第02讲 不等式的解法讲义（思维导图+知识要点+解题策略+题型归纳）-2027届高考数学一轮复习不等式专题（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦不等式解法核心考点，涵盖一元二次（含参数）、分式、绝对值、高次、指对数不等式等，按知识逻辑构建思维导图，通过考点梳理、方法指导、题型归纳（13类典型题型）及变式训练，帮助学生系统突破分类讨论、恒成立等难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义突出分层突破策略，如含参一元二次不等式按“二次项系数→判别式→根大小”分层讨论，结合“穿针引线法”解高次不等式等直观方法，培养学生数学思维与几何直观能力。设置基础到综合的分层练习，配合高频易错陷阱提示，确保高效突破考点，助力学生提升解题准确性，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

第02讲 不等式的解法 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 题型归纳 9 题型01：一元二次不等式 9 （一）不含参数的一元二次不等式 9 （二）解含参数的一元二次不等式 10 题型02：由一元二次不等式的解确定参数 10 题型03：一元二次不等式的恒成立及有解问题 11 （一）一元二次不等式恒成立问题 11 （二）一元二次不等式有解问题 13 题型04：一元二次方程根的分布问题 13 题型05：分式不等式 14 题型06：无理不等式 15 题型07：绝对值不等式 16 （一）含一个绝对值的不等式的解集 16 （二）含两个绝对值的不等式的解集 17 题型08：高次不等式 18 题型09：指对数函数不等式 18 （一）指数不等式 18 （二）对数不等式 19 题型10：函数不等式 19 题型11：抽象不等式 20 题型12：根据不等式的解集求参数 21 题型13：数轴上两点间的距离及中点坐标公式 21 1. 考查定位 高中数学核心工具型知识点，新高考极少单独大题，选择题、填空题高频出现；同时广泛渗透在函数、导数、数列、解析几何、恒成立问题之中，属于必备计算基础。分值：单独命题5分，更多作为解题中间步骤。 2. 主要命题类型 ① 一元二次不等式求解、含参一元二次不等式分类讨论（重点难点）； ② 分式不等式、简单绝对值不等式； ③ 结合集合交并补：不等式解集与集合运算综合； ④ 恒成立、存在性问题转化为不等式最值问题； ⑤ 和函数定义域、值域融合考查。 3. 高频易错陷阱 ①解分式不等式直接两边乘分母，忽略分母正负； ②二次不等式未讨论二次项系数正负； ③含参不等式忘记讨论判别式、根的大小关系； ④绝对值不等式去绝对值符号产生逻辑错误。 4. 命题趋势 纯基础求解难度降低；含参数不等式分类讨论、不等式与函数综合成为区分度题型；经常融合在多选题中。 一．基础目标 1. 熟练掌握一元二次不等式解法，能结合二次函数图像快速写出解集；牢记“大于取两边，小于取中间”适用前提。 2. 掌握分式不等式、绝对值不等式等基础绝对值不等式标准解法。 二．能力目标 1. 会对含参一元二次不等式分层讨论：二次项系数→判别式→两根大小顺序。 2. 能够把定义域、恒成立问题转化为不等式问题求解。 3. 规避分式不等式、绝对值不等式常见计算错误。 三．应试目标 不等式求解计算零失误；规范书写解集（区间/集合形式），杜绝不等号方向写错。 知识点一：不等式的解集与不等式组的解集 1、不等式的解集：不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集； 2、不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得到的不等式组，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集， 【注意】 1、不等式的解与解集的区别与联系 （1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的一个值， 不等式的解集指满足这个不等式的未知数的所有值，不等式的解是不等式解集中的一个； （2）不等式的解集必须满足两个条件： 一是解集内的数都是不等式得解，而是解集外的数都不是不等式的解。 2、不等式组中若有一个不等式的解集为，则不等式组的解集是； 每一个不等式的解集均不是，不等式组的解集也可能是. 3.一元一次不等式组的解法 （1）分开解：分别解每一个不等式，求出其解集； （2）集中判：根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到，确定不等式的解集.（或把不等式的解集在数轴上表示出来，数形结合确定不等式组的解集） 知识点二：一元二次不等式的解法 1.一元二次不等式的解法 ①二次不等式（）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答. ②当二次不等式时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数变成正数，再利用上面的方法解答. 注意： ①不要把不等式看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析的系数. ②对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论. ③如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件. ④不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性. 2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异实数根x1，x2(x1<x2) 有两相等实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠x1} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ 知识点三：分式不等式 解分式不等式的实质就是讲分式不等式转化为整式不等式。 1.；2. 3.；4. 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母。 知识点四：绝对值不等式 1、定义：含有绝对值的不等式称为绝对值不等式 2、绝对值不等式的解集： （1） （2）当时，的解集是；的解集是 【注意】若或时，不等式的解集如下： 不等式 （3）如果c>0，那么|ax＋b|<c⇔－c<ax＋b<c， |ax＋b|>c⇔ax＋b<－c或ax＋b>c. 形如n<|ax＋b|<m(m>n>0)的不等式等价于⇔n<ax＋b<m或－m<ax＋b<－n. 对于形如|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；解含有两个绝对值形如的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并. ③平方法:如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：，可以使用平方法. ④通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想. (5)求解|f(x)|>|g(x)|或|f(x)|<|g(x)|型不等式的方法为平方法 (6)求形如|f(x)|<a(a>0)和|f(x)|>a(a>0)型不等式可运用等价转化法化成等价的不等式(组)求解． (7)求形如|f(x)|<g(x)和|f(x)|>g(x)型不等式的解法 ①等价转化法： |f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)， |f(x)|>g(x)⇔f(x)<－g(x)或f(x)>g(x)． (这里g(x)可正也可负) ②分类讨论法： |f(x)|<g(x)⇔或 |f(x)|>g(x)⇔或　 绝对值不等式解集的几何意义： 不等式 解集的几何意义 数轴上与原点的距离小于的所有数的集合 数轴上与原点的距离大于的所有数的集合 数轴上与表示的点的距离小于的所有数的集合 数轴上与表示的点的距离大于的所有数的集合 知识点五：高次不等式的解法 如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： 1、标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式； 2、分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； 3、求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注） 4、穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧） 5、得解集： 若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间； 若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间 知识点六：无理不等式的解法 无理不等式一般利用平方法和分类讨论解答. 无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，可转化为或，而等价于：或． 知识点七：指对数不等式 解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法: 1.同底法： 如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件. ①当时, ;　 ②当时, ;　 2.对指互化法： 如果两边不能化成同底的指数或对数时，一般用对指互化法. 对数不等式两边取指数，转化成整式不等式来解；指数不等式两边取对数，转化成整式不等式来解. 知识点八：其它不等式解法 利用换元法解不等式 利用换元法解不等式的步骤通常为： S1选择合适的对象进行换元：观察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个整体 S2求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不等式 S3解出新元的范围 S4在根据新元的范围解的范围 知识点九：构造函数解不等式 1、函数单调性的作用：在单调递增，则(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁） 2、假设在上连续且单调递增，，则时，;时， (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号） 3、导数运算法则： （1） （2） 4、构造函数解不等式的技巧： （1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点 （2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整 （3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图象只是辅助手段.所以如果能够确定构造函数 的单调性，猜出函数的零点.那么问题便易于解决了. 知识点十：利用函数性质与图象解不等式： 1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系.通常可作草图帮助观察.例如：的对称轴为，且在但增.则可以作出草图（不比关心单调增的情况是否符合，不会影响结论），得到：距离越近，点的函数值越小.从而得到函数值与自变量的等价关系 2、图象与不等式：如果所解不等式不便于用传统方法解决，通常的处理手段有两种，一类是如前文所说可构造一个函数，利用单调性与零点解不等式；另一类就是将不等式变形为两个函数的大小关系如，其中的图象均可作出.再由可知的图象在图象的下方.按图象找到符合条件的范围即可. 题型01：一元二次不等式 （一）不含参数的一元二次不等式 【典型例题1】已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 【典型例题2】已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 【变式训练1-1-1】“”是“”的______条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【变式训练1-1-2】不等式的整数解构成的集合是_______． 【变式训练1-1-3】设函数则不等式的解集是___________. （二）解含参数的一元二次不等式 【典型例题】解下列关于x的不等式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）ax2-2（a+1）x+4>0. 【变式训练1-2-1】解关于的不等式． 【变式训练1-2-2】解关于的不等式：. 【变式训练1-2-3】解关于的不等式：()． 【变式训练1-2-4】解关于的不等式：. 【变式训练1-2-5】已知关于的不等式：，当时解不等式． 【变式训练1-2-6】设，关于的二次不等式的解集为，集合，满足，求实数的取值范围. 【变式训练1-2-7】解关于x的不等式． 题型02：由一元二次不等式的解确定参数 【典型例题1】已知关于的不等式的解集是或，则的值是___________. 【典型例题2】已知不等式的解集为，则不等式的解集为___________. 【典型例题3】若关于的不等式的解集为或，则实数的值为（       ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】若不等式的解集为，则不等式的解集为___________. 【变式训练2-2】已知.若的解集为，求关于x的不等式的解集 【变式训练2-3】设不等式的解集为A，若，则a的取值范围为________. 【变式训练2-4】关于的不等式的解集包含区间(1，2)时，求实数的范围． 【变式训练2-5】若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为______ 【变式训练2-6】已知关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（       ） A．13 B．18 C．21 D．26 题型03： 一元二次不等式的恒成立及有解问题 （一）一元二次不等式恒成立问题 【典型例题1】若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（       ） A．或 B． C． D． 【典型例题2】若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【典型例题3】已知函数． (1)已知m=-3，求函数在区间上的最大值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【变式训练3-1-1】不等式对一切实数恒成立，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式训练3-1-2】若命题p：“，”是真命题，则k的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式训练3-1-3】若命题“”为假命题，则m的取值范围是（       ） A．[-1，2] B．（-∞，-1）（2，+∞） C．（-1，2） D．（-∞，-1][2，+∞） 【变式训练3-1-4】已知“，使得不等式”不成立，则下列a的取值范围（       ） A． B． C． D． 【变式训练3-1-5】 “”是“函数－kx－k的值恒为正值”的(       ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练3-1-6】“”是“，”成立的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练3-1-7】“关于x的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（       ） A． B． C． D． 【变式训练3-1-8】设二次函数． （1）若方程有实根，则实数的取值范围是______； （2）若不等式的解集为，则实数的取值范围是______； （3）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是______． 【变式训练3-1-9】若在上恒成立，求实数k的取值范围． （二）一元二次不等式有解问题 【典型例题】已知关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为_______ 【解析】由题意得：关于的不等式在区间上有解，等价于不等式在区间上有解，设，则函数在上单调递增，所以， 所以实数的取值范围为. 【变式训练3-2-1】若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【变式训练3-2-2】若不等式在上有解，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 题型04： 一元二次方程根的分布问题 【典型例题1】关于的方程有两个正的实数根，则实数的取值范围是（       ）. A． B． C． D． 【典型例题2】若一元二次方程的一个根在区间内，另一个根在区间内，求实数的取值范围． 【典型例题3】一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的一个充分不必要条件是(       ) A． B． C． D． 【变式训练4-1】已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（       ） A．-2 B． C． D．1 【变式训练4-2】已知方程的两根都大于1，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 题型05： 分式不等式 【典型例题1】(1)； (2)；(3). 【典型例题2】已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 【变式训练5-1】3.已知集合，则（       ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】4.若集合，，则(       ) A． B． C． D． 【变式训练5-3】（多选）与不等式不同解的不等式是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-4】不等式的解集为 . 【变式训练5-5】解不等式： 【变式训练5-6】不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 题型06：无理不等式 【典型例题1】已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 【典型例题2】已知集合，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-1】已知集合，则（       ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】已知集合，集合，（       ） A． B． C． D． 【变式训练6-4】若集合，则＝（    ） A． B． C． D． 题型07：绝对值不等式 （一）含一个绝对值的不等式的解集 【典型例题1】不等式的解集为___________. 【典型例题2】不等式的解集为（ ） A．或 B．或 C．且 D．或 【变式训练7-1-1】求下列绝对值不等式的解集： （1）；（2）． 【变式训练7-1-2】解下列不等式（组）： （1）； （2）. 【变式训练7-1-3】已知命题，命题，则A是B的什么条件（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【变式训练7-1-4】不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C．且 D．或 【变式训练7-1-5】对于任意实数x，不等式|x＋7|≥m＋2恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【变式训练7-1-6】若不等式成立的充分非必要条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-1-7】不等式的解集为 ． （二）含两个绝对值的不等式的解集 【典型例题1】不等式|x－1|＋|x－2|≤3的最小整数解是（ ） A．0 B．－1 C．1 D．2 【典型例题2】不等式的解集为 【典型例题3】已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【变式训练7-2-1】请写出一个满足不等式的值：______. 【变式训练7-2-2】求下列不等式的解集： （1）；（2） （3）；（4）． 【变式训练7-2-3】已知，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练7-2-4】已知函数． (1)当时，求不等式的解集． (2)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 题型08：高次不等式 【典型例题1】求不等式的解集. 【典型例题2】不等式的解集为 . 【变式训练8-1】不等式(1＋x)(1－x2)>0的解集是（       ） A．{x|0≤x<1} B．{x|x<0且x≠－1} C．{x|－1<x<1} D．{x|x<1且x≠－1} 【变式训练8-2】不等式的解集为______________. 【变式训练8-3】不等式的解集为（       ） A．，或 B．，或 C．，或 D．，或 【变式训练8-4】不等式的解集为 . 题型09：指对数函数不等式 （一）指数不等式 【典型例题】不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-1-1】函数的定义域为（　　） A． B． C． D． （二）对数不等式 【典型例题1】已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 【典型例题2】若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-2-1】李明开发的小程序经过t天后，用户人数，其中k为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（    ）（取） A．31 B．32 C．33 D．34 【变式训练9-2-2】已知集合，集合，则（       ） A． B． C． D． 【变式训练9-2-3】已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 【变式训练9-2-4】集合，，则（       ） A． B． C． D． 【变式训练9-2-5】已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 题型10：函数不等式 【典型例题1】设函数，则满足的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【典型例题2】已知函数，则不等式的解集是（       ）． A． B． C． D． 【变式训练10-1】设函数f(x)=若，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式训练10-2】若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式训练10-3】设函数是奇函数（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） B．（0，1）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞） 题型11：抽象不等式 【典型例题】已知偶函数在上单调递减，若，则实数的取值范围为 . 【变式训练11-1】已知函数的定义域为，函数的定义域为．若不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 题型12：根据不等式的解集求参数 【典型例题1】已知关于的不等式的解集为，则（ ） A． B． C． D．不存在 【典型例题2】若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【典型例题3】不等式组的解集是，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练12-1】已知关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 A． B． C． D． 【变式训练12-2】设a为实数，若关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有4个整数，则a的取值范围是____________. 【变式训练12-3】不等式组的解集是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-4】已知不等式组解为，则的值为 . 【变式训练12-5】如果不等式组的解集是，那么的值为 . 【变式训练12-6】已知关于x的不等式组的解集是(5，22)，则a＝ ，b＝ . 题型13：数轴上两点间的距离及中点坐标公式 【典型例题13】在数轴上，已知，，原点为，则（ ） A． B． C． D． 【典型例题2】已知数轴上不同的两点，，则在数轴上满足条件的点的坐标为（ ）. A． B． C． D． 【典型例题3】已知数轴上三点，，. （1）若其中一点到另外两点的距离相等，求实数的值； （2）若中点到线段中点的距离大于1，求实数的取值范围. 【变式训练13-1】数轴上点，，的坐标分别为3，，，则等于（ ）. A． B．4 C． D．12 【变式训练13-2】已知数轴上不同的两点，，若点的坐标为3，且，则线段的中点的坐标为（ ）. A． B． C．4 D．或 【变式训练13-3】已知数轴上，，求线段的长以及线段的中点M的坐标． 【变式训练13-4】已知数轴上不同的两点，，则在数轴上满足条件的点的坐标为（    ）. A． B． C． D． 【变式训练13-5】已知数轴上，两点的坐标分别为，，则为（    ）. A．0 B． C． D． 【变式训练13-6】在数轴上，已知，，原点为，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-7】设数轴上点A与数3对应，点B与数x对应，已知线段的中点到原点的距离不大于5，求x的取值范围． 【变式训练13-8】已知数轴上，． （1）若A与C关于点B对称，求x的值； （2）若线段的中点到C的距离小于5，求x的取值范围． 【变式训练13-9】已知数轴上三点，，. （1）若其中一点到另外两点的距离相等，求实数的值； （2）若中点到线段中点的距离大于1，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 不等式的解法 目 录 思维导图 2 高考分析 3 学习目标 4 知识要点 4 题型归纳 10 题型01：一元二次不等式 10 （一）不含参数的一元二次不等式 10 （二）解含参数的一元二次不等式 11 题型02：由一元二次不等式的解确定参数 19 题型03：一元二次不等式的恒成立及有解问题 23 （一）一元二次不等式恒成立问题 23 （二）一元二次不等式有解问题 27 题型04：一元二次方程根的分布问题 28 题型05：分式不等式 30 题型06：无理不等式 33 题型07：绝对值不等式 35 （一）含一个绝对值的不等式的解集 35 （二）含两个绝对值的不等式的解集 39 题型08：高次不等式 42 题型09：指对数函数不等式 44 （一）指数不等式 44 （二）对数不等式 45 题型10：函数不等式 47 题型11：抽象不等式 51 题型12：根据不等式的解集求参数 52 题型13：数轴上两点间的距离及中点坐标公式 56 1. 考查定位 高中数学核心工具型知识点，新高考极少单独大题，选择题、填空题高频出现；同时广泛渗透在函数、导数、数列、解析几何、恒成立问题之中，属于必备计算基础。分值：单独命题5分，更多作为解题中间步骤。 2. 主要命题类型 ① 一元二次不等式求解、含参一元二次不等式分类讨论（重点难点）； ② 分式不等式、简单绝对值不等式； ③ 结合集合交并补：不等式解集与集合运算综合； ④ 恒成立、存在性问题转化为不等式最值问题； ⑤ 和函数定义域、值域融合考查。 3. 高频易错陷阱 ①解分式不等式直接两边乘分母，忽略分母正负； ②二次不等式未讨论二次项系数正负； ③含参不等式忘记讨论判别式、根的大小关系； ④绝对值不等式去绝对值符号产生逻辑错误。 4. 命题趋势 纯基础求解难度降低；含参数不等式分类讨论、不等式与函数综合成为区分度题型；经常融合在多选题中。 一．基础目标 1. 熟练掌握一元二次不等式解法，能结合二次函数图像快速写出解集；牢记“大于取两边，小于取中间”适用前提。 2. 掌握分式不等式、绝对值不等式等基础绝对值不等式标准解法。 二．能力目标 1. 会对含参一元二次不等式分层讨论：二次项系数→判别式→两根大小顺序。 2. 能够把定义域、恒成立问题转化为不等式问题求解。 3. 规避分式不等式、绝对值不等式常见计算错误。 三．应试目标 不等式求解计算零失误；规范书写解集（区间/集合形式），杜绝不等号方向写错。 知识点一：不等式的解集与不等式组的解集 1、不等式的解集：不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集； 2、不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得到的不等式组，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集， 【注意】 1、不等式的解与解集的区别与联系 （1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的一个值， 不等式的解集指满足这个不等式的未知数的所有值，不等式的解是不等式解集中的一个； （2）不等式的解集必须满足两个条件： 一是解集内的数都是不等式得解，而是解集外的数都不是不等式的解。 2、不等式组中若有一个不等式的解集为，则不等式组的解集是； 每一个不等式的解集均不是，不等式组的解集也可能是. 3.一元一次不等式组的解法 （1）分开解：分别解每一个不等式，求出其解集； （2）集中判：根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到，确定不等式的解集.（或把不等式的解集在数轴上表示出来，数形结合确定不等式组的解集） 知识点二：一元二次不等式的解法 1.一元二次不等式的解法 ①二次不等式（）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答. ②当二次不等式时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数变成正数，再利用上面的方法解答. 注意： ①不要把不等式看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析的系数. ②对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论. ③如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件. ④不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性. 2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异实数根x1，x2(x1<x2) 有两相等实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠x1} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ 知识点三：分式不等式 解分式不等式的实质就是讲分式不等式转化为整式不等式。 1.；2. 3.；4. 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母。 知识点四：绝对值不等式 1、定义：含有绝对值的不等式称为绝对值不等式 2、绝对值不等式的解集： （1） （2）当时，的解集是；的解集是 【注意】若或时，不等式的解集如下： 不等式 （3）如果c>0，那么|ax＋b|<c⇔－c<ax＋b<c， |ax＋b|>c⇔ax＋b<－c或ax＋b>c. 形如n<|ax＋b|<m(m>n>0)的不等式等价于⇔n<ax＋b<m或－m<ax＋b<－n. 对于形如|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；解含有两个绝对值形如的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并. ③平方法:如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：，可以使用平方法. ④通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想. (5)求解|f(x)|>|g(x)|或|f(x)|<|g(x)|型不等式的方法为平方法 (6)求形如|f(x)|<a(a>0)和|f(x)|>a(a>0)型不等式可运用等价转化法化成等价的不等式(组)求解． (7)求形如|f(x)|<g(x)和|f(x)|>g(x)型不等式的解法 ①等价转化法： |f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)， |f(x)|>g(x)⇔f(x)<－g(x)或f(x)>g(x)． (这里g(x)可正也可负) ②分类讨论法： |f(x)|<g(x)⇔或 |f(x)|>g(x)⇔或　 绝对值不等式解集的几何意义： 不等式 解集的几何意义 数轴上与原点的距离小于的所有数的集合 数轴上与原点的距离大于的所有数的集合 数轴上与表示的点的距离小于的所有数的集合 数轴上与表示的点的距离大于的所有数的集合 知识点五：高次不等式的解法 如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： 1、标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式； 2、分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； 3、求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注） 4、穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧） 5、得解集： 若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间； 若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间 知识点六：无理不等式的解法 无理不等式一般利用平方法和分类讨论解答. 无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，可转化为或，而等价于：或． 知识点七：指对数不等式 解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法: 1.同底法： 如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件. ①当时, ;　 ②当时, ;　 2.对指互化法： 如果两边不能化成同底的指数或对数时，一般用对指互化法. 对数不等式两边取指数，转化成整式不等式来解；指数不等式两边取对数，转化成整式不等式来解. 知识点八：其它不等式解法 利用换元法解不等式 利用换元法解不等式的步骤通常为： S1选择合适的对象进行换元：观察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个整体 S2求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不等式 S3解出新元的范围 S4在根据新元的范围解的范围 知识点九：构造函数解不等式 1、函数单调性的作用：在单调递增，则(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁） 2、假设在上连续且单调递增，，则时，;时， (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号） 3、导数运算法则： （1） （2） 4、构造函数解不等式的技巧： （1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点 （2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整 （3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图象只是辅助手段.所以如果能够确定构造函数 的单调性，猜出函数的零点.那么问题便易于解决了. 知识点十：利用函数性质与图象解不等式： 1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系.通常可作草图帮助观察.例如：的对称轴为，且在但增.则可以作出草图（不比关心单调增的情况是否符合，不会影响结论），得到：距离越近，点的函数值越小.从而得到函数值与自变量的等价关系 2、图象与不等式：如果所解不等式不便于用传统方法解决，通常的处理手段有两种，一类是如前文所说可构造一个函数，利用单调性与零点解不等式；另一类就是将不等式变形为两个函数的大小关系如，其中的图象均可作出.再由可知的图象在图象的下方.按图象找到符合条件的范围即可. 题型01：一元二次不等式 （一）不含参数的一元二次不等式 【典型例题1】已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 【解析】由题意得，或，所以． 故选：C． 【典型例题2】已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 【解析】由已知得，所以．故选：D． 【变式训练1-1-1】“”是“”的______条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【解析】由，得或，因为是的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 【变式训练1-1-2】不等式的整数解构成的集合是_______． 【解析】由不等式解得，所以不等式的整数解构成的集合是． 故答案为：． 【变式训练1-1-3】设函数则不等式的解集是___________. 【解析】∵，∴原不等式为 当即时，由得，所以； 当即时，由，解得或， 所以或. 故不等式的解集为， 故答案为：. （二）解含参数的一元二次不等式 【典型例题】解下列关于x的不等式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）ax2-2（a+1）x+4>0. 【解析】（1） 当时，不等式为，解集为； 时，不等式分解因式可得 当时，故，此时解集为； 当时，，故此时解集为； 当时，可化为，又 解集为； 当时，可化为，又 解集为. 综上有，时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为 （2）把化简得， ①当时，不等式的解为 ②当，即，得，此时，不等式的解为或 ③当，即，得或， 当时，不等式的解为或， 当时，不等式的解为， ④当，得，此时，，解得且， 综上所述，当时，不等式的解为， 当时，不等式的解为， 当时，不等式的解为或， 当时，不等式的解为且， 当时，不等式的解为或， （3）， ， ①时，，可得； ②时，可得 若，解可得，或； 若，则可得， 当即时，解集为，； 当即时，解集为，； 当即时，解集为. （4）不等式可化为. ①当时，，解集为，或； ②当时，，解集为； ③当时，，解集为，或. 综上所述， 当时，原不等式的解集为，或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为，或. （5）当时，不等式即，解得. 当时，对于方程， 令，解得或； 令，解得或； 令，解得或，方程的两根为. 综上可得，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （6）原不等式可变形为. ①当时，则有，即，解得； ②当时，，解原不等式得或； ③当时，. （i）当时，即当时，原不等式即为，该不等式无解； （ii）当时，即当时，解原不等式得； （iii）当时，即当时，解原不等式可得. 综上所述：①当时，原不等式的解集为； ②当时，原不等式的解集为； ③当时，原不等式的解集为； ④当时，原不等式的解集为； ⑤当时，原不等式的解集为. （7）（1）当a=0时，原不等式可化为-2x+4>0，解得x<2，所以原不等式的解集为{x|x<2}. （2）当a>0时，原不等式可化为，对应方程的两个根为x1=，x2=2. ①当0<a<1时，>2，所以原不等式的解集为或； ②当a=1时，=2，所以原不等式的解集为{x|x≠2}； ③当a>1时，<2，所以原不等式的解集为或. （3）当a<0时，原不等式可化为，对应方程的两个根为x1=，x2=2， 则<2，所以原不等式的解集为. 综上，a<0时，原不等式的解集为； a=0时，原不等式的解集为{x|x<2}； 0<a≤1时，原不等式的解集为或； 当a>1时，原不等式的解集为或. 【变式训练1-2-1】解关于的不等式． 【解析】若，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1． 若，原不等式等价于，解得或x>1． 若，原不等式等价于． ①当时，，无解； ②当时，，解，得； ③当时， ，解，得； 综上所述，当时，解集为或；    当时，解集为{x|x>1}； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【变式训练1-2-2】解关于的不等式：. 【解析】由得， ∵， 当，即时，不等式的解为或. 当，即时，不等式的解为或， 当，即时，不等式的解， 所以当时原不等式的解集为， 当时原不等式的解集为， 当时不等式的解集为. 【变式训练1-2-3】解关于的不等式：()． 【解析】原不等式化为， ①或时，不等式为，所以不等式的解集为； ②当或时，，不等式的解集为； ③当或时，，不等式的解集为． 综上所述：当①或时，不等式的解集为；②当或时，不等式的解集为；③当或时，不等式的解集为． 【变式训练1-2-4】解关于的不等式：. 【解析】当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为， 解得，或； 当时，，不等式化为， 解得； 当时，不等式化为，此时无解； 当时，，不等式化为， 解得； 综上，时，不等式的解集是； 时，不等式的解集是或； 时，不等式的解集是； 时，不等式无解； 时，不等式的解集是. 【变式训练1-2-5】已知关于的不等式：，当时解不等式． 【解析】原不等式可变形为：， 当时，，所以，即原不等式的解集为； 当时，，所以，即原不等式的解集为； 当时，，令，所以， 若时，，所以原不等式的解集为， 若时，，所以原不等式的解集为， 若时，，所以原不等式的解集为， 综上可知：时，原不等式的解集为； 时，原不等式的解集为； 时，原不等式的解集为； 时，原不等式的解集为． 【变式训练1-2-6】设，关于的二次不等式的解集为，集合，满足，求实数的取值范围. 【解析】由题意，令，解得两根为，由此可知， 当时，解集，因为，所以的充要条件是，即，解得； 当时，解集，因为，所以的充要条件是，即，解得； 综上，实数的取值范围为. 【变式训练1-2-7】解关于x的不等式． 【解析】原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0． ①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1． ②当a＞0时，原不等式化为 (x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1． ③当a＜0时，原不等式化为 (x＋1)≤0． 当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤； 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意； 当＜－1，即－2＜a＜0，解得≤x≤－1． 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}； 当a＞0时，不等式的解集为或； 当－2＜a＜0时，不等式的解集为； 当a＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a＜－2时，不等式的解集为． 题型02：由一元二次不等式的解确定参数 【典型例题1】已知关于的不等式的解集是或，则的值是___________. 【解析】由题意，得：，且，2是方程的两根， 则，，解得，，则.故答案为：0. 【典型例题2】已知不等式的解集为，则不等式的解集为___________. 【解析】因为不等式的解集为， 所以a<0且2和4是的两根. 所以可得：， 所以可化为：， 因为a<0，所以可化为， 即，解得：或， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或. 【典型例题3】若关于的不等式的解集为或，则实数的值为（       ） A． B． C． D． 【解析】根据原不等式可以推出， 因为不等式的解集为或，所以，是方程的两根，且，所以. 故选:A 【变式训练2-1】若不等式的解集为，则不等式的解集为___________. 【解析】由不等式的解集为， 可知方程有两根，故， 则不等式即等价于， 不等式的解集为， 则不等式的解集为， 故答案为：. 【变式训练2-2】已知.若的解集为，求关于x的不等式的解集 【解析】由题意得为方程的两根， 所以，解得. 故原不等式为，等价于， 解得：或 所以不等式的解集为. 【变式训练2-3】设不等式的解集为A，若，则a的取值范围为________. 【解析】因不等式的解集为A，且， 则当时，，解得：，此时满足，即， 当时，不妨令()，则一元二次方程在上有两个根， 于是有，解得或，解得：， 则有，综合得：， 所以a的取值范围为. 故答案为： 【变式训练2-4】关于的不等式的解集包含区间(1，2)时，求实数的范围． 【解析】设，则函数y=f(x)的图象是一条开口向上的抛物线， 依题意，f(x)<0的解集包含区间(1，2)，则有抛物线y=f(x)与x轴的交点应在(1，2)之外或在区间端点处，如图， 于是得：，即，解得，即有， 所以实数的范围是. 【变式训练2-5】若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为______ 【解析】因为不等式的解集中恰有个正整数， 即不等式的解集中恰有个正整数，所以，所以不等式的解集为， 所以这三个正整数为，所以， 故答案为：. 【变式训练2-6】已知关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（       ） A．13 B．18 C．21 D．26 【解析】设，其图象为开口向上，对称轴为的抛物线， 根据题意可得，，解得， 因为解集中有且仅有3个整数，结合二次函数的对称性可得，即， 解得，又所以a=6，7，8，所以符合题意的a的值之和6+7+8=21.故选：C 题型03： 一元二次不等式的恒成立及有解问题 （一）一元二次不等式恒成立问题 【典型例题1】若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（       ） A．或 B． C． D． 【解析】当时，，不符合题意，所以舍去； 当时，由题得且，所以. 综上：. 故选：C 【典型例题2】若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】∵不等式的解集为R， 当a-2＝0，即a＝2时，不等式为3>0恒成立， 故a＝2符合题意； 当a﹣2≠0，即a≠2时，不等式的解集为R， 则，解得， 综合①②可得，实数a的取值范围是． 故选：B． 【典型例题3】已知函数． (1)已知m=-3，求函数在区间上的最大值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】(1)当时，函数的图象开口向上，对称轴为，区间的中心为，故当时取得 (2)恒成立，只需在区间上的最大值即可，所以，得，所以实数的取值范围是，即 【变式训练3-1-1】不等式对一切实数恒成立，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】当，即时，可化为， 即不等式恒成立；当，即时，因为对一切实数恒成立， 所以，解得；综上所述，. 故选：C. 【变式训练3-1-2】若命题p：“，”是真命题，则k的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】由题意可知恒成立，所以，解得，故选：D 【变式训练3-1-3】若命题“”为假命题，则m的取值范围是（       ） A．[-1，2] B．（-∞，-1）（2，+∞） C．（-1，2） D．（-∞，-1][2，+∞） 【解析】因为命题“”为假命题，所以命题“x∈R，使得x2+2mx+m+2≥0”是真命题．故：4m2-4（m+2）≤0，解得：-1≤m≤2，故：m∈[-1，2]． 故选：A． 【变式训练3-1-4】已知“，使得不等式”不成立，则下列a的取值范围（       ） A． B． C． D． 【解析】因为“，使得不等式”不成立， 则不等式对恒成立， 等价于时恒成立， 因为．故BCD不正确． 故选：A. 【变式训练3-1-5】 “”是“函数－kx－k的值恒为正值”的(       ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】函数－kx－k的值恒为正值， 则， ∵， ∴“”是“函数－kx－k的值恒为正值”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式训练3-1-6】“”是“，”成立的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】，，则，解得. 因为，所以“”是“，”成立的充分不必要条件. 故选：A 【变式训练3-1-7】“关于x的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（       ） A． B． C． D． 【解析】对恒成立，则，解得：，要想找到一个必要不充分条件，只需找到一个集合，使得是它的子集，显然C选项符合. 故选：C 【变式训练3-1-8】设二次函数． （1）若方程有实根，则实数的取值范围是______； （2）若不等式的解集为，则实数的取值范围是______； （3）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是______． 【解析】对于（1），因为方程有实根，故，解得或. 对于（2），因为不等式的解集为，故，解得. 对于（3），不等式的解集为R，故，故. 【变式训练3-1-9】若在上恒成立，求实数k的取值范围． 【解析】设， 因为在上恒成立，故， 整理得到，故， 故答案为：. （二）一元二次不等式有解问题 【典型例题】已知关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为_______ 【解析】由题意得：关于的不等式在区间上有解，等价于不等式在区间上有解，设，则函数在上单调递增，所以， 所以实数的取值范围为. 【变式训练3-2-1】若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【解析】关于的不等式在区间，上有解， 在，上有解， 即在，上成立； 设函数，，， 在，上是单调减函数，又， 所以的值域为，， 要在，上有解，则， 即实数的取值范围为． 故选：． 【变式训练3-2-2】若不等式在上有解，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】因为不等式在上有解， 所以不等式在上有解， 令，则， 所以， 所以实数的取值范围是 题型04： 一元二次方程根的分布问题 【典型例题1】关于的方程有两个正的实数根，则实数的取值范围是（       ）. A． B． C． D． 【解析】方程有两个实数根，△， ，的方程有两个正的实数根，对应的二次函数的开口向上，对称轴，所以，可得，或，， 故选：． 【典型例题2】若一元二次方程的一个根在区间内，另一个根在区间内，求实数的取值范围． 【解析】令， 则根据题意得， ∴. 故实数的取值范围 【典型例题3】一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的一个充分不必要条件是(       ) A． B． C． D． 【解析】由题意，不妨设， 因为，且有一个正实数根和一个负实数根， 所以的图像开口向下，即， 故对于选项ABCD，只有C选项：是的充分不必要条件. 故选：C. 【变式训练4-1】已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（       ） A．-2 B． C． D．1 【解析】由题意可得，解得或， 设两个为，，由两根为正根可得，解得， 综上知，.故两个根的倒数和为， ，，， 故，，故两个根的倒数和的最小值是. 故选：B 【变式训练4-2】已知方程的两根都大于1，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】设方程的两根为，依题意有：， 因都大于1，则，且，显然成立， 由得，则有，解得， 由解得：，于是得， 所以的取值范围是. 故选：A 【变式训练4-3】已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】令 由题可知： 则，即 故选：C 题型05： 分式不等式 【典型例题1】(1)； (2)；(3). 【解析】(1)原不等式等价于x+1与2x-1异号，也就是(x＋1)(2x－1)<0，所以， 故原不等式的解集为. (2)原不等式可化为，另外，要使原不等式左端的分式有意义，要求3x+5≠0. 于是，原不等式等价地转化为，即. 故原不等式的解集为. (3)移项并整理，可将原不等式可化为，则x<－2.故原不等式的解集为． 【典型例题2】已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 【解析】因为集合，， 所以， 故选：D. 【变式训练5-1】3.已知集合，则（       ） A． B． C． D． 【解析】由 ，得 …①或   …②， 由①得，由②得 ， ， ； 故选：D. 【变式训练5-2】4.若集合，，则(       ) A． B． C． D． 【解析】， ， ∴. 故选：C. 【变式训练5-3】（多选）与不等式不同解的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】 结合分式不等式，二次不等式及一次不等式的求法分别检验各选项即可判断. 【详解】 由得，解得， A：由得，不同； B：由得，相同； C：由得且，解得，不同； D：由得，不同． 故选：ACD． 【变式训练5-4】不等式的解集为 . 【答案】. 【分析】由，将原不等式转化为求解. 【详解】因为， 所以原不等式转化，即， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式训练5-5】解不等式： 【答案】 【解析】通分整理，原不等式化为：， 它等价于：，得到：或且 【变式训练5-6】不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以且， 所以且，所以且， 所以不等式的解集为，故选：C 题型06：无理不等式 【典型例题1】已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以.故选：C. 【典型例题2】已知集合，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元二次不等式求集合P，解根式不等式求集合Q，根据集合并集结果有即可求参数a的范围，最后由充分、必要性定义可得答案. 【详解】由题设，，， 若，则，故，可得. 所以是的充要条件. 故选：B 【变式训练6-1】已知集合，则（       ） A． B． C． D． 【解析】 所以， 故选：C 【变式训练6-2】已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 【解析】由，即，所以，即， 又，所以， 故选：B 【变式训练6-3】已知集合，集合，（       ） A． B． C． D． 【解析】因为，等价于，解得，由，即，即，所以，即； 所以，， 所以，因此，. 故选：. 【变式训练6-4】若集合，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简两个集合,再利用交集运算求解答案. 【详解】因为,所以， 所以. 故选：C. 题型07：绝对值不等式 （一）含一个绝对值的不等式的解集 【典型例题1】不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】由解得，即 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【典型例题2】不等式的解集为（ ） A．或 B．或 C．且 D．或 【答案】D 【解析】当时，即时，有，解得； 当时，即时，有，解得； 综上不等式的解集为或.故选：D. 【变式训练7-1-1】求下列绝对值不等式的解集： （1）；（2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1），， 或解得或， 所以原不等式的解集为． （2）由原不等式可得，即，解得， 所以原不等式的解集为． 【变式训练7-1-2】解下列不等式（组）： （1）； （2）. 【答案】（1）（2） 【解析】（1），，即， 不等式的解集是. （2），或， 或.原不等式的解集为. 【变式训练7-1-3】已知命题，命题，则A是B的什么条件（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【分析】解不等式，求出集合，由充分条件、必要条件的定义即可得出答案. 【详解】由得，则，所以集合， 集合， 显然是的子集，所以A是B必要不充分条件. 故选：B. 【变式训练7-1-4】不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C．且 D．或 【答案】D 【分析】根据绝对值不等式的解法，对分类讨论求解即可. 【详解】解：当时，即时，有，解得； 当时，即时，有，解得； 综上不等式的解集为或. 故选：D. 【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法，通常采用分段讨论法，去掉绝对值求解. 【变式训练7-1-5】对于任意实数x，不等式|x＋7|≥m＋2恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出的最小值，然后解不等式可得参数范围． 【详解】令y＝|x＋7|，要使任意x∈R，|x＋7|≥m＋2恒成立，只需m＋2≤ymin， 因为ymin＝0，所以m＋2≤0， 所以m≤－2，所以m的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查含绝对值不等式恒成立问题，解题关键是问题转化，转化为求函数最小值，然后易得参数范围． 【变式训练7-1-6】若不等式成立的充分非必要条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得不等式的解集，根据充分非必要条件列不等式组，由此求得的取值范围. 【详解】不等式， 由于不等式成立的充分非必要条件是， 所以， 所以的取值范围是. 故选：A 【变式训练7-1-7】不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】原不等式等价于，分类讨论解即可. 【详解】原不等式等价于，对于， 当时，，则此时不等式无解. 当时，. 则原不等式解集为：. 故答案为： （二）含两个绝对值的不等式的解集 【典型例题1】不等式|x－1|＋|x－2|≤3的最小整数解是（ ） A．0 B．－1 C．1 D．2 【答案】A 【解析】原不等式可化为或或， 解得0≤x≤3， 所以最小整数解是0，故选：A. 【典型例题2】不等式的解集为 【答案】 【解析】当时，，故； 当时，恒成立，故； 当时，，故 综上： 故不等式的解集为： 【典型例题3】已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【解析】(1)因为 所以不等式等价于或或 解得 不等式的解集为 (2)由（1）知：当时，；当时，；当时，. 故函数的值域为，即的最小值是3 不等式对一切实数恒成立， ，解得 故实数的取值范围是 【变式训练7-2-1】请写出一个满足不等式的值：______. 【答案】1（答案不唯一） 【解析】当时，满足题意 故答案为：1（答案不唯一） 【变式训练7-2-2】求下列不等式的解集： （1）；（2） （3）；（4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】（1） 当时，原不等式可化为，解得； 当时，原不等式化为，解得； 当时，原不等式化为，解得． 综上，原不等式的解集为． （2） 当时，原不等式可化为，解得； 当时，原不等式化为，即解得； 当时，原不等式化为，解得． 综上，可得原不等式的解集为． （3） 当时，原不等式可化为，解得； 当时，原不等式化为，解得； 当时，原不等式化为，解得． 综上，可得原不等式的解集为． （4） 当时，原不等式可化为，解得； 当时，原不等式化为，解得； 当时，原不等式化为，解得． 综上，原不等式的解集为． 【变式训练7-2-3】已知，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】由得， 所以. 反之，也成立. 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C 【变式训练7-2-4】已知函数． (1)当时，求不等式的解集． (2)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分，和解不等式即可； （2）根据去部分绝对值得，转化为在恒成立，分别求出左边最大值和右边最小值即可得到答案. 【详解】（1）当时,, 当时,，即为，解得； 当时，，即为，解得； 当时，，即为，无解. 综上可得，的解集为. （2）若在上恒成立, 可得在上恒成立, 化为,即， 可得，即在恒成立, 则，，则， ，，则， 则的范围是. 题型08：高次不等式 【典型例题1】求不等式的解集. 【解析】原不等式可转化为x(x+1)(x+2)≤0,且x≠0，根据数轴标根法，标根 所以，原不等式的解集为. 【典型例题2】不等式的解集为 . 【答案】或 【分析】利用穿线法，即可求解不等式. 【详解】设， 则的根分别是－2，－1，1，2， 将其分别标在数轴上，并画出如图所示的示意图： 所以原不等式的解集是或. 故答案为：或 【变式训练8-1】不等式(1＋x)(1－x2)>0的解集是（       ） A．{x|0≤x<1} B．{x|x<0且x≠－1} C．{x|－1<x<1} D．{x|x<1且x≠－1} 【解析】由已知得,等价于且 即不等式的解集为{x|x<1且x≠－1} 故选：D 【变式训练8-2】不等式的解集为______________. 【解析】不等式等价于， 解得.故答案为：. 【变式训练8-3】不等式的解集为（       ） A．，或 B．，或 C．，或 D．，或 【解析】原不等式可转化为，结合数轴标根法可得，或． 即不等式的解集为，或． 故选：A． 【变式训练8-4】不等式的解集为 . 【答案】或 【分析】首先将分式不等式等价转换为，且，利用数轴“穿针引线”法即可求解. 【详解】原不等式等价于，且 分别令各个因式为0，可得根依次为，2， 利用数轴“穿针引线”法可得不等式的解集为或． 故答案为：或. 题型09：指对数函数不等式 （一）指数不等式 【典型例题】不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，解一元二次不等式即可，利用指数函数单调性即可解. 【详解】设，则不等式可化为， 解得， 所以，解得. 故选：A 【变式训练9-1-1】函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数，根式有意义的条件列不等式组求解即可. 【详解】由题意得，， 因为函数在R上是增函数，所以由，即，解得； 又一元二次不等式，即，解得； 所以由，可得，即. 故选：C. （二）对数不等式 【典型例题1】已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 【解析】因为，即，所以， 所以，，∴，； 故选：D 【典型例题2】若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将所求问题转化为真子集求参数问题，结合对数不等式即可求解. 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件， 所以， 所以，解得， 故即实数的取值范围是. 故选：C. 【变式训练9-2-1】李明开发的小程序经过t天后，用户人数，其中k为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（    ）（取） A．31 B．32 C．33 D．34 【答案】D 【分析】依题意知，从而求得，再令，结合对数运算可求得结果. 【详解】∵经过t天后，用户人数， 又∵小程序发布经过10天后有2000名用户，∴， 即，可得，∴① 当用户超过50000名时有， 即，可得，∴② 联立①和②可得，即，故， ∴用户超过50000名至少经过的天数为34天. 故选：D. 【变式训练9-2-2】已知集合，集合，则（       ） A． B． C． D． 【解析】由，即，所以，所以，所以，由，所以，所以，即，所以. 故选：A 【变式训练9-2-3】已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 【解析】集合， . 所以. 故选：C 【变式训练9-2-4】集合，，则（       ） A． B． C． D． 【解析】由，即，所以，所以； 由，即，解得，所以； 所以 故选：C 【变式训练9-2-5】已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 【解析】由题意知，， 所以．故选：C． 题型10：函数不等式 【典型例题1】设函数，则满足的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果. 详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D. 【典型例题2】已知函数，则不等式的解集是（       ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 作出函数和的图象，观察图象可得结果. 【详解】 因为，所以等价于， 在同一直角坐标系中作出和的图象如图： 两函数图象的交点坐标为， 不等式的解为或. 所以不等式的解集为：. 故选：D. 【变式训练10-1】设函数f(x)=若，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由于的范围不确定，故应分和两种情况求解. 【详解】 当时，， 由得， 所以，可得：， 当时，， 由得， 所以，即，即， 综上可知：或. 故选：C 【变式训练10-2】若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】 因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 【变式训练10-3】设函数是奇函数（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） B．（0，1）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞） 【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数，求导结合题意可得的单调性与奇偶性，结合求解即可 【详解】 由题意设，则 ∵当x＞0时，有， ∴当x＞0时，， ∴函数在（0，+∞）上为增函数， ∵函数f（x）是奇函数， ∴g（﹣x）＝g（x）， ∴函数g（x）为定义域上的偶函数， g（x）在（﹣∞，0）上递减， 由f（﹣1）＝0得，g（﹣1）＝0， ∵不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0， ∴或， 即有x＞1或﹣1＜x＜0， ∴使得f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞）， 故选：D． 题型11：抽象不等式 【典型例题】已知偶函数在上单调递减，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用函数为偶函数，可得，在上单调递减，可得，求解即可 【详解】由题意，函数为偶函数， 故 又在上单调递减， 故 故答案为： 【变式训练11-1】已知函数的定义域为，函数的定义域为．若不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】首先不等式要有意义，所以两个函数的定义域先取交集，然后再根据的解集为，利用补集法求解. 【详解】因为函数的定义域为，函数的定义域为， 所以两个函数的定义域的交集为， 又因为不等式的解集为， 所以不等式的解集为， 故答案为： 【点睛】本题主要考查函数与不等式以及补集的应用，属于基础题. 题型12：根据不等式的解集求参数 【典型例题1】已知关于的不等式的解集为，则（ ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【解析】当时，恒成立，不等式的解集为，故选：B 【典型例题2】若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵关于的不等式的解集是， ∴代入得，解得，故选A. 【典型例题3】不等式组的解集是，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】,可化为 因为不等式组的解集是 所以，解得：，故选：D 【变式训练12-1】已知关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解不等式①，得，解不等式②，得. 原不等式组的解集是， ，解得.故选A. 【变式训练12-2】设a为实数，若关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有4个整数，则a的取值范围是____________. 【答案】 【解析】关于x的一元一次不等式组的解集为，则， 故0一定为不等式组的一个整数解， 若不等式的4个整数解为0，1，2，3时， 则，解得； 当不等式的4个整数解为时， 则，不等式组无解， 综上所述，a的取值范围是. 【变式训练12-3】不等式组的解集是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简不等式组得到，结合不等式的解集，得出不等式，求解即可得到m的取值范围. 【详解】,可化为 因为不等式组的解集是 所以，解得： 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，属于基础题. 【变式训练12-4】已知不等式组解为，则的值为 . 【答案】1 【分析】根据已知求出的值即得解. 【详解】解：，解不等式①得，解不等式②得， ∴原不等式组的解为，∵该不等式组的解为-2<x<3， 所以且， ∴ a=3，b=4，∴. 故答案为：1 【变式训练12-5】如果不等式组的解集是，那么的值为 . 【答案】1 【分析】先用含有a、b的代数式把每个不等式的解集表示出来，然后根据已知的解集，进行比对，得到两个方程，解方程求出a、b，即可求解 【详解】解:不等式组的解集为， 它的解集是，， 解得，， . 故答案为1 【点睛】本题既考查不等式的解法，又考查学生如何逆用不等式组的解集构造关于a、b的方程，从而求得a、b． 【变式训练12-6】已知关于x的不等式组的解集是(5，22)，则a＝ ，b＝ . 【答案】 3 5 【分析】根据一元一次不等式的解集列方程组，解方程组求得的值. 【详解】记原不等式组为 ， 解不等式①，得. 解不等式②，得. 因为原不等式组的解集为(5，22)， 所以， 解这个关于a，b的二元一次方程组，得. 故答案为：3；5 【点睛】本小题主要考查一元一次不等式组的解法，属于基础题. 题型13：数轴上两点间的距离及中点坐标公式 【典型例题13】在数轴上，已知，，原点为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】与互为相反数，，故选：D 【典型例题2】已知数轴上不同的两点，，则在数轴上满足条件的点的坐标为（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点的坐标为. ∵，∴，即，解得，故选C. 【典型例题3】已知数轴上三点，，. （1）若其中一点到另外两点的距离相等，求实数的值； （2）若中点到线段中点的距离大于1，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）若是线段的中点，则，； 若是线段的中点，则； 若是线段的中点，则，. （2）由题意，知，即， 或，解得或， 实数的取值范围是 【变式训练13-1】数轴上点，，的坐标分别为3，，，则等于（ ）. A． B．4 C． D．12 【答案】D 【解析】. 【变式训练13-2】已知数轴上不同的两点，，若点的坐标为3，且，则线段的中点的坐标为（ ）. A． B． C．4 D．或 【答案】D 【解析】记点，， 则.，即，解得或. 当时，的坐标为； 当时，的坐标为.故选D. 【变式训练13-3】已知数轴上，，求线段的长以及线段的中点M的坐标． 【答案】， 【解析】根据数轴上任意两点的距离公式，及中点公式解答. 【详解】解：， ，的中点的坐标为，即． 【点睛】本题考查数轴上任意两点的距离和中点公式，属于基础题. 【变式训练13-4】已知数轴上不同的两点，，则在数轴上满足条件的点的坐标为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，则设点的坐标为，再根据列出等式化简即可解决． 【详解】设点的坐标为.，，即，因为不同的两点，，故，解得 故选：C. 【变式训练13-5】已知数轴上，两点的坐标分别为，，则为（    ）. A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上两点、的距离公式即可得． 【详解】. 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，属于基础题． 【变式训练13-6】在数轴上，已知，，原点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由与互为相反数，即可得到答案； 【详解】与互为相反数， ， 故选：D 【变式训练13-7】设数轴上点A与数3对应，点B与数x对应，已知线段的中点到原点的距离不大于5，求x的取值范围． 【答案】 【解析】依题意得到的中点对应的数为，即，根据绝对值的几何意义解答. 【详解】解：因为的中点对应的数为， 所以由题意可知， 即， 因此，所以，因此的取值范围是 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，属于基础题. 【变式训练13-8】已知数轴上，． （1）若A与C关于点B对称，求x的值； （2）若线段的中点到C的距离小于5，求x的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）依题意，B为的中点，根据中点公式解答. （2）首先表示出的中点，再根据数轴上两点的距离公式得到不等式，解得. 【详解】解：（1）∵A与C关于点B对称，∴B为的中点，∴． （2）∵的中点对应的数为， ∴由题意得，即， 解得， ∴的取值范围是． 【点睛】本题考查绝对值的几何意义，属于基础题. 【变式训练13-9】已知数轴上三点，，. （1）若其中一点到另外两点的距离相等，求实数的值； （2）若中点到线段中点的距离大于1，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）讨论P,Q,R分别为中点；利用中点坐标公式求解即可 （2）利用距离公式求解即可 【详解】（1）若是线段的中点，则，； 若是线段的中点，则； 若是线段的中点，则，. （2）由题意，知，即， 或，解得或， 实数的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $