析】(1)先求解二次函数在给定区间的值域得到集合B,代入a=3求集合A,接下来求解A的补集， 最后求交集： (2)将4UB=B等价转化为 B,分A为空集和非空两种情况列不等式求解 【小问1详解】 函数y=+2x-3=(x+)-4,图象开口向上，对称轴为=-1， 第14页/供26页 6学科网6组卷网 x∈[0,2] 因此该函数在 上单调递增， 当x=0时，y=-3,当x=2时，y=22+2×2-3=5, 故B=川-3≤y≤5号 当a=3时，代入得4={4≤x≤}，得A=团x<4欧x>7乃， 所以(R4nB={-3≤x<4, 【小问2详解】 由AUB=BAcB 可得 分两种情况讨论： ①当A-g ACB 时，满足 此时4+1>2a+1 解得4<0 a+1≤2a+1 ②当 时，需满足 a+1≥-3 ,解得 A≠☑ 2a+1≤5 0≤a≤2 综上，a≤2，所以实数“的取值范围为 da≤2} 17.已知函数f(=2 sinos9+2 coswxsing+ >0,g< 2)的最小正周期为元，且f(0)=2. (1)求函数 ∫(x)的单调递减区间： 2)当0,2时，求函数了的最大值和最小值，并求出取得最值时，的 【答案】(1)单调递减区间为6 x=- X= (2)最大值为3，此时6；最小值为0，此时2 第15页供26页 6学科网列组卷网 【解析】 【分析】Q)利用两角和的正弦公式化简f),再利用最小正周期公式和f(0)=2可求@，P,最后根据 正弦型函数的单调递减区间求解即可· 元 2x+ (2)由x的取值范围求出整体角6的取值范围，结合正弦函数在该区间的最值即可求出函数∫(x)的最 大值和最小值： 【小问1详解】 f(x)=2sin @xcoso+2cosoxsinp+1=2sin(@x+)+1 ,因为最小正周期为T,且0>0，所以 T-2r=元→0=2 又网为0)=2，例受. p+1=2→mp中p-云，回四=2如0x+81, 所以 6￥ +2km≤2x+元s3π+2mk∈Z亚+m≤x≤2π+mk∈Z 令2 62 解得6 3 即∫(x)的单调递减区间为： 【小问2详解】 由aw-a+爱1，x.2+若[2 6 当2x+8-=6所.-2sm经1-3 62 第16页/供26页 6学科网命组卷网 +=7π→x= 2x+ 当 2时，fm=2sin 7m+1=-2sim+1=0 66 6 综上所述：x=6时f6x)=3,X=2时f)m=0. X= 18.某公司为了解A,B两个地区用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取400名用户，从B地区随 机抽取100名用户，请用户对公司产品评分该公司将收集的评分数据按照[20,40)，[40,60)，[60,80) [80,10]分组，统计如下： A地区 B地区 [20,40) 40 30 [40,60) 120 20 [60,80) 160 40 [80,100] 80 o 合计 400 100 用频率估计概率 4)对4地区所拍取的400名用户按评分区同[20,40），[40,60)，【60,80），[S0,10]进行分层随机拍 样，从中抽取10名用户参加座谈活动求参加座谈的用户中，对公司产品的评分不低于60分的人数： (2)从A,B两个地区各随机抽取1名用户，设X为这两人中评分不低于80分的人数，求X的分布列和 数学期望； 第17页/供26页 6学科网 组卷网 (3)记4A地区所抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为凸，B地区所抽取的100名用户对该 公司产品的评分的平均值为“，两个地区所抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为么，试比 较，和4+凸 2 的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1)6 (2) 随机变量X的分布列为： 0 1 2 P 0.72 0.26 0.02 数学期望 E(X)=03 (3)%>丝+ 2 【解析】 【分析】(1) 利用分层抽样等比例抽取的性质，计算评分不低于60分的人数占比后乘以抽取总人数即 可； A,B 80 (2)先求 地区用户评分不低 80分的概率，确定X的取值及对应概率得到分布列，再用期望公式 计算期望： (3)根据题意， 依次算出4，凸，么，即可得结论 【小问1详解】 设从A地区抽取的用户中抽取的10名参加座谈的用户中， m160+80 对公司的产品的评分不低于60分的用户有m名，则10400，解得m=6. 第18页/供26页 学科网命组卷网 【小问2详解】 根据题意可知，随机变量X的取值为0、1、2， 80=0.2 10=0.1 从A、B两地区各随机抽取1名用户，评分不低于80分的概率分别为400 ,100 评分低于80分的概率分别为1-0.2=0.8,1-0.1=0.9， 所以P(X=0)=0.8x0.9=0,72 P(X=1)=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26P(X=2)=0.2×0.1=0.02 因此，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 0.72 0.26 0.02 数学期望 E(X)=0×0.72+1×0.26+2×0.02=0.3 【小问3详解】 4 30×40+50×120+70×160+90×80_25600=64 根据题意， 400 400 4-30×30+50x20+70×40+90x10-560-564-40x64+100×56_3120-624 100 100 500 500 凸_64+6=60角%>4+9 所以22 2. 1BEH国5号+若-a6>0E色400，a=2动 (1)求椭圆E的方程； (2)设0为原点，过点(-，0)的直线1与椭圆E交于不同的两点P,0,直线AP和4犯分别与y轴交 第19页/共26页 命学科网命组卷网 于M,N两点，求证：OM-ON为定位 【答案】(1)4+y-1 (2) 3证明：设过点（一1,0)的直线1的方程为x=my-1(避免斜率不存在的讨论)， x2 设P,X,Q(5,乃，将x=my-1代入箱圆方程4+y=l得到： (四-+y=1展开整理得 (m2y2-2my+）+4y2=4→(m2+4)y2-2my-3=0 由韦达定理得： y+2= 4y3 2m m2+4 y=片2x-2), 点A(2,0),直线AP的方程为x-2 令x=0,得M的纵坐标：w一 x1-2 同理，直线40与y轴交点N的纵坐标w=2 x2-2 因此 IOM ONHH4。l (3-2)x2-2), 由于=m9-山故2本-2=m-3,同理5-2=m0,3, 计算分母：（：-2x-2)=my-3m,-3)=myy2-3m0+2)+9 第20页/共26页 6学科网6组卷网 代入韦达定理结果： m'y-3m0+)+9=m2.-3 -3m2m+9 m2+4m2+4 =-9m2+9m2+3636 m2+4 m2+4 分子部分： 4%=4-3=12 m2+4m2+4, -12 因此：Iw -H诺兰H村 (x-2)x2-2) m2+4 1 故|OM ON为定值3 B 【解析】 【小问1详解】 一椭圆E名+@>b>0过点42.0.将20代入情圆方每 22.02 a+6=1→ 1→a车4→a=2足知a=26 因此2=2b→b=1故=1，所以椭圆方程E:4+广=1。 【小问2详解】 略 20.已知函数f(x)=e-a-1 第21页/供26页 6学科网列组卷网 （1)若f)在x=0处取得极小值，求a的值； (2)讨论函数f(d)在R上的单调性 (3)设曲线y=(在点A,f0≠0)处的切线为l,直线1交y轴于点B,求证：点B在x轴下方 【答案】(1)a=1 (2)当a≤0时，f)在R上单调递增，当a>0时，f)在(-o,lna)上单调递减，在(ha,+o)上单 调递增 (3)证明：点A(,f0).f()=e'-at-1 f'()=e'-a 切线斜率k=e-a. 切线1点斜式：y-(e-a1-)=(e-aj(x-) x-0,Ya=(e'-a)(0-t)+e'-at-1 =-e'+al+e'-at-1=e'(1-t)-l 要证点B在x轴下方，即证a=e(1-)-1<0 构造函数8()=e(1-)-1u≠0). 则8'(g=e(1-)+e'(-1)=-e 当1>0时，8'(0=-e<0,80在（0，+o)上单调递减， 当1<0时，g0-e'>0,80在(-心，0)上单调递增， ∴g()<g(0)=e°(1-0)-1=0 综上。0时，恒有”<0，即B点纵坐标小于0，故点B在轴下方，得证 第22页/供26页 6学科网命组卷网 【解析】 【分析】(1)求导，由极小值点处导数为0求出参数，再检验： (2)求导后对参数a分类讨论，判断导数正负，得到函数单调性： (3)求出切线方程，得到B点纵坐标，构造函数证明纵坐标恒小于O. 【小问1详解】 f(=e--l,定义域为R,求导得f'()=e-a 因为f)在x=0处取得极小值，则f0=0,了0)=e-a=1-a=0,解得a=1 检验：当a=l时，'(x)=e-1 当<0时，f)<0.f)单调道诚：当>0时f的>0，f田单调道踏 时， 故x=0是极小值点，符合题意 【小问2详解】 f(x)=e*-a 当a≤0时，e>0,散f'()=e-a>0恒成立. 所以在R上单调递塔 当a>0时，令f)=0,e=a,解得x=lha 所以∈(0，h0时，f闭<0.f因单调道减： 时， xe仙a,+）时，f)>0.f代闭单调道猫 综上：当a≤0时，在R上单调递增， 当a>0时，f)在(o,lhad)上单调递减，在（血a,+o)上单调递增。 【小问3详解】 略 第23页/供26页 命学科网命组卷网 【点睛】方法归纳：(1)可导函数极值点处导数等于0，但要检验左右导数符号： (2)含参导数问题，按参数范围分类讨论导函数符号： (3)切线交坐标轴问题，代入坐标轴条件求出交点坐标，转化为不等式证明，常用构造函数求最值. 21.给定正整数n(n之3)，记集合S.=(x,名，…，七)儿=0或1(i=l2,,m)且 +号++云≠0.对于由Sn中的三个元素组成的子集《a,4,…,a)(,6,…b,)(9,9,,c.} 若满足对于任意1E机，2，m,4+6,+9均为偶数，则称该三元子集具有性质工 (1)在S的子集中，写出一个具有性质T的三元子集：《结论不要求证明) (2)证明：在S的了集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质T的三元子袋： (3)在S“的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集？说明理由。 {1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)} 【答案】(1)故答案不唯一，如 (2) 3 10 由题意，S中共有2-1=31个元素，故最多能选出L3 个两两交集为空集的三元子集。 将氵中所有元素的第一个分量求和（一个元素可以看成一个数组， 24=16 第一个数字称为第一个分量，以此类推)，知其和等于 同理，所有第二个分量、第三个分量、…的和均等于16. 假设能选出10个符合恩意的三元子集，由愿意，这10个三元子集覆盖了8中的30个元素， 且每个三元子集的所有元素的每一个分量数字之和均为偶数. 故S中余下的一个元素的每一个分量都是偶数，即只能为0,0,00,0) 这与 0,0.0,00)S矛盾. 第24页/供26页 6学科网列组卷网 所以在S的子集中，不可能选出10个两两交东为空集，且具有性质T的三元子集。 22026-1 (3)3,理由： 记42”1 3,其中n为偶数.不妨假设n=2时Sn有意义. 当”=2时，的三元子尖只有一个0,1.，0，.}，且具有性质T, 所以在S中最多能选出=引个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集。 记5中具有性质T的三元子集为《4,4)，（么，4），(c,9}. 当n=4时，S4中有24-1个元素，故最多有3 24一1=5个两两交集为空集的三元子集. 因为S4的子集《0,14,4).(L0,6,6),(,19,9}{,0,4,4),(,1h,b)(0,lG,9}. {,1a,a),(0,14,4),(,0c,c},{《0,0a,a)(0,0,h,b)(0,0,99}和 {00,00),(0,10,0),01,00}为两两交集为空集，且具有性质T的三元子集（共5个)， 所以在S,的子集中，最多能选出=3 一2之5个两交华为空类，具有性7的三元子年 设{《4,4,4，d)(%,6%,e)(斤，，，f}为S,中上述具有性质T的三元子集中的任意一个， 26-1 同理，得S6中有2-1个元素，即最多能有3个两两交集为空集的三元子集， 且对于8。，可以对应构适出4个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集， 即《0,144,4，d)(0,9,9,%,e),(1,lf5,6,fa} 第25页/供26页 命学科网命组卷网 {1,0,d,d2,d4,d4),(1l,g,e2,e,e4),(0,1,f,f2,f5,f4} {1,l,d,d2,d,d4),(0l,e,%,e,e4),(1,0,f6,5,f4} {0,0,d4,d2,d4,d4),(0,0,g,e2,e,e4),(0,0,f,,6,f4)} 又因为{《，0,000,0，(01,00,00，100,00}为8中具有性质T的三元子集，且与上述集合的交集 为空集， 所以在或的子架中，最多能遮甜新：+1=2气1 3=6个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集， 以此类推，得在S5的子集中，最多能选出44+1=20一 3 =026个两两交集为空集，且具有性质T 的三元子集. 【解析】 【分析】(1)根据集合的新定义直接求解： (2)利用反证法，结合集合的新定义证明即可： (3)分别分析2 ,S,S中满足条件的子集个数，类比得出结论即可 【小问1详解】 由题意， S=x,…x=0或(i=l2,…,n）且+号++x爱≠0 即S=,00)(01,0).(0,0,1),(1,0),(10,),(0,11).(,11} 则满足性质T的三元子集不唯一，如，0,0，(0,10).01,0} 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第26页/供26页