精品解析：北京市第二十中学2025-2026学年上学期九年级数学开学考试卷

2025-2026第一学期初三9月嘉年华 数 学 一、选择题（共24分，每题3分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.0000033米．则0.0000033用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 把方程化成一般式，则，，的值分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图所示，数轴上点分别表示数，若，则下列运算结果一定是正数的是（ ） A. B. C. D. 5. 通过如下尺规作图，能说明的面积和的面积相等的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，长为、宽为的矩形空地，现计划要在中间修建3条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为，若设小道的宽为，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，边的长为3，点，分别在，上，连接，，，．若四边形是菱形，且，则边的长为（ ） A. B. C. D. 8. 若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有公共解． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根． 上述结论正确的有（ ）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________. 10. 因式分解：______． 11. 草莓中含有多种维生素，对人体健康有益．为了解甲、乙两个品种草莓的维生素含量，研究人员从甲、乙两个品种的草莓中各选株，测量它们每百克草莓中维生素的含量（单位：毫克），在同等实验环境下，测得的数据统计结果如下：则每百克草莓中维生素含量更稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 甲 乙 12. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点O作，垂足为E，若，则的长为______． 13. 若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是_． 14. 在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式的解集是___________． 15. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是______． 16. 如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线同侧，，，，连接，设，，，给出下面三个结论： ①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号__________． 三、解答题（共52分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算：． 18. 解不等式组． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程有一个根为3，求方程的另一个根． 21. 已知一次函数． （1）若该一次函数的图象向上平移个单位长度后可得某正比例函数的图象，求该一次函数的解析式； （2）若该一次函数分别与轴正半轴、轴负半轴相交，求的取值范围． 22. 如图，中，点F在上，，的角平分线，交于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 23. 近年来，人工智能的迅速崛起，极大地提高了人们的工作效率．某公司计划从两个人工智能产品中选择一个使用．该公司对两个人工智能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力进行了测试（每项测试满分为分，且均为整数），每项能力均进行次测试，取次测试得分的平均数作为该项的测试成绩．将两个人工智能产品的语言交互能力次测试得分整理成如下折线统计图，将两个人工智能产品的分析能力和学习能力测试成绩整理（分别取次测试得分的平均数）成如下表： 人工智能产品 分析能力 学习能力 （1）产品语言交互能力测试成绩的平均数为______，众数为______； （2）两个产品语言交互能力测试成绩的方差分别为，则______（填“”，“”或“”）； （3）如果规定语言交互能力、分析能力、学习能力按的比例计算最终成绩，那么该公司应该选择使用哪个人工智能产品？ 24. 如图，在中，，． （1）当时，求； （2）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，为的中点，过点作于点． ①补全图形； ②用等式表示之间的数量关系并证明． 25. 在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（4，2），C（4，0）．P为矩形ABCO内（不包括边界）一点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，这两条平行线分矩形ABCO为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于OA，则称P为矩形ABCO的矩宽点．例如：如图中的P（ ，）为矩形ABCO的一个矩宽点． （1）在点D（，），E（2，1）F（，），中，矩形ABCO的矩宽点是 　 　． （2）若G（m，）为矩形ABCO的矩宽点，求m的值； （3）若一次函数y＝k（x﹣2）﹣1（k≠0）的图象上存在矩形ABCO的矩宽点，直接写出k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026第一学期初三9月嘉年华 数 学 一、选择题（共24分，每题3分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，掌握相关知识是解决问题的关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：轴对称图形是指一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合的图形，依据定义，只有C选项符合题意． 故选∶C． 2. 古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.0000033米．则0.0000033用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】小于1的正数用科学记数法表示的一般形式为，其中，为原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数． 