江苏省无锡市宜兴市张渚高级中学2024-2025学年高二下学期学科质量调研（一）数学试题

高二年级学科质量调研（一） 数 学 2025.3 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 若函数在处可导，则等于（ ） A. B. C. D. 2．一质点做直线运动，其运动的位移（单位：m）与时间（单位：s）的关系为，则时的瞬时速度为（   ） A． B． C． D． 3．已知是函数的导函数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 4. 用0．1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A. 24个 B. 26个 C. 30个 D. 42个 5．的展开式中的系数为（    ） A．60 B．50 C．40 D．20 6. 用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ） A. 240 B. 360 C. 480 D. 600 7. 若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若对任意的，且，都有成立，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. e D. 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某学生在物理，化学，生物，政治，历史，地理这六门课程中选择三门作为选考科目，则下列说法正确的是（    ） A．若任意选择三门课程，则总选法为 B．若物理和历史至少选一门，则总选法为 C．若物理和历史不能同时选，则总选法为 D．若物理和历史至少选一门且不能同时选，则总选法为 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，则（   ） A．若，则有三个零点 B．若，则函数存在个极值点 C．在单调递减，则 D．若在恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 五种不同商品在货架上排成一排，其中A，B两种必须连排，而C，D两种不能连排，则不同的排法共有__________种． 13.现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，则在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为 ． 14. 若为正奇数，则被9除所得的余数为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本题13分)已知函数f（x）＝x3+3x2﹣ax在x＝1处取得极值． （1）求a的值； （2）求f（x）在区间[﹣4，4]上的最大值和最小值． 16．(本题15分)甲乙丙丁戊五个同学 (1)去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？ (2)排成一排，甲不在首位，乙不在末位，共有多少种不同排列方法？ (3)分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，每人只能去一个城市，共有多少种不同分配方法？ 17．(本题15分)已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)已知函数，求的单调区间； (3)若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数a的取值范围． 18．（本题17分）已知． （1）若展开式的二项式系数和为256，求n的值； （2）当n＝6时，二项式的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则求a的值； （3）当n＝6，a＝﹣2时，求二项式的展开式中系数最大的项． 19．（本题17分）已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣2，a∈R，e是自然对数的底数． （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）若关于x的方程f（x）+2＝0有两个不等实根，求a的取值范围； （3）若a＝1，k为整数，且当x＞0时，恒成立，求k的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年张渚高级中学高二第一学期阶段性质量检测一 高二数学 试卷 2024.9 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 若函数在处可导，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】函数在处可导， . 故选：C. 2．一质点做直线运动，其运动的位移（单位：m）与时间（单位：s）的关系为，则时的瞬时速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，所以当时，． 故选：D． 3．已知是函数的导函数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由可得， 故，解得， 故选：A 4. 用0．1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A. 24个 B. 26个 C. 30个 D. 42个 【答案】C 【解析】 【分析】利用分类加法和分步乘法计数原理，结合排列的定义即可求. 【详解】若0在个位，则可组成个偶数； 若2在个位，则可组成个偶数； 若4在个位，则可组成个偶数； 所以偶数共有个. 故选：C 5．的展开式中的系数为（    ） A．60 B．50 C．40 D．20 【答案】A 【详解】的展开式的通项为， 则的展开式中的系数为. 故选：A 6. 用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ） A. 240 B. 360 C. 480 D. 600 【答案】C 【解析】 【分析】先涂区域②③④，再讨论①与④的颜色是否相同，结合计数原理运算求解. 【详解】将区域标号，如下图所示： 因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有种不同的涂色方法， 若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法； 若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法； 所以共有种不同涂色方法. 故选：C. 7. 若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题. 【详解】因为函数在上存在单调递增区间， 所以存在，使成立，即存在，使成立， 令，， 变形得，因为，所以， 所以当，即时，，所以， 故选：D． 8. 若对任意的，且，都有成立，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. e D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知不等式变形为，令，将问题转化为在上单调递增，利用导数可求得单调性，由此可得的最大值. 【详解】由可得， 由,且,所以，即， 令，则在上单调递增， 所以，令，则, 当时，，此时在上单调递增； 当时，，此时在上单调递减； 所以，故. 故选：A. 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某学生在物理，化学，生物，政治，历史，地理这六门课程中选择三门作为选考科目，则下列说法正确的是（    ） A．若任意选择三门课程，则总选法为 B．若物理和历史至少选一门，则总选法为 C．若物理和历史不能同时选，则总选法为 D．若物理和历史至少选一门且不能同时选，则总选法为 【答案】ACD 【详解】对于A．若任意选择三门课程，选法总数为种，故A正确； 对于B．若物理和历史选一门，有种方法，其余两门从剩余的4门中选2门，有种选法， 若物理和历史选两门，有种选法，剩下一门从剩余的4门中选1门，有种选法 由分步乘法计数原理知，总数为种选法，故B错误； 对于C．若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确； 对于D．由选项B的分析知，若物理和历史至少选一门且不能同时选，有种选法，故D正确． 故选：ACD． 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由已知可得皆为负值，皆为正值， 令，则，令，则①， 即，A正确； 由①知：，B错误； 对两端求导， 可得， 令，则，C正确； 在中， 令，则，D错误． 故选：AC. 11．已知函数，则（   ） A．若，则有三个零点 B．若，则函数存在个极值点 C．在单调递减，则 D．若在恒成立，则 【答案】ABD 【详解】对于选项A：若，，，由，得：， 当时，，得：在上单调递减； 当和时，，得：在和上单调递增； 所以函数有极大值，有极小值， 所以三次函数有三个零点，故A选项正确； 对于选项B，若，， 由，得有两个解， 当和时，， 在和上单调递增； 当时，， 在上单调递减， 所以存在两个极值点，故B选项正确； 对于选项C，由题意可知：是解集的子集， 当时，显然恒成立； 当时，，由于，可得：，即； 综上可得：，故C选项错误； 对于选项D，当时，恒成立， 当，令，则， 令（）， ， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，则； 当，令，则， 令（）， ， 当时，，单调递增； 所以，则； 综上所述：若在恒成立，则，故D选项正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 五种不同商品在货架上排成一排，其中A，B两种必须连排，而C，D两种不能连排，则不同的排法共有________种． 【答案】 【解析】 【分析】根据捆绑和插入法，结合分步计数原理即可求解. 【详解】由题意，设五种商品编号分别为， 其中A，B两种必须连排，C，D两种不能连排， 将A，B两种看作一种商品与进行排列，共有（种）， 共形成个空，选择个空，将C，D插入，共有（种）， 则不同的排法共有：（种）, 故答案为: 14.现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，则在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为 ． 14. 若为正奇数，则被9除所得的余数为____． 【答案】7 【解析】 【分析】 【详解】解：∵7n+C 1n•7n-1+…+C n-1n•7=7n+ C 1n•7n-1+…+C n-1n•7+1-1=（7+1）n-1=8n-1=（9-1）n-1= 显然，式子中，除了最后两项（-1）n-1以外，其余的各项都能被9整除． 而由n为正奇数可得 =-2， 故所给的式子被9除所得的余数为7， 故答案为 7． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本题13分)已知函数f（x）＝x3+3x2﹣ax在x＝1处取得极值． （1）求a的值； （2）求f（x）在区间[﹣4，4]上的最大值和最小值． 【解析】（1）因为f（x）＝x3+3x2﹣ax，所以f'（x）＝3x2+6x﹣a． 因为f（x）在x＝1处取得极值，所以f'（1）＝0，即3+6﹣a＝0，解得a＝9...............4分 经检验，a＝9符合题意．…………………………………………………………………（5分） （2）由（1）得f（x）＝x3+3x2﹣9x．所以f'（x）＝3x2+6x﹣9=3(x+3)(x−1)． 令f'（x）＞0，得﹣4≤x＜﹣3或1＜x≤4；令f'（x）＜0，得﹣3＜x＜1． 所以f（x）的单调递增区间为[﹣4，﹣3），（1，4]，单调递减区间为（﹣3，1）．……（8分） 所以f（x）的极大值为f（﹣3）＝27，极小值为f（1）＝﹣5……………………（10分） 又f（﹣4）＝20，f（4）＝76，所以f（1）＜f（﹣4）＜f（﹣3）＜f（4） 所以f（x）的最大值为76，最小值为﹣5………………………………………………（13分） 16．(本题15分)甲乙丙丁戊五个同学 (1)去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？ (2)排成一排，甲不在首位，乙不在末位，共有多少种不同排列方法？ (3)分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，每人只能去一个城市，共有多少种不同分配方法？ 【解题思路】（1）根据乘法计数原理即可求解， （2）用全部情况去掉甲不在首位，乙不在末位，即可求解， （3）利用分组分配，结合排列组合即可求解. 【解答过程】（1）去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，因此每个人都有种选择， 所以不同游览方法有（种）.….…….…….…….…….…….…….…….………（5分） （2）排成一排，无限制条件的排列有， 甲不在首位，乙不在末位的反面是甲在首位或乙在末位，共有， 则甲不在首位，乙不在末位的不同排法有（种）..…….………（10分） （3）分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，每人只能去一个城市， 则先把5人按分组，有种分组方法，按分组，有种分组方法， 因此不同分组方法数为， 再把每一种分组安排到三个城市，有种方法， 所以不同分配方法种数是..…….………………（15分） 17．(本题15分)已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)已知函数，求的单调区间； (3)若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数a的取值范围． 【详解】（1）由得，，，..............................2分 ，所以在点处的切线方程为．..............................4分 （2），， ，令，解得，.........6分 因为时，，所以在上单调递减， 因为时，，所以在上单调递增， 所以的单调减区间为，单调增区间为．.............................8分 （3）由题可知，， 所以，................................................................10分 设，，则，令，解得，...12分 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 又，即，...............................14分 所以．..............................15分 18．（本题17分）已知． （1）若展开式的二项式系数和为256，求n的值； （2）当n＝6时，二项式的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则求a的值； （3）当n＝6，a＝﹣2时，求二项式的展开式中系数最大的项． 【解析】（1）依题意有2n＝256，解得n＝8．……………………（2分） （2）当 n＝6时二项式为，由二项式定理通项公式得，………………………………（4分） 令，得r＝2，所以，……………………（6分） 令，得r＝4，所以，……………………（8分） 又B＝4A，解得a＝0（舍去）或a＝2或a＝﹣2， 所以a＝2或a＝﹣2．……………………………………………………（10分） （3）当 n＝6，a＝﹣2时二项式为， 由二项式定理通项公式得，…（12分） 设第r项系数最大，则，即，故r＝4，………………（16分） 所以二项式的展开式中系数最大的项为．……………………（17分） 19．（本题17分）已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣2，a∈R，e是自然对数的底数． （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）若关于x的方程f（x）+2＝0有两个不等实根，求a的取值范围； （3）若a＝1，k为整数，且当x＞0时，恒成立，求k的最大值． 【解析】（1）f′（x）＝ex﹣a，………………………………………………（1分） 若a≤0，则f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，……（2分） 若a＞0，f′（x）＝0，得x＝lna， 当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，………………（4分） 综上可知，a≤0时，f（x）的增区间是（﹣∞，+∞）， 当a＞0时，f（x）的减区间是（﹣∞，lna），增区间是（lna，+∞）； （2）方程f（x）+2＝ex﹣ax＝0，显然当x＝0时，方程不成立，则，x≠0，……（5分） 若方程有两个不等实根，即y＝a与有2个交点，……（6分） 则， 当x∈（﹣∞，0）∪（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）在区间（﹣∞，0）和（0，1）单调递减， 并且x∈（﹣∞，0）时，g（x）＜0，当x∈（0，1）时，g（x）＞0； 当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增， x＞0时，当x＝1时，g（x）取得最小值，g（1）＝e，……（8分） 画出函数g（x）的大致图象，如图所示： 由y＝a与有2个交点，得a＞e，所以a的取值范围是{a|a＞e}；……（10分） （3）当a＝1时，f（x）＝ex﹣x﹣2，f′（x）＝ex﹣1， 所以，……（12分） 当x＞0时，ex﹣1＞0，， 令，x＞0， 则， 由（1）可知，m（x）＝ex﹣x﹣2在（0，+∞）单调递增，且m（1）＜0，m（2）＞0，……（14分） 所以m（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，即h′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点， 设此零点为x0，则x0∈（1，2），且，……（15分） 当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减， 当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增， 所以h（x）的最小值为，……（16分） 所以k＜h（x0），所以整数k的最大值为2．……（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $$