29.1.2过三点的圆（第2课时 反证法） 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦反证法的概念、步骤及应用，通过“王戎不取道旁李”故事导入，从生活推理抽象出反证法思想，衔接上节课“不在同一直线三点确定圆”，以反面证明构建知识支架。 其亮点是用情境导入培养数学眼光，通过“共线三点不能作圆”等实例强化逻辑推理，规范四步证明流程提升数学语言表达。学生能发展理性思维，教师可借助实例和步骤引导提高教学效果。

第二十九章 圆 圆的有关概念 过三点的圆 反证法 人教版2026 ·九年级上册 29.1 29.1.2 第2课时 学 习 目 标 能用自己的语言描述反证法的基本思想，知道反证法是一种间接证 明方法.能准确说出反证法的四个基本步骤，并能在具体证明中按步 骤规范书写. 能用反证法证明“经过同一直线上的三个点不能作圆”,并能解释 每一步的逻辑依据. 在证明过程中，体会“正难则反”的思维策略，感受数学证明的严 谨性和逻辑力量，发展理性思维. 1 2 3 róng 王戎不取道旁李 王戎七岁，尝②与诸小儿游。看道边李树多子折枝，诸 儿竞走③取之，唯④戎不动。人问之，答曰：“树在道边而多 子，此必苦李。”取之，信然⑤。 注释 ①本文选自《世说新语 ·雅量》。王戎，晋 朝人，“竹林七贤”之一，自幼聪慧。 ②〔尝〕曾经。 导入新课 还记得小学学过的这篇课文吗? ③〔竞走〕争着跑过去。 ④〔唯〕只有。 ⑤〔信然〕的确如此。 王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李. ”小伙伴 摘取一个尝了一下，果然是苦李. 王戎是怎么知道李子是苦的呢? 他运用了怎样的推理方法? 王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李 树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎 站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘? 道旁苦李 推论 树在“道”边,如果李子是 甜的，那么早就被人摘光了， 树上不会有这么多李子 矛盾 但树上结满了李子,这样 “树在道边而多子” 与“早 被人摘光”相矛盾 而是用了怎样的推理? 假设：李子是甜的. 王戎是怎么判断李子是苦的?他没有直接尝, 导入新课 结论: 所以假设不成立,李为苦李. 王戎的推理方法 用了怎样的推理? 树在道边而多 子，此必苦李. 反证法 这种“先假设结论不成立，通过推理推出矛盾，从而证明 结论成立”的方法，叫做反证法. 今天我们就要学习这种方法，并用它来证明上一节课的 一个重要结论. 导入新课 王戎是怎么判断李子是苦的?他没有直接尝，而是 如图，在纸上先画一条直线，在直线上取三点A 、B 、C, 尝试 过这三点作圆，能作出来吗?试一试 找圆心 (1)过A 、B两点作AB的垂直平分线l₁ (2)过B 、C两点作BC的垂直平分线l₂ l₁与l₂没有交点 过直线上的三点A、B 、C画不出圆 过共线三点能否作圆 新知探究 画一画 探究点1 作图分析 议一议 如图，在直线上取三点A 、B 、C, 过这三点为什么作不出来圆? (1)圆心如何确定? 过A 、B的圆心在AB的垂直平分线l₁上； 过B 、C的圆心在BC的垂直平分线l₂上； (2) l₁ 和l₂是什么关系? (3) l₁和l₂的位置关系对作图由什么影响? ∵ l₁l2 ∴l₁与l 没有交点 ∴ 找不到同时满足过点A、B 、C 的圆的圆心 ∴ 无法作出一个圆，使得这个圆同 时过同一条直线上的三点A 、B 、C ∵ A 、B 、C在同一直线l上， ∴ AB和BC在同一直线l 上 ∵l₁⊥AB,l₂ ⊥BC ∴l₁ ll , l₂ ⊥l ∴l₁ I₂ (垂直于同一条直线的两直线平行) 过共线三点能否作圆 新知探究 探究点1 已知：A 、B 、C是直线l上的三个点。 求证：经过A 、B 、C三点不能作圆. 第1步——假设，假设结论不成立，设结论的反面成立 假设经过A 、B 、C三点可以作圆，设圆心为0。 第2步——推理，在假设成立条件下结合已知条件进行推理 ∵A 、B 、C三点在在⊙0上 ∴OA=OB,OB=OC (圆心到圆上各点的距离相等)。 ∴点O在线段AB的垂直平分线上l₁ 且点○在线段BC的垂直平分线l₂上 (到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上), 即l₁ 与l₂ 交于点O 请参考王戎王戎的推理方法说明： 过同一条直线上的三点不能作圆 过共线三点能否作圆 新知探究 议一议 探究点1 问题分析 第3步——找矛盾： 根据推理找出所得的新结论与已知条件或事实相矛盾 由假设推得l₁ 与l₂交于点O ∵ l₁ ⊥l, l₂ ⊥l ∴过0点有两条直线l₁ 与l₂都垂直与直线l 这与几何事实“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾 第4步——下结论：由矛盾推出假设不成立，原结论成立 ∴经过同一直线上的三个点不能作圆. 议一议 请参考王戎王戎的推理方法说明： 过同一条直线上的三点不能作圆 已知：A 、B 、C是直线l 上的三个点. 求证：经过A 、B 、C三点不能作圆. 过共线三点能否作圆 新知探究 探究点1 问题分析 ∵A 、B 、C三点在在⊙O上 ∴OA=OB=OC ( 圆心到圆上各点的距离相等) ∴点0在线段AB的垂直平分线上；点0在线段BC的垂直平分线上. ∴点○是线段AB的垂直平分线上l₁与线段BC的垂直平分线l₂的交点. ∵l ₁⊥l,l₂ ⊥l ∴ 过○点有两条直线l₁ 与l₂都垂直与直线l 这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾 ∴假设不成立 ∴经过同一直线上的三个点不能作圆. 请参考王戎王戎的推理方法说明： 过同一条直线上的三点不能作圆 已知：A 、B 、C是直线l上的三个点. 求证：经过A 、B 、C三点不能作圆. 证明：假设经过A 、B 、C三点可以作圆，设其圆心为0. 过共线三点能否作圆 新知探究 议一议 探究点1 规范证明 (1)只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定。 (2)经过一个已知点能作无数个圆。 (3)经过两个已知点A 、B能作无数个圆，这无数个圆的圆心在线段 AB的垂直平分线上。 (4)不在同一直线上的三个点确定一个圆。 议一议 这个结论与上一节课的定理有什么关系? 三点定圆 定理不在一条直线上的三个点确定一个圆。 隐含了“共线三个点不 注意 能作圆”这一反面情况 过共线三点能否作圆 新知探究 探究点1 ▶从假设出发，经过推理，再得出和定义、基本 事实、定理或题设等相矛盾的结果 ▶然后由矛盾断定所作假设不正确，是错误的， 从而得到原命题成立.即所求证的命题正确. 4 l₂ A B 假设经过同一条直线上 的三个点可以作一个圆 证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过 的证明有什么不同? ▶在证明一个命题时先假设命题不成立，即先提 出与结论相反的假设， 不是直接去证明它 不是直接去证明命 题的结论 反证法的概念与步骤 新知探究 探究点2 议一议 归一归 1.反证法概念 先假设命题的结论不成立，然后经过推理得出 矛盾，从而证明命题的结论一定成立，这样的 证明方法叫做反证法. 2.反证法说理流程 提出假设：假设命题结论不成立(即命题结论反面成立) 反证法的概念与步骤 所证命题成立— 假设不成立— 新知探究 与定理，定 义， 基本事实矛盾 与已知条 件矛盾 探究点2 推理得出的结论 由假设出发 引出矛盾 反证法四步： 假设 → 推理 → 矛盾 → 结论。 1.假设：假设命题的结论不成立 2.推理：从假设出发，结合已知 条件进行推理 3.矛盾：推出矛盾 4.结论：由矛盾判定假设不 成立，从而肯定结论成立 假设“李子甜” 树在道边则李子少 与已知条件“树在道边而 多子”产生矛盾 假设“李子甜”不成立 所以“树在道边而多子，此 必为苦李”是正确的 反证法的概念与步骤 新知探究 探究点2 王戎推理过程 3.由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定原命题的 结论正确。 2.推理得出的结论与已知、定义、公理、定理矛盾； 从这个假设出发，应用正确的推理证明，得出与定义 、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果 反设 1.先假设命题的结论不成立； 议一议 反证法与我们以前学过的证明方法有什么不同? 以前：从已知条件直接推出结论. (直接证明) 反证法：先假设结论不成立，推出矛盾，从而间接确认结论成立(间接证明) 反证法的概念与步骤 新知探究 结论 归谬 探究点2 1. 结论以否定形式出现 如“不能”“不是”“不存在”等.直接证明 “不能”往往无从下手，反证法通过假设 “能”来推出矛盾，更为自然. 2. 结论的反面情况较少： 结论的反面只有一种情形时，反证法比 较简洁.若反面情况有多种，则需要逐一 反驳，较为繁琐. 在一个三角形中，至少有一 个角大于等于60°” ——结论的否定是“三个角 都小于60°”,反面情况单一， 也适合反证法 平行线不相交 ——结论是否定形式，适合 反证法 反证法的适用情境 新知探究 什么情况下适合用反证法? 议一议 探究点3 3.直接证明困难时： 从已知条件难以直接推出结论，但假 设结论以否定形式出现：如“不能”“不 是”“不存在”等。直接证明“不能”往往 无从下手，反证法通过假设“能”来推出 矛盾，更为自然. “共线三点不能作圆” ——结论是“不能”,适合 反证法. 反证法的适用情境 新知探究 什么情况下适合用反证法? 议一议 探究点3 已知：如图，ABIICD,∠1、∠2是同位角， 求证：∠1=∠2 证明：假设∠1≠∠2, 过0作直线A'B', 使∠1=∠2. ∴A'B'//CD (同位角相等，两直线平行) ∴ 过点0就有两条直线AB,A'B′ 平行于直线CD, 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾 “两直线平行，同位角相等”由“两直线平行”直接推导较困难，试 采用反证法说明 ∴∠1≠∠2的假设不成立，原命题结论正确， 即 ∠1=∠2. 反证法的适用情境 新知探究 试一试 探究点3 分析：由题目分析，“一定是锐角”的 反面就是“不是锐角”,即是直角或钝 角，因此应分两种情况讨论。 情况②:假设底角为钝角， 即 ∠B= ∠C>90° 那么∠B+∠C>180°, 可得∠A+∠B+∠C>180°, 同样与“三角形内角和等于180°”矛盾。 综上，假设不成立。 ∴等腰三角形的底角一定是锐角。 证明：假设等腰三角形的底角不是锐角， 那么底角∠B,∠C 是直角或者钝角。 ∵AB=AC , ∴∠B=∠C。 情况①:假设底角为直角， 即∠B= ∠C=90° ∴∠A+∠B+∠C =∠A+90°+90° =∠A+180°>180°, 这与“三角形内角和等于180°”矛盾。 试一试 用反证法证明：等腰三角形的底角一定是锐角. 已知：在△ ABC中 ，AB=AC,∠B、∠C 是底角。 求证：∠B, ∠C都是锐角。 B 反证法的适用情境 新知探究 探究点3 例1.利用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是钝角. 已知：∠A、∠B、∠C为△ABC的内角 求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是钝角 B 证明：假设三角形的三个内角∠A、∠B、∠C中有两个钝角， 不妨设∠A>9 0°, ∠B>90°, ∴∠A+∠B+∠C>180°, 这与三角形内角和为180°相矛盾， ∴∠A>90°, ∠B>90° 不成立， ∴一个三角形中不能有两个角是钝角. 典例分析 练习 课本P119 1.用反证法说明：400人中至少有两个人的生日相同. 证明：假设400人中没有任何两个人的生日相同。 ∵ 一年最多有366天(闰年)。 ∴ 如果所有人的生日都互不相同，那么最多只能有366个人，每个人 分别占一年中不同的一天。 ∵ 现在总共有400人，400>366 ∴400人里还有人没有日期对应，多出的人的生日日期要与366个人中 某些日期重合，这与假设“400人中没有任何两个人的生日相同”产 生矛盾 ∴ 不可能有400个人，生日全都互不相同。 ∴假设不成立，400人中至少有两个人的生日相同。 新知巩固 2.用反证法说明：一个三角形中不能有两个角是直角. 已知：∠A、∠B、∠C为△ABC的内角 求证： ∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角 证明：假设△ABC中∠A、∠B、∠C中有两个直角， 不妨设∠A=∠B=90°, ∴∠A+∠B=180° ∴∠A+∠B+∠C>180°, 这与“三角形内角和为180°”相矛盾， ∴∠A=B=90° 不成立， ∴一个三角形中不能有两个角是直角. 新知巩固 课本P119 B 拓展提升 1. 如图，已知△ ABC中，∠A=60°, (1)用尺规作△ ABC的外接圆O; (2)若⊙O的半径为4,求扇形BOC的面积. (1)解：如图1,⊙O即为所求； (2)解：如图2,连接BO 、CO, AO ∵⊙0是△ ABC的外接圆 ∴BO=CO=AO ∴∠1=∠2,∠3=∠4 ∵∠A=60°, ∴∠1+∠4=∠2+∠3=∠A=60° ∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB) =180°-[180°-(∠1+∠2+∠3+∠4)] =2∠A=120°, S 扇 图2 已知：∠A,∠B,∠C 是△ABC的内角. 求证：∠A,∠B,∠C 中至少有一个角大于或等于60°. 证明：假设所求证的结论不成立，在一个三角形中没有一个 角大于或等于60°,都小于60°;即 ∠A<60°,∠B<60°,ZC<60° 则∠A+∠B+∠C<180°. 这与“三角形三个内角的和等于180°”相矛盾. 所以假设不成立，所求证的结论成立.原命题正确 1. (2026.经开校考)证明：在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°. 真题感知 证明：假设a与c不平行， 则a与c相交，设交点为P. ∴ 直线a过P点，直线c过P点 ∵allb ∴过点P有一条直线a与b平行。 又∵c|| b, ∴过点P还有一条直线c与b平行。 这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾. ∴假设不成立，即allc. 2. (2026.聊城统考)已知：allb,bllc. 求证：allc. 真题感知 反证法 ——先假设结论不成立，推出矛盾，从而证明结论 成立的间接证明方法. 四个步骤： 假设→ 推理 → 矛盾 → 结论(缺一不可). 用反证法证明了“经过同一直线上的三个点不能作圆”. 知识与技能 课堂小结 *正难则反：当直接证明困难时，转向证明结论的反 面不成立，从而间接肯定结论。 *转化思想：将“证明结论成立”转化为“证明结论 不成立会导致矛盾”. *逻辑推理：反证法的核心是逻辑的严谨性——每一 步推理都必须有依据. 思想与方法 课堂小结 * 假设错误：假设必须是“结论的反面”,不能把结论的某种 特殊情况作为假设. * 矛盾不明确：推理的最后一定要明确指出“与XX矛盾”, 不能含糊带过. * 推理跳步：从假设到矛盾，每一步推理都要有依据，不能凭 空想象. * 适用范围：并非所有命题都适合用反证法，直接证明简便时 应优先使用直接证明. 易错点提醒 课堂小结 课后练习 习题 29.1 课本p120页 8.用反证法说明：在同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条相 交，必定与另一条也相交. 已知：在同一平面内，直线aⅡ b, 直线c与直线a 相交于A点。 求证：直线c与直线b也相交。 证明：假设结论不成立，即c与b不相交。 ∵在同一平面内，两条直线不相交，则两直线平行， ∴c || b。 ∵直线c与直线α相交于A点 ∴ 直线a经过点A, 直线c经过点A 又∵ a |l b, ∴过点A有两条直线平行于直线b, 这与平行事实“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”产生矛盾 ∴假设不成立，直线c与直线b相交 ∴在同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条相交，必定与另一条也相交。 习题 29.1 课本p120页 9.在◎0 中，点C,D 在弦AB上，且AC=BD. (1)如图(1),弦AB经过圆心0,求证OC=OD; (2)如图(2),弦AB不经过圆心0,OC与OD是否仍相等?说明理由. (2)证明：连结OA,OB ∴OA=OB ∴∠A=∠B ∵AC=BD ∴△AOC≌△BOD (SAS) ∴ OC=OD ( 全等三角形对应边相等) (1) 证明： (1) ∵ 弦AB经过圆心0 ∴ OA=OB ∵AC=BD ∴OA-AC=OB-BD 即OC=OD; 课后练习 A (2) 探索发现 等宽曲线 课本p121页 探究性作业 课后练习 探索发现 等宽曲线 课本p121页 1.什么是等宽曲线? 如果一条凸闭曲线在任意方向上的宽度都相等，就称它为等宽曲 线 (Curve of Constant Width)。 2.关键特征 1. 必须是凸曲线(凹曲线不存在支撑线) 2.任意方向宽度都等于同一个常数d 3.圆是最平凡的等宽曲线 4. 但圆不是唯一的等宽曲线! 课后练习 等宽曲线：任意方向宽度相同 以奇数边正多边形为骨架，用同样的方法可以构造无穷多种等 宽曲线；偶数边正多边形则不行。 探索发现 等宽曲线 3.还有哪些等宽曲线? 课后练习 莱洛三角形(n=3) 莱洛五边形( n=5) 莱洛七边形(n=7) 构造规律 莱洛三角形 周长C=πd= 2π=6.28 周长C=nd=2π=6.28 ( 三 段 弧 ，每段圆心角60°) 探索发现 4.等宽曲线性质 巴比埃定理：所有宽度为d 的等宽曲线，周长都等于 πd 巴比埃定理 所有宽度为d 的等宽曲线， 周长都等于 πd。与形状无关! 面积极值 同宽度d 的等宽曲线中： 圆面积最大，莱洛三角形面积最小 周长相同的情况下，形状可以千差万别 ——这正是等宽曲线最迷人的地方。 课后练习 等宽曲线 部分国家硬币采用等宽 曲线外形，投币机只需 测量一个方向的宽度， 即可识别硬币面值。 利用莱洛三角形的等宽 性，钻头在方形导向框 内旋转可钻出近似正方 形的孔。 任何等宽曲线形状的井 盖，都不会从井口掉下 去，圆形只是其中最常 见的一种。 探索发现 5.等宽曲线在生活中的应用 莱洛方孔钻头 等宽曲线硬币 防坠落井盖 课后练习 等宽曲线 谢谢聆听 $