【详解】解：0.0000033用科学记数法表示为． 3. 把方程化成一般式，则，，的值分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式为，其中叫做一次项，叫作一次项系数，解答即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关概念，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由， 得， ∴，，的值分别是，，， 故选：D． 4. 如图所示，数轴上点分别表示数，若，则下列运算结果一定是正数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数与数轴，数轴上两点间距离，有理数的加法运算法则，由可得，即得，又由数轴可得，得到，进而得到，再根据有理数的加法法则即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又由数轴可得，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5. 通过如下尺规作图，能说明的面积和的面积相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，三角形的中线的性质，掌握三角形中线平分面积的性质即可求解． 根据尺规作图确定中线即可求解． 【详解】解：A、是中的角平分线，不能平分三角形面积，不符合题意； B、，不能平分三角形面积，不符合题意； C、是的中线，能平分三角形面积，符合题意； D、是的垂线，不能平分三角形面积，不符合题意； 故选：C ． 6. 如图，长为、宽为的矩形空地，现计划要在中间修建3条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为，若设小道的宽为，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设小道的宽为，则6个小矩形可合成长为、宽为的矩形，然后利用矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设小道的宽为， 则根据题意，可列方程为， 故选：D． 7. 如图，在矩形中，边的长为3，点，分别在，上，连接，，，．若四边形是菱形，且，则边的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质和菱形的性质得∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°，AB＝BO＝3，因为四边形BEDF是菱形，所以BE，AE可求出进而可求出BC的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°，AD＝BC， ∴BA⊥BF， ∵四边形BEDF是菱形， ∴EF⊥BD，BE＝BF＝DE＝DF， ∴△BEF是等腰三角形，AE＝CF， ∴∠EBO＝∠DBF， ∵EF＝AE+FC，AE＝CF，EO＝FO， ∴EF＝2AE＝2EO， ∴AE＝EO＝CF＝FO， ∴由角是轴对称图形知，AB＝BO＝3，∠ABE＝∠EBO， ∴∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°， 设OE＝x，则BE＝2x， 根据勾股定理得，， 4x2﹣x2＝32， 解得，x＝ ， ∴BE＝2， ∴BF＝BE＝2， ∴CF＝AE＝， ∴BC＝BF+CF＝3， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质以及在直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半，解题的关键是求出∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°． 8. 若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有公共解． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根． 上述结论正确的有（ ）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据倒方程的定义和一元二次方程根的定义对①进行判断；一元二次方程与它的倒方程联立，判断方程组是否有解，可以判定②正确；利用倒方程的定义和根的判别式的意义对③④进行判断． 【详解】解：①的倒方程为， 把代入方程得， 解得，故①错误； ②一元二次方程的倒方程为，则联立得：， 两式相减得到， 故方程，总有实数解， 故一元二次方程与它的倒方程有公共解，故②正确； ③若一元二次方程无解，则， 而倒方程为，那么根的判别式也为， 故它的倒方程也无解，故③正确； ④当时，一元二次方程的根的判别式， 也为一元二次方程，此方程的根的判别式， 所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以④正确，符合题意． 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】题考查了二次根式有意义的条件，负数没有平方根列出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 10. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练找出公因式是解决问题的关键．用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 11. 草莓中含有多种维生素，对人体健康有益．为了解甲、乙两个品种草莓的维生素含量，研究人员从甲、乙两个品种的草莓中各选株，测量它们每百克草莓中维生素的含量（单位：毫克），在同等实验环境下，测得的数据统计结果如下：则每百克草莓中维生素含量更稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 甲 乙 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差，先求出甲和乙的平均数，再求出甲和乙的方差，进而根据方差的意义即可判断求解，掌握方差的计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∵， ∴每百克草莓中维生素含量更稳定的是甲， 故答案为：甲． 12. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点O作，垂足为E，若，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】首先根据矩形的性质得到，然后利用等腰三角形三线合一性质得到，然后证明出是的中位线，进而求解即可． 【详解】∵四边形是矩形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴是的中位线 ∴． 故答案为：3． 【点睛】此题考查了矩形的性质，等腰三角形三线合一性质，三角形中位线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 13. 若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是_． 【答案】＞ 【解析】 【分析】由关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，可得：＜ 再列不等式，解不等式可得答案． 【详解】解： 关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根， ＜ ＜ ＜ ＜ ＞ 故答案为：＞ 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，一元一次不等式的解法，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 14. 在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式的解集是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据图象可知：两函数的交点为， 关于x的一元一次不等式的解集是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图像的特征、一元一次不等式；关键在于能数形结合，理解对应相同的自变量，图像上方函数值大于下方的函数值． 15. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，求不等式的解集，先求出分式方程的解，再根据解的情况得到关于的不等式，求出的取值范围，并求出最简公分母不等于时的取值即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， ∴， ∵方程的解是正数， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 16. 如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线同侧，，，，连接，设，，，给出下面三个结论： ①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号__________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①过点D作于点F，证明四边形为矩形，根据直角三角形的性质即可判断①正确； ②根据全等三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系，判断②正确； ③根据全等三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系，判断③正确．本题主要考查了勾股定理三角形全等的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形三边关系，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 【详解】解：过点D作于点F，如图所示：    ∵，，，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵在中，为斜边，为直角边， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ②∵， ∴， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， 故②正确； ③∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故③正确； 综上分析可知，正确的有①②③． 故答案为：①②③． 三、解答题（共52分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，二次根式的除法，绝对值计算即可． 本题考查了实数的混合运算，包括负整数指数幂，零指数幂，二次根式的除法，绝对值计算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解： 原式 ． 18. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集即可，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴原不等式组的解集为． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌一元二次方程的解法． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解： 或 ， 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程有一个根为3，求方程的另一个根． 【答案】（1） 解：∵， ∴方程总有两个实数根； （2）该方程的另一个根为2 【解析】 【分析】本题考查根的判别式和根与系数的关系．掌握的正负与一元二次方程之间的关系是解题关键；熟记根与系数的关系是解题关键． （1）判断即可证明； （2）设方程的另一个根为m，根据根与系数关系即可得出，解方程组求出另一根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的另一个根为m，则， 解得， 故该方程的另一个根为2． 21. 已知一次函数． （1）若该一次函数的图象向上平移个单位长度后可得某正比例函数的图象，求该一次函数的解析式； （2）若该一次函数分别与轴正半轴、轴负半轴相交，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）由平移的性质得到正比例函数解析式，再根据正比例函数的定义求出的值即可求解； （）分别求出一次函数与轴、轴的交点坐标，进而根据交点位置得出关于的不等式组，解不等式组即可求解； 本题考查了一次函数的平移，正比例函数的定义，一次函数与坐标轴的交点问题等，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：由平移得，正比例函数的解析式为， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：把代入，得， ∴， ∴一次函数与轴的交点坐标为， 把代入，得， ∴一次函数与轴的交点坐标为， ∵一次函数分别与轴正半轴、轴负半轴相交， ∴， 当时，解得； 当时，解得； 又解不等式，得， ∴不等式组的解集为，即的取值范围为． 22. 如图，中，点F在上，，的角平分线，交于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，平行四边形性质，直角三角形性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义得出，然后根据菱形的判定即可证明； （2）过作，利用勾股定理，直角三角形性质求出长，菱形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 又 四边形是平行四边形， 又 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：过作， ， ，， ， 由勾股定理得， ， 四边形的面积． 23. 近年来，人工智能的迅速崛起，极大地提高了人们的工作效率．某公司计划从两个人工智能产品中选择一个使用．该公司对两个人工智能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力进行了测试（每项测试满分为分，且均为整数），每项能力均进行次测试，取次测试得分的平均数作为该项的测试成绩．将两个人工智能产品的语言交互能力次测试得分整理成如下折线统计图，将两个人工智能产品的分析能力和学习能力测试成绩整理（分别取次测试得分的平均数）成如下表： 人工智能产品 分析能力 学习能力 （1）产品语言交互能力测试成绩的平均数为______，众数为______； （2）两个产品语言交互能力测试成绩的方差分别为，则______（填“”，“”或“”）； （3）如果规定语言交互能力、分析能力、学习能力按的比例计算最终成绩，那么该公司应该选择使用哪个人工智能产品？ 【答案】（1）， （2） （3）人工智能产品 【解析】 【分析】（）根据平均数和众数的定义解答即可； （）分别求出两个产品语言交互能力测试成绩的方差即可判断求解； （）利用加权平均数公式计算即可； 本题考查了折线统计图，加权平均数，众数和方差，掌握相关统计量的计算方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：由折线统计图可得，产品语言交互能力测试成绩为：， ∴产品语言交互能力测试成绩的平均数为，众数为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由折线统计图可知，产品语言交互能力测试成绩为：， ∴产品语言交互能力测试成绩的平均数为， ∴， ， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：的最终成绩为分， 的最终成绩为分， ∵， ∴该公司应该选择使用人工智能产品． 24. 如图，在中，，． （1）当时，求； （2）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，为的中点，过点作于点． ①补全图形； ②用等式表示之间的数量关系并证明． 【答案】（1） （2） ①补图如下： ②解：，证明如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴点四点共圆， 如图，连接，作于，连接并延长交于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（）过点作交于，可得是等腰直角三角形，即得，，进而得到，即得到，得到，最后根据三角形外角性质即可求解； （）①根据题意补全图形即可；②由可得点四点共圆，连接，作于，连接并延长交于点，可证，得到，进而由三线合一得到，即可得，得到，，即得到，又由即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作交于， 则， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角形外角性质，旋转的性质，点和圆的位置关系，垂径定理，全等三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（4，2），C（4，0）．P为矩形ABCO内（不包括边界）一点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，这两条平行线分矩形ABCO为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于OA，则称P为矩形ABCO的矩宽点．例如：如图中的P（ ，）为矩形ABCO的一个矩宽点． （1）在点D（，），E（2，1）F（，），中，矩形ABCO的矩宽点是 　 　． （2）若G（m，）为矩形ABCO的矩宽点，求m的值； （3）若一次函数y＝k（x﹣2）﹣1（k≠0）的图象上存在矩形ABCO的矩宽点，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）D和F （2）或． （3）-3＜k≤-1或1≤k＜3． 【解析】 【分析】（1）根据矩宽点的定义即可判断； （2）根据矩宽点的定义分四种情况构建方程，再解方程，即可解决问题； （3）如图中由题意先求解矩形的矩宽点满足的方程及函数解析式，可得矩形ABCO的矩宽点只能在线段RM，QE，DE，MK上（不包括端点），其中M（0，1），R（1，2），Q（3，2），E（4，1），D（3，0），K（1，0）．分别求出直线经过M、R、Q、E时的k的值即可解决问题； 【小问1详解】 解：（1）∵ ， ∴点D是矩宽点， 如图，显然不是矩宽点， 如图， ∴， ∴点F是矩宽点． 故答案为：D和F． 【小问2详解】 （2）如图， ∵为矩形ABCO的矩宽点， ∴或或或 ， 解得或或或， 经检验或不符合题意，舍去， ∴或． 【小问3详解】 如图中由题意可知，矩形的矩宽点满足的方程为： 或或或 整理得： 所以矩形ABCO的矩宽点只能在线段RM，QE，DE，MK上（不包括端点），其中M（0，1），R（1，2），Q（3，2），E（4，1），D（3，0），K（1，0）． ∵一次函数y=k（x-2）-1（k≠0）的图象经过定点F（2，-1）， 观察图象可知当直线与线段MR，EQ有交点时，直线一次函数y=k（x-2）-1（k≠0）的图象上存在矩宽点， 当一次函数y=k（x-2）-1（k≠0）的图象经过点M时，k=-1， 当一次函数y=k（x-2）-1（k≠0）的图象经过点R时，k=-3， 当一次函数y=k（x-2）-1（k≠0）的图象经过点Q时，k=3， 当一次函数y=k（x-2）-1（k≠0）的图象经过点E时，k=1， 综上所述，满足条件的k的值为-3＜k≤-1或1≤k＜3． 故答案为-3＜k≤-1或1≤k＜3． 【点睛】本题考查一次函数综合题、矩形的性质、矩宽点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的射线思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $