第10讲 指数与指数函数 讲义-2027届高三数学一轮复习（中等难题突破）

该高中数学讲义聚焦指数函数与指数运算高考核心考点，按“根式与分数指数幂概念-指数运算性质-指数函数定义图像性质-综合应用（单调性、奇偶性、最值、零点）”逻辑架构知识，通过考点梳理、典例精讲（如根式化简、指数函数图像分析）、方法总结（整体代换、数形结合）、分层训练（变式与综合题）环节，帮助学生系统突破难点。 资料突出数学运算、逻辑推理、直观想象素养培养，如对比a>1与0<a<1的指数函数图像培养直观想象，条件求值题中用整体代换提升运算能力。设置基础巩固与能力提升分层练习，配合即时反馈，确保高效复习，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算，通过指数幂的运算，培养数学运算、逻辑推理、直观想象等数学素养． 2．了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念，能画出指数函数的图象，理解指数函数的性质，通过掌握指数函数的图象与性质，培养直观想象素养和数学建模思想． 3．探究并理解与指数型函数有关的函数的单调性、奇偶性、最值，并应用指数型函数的性质解决有关函数不等式与函数零点问题，提升逻辑推理和数学运算素养，培养数形结合能力． 1．根式 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，n． （1）当n为奇数时，a的n次方根表示为，对任意aR都有意义； （2）当n为偶数时，a的n次方根表示为±，对任意a≥0时才有意义． 2．根式的性质 （1）（n＞1且n）；（2）． 3．分数指数幂的意义 （1）正分数指数幂：(a＞0，m，n，n＞1)； （2）负分数指数幂：(a＞0，m，n，n＞1)． 规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 4．指数幂的运算性质 （1）(a＞0，r，sR)； （2）(a＞0，r，sR)； （3）(a＞0，b＞0，rR)． 注：；(a＞0，b＞0)． 5．指数函数的定义 一般地，函数(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域为R． 6．指数函数的图像与性质 a＞1 0＜a＜1 图像 性质 定义域 R 值域 (0，) 定点 图像过定点(0，1) 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 函数值的变化情况 当x＞0时，y＞1； 当x＝0时，y＝1； 当x＜0时，0＜y＜1． 当x＞0时，0＜y＜1； 当x＝0时，y＝1； 当x＜0时，y＞1． 注：（1）在第一象限内，指数函数的图像越高，底数越大； （2）指数函数与(a＞0且a≠1)的图像关于y轴对称； （3）(xR)为偶函数；(xR)为奇函数；(xR)为奇函数． 题型一：指数与指数运算 1．根式的化简与求值 例1．（1）＝ ． （2）＝ ． （3）化简＝ ． 【解析】（1）． （2） ＝． （3）由知a﹣1≥0，解得a≥1，故原式＝a﹣1＋＋1﹣a＝a﹣1． 2．根式与分数指数幂的互化 例2．（1）把下列根式化为分数指数幂（其中a＞0） ①＝ ；②＝ ；③＝ ；④＝ ． （2）下列根式与分数指数幂的互化正确的是 A．(x＞0) B．(y＞0) C．(x＞0) D．(x≠0) 【解析】（1）①；②；③；④． （2），A错误；，B错误；，C正确；，D错误．选C． 3．指数幂的化简与求值 例3．（1）； （2）化简：； （3）化简：(a＞1)． 【解析】（1）； （2）； （3）． 4．条件求值 例4．已知，求下列各式的值． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【解析】解：（1）因为，所以，则，所以； （2）因为，所以，则，所以； （3）； （4），所以； （5）； （6），所以． 变式训练： 1．若，则＝ A．2 B． C．3 D． 【解析】，故选C． 2．设a＞0，则＝ A． B． C． D． 【解析】，故选C． 3．（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是 A．(a＞0) B．(x＞0) C．(x＞0，y＞0) D．(x＞0) 【解析】，A正确；，B错误；，C正确；，D正确．故选ACD． 4．＝ ． 【解析】． 5．若，则的值为 ． 【解析】因为，故，则，即，故＝14． 6．计算＝ ． 【解析】． 7．已知，则＝ ． 【解析】因为，所以，，则，＝7﹣2＝5，故，又，则． 题型二：指数函数 1．指数函数的定义 例5．（1）函数是指数函数，则有 A．a＝﹣1或a＝4 B．a＝4 C．a＝﹣1 D．a＞0或a≠1 （2）已知关于x的不等式mx﹣n＞0的解集为(，﹣2)，函数(a＞0且a≠1)为指数函数，则＝ ． 【解析】（1）由题意得，解得a＝4，故选B． （2）因为函数(a＞0且a≠1)为指数函数，所以b2＋1＝1，则b＝0，即，因为不等式mx﹣n＞0的解集为(，﹣2)，所以x＝﹣2是mx﹣n＝0的解，则n＝﹣2m，则＝． 2．指数函数的图象 例6．（1）函数的图象大致形状是 A B C D （2）要使的图象不经过第一象限，则t的取值范围是 A．[﹣1，) B．(，] C．[，) D．(，﹣1] 【解析】（1）因为，所以函数在[1，)单调递减，在(，1]单调递增，且x＝1时取最大值1，故选B． （2）易知原函数单调递减，当函数与y轴的交点的纵坐标小于等于0，则图象不经过第一象限，即＋t≤0，解得t≤，故选B． 3．与指数函数有关的定义域、值域问题 例7．（1）已知函数f(x)的定义域为(1，)，则函数的定义域为 ． （2）函数的值域是 ． （3）已知≤x≤2，则函数的值域为 ． （4）函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值的差为，则实数a的值为 ． （5）已知a＜b，若函数在[a，b]的值域为[0，9]，则b﹣a的取值范围是 ． 【解析】（1）因为函数f(x)的定义域为(1，)，则，解得x＞2，又3﹣x≥0，解得x≤3，所以2＜x≤3，故函数的定义域为(2，3]． （2）设，所以，又＞0，所以值域为(0，9]． （3），令，因为≤x≤2，所以≤t≤，，关于t的二次函数开口向上，对称轴t＝，且离对称轴远，离对称轴近，所以t＝，取最小值为1，t＝，取最大值为，故值域为[1，]． （4）当a＞1时，则a2﹣a＝，解得a＝；当0＜a＜1时，则a﹣a2＝，解得a＝．综上，a＝或． （5）令，解得x＝﹣2，令，解得，当x＞0时，0＜＜1，所以﹣9＜＜﹣8，故8＜＜9，由于函数在[a，b]的值域为[0，9]，所以a＝﹣log318，b≥﹣2，所以b﹣a≥﹣2＋log318＝log32，故b﹣a的取值范围是[log32，)． 变式训练： 1．函数(a＞1)的图象必经过点 A．(0，﹣1) B．(﹣1，﹣1) C．(0，0) D．(﹣1，0) 【解析】令x＋1＝0，得x＝﹣1，则f(﹣1)＝0，故过定点(﹣1，0)，选D． 2．函数与的图象 A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 【解析】法一：令，则，则函数与的图象关于原点对称，选C． 法二：根据指数函数性质可知，与关于x轴对称，与关于y轴对称，故与的图象关于原点对称，选C． 3．已知函数(m＞0，且m≠1)恒过定点(a，b)，则在直角坐标系中函数的图象为 A B C D 【解析】函数(m＞0，且m≠1)，令x﹣2＝0，解得x＝2，故f(2)＝1，即函数过定点(2，1)，所以a＝2，b＝1，故，函数g(x)在(，1)上单调递增，在(﹣1，)上单调递减，在x＝﹣1处取最大值1，故选D． 4．函数的定义域为 ． 【解析】由题意得，解得x≥2且x≠5，故定义域为[2，5)(5，)． 5．设函数，x[0，)，则函数的值域是 ． 【解析】令，因为x≥0，则t≥1，，于是在[0，)的值域就转化为在[1，)的值域，又在[1，)单调递增，故t＝1时，取最小值为，也就是的最小值为，所以函数的值域是[，)． 6．若函数(a＞0，a≠1)在区间[﹣1，1]上的最大值是13，则实数a的值为 ． 【解析】当a＞1时，和在[﹣1，1]上均单调递增，所以在[﹣1，1]上单调递增，当x＝1时，函数取最大值，即，解得a＝3，同理当0＜a＜1时，x＝﹣1时取最大值，即，解得a＝，综上，a＝3或． 4．与指数函数有关的函数性质问题 例8．（1）已知a＝0.60.5，b＝0.40.5，c＝0.40.6，则a，b，c按从大到小排序为 ． （2）已知正数a，b满足2a＋3a＝3b＋4b，则 A．b＜a＜2b B．a＜b＜2a C．2b＜a＜3b D．2a＜b＜3a 【解析】（1）因为0＜0.4＜1，所以y＝0.4x在R上单调递减，因为0.5＜0.6，所以0.40.5＞0.40.6，即b＞c，因为在第一象限内，底数越大，指数函数的图像越高，所以0.60.5＞0.40.5，即a＞b，综上a＞b＞c． （2）因为y＝2x，y＝3x均在R上单调递增，所以在R上单调递增，因为2a＋3a＝3b＋4b＝22b＋3b＞2b＋3b，且2a＋3a＝22b＋3b＜22b＋32b，所以，且，则a＞b，且a＜2b，即b＜a＜2b，选A． 变式训练： 1．设a＝，b＝，c＝，则 A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b 【解析】因为1.2＞1，所以y＝1.2x在R上单调递增，又，所以，即＞，故a＞b，因为在第一象限内，底数越大，指数函数的图像越高，所以＜，即a＜c，综上c＞a＞b．选B． 2．已知a＞2，，则 A．a＞2＞b B．a＞b＞2 C．b＞a＞2 D．b＞2，但a和b的大小无法确定 【解析】因为a＞2，所以，即，所以b＞2，因为，则两边同时除以13a得，，因为a＞2，则，即，所以b﹣a＜0，则a＞b，综上a＞b＞2，选B． 3．设正数a，b，c，满足(a﹣1)(b﹣1)(c﹣1)≠0，a＝bc，b＝ca，则 A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a 【解析】当a＞1时，则b＞1，c＞1，此时a＝bc＞b，b＝ca＞c，所以a＞b＞c；当0＜a＜1时，则0＜b＜1，0＜c＜1，此时a＝bc＞b，b＝ca＞c，所以a＞b＞c，综上所述a＞b＞c，选A． 例9．（1）已知a＞0且a≠1，若在(2，3)上单调递增，则a的取值范围为 ． （2）已知函数是偶函数，则实数a＝ ． （3）函数，则满足的实数m的取值范围是 ． 【解析】（1）由题意可知可看作由和复合而成，当a＞1时，函数单调递增，要使f(x)在(2，3)上单调递增，则需在(2，3)上单调递增，因此需满足≤2，解得a≤，结合a＞1得1＜a≤；当0＜a＜1时，函数单调递减，要使f(x)在(2，3)上单调递增，则需在(2，3)上单调递减，因此需满足≥3，解得a≥4，此时a不存在．综合可知a的取值范围为(1，]． （2）因为函数是偶函数，所以，则，整理得＝＋a，解得a＝1． （3）因为，，则＝4，即，令，所以，因为，所以，即，也就是g(2m﹣2)＞g(5﹣m)，由，，均在R上单调递增，所以在R上单调递增，所以2m﹣2＞5﹣m，解得m＞，故答案为(，)． 变式训练： 1．设aR，则“a＜1”是“函数在(1，)上单调递增”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】是和的复合函数，又是增函数，要使函数在(1，)上单调递增，则在(1，)上单调递增，则对称轴x＝a≤1，因为“a＜1”是“a≤1”的充分不必要条件，所以“a＜1”是“函数在(1，)上单调递增”的充分不必要条件，选A． 2．设满足，满足，则＝ ． 【解析】，则，令，则条件可转化为＝4，因为在R上单调递增，则，故＝2． 3．已知函数，分别是定义在R上的偶函数，奇函数，且满足，则的最小值为 ；关于x的不等式的解集为 ． 【解析】因为①，所以，因为函数，分别是偶函数，奇函数，则，，则有②，由①、②解得，根据基本不等式得，当且仅当x＝0时取“＝”，所以的最小值为1；当x≥0时，，所以在[0，)单调递增，又因为函数是偶函数，所以在(，0]单调递减，要使，则x﹣1离y轴远，x＋2离y轴近，即，解得x＜，故不等式解集为(，)． 5．与指数函数有关的恒成立、存在性、零点问题以及最值讨论问题 例10．已知函数的定义域为[﹣1，1]，． （1）求函数的值域； （2）求函数的最小值p(m)； （3）求函数的最大值q(m)． 【解析】解：（1），令，因为x[﹣1，1]，所以t[，2]， 于是得到，t[，2]．因为F(t)在[，1]单调递减，在[1，2]单调递增， F(1)＝2，F()＝F(2)＝，所以F(t)的最小值为2，F(t)的最大值为． 于是在[﹣1，1]上的值域为[2，]； （2），令， 由（2）可知[2，]，于是得到，对称轴为u＝m； ①当m≤2时，G(u)在[2，]单调递增，G(u)在u＝2处取最小值6﹣4m， 所以； ②当2＜m＜时，G(u)在[2，m]单调递减，在[m，]单调递增， G(u)在u＝m处取最小值2﹣m2，所以p(m)＝2﹣m2； ③当m≥时，G(u)在[2，]单调递减，G(u)在u＝处取最小值， 所以．综上； （3）由（2）得在[﹣1，1]的最大值，就是在[2，]的最大值， 因为G(u)开口向上，所以G(u)的最大值就是G(2)和G()中较大的数， 其中G(2)＝6﹣4m，G()＝， ①当m≥时，G(2)≥G()，此时G(u)的最大值就是G(2)，则q(m)＝6﹣4m； ②当m＜时，G(2)＜G()，此时G(u)的最大值就是G()，则q(m)＝； 综上，． 例11．（1）函数(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________． （2）对于函数，若在定义域内方程有解，则称为“倒戈函数”．已知函数是定义在R上的倒戈函数，则实数a的取值范围是________． 【解析】（1）函数(a＞0，且a≠1)有两个零点，就是直线和函数的图象有两个交点，①当0＜a＜1时，作出函数的图像如图（1），若直线与函数(0＜a＜1)的图像有两个交点，则由图像可知0＜3a＜2，所以0＜a＜；②当a＞1时，作出函数y＝的图像如图（2），若直线与函数( a＞1)的图像有两个交点，则由图像可知0＜3a＜2，此时无解．所以实数a的取值范围是(0，)． （2）因为是定义在R上的倒戈函数，所以方程在R上有解，即＋＝0，整理得，即，因为＞0，所以，则≤﹣2，当且仅当x＝0时取“＝”，所以实数a的取值范围是(，﹣2]． 例12．已知函数(a，b为非零常数)． （1）当a＝1时，为偶函数，求b的值； （2）当a＝b＞0时，求满足的x的取值范围； （3）当a＝，b＝时，若存在(，0]，对任意(0，1]，都有，求m的取值范围． 【解析】解：（1）当时，， 因为是偶函数，所以对任意，都有， 即，化简得， 即对任意的恒成立，故，所以； （2）当时，， 由得，化简得， 因为，所以，可得，解得； （3）当，时，， 设，， 因为在上单调递增，在单调递增， 所以在单调递增，所以的最大值为， 从而依题意可得对任意恒成立， 将变形得，可得， 所以恒成立等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值， 函数在区间单调递增，有最大值，函数（当且仅当取等号）有最小值，所以，即实数的取值范围是． 变式训练： 1．方程有两实数解，则的取值范围是 ． 【解析】方程有两实数解等价于与直线有两个交点，画出曲线与直线的图象如图所示， 由图象可得，如果曲线与直线y＝b的图象有两个公共点，则b的取值范围是(0，1)． 2．已知函数． （1）若，求的值域； （2）若[0，1]时，的最小值为，求函数的解析式． 【解析】解：（1）若，则， 因为，所以，所以，所以， 所以若，则的值域为； （2），令，， 当时，在上单调递增，因为是增函数，所以在上单调递增， 所以， 当时，在上单调递减， 因为是增函数，所以在上单调递减，所以， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 因为是增函数，所以当时，取得最小值，即， 综上，． 3．已知函数为定义在R上的偶函数，其中． （1）求实数a的值； （2）设，若任意的[0，1]，总存在[0，1]，使得，求实数m的取值范围． 【解析】解：（1）由为偶函数，得，即，解得， 当时，，且对于任意的，都有， 经此检验知，当为偶函数时，的值为； （2）由，等号当且仅当时成立， 问题转化为不等式对于恒成立， 即对于恒成立， 令，由，且， 代入可知对于恒成立， ， 由于函数在上严格增，当时取最小值为0， 因此，实数m的取值范围是(，0]． 1．若函数为偶函数，则 A． B． C． D． 【解析】由得，所以函数的定义域关于原点对称，又函数为偶函数，则对任意，恒成立，即，整理得，该式对所有恒成立，故，，所以，选D． 2．函数的图象大致为 A B C D 【解析】设，的定义域为， 且，所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除D，又，当时，，，，，即，排除C，在上单调递减，排除B．故选A． 3．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则的最小值为 A． B． C． D． 【解析】由是奇函数，得，由是偶函数，得，联立解得，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是，故选A． 4．已知，则 A． B． C． D． 【解析】由得，画出的图像如下图所示，则是与图像交点的横坐标，是与图像交点的横坐标，是与图像交点的横坐标，由图可知．选C． 5．已知函数，若对任意、、，总有、、为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【解析】因为，，为某一个三角形的三条边长，所以，对任意，，，恒成立，函数，当时，，满足，符合题意；当时，在上递减，所以函数的值域为，所以且，所以，又，所以，当时，在上递增，函数的值域为，所以且，所以，解得，所以，综上的取值范围是．故选：D． 6．已知，且，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】，两边同除以，得，①，，两边同除以，得，即，整理得②，由①②可构造函数，该函数是上的增函数，于是根据①②知，所以，因此．故选B． 7．（多选）对于函数与的图象，下列说法错误的是 A．与有三个交点 B．与有两个交点 C．，当时，恒在的下方 D．，当时，恒在的上方 【解析】由，，，， 可在同一坐标系内作出两函数图象如下图所示： 显然两函数有三个交点，故A正确，B错误； 由于指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度， 所以当时，恒在的上方，故C错误，D正确． 故选：BC． 8．（多选）设函数，，且，下列说法正确的是 A．函数与直线的图象有两个不同的公共点 B．函数有最小值0，无最大值 C．若，则 D．若，则 【解析】由题设， 故在上递减，值域为，在上递增，值域为，所以的图象如下：所以与直线的图象有一个交点，有最小值0，无最大值， A错，B对；由，，结合图知：，可得 ，C对；由且，结合图知： 且，且，所以，则，D对． 故选：BCD． 9．计算＝ ． 【解析】原式． 10．已知函数，若对，且，都有，则的取值范围是 ． 【解析】因为对，且，都有，则，令，则在上单调递减，令，由于在上为增函数，由复合函数单调性可得：在上单调递减，当时，在上单调递减，满足条件，当时，要使在上单调递减，则，解得：，当时，要使在上单调递减，则，解得：，综上的取值范围为：． 11．已知，函数在区间上的最大值是5，则的取值范围是 ． 【解析】，当且仅当，即时，等号成立，由，得，若，则函数，显然不符合题意； 若，则，由函数在区间上的最大值是5，得：当时，，即，即，所以， ，所以，所以． 检验： 当，则，所以函数，此时函数在区间上的最大值是5，符合题意； 当，因为，所以，所以函数，当且仅当，即,或时，取得最大值5，符合题意．综上所述，的取值范围是． 12．已知函数． （1）判断的奇偶性； （2）判断函数的单调性，利用函数单调性的定义进行证明； （3）若不等式成立，求实数m的取值范围． 【解析】解：（1）由题意可知：函数的定义域为， 对，都有，则， 所以为奇函数； （2）函数在定义域内单调递减，证明如下： 因为， 令，则， 因为，则，可得，，， 可得，即，所以在定义域上单调递减； （3）因为，且为奇函数， 则， 又因为在定义域上单调递减，则， 即，解得， 所以实数m的取值范围为(﹣2，1)． 13．设常数，函数． （1）当时，求函数的值域； （2）是否存在实数，使得函数的最小值为0．若有请求出实数的值，若没有，请说明理由． 【解析】解：（1）中， 令，则， ， 当，即时，，当，即时，， 的值域为； （2）由（1）可得，对称轴， ①当时，在上单调递减， 则即时，， 解得，经检验，不合题意，舍去． ②当时，在上单调递增， 则，即时，，解得，经检验，符合题意． ③当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，时，， 解得，经检验，不合题意，舍去． 综上所述，存在实数，使得函数的最小值为0． 14．已知为偶函数，为奇函数，且． （1）求与的解析式； （2）令； （i）解不等式； （ii）若不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围． 【解析】解：（1）因为①， 所以， 又因为为偶函数，为奇函数， 所以②， 由①②得：； （2）（i）， 又，故为上的奇函数， 将变形可得， ，且， 有， 因为在上单调递增，且， 所以，即， 又因为，所以， 所以是上的增函数， 因此不等式等价转化为， 即， 所以，即， 所以不等式的解集为； （ii）由（i）知为上奇函数， 所以，故对任意的恒成立， 又因为为上增函数， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，故， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 函数在上单调递增， 故，所以，即． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算，通过指数幂的运算，培养数学运算、逻辑推理、直观想象等数学素养． 2．了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念，能画出指数函数的图象，理解指数函数的性质，通过掌握指数函数的图象与性质，培养直观想象素养和数学建模思想． 3．探究并理解与指数型函数有关的函数的单调性、奇偶性、最值，并应用指数型函数的性质解决有关函数不等式与函数零点问题，提升逻辑推理和数学运算素养，培养数形结合能力． 1．根式 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，n． （1）当n为奇数时，a的n次方根表示为，对任意aR都有意义； （2）当n为偶数时，a的n次方根表示为±，对任意a≥0时才有意义． 2．根式的性质 （1）（n＞1且n）；（2）． 3．分数指数幂的意义 （1）正分数指数幂：(a＞0，m，n，n＞1)； （2）负分数指数幂：(a＞0，m，n，n＞1)． 规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 4．指数幂的运算性质 （1）(a＞0，r，sR)； （2）(a＞0，r，sR)； （3）(a＞0，b＞0，rR)． 注：；(a＞0，b＞0)． 5．指数函数的定义 一般地，函数(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域为R． 6．指数函数的图像与性质 a＞1 0＜a＜1 图像 性质 定义域 R 值域 (0，) 定点 图像过定点(0，1) 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 函数值的变化情况 当x＞0时，y＞1； 当x＝0时，y＝1； 当x＜0时，0＜y＜1． 当x＞0时，0＜y＜1； 当x＝0时，y＝1； 当x＜0时，y＞1． 注：（1）在第一象限内，指数函数的图像越高，底数越大； （2）指数函数与(a＞0且a≠1)的图像关于y轴对称； （3）(xR)为偶函数；(xR)为奇函数；(xR)为奇函数． 题型一：指数与指数运算 1．根式的化简与求值 例1．（1）＝ ． （2）＝ ． （3）化简＝ ． 2．根式与分数指数幂的互化 例2．（1）把下列根式化为分数指数幂（其中a＞0） ①＝ ；②＝ ；③＝ ；④＝ ． （2）下列根式与分数指数幂的互化正确的是 A．(x＞0) B．(y＞0) C．(x＞0) D．(x≠0) 3．指数幂的化简与求值 例3．（1）； （2）化简：； （3）化简：(a＞1)． 4．条件求值 例4．已知，求下列各式的值． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 变式训练： 1．若，则＝ A．2 B． C．3 D． 2．设a＞0，则＝ A． B． C． D． 3．（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是 A．(a＞0) B．(x＞0) C．(x＞0，y＞0) D．(x＞0) 4．＝ ． 5．若，则的值为 ． 6．计算＝ ． 7．已知，则＝ ． 题型二：指数函数 1．指数函数的定义 例5．（1）函数是指数函数，则有 A．a＝﹣1或a＝4 B．a＝4 C．a＝﹣1 D．a＞0或a≠1 （2）已知关于x的不等式mx﹣n＞0的解集为(，﹣2)，函数(a＞0且a≠1)为指数函数，则＝ ． 2．指数函数的图象 例6．（1）函数的图象大致形状是 A B C D （2）要使的图象不经过第一象限，则t的取值范围是 A．[﹣1，) B．(，] C．[，) D．(，﹣1] 3．与指数函数有关的定义域、值域问题 例7．（1）已知函数f(x)的定义域为(1，)，则函数的定义域为 ． （2）函数的值域是 ． （3）已知≤x≤2，则函数的值域为 ． （4）函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值的差为，则实数a的值为 ． （5）已知a＜b，若函数在[a，b]的值域为[0，9]，则b﹣a的取值范围是 ． 变式训练： 1．函数(a＞1)的图象必经过点 A．(0，﹣1) B．(﹣1，﹣1) C．(0，0) D．(﹣1，0) 2．函数与的图象 A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 3．已知函数(m＞0，且m≠1)恒过定点(a，b)，则在直角坐标系中函数的图象为 A B C D 4．函数的定义域为 ． 5．设函数，x[0，)，则函数的值域是 ． 6．若函数(a＞0，a≠1)在区间[﹣1，1]上的最大值是13，则实数a的值为 ． 4．与指数函数有关的函数性质问题 例8．（1）已知a＝0.60.5，b＝0.40.5，c＝0.40.6，则a，b，c按从大到小排序为 ． （2）已知正数a，b满足2a＋3a＝3b＋4b，则 A．b＜a＜2b B．a＜b＜2a C．2b＜a＜3b D．2a＜b＜3a 变式训练： 1．设a＝，b＝，c＝，则 A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b 2．已知a＞2，，则 A．a＞2＞b B．a＞b＞2 C．b＞a＞2 D．b＞2，但a和b的大小无法确定 3．设正数a，b，c，满足(a﹣1)(b﹣1)(c﹣1)≠0，a＝bc，b＝ca，则 A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a 例9．（1）已知a＞0且a≠1，若在(2，3)上单调递增，则a的取值范围为 ． （2）已知函数是偶函数，则实数a＝ ． （3）函数，则满足的实数m的取值范围是 ． 变式训练： 1．设aR，则“a＜1”是“函数在(1，)上单调递增”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设满足，满足，则＝ ． 3．已知函数，分别是定义在R上的偶函数，奇函数，且满足，则的最小值为 ；关于x的不等式的解集为 ． 5．与指数函数有关的恒成立、存在性、零点问题以及最值讨论问题 例10．已知函数的定义域为[﹣1，1]，． （1）求函数的值域； （2）求函数的最小值p(m)； （3）求函数的最大值q(m)． 例11．（1）函数(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________． （2）对于函数，若在定义域内方程有解，则称为“倒戈函数”．已知函数是定义在R上的倒戈函数，则实数a的取值范围是________． 例12．已知函数(a，b为非零常数)． （1）当a＝1时，为偶函数，求b的值； （2）当a＝b＞0时，求满足的x的取值范围； （3）当a＝，b＝时，若存在(，0]，对任意(0，1]，都有，求m的取值范围． 变式训练： 1．方程有两实数解，则的取值范围是 ． 2．已知函数． （1）若，求的值域； （2）若[0，1]时，的最小值为，求函数的解析式． 3．已知函数为定义在R上的偶函数，其中． （1）求实数a的值； （2）设，若任意的[0，1]，总存在[0，1]，使得，求实数m的取值范围． 1．若函数为偶函数，则 A． B． C． D． 2．函数的图象大致为 A B C D 3．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则的最小值为 A． B． C． D． 4．已知，则 A． B． C． D． 5．已知函数，若对任意、、，总有、、为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 6．已知，且，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 7．（多选）对于函数与的图象，下列说法错误的是 A．与有三个交点 B．与有两个交点 C．，当时，恒在的下方 D．，当时，恒在的上方 8．（多选）设函数，，且，下列说法正确的是 A．函数与直线的图象有两个不同的公共点 B．函数有最小值0，无最大值 C．若，则 D．若，则 9．计算＝ ． 10．已知函数，若对，且，都有，则的取值范围是 ． 11．已知，函数在区间上的最大值是5，则的取值范围是 ． 12．已知函数． （1）判断的奇偶性； （2）判断函数的单调性，利用函数单调性的定义进行证明； （3）若不等式成立，求实数m的取值范围． 13．设常数，函数． （1）当时，求函数的值域； （2）是否存在实数，使得函数的最小值为0．若有请求出实数的值，若没有，请说明理由． 14．已知为偶函数，为奇函数，且． （1）求与的解析式； （2）令； （i）解不等式； （ii）若不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $