北京市第五十五中学2026-2027学年第一学期8月开学考试高三数学试卷

北京市第五十五中学2026—2027学年度第一学期 8月开学测试卷 高三数学 本试卷共150分，考试时长120分钟 第一部分（选择题　共40分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，把答案填在答题纸上） 1．设，，则（ ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 3．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 4．已知平面向量，，若，则实数（ ） A． B． C．或 D． 5．已知函数，函数的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 6．设抛物线的焦点为，点为上的任意点，若点使得的最小值为4，则下列选项中，符合题意的点可为（ ） A． B． C． D． 7．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点；再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧…以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ） A． B． C． D． 8．已知数列满足，，则“”是“任意，都有”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．《九章算术》是我国古代的一部数学名著，书中记载了一类名为“羡除”的五面体．如图，在羡除中，底面是正方形，平面，，其余棱长都为1，则这个几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 10．全集，集合，已知集合的补集所对应区域的对称中心为，点是线段（，）上的动点，点是轴上的动点，则周长的最小值为（ ） A．24 B． C．14 D． 第二部分（非选择题　共110分） 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题纸上） 11．的展开式中项的系数为________． 12．函数的定义域为________． 13．若双曲线经过点，其渐近线方程为，则双曲线的方程是________． 14．已知函数．若的最小值为，则的一个取值为________，的最大值为________． 15．已知曲线，为坐标原点．给出下列四个结论： ①曲线关于直线成轴对称图形； ②经过坐标原点的直线与曲线有且仅有一个公共点； ③直线与曲线所围成的图形的面积为； ④设直线，当时，直线与曲线恰有三个公共点．其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 16．在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且． （1）求； （2）若，且的面积为，角的角平分线为，求的长． 17．为测试A、B两款人工智能软件解答数学问题的能力，将100道难度相当的数学试题从1到100编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，记录结果如下： 试题类别 A软件 B软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 函数试题 30 24 20 18 几何试题 20 16 30 20 （1）估计B软件能正确解答数学问题的概率； （2）小明决定采用这两款软件解答3道类似试题（假设其难度和测试的100道题基本相同），其中函数2道，几何1道；使用A软件解答2道函数试题，使用B软件解答1道几何试题；每道试题只用其中一款软件解答一次．假设用频率估计概率，且每次解答相互独立．用表示3道类似试题被正确解答的个数，求的分布列与数学期望； （3）小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第12题（假设其难度和测试的100道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是函数题的概率为，几何题的概率为．假设用频率估计概率，试说明小明用哪款软件正确解答这道试题的概率大？（结论不要求证明） 18．如图，在三棱柱中，是边长为2的正三角形，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：平面平面； 条件②：三棱柱的体积为； 条件③：三棱锥是正四面体． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19．已知椭圆：（）的短轴长为，过左焦点作两条互相垂直的直线，，分别交椭圆于，和，四点．设，的中点分别为，． （1）求椭圆的方程； （2）直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由． 20．已知函数，其中． （1）求的单调区间； （2）若恒成立． ①求实数的值； ②判断方程的根的个数，结论不要求证明 21．已知是无穷数列．给出两个性质： ①对于中任意两项，，在中都存在一项，使； ②对于中任意项，在中都存在两项，，使得． （1）若，判断数列是否满足性质①，说明理由； （2）若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由； （3）若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列． 学科网（北京）股份有限公司 $