精品解析：北京市第十二中学2026-2027学年第一学期开学练习高三数学试题

北京市第十二中学2026-2027学年度第一学期开学练习 高三数学 考生须知 1.答题前，考生务必先将答题卡上的班级、姓名用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的教育ID号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码. 2.本次练习所有答题均在答题卡上完成. 3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在练习卷、草稿纸上答题无效. 4.本练习卷满分共150分，作答时长120分钟. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 2. 已知角的顶点在坐标原点，始边为轴非负半轴，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由三角函数定义可得. 3. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】指数函数的定义域为，且在定义域上单调递增. 若，则. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 对于A选项，，当且仅当时，等号成立， 即，A错； 对于B选项，，所以，B对； 对于C选项，不妨取，则，C错； 对于D选项，不妨取，则，D错. 5. 下列选项中，的图象不可以由的图象经过平移得到的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，的图象可由的图象向上平移个单位而得，A不是； 对于B，，的图象可由的图象向左平移个单位而得，B不是； 对于C，，的图象可由的图象向左平移个单位而得，C不是； 对于D，的图象可由的图象上所有点的横坐标变为原来的而得（纵坐标不变），D是. 6. 不等式对任意恒成立，则的最小值是（ ） A. B. C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【详解】对任意，不等式恒成立， 而函数在上单调递减，则，因此 所以的最小值是10. 7. 若函数的值域为，则可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换先化简，进而求解. 【详解】由 ，其中. 又因为的值域为，所以，解得. 解得，当时，，故C符合题意，其余选项均不符合. 8. 已知函数的定义域为，则“，，当时，都有”是“为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先验证题设条件能否推出是奇函数判断充分性，再举反例验证奇函数是否一定满足题设条件判断必要性，最终确定条件类型. 【详解】已知，当时，都有， 当时，可得，因此. 对任意，令，，可得，即. 记，由分母不为零可知，因此. 此时，满足奇函数定义，充分性成立； 若是奇函数，取反例，其定义域为且满足是奇函数， 取，，则，而，二者不相等，不满足题设条件，故必要性不成立. 综上所述，“，当时，都有”是“是奇函数”的充分不必要条件. 9. 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则.其中表示环境温度，为半衰期.现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要，那么从降温到大约需要（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当，，时，，代入公式，可求出的值，再将，，代入公式，结合换底公式以及对数的运算性质化简可求得的值. 【详解】由题意，当，，时，， 代入公式得，即，解得， 将，，代入公式得， 所以，故， 所以从降温到大约需要. 10. 已知，是平面直角坐标系中的点集，则（） A. 对任意不同的两点，，存在点，使得为正三角形 B. 对任意不同的两点，，存在点，使得为等腰直角三角形 C. 对任意点，存在点，，，使得四边形为菱形 D. 存在互不重合的四点，，，使得四边形为正方形 【答案】D 【解析】 【分析】先计算曲线到定直线的最小距离，结合特殊三角形高与边长的数量约束排除A、B，利用菱形对角线相交规律排除C，借助正方形对边平行、边长等于平行线间距建立方程解出参数，联立方程算出坐标，再由中点与线段长度确定坐标，验证四点满足正方形条件. 【详解】由变形得，， 时，最低点坐标为，定直线， 利用点到直线距离公式. 选项A: 正三角形中顶点到底边的垂距，约束， 代入得，， 可取上满足的两点，不存在构造正三角形，A错误. 选项B: 为等腰直角三角形斜边时，垂距，； 为直角边时，垂距，， 选取线段满足，两种构型均无符合要求的点，B错误. 选项C: 菱形对角线垂直平分，落在直线上，则对角线所在直线斜率为， 设，联立化简得， 该方程仅有一个正实数解，直线与至多一处相交， 无法在上取得两点充当菱形对角线端点，C错误. 选项D: 正方形一组对边平行，， 设，联立,整理得， 直线与交于两点需即， 平行线间距，弦长，正方形满足， ，等式平方后化简，， 时，方程的两根均大于， （不妨设），. 过分别作直线的垂线，垂足分别为， 直线与直线的距离， 此时四点构成正方形，D正确. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式以及一元二次不等式解法即可求解. 【详解】即 即即， 所以或 解得或 所以不等式的解集为. 故答案为： 12. 平面直角坐标系中与关于轴对称，则的一个取值为________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由对称的性质列方程求即可得答案． 【详解】因为与关于x轴对称， 所以，， 所以，， 整理得，所以， 所以， 故答案为：（答案不唯一） 13. 函数在上单调递减，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【详解】复合函数：，其中 外层函数底数，外层函数单调递增， 所以在上单调递减，且在区间恒成立. 是开口向上抛物线，对称轴： 所以， 所以a的取值范围是 14. 已知函数，若，则的解集为_________；若，，则实数的取值范围是_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】代入，分和两种情况，分别求解，最后取并集即可得出的解集；原题等价于“当时，恒成立”以及“当时，恒成立”同时满足，分别求出a的取值范围，最后取公共部分即可得解. 【详解】当时，. 当时，由可得，解得； 当时，由可得，解得. 综上所述，的解集为或. “若，”等价于“当时，恒成立”以及“当时，恒成立”同时满足. 当时，恒成立，因为当时，单调递增， 所以应满足，即； 当时，恒成立，则. 则，即a的取值范围为. 15. 已知函数.给出下列四个结论：①对任意，在区间上有最小值和最大值；②对任意，在上都有无数个零点；③当时，方程在上的解集有3个元素；④存在，使方程在上的解集为空集.其中正确结论的序号是_________. 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】已知函数，需要判断给出四个结论是否正确；首先明确的性质：由是偶函数，得到也是偶函数，因此需要主要关注的情况，再利用对称性分析. 【详解】①令，在时：， 由，知是偶函数， 而在上成立，且单调递增，， 因此或， 即，当. 故对任意的最大最小值均可在区间内取得，①正确； ②的零点满足，当时，， 得到零点为，有无数个零点； 当时，在中，时， 得到由周期性趋势，振幅持续变大的震荡曲线， 而本身周期，在来回震荡，充当振幅因子； 得到，图象夹在两条直线中间， 整体关于轴对称）可知有无数解，故有无数个零点，②正确； ③当，或； 当时，在上为， 当时，在无解，因此解集为共3个元素，③正确； ④在上，， 方程，即或 要使两方程均无解，（1），（2）， 不等式联立解得，因此取方程无解，故解集为空，④正确. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 设为全集，集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求解二次函数在给定区间的值域得到集合，第一问代入求集合，接下来求解的补集，最后求交集； （2）将等价转化为，分为空集和非空两种情况列不等式求解. 【小问1详解】 函数，图象开口向上，对称轴为， 因此在上单调递增， 当时，；当时，， 故， 当时，代入得，得或， 所以； 【小问2详解】 （2）由可得， 分两种情况讨论： ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，需满足，解得， 综上，，所以实数的取值范围为. 17. 已知函数的最小正周期为，且. （1）求函数的单调递减区间； （2）当时，求函数的最大值和最小值，并求出取得最值时的值. 【答案】（1）单调递减区间为. （2）最大值为3，此时；最小值为0，此时. 【解析】 【分析】(1)利用两角和的正弦公式化简，再利用最小正周期公式和可求，最后根据正弦型函数的单调递减区间求解即可. (2)由的取值范围求出整体角的取值范围，结合正弦函数在该区间的最值即可求出函数的最大值和最小值. 【小问1详解】 ，因为最小正周期为，且，所以， 又因为，， 所以，即， 令解得 即的单调递减区间为：. 【小问2详解】 由（1）可知，时，， 当时，， 当时，， 综上所述：时；时. 18. 某公司为了解，两个地区用户对其产品的满意程度，从地区随机抽取名用户，从地区随机抽取名用户，请用户对公司产品评分.该公司将收集的评分数据按照，，，分组，统计如下： 地区 地区 40 30 120 20 160 40 80 10 合计 400 100 用频率估计概率. （1）对地区所抽取的名用户按评分区间，，，进行分层随机抽样，从中抽取名用户参加座谈活动.求参加座谈的用户中，对公司产品的评分不低于分的人数； （2）从，两个地区各随机抽取名用户，设为这两人中评分不低于分的人数，求的分布列和数学期望； （3）记地区所抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，地区所抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，两个地区所抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小.（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） 随机变量的分布列为： 数学期望 （3） 【解析】 【分析】（1） 利用分层抽样等比例抽取的性质，计算评分不低于分的人数占比后乘以抽取总人数即可； （2）先求地区用户评分不低于分的概率，确定的取值及对应概率得到分布列，再用期望公式计算期望； （3）根据题意，依次算出，即可得结论. 【小问1详解】 设从地区抽取的用户中抽取的名参加座谈的用户中， 对公司的产品的评分不低于分的用户有名，则，解得. 【小问2详解】 根据题意可知，随机变量的取值为、、， 从、两地区各随机抽取名用户，评分不低于分的概率分别为，， 评分低于分的概率分别为，， 所以， ，， 因此，随机变量的分布列为 数学期望. 【小问3详解】 根据题意，， ，， 所以，得. 19. 已知椭圆过点，且. （1）求椭圆的方程； （2）设为原点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线和分别与轴交于，两点，求证：为定值. 【答案】（1） （2） 证明：设过点的直线的方程为（避免斜率不存在的讨论）， 设，将代入椭圆方程得到： 展开整理得 ， 由韦达定理得： 点，直线的方程为 令得的纵坐标： 同理，直线与轴交点的纵坐标： 因此：， 由于故同理 计算分母： 代入韦达定理结果： 分子部分：， 因此： 故为定值. 【解析】 【小问1详解】 椭圆过点，将代入椭圆方程： ，又已知， 因此故，所以椭圆方程。 【小问2详解】 略 20. 已知函数. （1）若在处取得极小值，求的值； （2）讨论函数在上的单调性. （3）设曲线在点处的切线为，直线交轴于点，求证：点在轴下方. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）证明：点，， 导数，切线斜率. 切线点斜式：. 求点，轴上，代入： . 要证：点在轴下方,即. 构造函数 ， 求导：. 当时，，在上单调递减， ，即； 当时，，在上单调递增， ，即. 综上，时，恒有，即点纵坐标小于 0， 故点在轴下方，得证. 【解析】 【分析】（1）求导，由极小值点处导数为0求出参数，再检验； （2）求导后对参数分类讨论，判断导数正负，得到函数单调性； （3）求出切线方程，得到点纵坐标，构造函数证明纵坐标恒小于 0. 【小问1详解】 ，定义域为，求导得. 因为在处取得极小值，则，，解得. 检验：当时，. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 故是极小值点，符合题意. 【小问2详解】 . 当时，，故恒成立， 所以在上单调递增. 当时，令，即，解得. 所以时，，单调递减； 时，，单调递增. 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 略 【点睛】（1）可导函数极值点处导数等于0，但要检验左右导数符号； （2）含参导数问题，按参数范围分类讨论导函数符号； （3）切线交坐标轴问题，代入坐标轴条件求出交点坐标，转化为不等式证明，常用构造函数求最值. 21. 给定正整数n（），记集合或且.对于由中的三个元素组成的子集，若满足对于任意，均为偶数，则称该三元子集具有性质T. （1）在的子集中，写出一个具有性质T的三元子集；（结论不要求证明） （2）证明：在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集； （3）在的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集？说明理由. 【答案】（1）故答案不唯一，如 （2） 由题意，中共有个元素，故最多能选出个两两交集为空集的三元子集． 将中所有元素的第一个分量求和（一个元素可以看成一个数组， 第一个数字称为第一个分量，以此类推），知其和等于； 同理，所有第二个分量、第三个分量、⋯⋯的和均等于16. 假设能选出10个符合题意的三元子集，由题意，这10个三元子集覆盖了中的30个元素， 且每个三元子集的所有元素的每一个分量数字之和均为偶数． 故中余下的一个元素的每一个分量都是偶数，即只能为． 这与矛盾． 所以在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． （3），理由： 记，其中为偶数．不妨假设时有意义． 当时，的三元子集只有一个，且具有性质， 所以在中最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 记中具有性质的三元子集为． 当时，中有个元素，故最多有个两两交集为空集的三元子集． 因为的子集， 和 为两两交集为空集，且具有性质的三元子集（共5个）， 所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 设为中上述具有性质的三元子集中的任意一个， 同理，得中有个元素，即最多能有个两两交集为空集的三元子集， 且对于，可以对应构造出4个两两交集为空集，且具有性质的三元子集， 即， ， ， . 又因为为中具有性质的三元子集，且与上述集合的交集为空集， 所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 以此类推，得在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 【解析】 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解； （2）利用反证法，结合集合的新定义证明即可； （3）分别分析，，中满足条件的子集个数，类比得出结论即可. 【小问1详解】 由题意，或且， 即， 则满足性质T的三元子集不唯一，如. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第十二中学2026-2027学年度第一学期开学练习 高三数学 考生须知 1.答题前，考生务必先将答题卡上的班级、姓名用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的教育ID号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码. 2.本次练习所有答题均在答题卡上完成. 3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在练习卷、草稿纸上答题无效. 4.本练习卷满分共150分，作答时长120分钟. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的顶点在坐标原点，始边为轴非负半轴，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列选项中，的图象不可以由的图象经过平移得到的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 不等式对任意恒成立，则的最小值是（ ） A. B. C. 8 D. 10 7. 若函数的值域为，则可以为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，则“，，当时，都有”是“为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则.其中表示环境温度，为半衰期.现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要，那么从降温到大约需要（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 10. 已知，是平面直角坐标系中的点集，则（） A. 对任意不同的两点，，存在点，使得为正三角形 B. 对任意不同的两点，，存在点，使得为等腰直角三角形 C. 对任意点，存在点，，，使得四边形为菱形 D. 存在互不重合的四点，，，使得四边形为正方形 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 不等式的解集为___________. 12. 平面直角坐标系中与关于轴对称，则的一个取值为________. 13. 函数在上单调递减，则实数的取值范围是_________. 14. 已知函数，若，则的解集为_________；若，，则实数的取值范围是_________. 15. 已知函数.给出下列四个结论：①对任意，在区间上有最小值和最大值；②对任意，在上都有无数个零点；③当时，方程在上的解集有3个元素；④存在，使方程在上的解集为空集.其中正确结论的序号是_________. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 设为全集，集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知函数的最小正周期为，且. （1）求函数的单调递减区间； （2）当时，求函数的最大值和最小值，并求出取得最值时的值. 18. 某公司为了解，两个地区用户对其产品的满意程度，从地区随机抽取名用户，从地区随机抽取名用户，请用户对公司产品评分.该公司将收集的评分数据按照，，，分组，统计如下： 地区 地区 40 30 120 20 160 40 80 10 合计 400 100 用频率估计概率. （1）对地区所抽取的名用户按评分区间，，，进行分层随机抽样，从中抽取名用户参加座谈活动.求参加座谈的用户中，对公司产品的评分不低于分的人数； （2）从，两个地区各随机抽取名用户，设为这两人中评分不低于分的人数，求的分布列和数学期望； （3）记地区所抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，地区所抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，两个地区所抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小.（结论不要求证明） 19. 已知椭圆过点，且. （1）求椭圆的方程； （2）设为原点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线和分别与轴交于，两点，求证：为定值. 20. 已知函数. （1）若在处取得极小值，求的值； （2）讨论函数在上的单调性. （3）设曲线在点处的切线为，直线交轴于点，求证：点在轴下方. 21. 给定正整数n（），记集合或且.对于由中的三个元素组成的子集，若满足对于任意，均为偶数，则称该三元子集具有性质T. （1）在的子集中，写出一个具有性质T的三元子集；（结论不要求证明） （2）证明：在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集； （3）在的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集？说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $