2.3 直线的交点坐标与距离公式课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“直线的交点坐标与距离公式”，涵盖两直线交点与方程组解的关系、交点坐标求解，以及两点间、点到直线、平行线间距离公式，通过思维导图导入，梳理直线位置关系与代数方程的联系，承接直线方程知识，为解析几何学习搭建基础支架。 其亮点在于采用“基础-中档-拔高”分层训练，结合思维导图、典例详解及变式题，渗透数形结合思想，培养数学思维与运算素养。例如通过坐标法证明几何问题，助力学生用数学语言表达关系，教师可依托一体化教学资源提升课堂效率，学生能在梯度训练中夯实基础、提升解题能力。

高二数学●2024人教A版选择性必修一 第二章 直线和圆的方程 2.3 直线的交点坐标与距离公式 本节理解两直线交点与方程组解的关系，会求交点坐标；掌握两点间、点到直线、两条平行线间距离公式，能熟练运算求解，提升数学运算素养，体会解析几何数形结合思想 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括137张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 图解课标要点 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 两条直线的交点坐标 1 基础知识——点与坐标的一一对应关系 几何元素及关系 代数表示 点 直线 点在直线 上 直线与的交点是 方程组的解是 4 2 两条直线的交点 已知两条不重合的直线， ，如果这 两条直线相交，则交点一定同时在这两条直线上，交点坐标就是这两个方程联立所 得的方程组的唯一解. 3 方程组解的数量与两条直线的位置关系 5 学思用·典例详解 例1-1 [教材改编P71例2]判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标. （1）， ； 【解析】联立直线与的方程得方程组解得 所以与相交，且交点坐标为 . 6 （2） ， ; 【解析】联立直线与 的方程得方程组 ，整理得，即方程②可以化为方程①，所以与 重合． （3）， . 【解析】联立直线与 的方程得方程组 由 ，可知该方程组无解． 所以与无公共点，即 . 7 知识点2 两点间的距离 , 两点间的距离公式 （两点间的距离公式与两点的先后顺序无关）. 如图2.3-1（1），构造直角三角形，再用勾股定理可以推导出两点间的距离公式， 但不如教材中向量法简便. （【链接教材】此处回答了教材第73页【思考】的内容） 特别地，（1）原点与任一点间的距离 ； （2）当平行于轴时， ,如图2.3-1（2）； . . . . 8 图2.3-1 （3）当平行于 轴时， ,如图2.3-1（3）. （这两种特殊情形可以由公式得到， 也可以由图形更加直观地看出来） 特别提醒（1）利用两点间距离公式可以将有关的几何问题转化成代数问题进行研究， 如可看作点与点 之间的距离. （2）已知斜率为的直线上的两点, ,由两点间的距离公式可得 . 9 学思用·典例详解 例2-2 [教材改编P74 T1]求下列两点间的距离： （1）， ； 【解析】 . （2）， ； 【解析】由于点，均在 轴上， 所以 . （3）， . 【解析】由于直线 轴， 所以 . 10 例2-3 已知点与点之间的距离为5，则实数 的值为( ) C A. B. C.或 D.1或 【解析】 ， 得 ， 即 ， 解得或 . 11 知识点3 点到直线的距离 1 点到直线的距离 点到直线的距离，就是点到直线的垂线段的长度，其中 是垂足. （点与直线上任意一点连线长度的最小值） . . 12 2 点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线的距离 . 知识剖析（1）公式的特征： 分子：将点的坐标代入直线方程的左边，加绝对值. 分母：直线 方程中, 系数平方和的算术平方根. （2）适用条件：应用此公式时，若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程 化为一般式，再利用公式求解. 13 3 点到几种特殊直线的距离 （1）点到轴的距离 ； （2）点到轴的距离 ； （3）点到直线（与轴平行或重合）的距离 ； （4）点到直线（与轴平行或重合）的距离 . . . . . 14 4 向量法表示点到直线的距离 如图2.3-2，点到直线的距离，就是向量的模.设是直线 上的任意一 点，是与直线的方向向量垂直的单位向量，则是在 上的投影向量， . 图2.3-2 15 教材深挖 除教材给出的坐标法和向量法外，点到直线的距离公式还可以用面积法进 行推导. 图2.3-3 如图2.3-3，设直线的方程为,且，,则直线与 轴和 轴都相交，过点分别作轴和轴的平行线，交直线于点和，则直线 的方程 为,的坐标为.直线的方程为,的坐标为 ,于 是有, ,#2.1.1 16 . 设,由三角形面积公式可得 ,于是得 . 可以验证，当或 时，上述公式也成立. 该方法回答了教材第76页第二个【思考】.#2.2 17 学思用·典例详解 例3-4 [教材改编P77例5]求点到下列直线的距离 （1） ； 【解析】由点到直线的距离公式知， . （2） ； 【解析】 由点到直线的距离公式得, . 因为直线与轴平行，所以 . 18 （3） . 【解析】 因为直线与 轴平行， 所以 . 因为点在直线上，所以.（当点在直线上时，点 到 直线的距离为0） 19 例3-5 [教材改编P77 T1]原点到直线 的距离为( ) B A.1 B. C.2 D.3 【解析】直线,即 （化为一般式）, 故原点到直线的距离为 . 点评 特别地，原点到直线的距离 . . . 20 例3-6 (2026·安徽省滁州市月考)已知直线过定点，点 在直线上，且的最小值是，则 的值为_______. 1或 【解析】由得，所以直线过定点 ， 依题意可知的最小值就是点到直线 的距离， 由点到直线的距离公式可得,解得或 . 21 知识点4 两条平行直线间的距离 1 两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长. 对于两条平行直线,，在直线上任取一点,点到直线的距离就是直线 与 直线 间的距离.这样，求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离. 22 2 两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线， 间的距离 .（使用此公式的两个条件：①直线方程都为一般式；, 的系数对应相 等） 特别提醒（1）两直线都与轴垂直时，，，则 ； （2）两直线都与轴垂直时，，，则 . . . . . 23 学思用·典例详解 例4-7 [教材改编P79练习T1](2026·辽宁省朝阳市期中)两平行直线 和 之间的距离为( ) A A. B.2 C. D.3 【解析】 因为 ，所以由两平行直线间的距离公式可得 . 先求与轴的交点的坐标，令,解得，所以 .（选取点的时 候，尽量选坐标轴上的整数点，这样便于后续计算） 点到直线的距离为 ， 所以与之间的距离为 . 24 释疑惑 重难拓展 知识点5 坐标法（或解析法） 坐标法解决平面几何问题的“三步曲”： 第一步:建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，把 平面几何问题转化为代数问题; 第二步:通过代数运算，解决代数问题; 第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 25 特别提醒 建立适当的坐标系对简化计算很重要，建立坐标系应遵循以下原则： ①要使尽可能多的已知点落在坐标轴上，这样便于计算； ②如果图形中有互相垂直的两条线段，可以考虑将其所在直线作为坐标轴； ③如果图形具有中心对称性，可以考虑将图形的中心作为坐标原点； ④如果图形具有轴对称性，可以考虑将对称轴作为坐标轴. 26 学思用·典例详解 例5-8 已知是直角三角形，斜边的中点为 ,建立适当的平面直角坐标系， 证明： . 图2.3-4 【解析】如图2.3-4，以的直角边所在直线为轴， 所在 直线为轴，建立平面直角坐标系,则点的坐标为 . 设,两点的坐标分别为，.由中点坐标公式，知边 的中 点的坐标为,则 .又 , . 27 知识点6 过两条直线交点的直线系方程 设直线与直线相交，则过, 的交 点的直线系方程为 （注意，此时直线系中 不包括直线）（其中 为参数） 知识剖析 点斜式和斜截式 都是交点直线系方程. ①将点斜式整理为,对照交点直线系方程，其中 就是 ,是直线，是直线,故是除 外所有 过点 （此即点斜式下直线所过定点的坐标）的直线; ②同①可说明直线系方程（为已知,为参数）是除（即 轴） 外所有过点 （此即斜截式下直线所过定点的坐标）的直线. . . . . . . 28 学思用·典例详解 例6-9 [教材改编P79习题2.3 T2]已知直线经过两直线 和 的交点，且斜率为，求直线 的方程. 【解析】设直线的方程为（其中 为常数）， 即 ①. 又直线的斜率为，则 ， 解得.将代入①式并整理，得 . 故所求直线的方程为 29 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 直线的交点问题 1 两条直线相交的问题 例10（1）直线与直线 的交点坐标为________. 【解析】联立方程得解得所以与的交点坐标为． 30 （2）若直线与直线的交点在轴上，则 的值为 ( ) C A. B.6 C. D.24 【解析】 联立方程得消去得 . 由题意知，解得 . 显然，在中，令,得，在 中,令，得，由题意可得（在 轴上的交点的纵坐标），解得 . . . 31 2 三条直线相交的问题 例11 若直线与直线的交点在直线上，则 的值为__. 思路点拨用字母表示出交点坐标，再代入到第三条直线的方程中，列出关于 的 方程,然后求解. 【解析】由题易得（直线与 相交的前提是两直线不平行，故 ）,由得 , 将代入,得,解得 . . . 32 例12 [多选题](2026·河南省开封市期中)若三条直线 , ,不能构成三角形，则 的值为( ) ABD A. B.1 C.2 D.4 【解析】显然与不平行，当或时不能构成三角形，此时对应 的值分 别为, ; 当直线,, 经过同一点（切勿忽略三线共点的情况）时，也不能构成三角形. 由得代入的方程得,即 . 综上可知或或 . 名师点评 若已知三条直线可以构成三角形，即三条直线有三个不同的交点,则需满 足其中两条直线的交点不在第三条直线上且三条直线的斜率不同. . . 33 3 求过交点的直线问题 例13 已知直线经过直线和的交点 ，且垂直于直线 ，则直线 的方程为______________. 34 【解析】 由得即点的坐标为，因为直线 与 直线垂直，所以直线的斜率为1，由点斜式得直线 的方程为 ,即 . 由得即点的坐标为，因为直线 与直线 垂直， 所以可设直线的方程为 ， 把点的坐标代入得，解得 . 故直线的方程为 . 35 直线的方程可设为（其中 为常数）， 即 ， 因为直线与直线 垂直， 所以，解得 . 故直线的方程为 . 36 求过两直线交点的直线方程的方法 （1）方程组法：一般是先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件求出直 线方程. （2）直线系法：先设出过两直线交点的直线系方程，再结合条件利用待定系数法求 出参数，最后确定直线方程. 37 【学会了吗丨变式题】 1.[教材改编P72 T3](2026·江西省抚州市期中)过两直线 和 的交点和原点的直线方程为( ) D A. B. C. D. 【解析】 （直线系方程） 设过两直线和 的交点的直线系方程为 ，将原点坐标代入得 ，于是，故所求直线方程为 ，即 . 联立两直线方程可解得交点坐标为 ，所求直线经过原点，所以斜率 为，故所求直线方程为,即 . 38 4 直线过定点问题再回顾 上一节我们利用直接法和方程法求解直线过定点问题，本节我们用另外两种方法求 解直线过定点问题：特殊值法和直线系方程法. 例14 已知为直线的方程．求证：不论 取何实数，直 线 都过定点，并求出这个定点的坐标． 思路点拨 可用特殊值法,分别令 ,1，将得到的直线方程联立求得交点坐标， 代入验证即可；也可化成直线系方程的形式求解． 39 【解析】 对于方程，令,得 ； 令,得 . 解方程组得两直线的交点的坐标为 ． 将代入直线的方程的左边，得 . 这表明不论取何实数，直线都过定点 ． 整理直线的方程，得，不论取何实数，直线 的 方程均为直线系的形式，因此直线过定点．令 解 得 故不论取何实数，直线都过定点 ． 40 证明直线过定点的另外两种方法 （1）特殊值法：利用“不论参数取何值方程都有解”，给参数赋予两个特殊值，得到 直线系中的两条直线的方程，联立两方程解出的， 的值即所求定点的坐标，再代 入原方程验证即可. （2）直线系法：将直线方程整理为 的形式， 从而将直线过的定点转化为两直线与 的交点， 解方程组 求出交点坐标，即得所求的定点坐标. 41 【学会了吗丨变式题】 2.若不论取何值，直线 恒过定点，则这个定点的坐标为 ________. 【解析】直线的方程可化为，则直线过直线 与 的交点，解方程组得故定点的坐标为 ． 42 题型2 两点间距离公式的应用 1 两点间距离公式的逆向运用 例15 在已知直线上存在一点,使它到点的距离为5,求直线 的方程. 【解析】 点在直线 上， 可设点坐标为（想一想为什么这样设点 的坐标？）， , 即,解得或 ， 点的坐标为或， . 直线的方程为或,即 或 . . . 43 名师点评 在解决求已知直线上一点使其到某定点的距离为定值的问题时,应当注意: 设已知直线上的点的坐标时,不要设两个未知数,只要设横坐标为,纵坐标用 表示， 由两点间距离公式列出关于 的一元方程即可,避免列二元方程组的麻烦.已知距离求 点一般有两解,某些题目中只有一解. 44 【学会了吗丨变式题】 3.(2026·河南省南阳市方城县第一高级中学期中)已知， 是直线 上的两点，若，则 ____. 【解析】因为，在直线 上， 所以， . 根据两点间的距离公式，得 ， 解得 . 45 2 利用两点间距离公式判断三角形形状 例16 已知的三个顶点分别是,,,试判断 的形状. 【解析】因为 , ， , 所以,故 是直角三角形. 46 利用两点间距离公式判定三角形形状的方法 已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时，利用两点间的距离公式求三边长，从边 长间的关系入手，如果边长相等，则可能是等腰或等边三角形；如果满足勾股定理， 则是直角三角形. 47 题型3 点到直线的距离公式的应用 例17 [教材改编P77 T3]已知点到直线的距离为1，则 的值 为_____. 5或 【解析】将直线的方程化为一般式，得，所以 ,解得 或 ． 48 例18 求满足下列条件的直线方程： （1）垂直于直线，且点到该直线的距离是 ； 【解析】设与直线垂直的直线的方程为 （垂直直线系 方程），则由点到直线的距离公式知， 点到直线的距离 , ，即，得或 ， 故所求直线的方程为或 . . . 49 （2）在轴上的截距为1，且， 两点到该直线的距离相等. 【解析】 显然当直线 轴（注意讨论斜率不存在时的情况，解题时常易 因考虑不全致错）时符合要求， 此时的方程为 . 当的斜率存在时，设的斜率为，则的方程为，即 . 点，到的距离相等， . ， ， 的方程为 . 综上，的方程为或 . . . 50 点，到直线 的距离相等， 直线过线段的中点或与直线 平行. 当直线过线段的中点 时（切勿遗漏此种情况）， 直线在轴上的截距为1， 直线的方程为 ; 当直线与直线平行时， ， 直线的斜率也为1,又直线在 轴上的截距为1， 直线的方程为，即 . 综上，直线的方程为或 . . . 51 求点到直线的距离问题的一般方法 （1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一 般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线或，求点 到它们的距离 时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接利用或 求解. （3）已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方 程求解参数即可． 52 【学会了吗丨变式题】 4.直线过点且， 两点到该直线的距离相等，则直线的方程为 __________________． 或 【解析】 当直线斜率不存在时，直线方程为，, 两点到它的距离不 相等，不符合题意． 所以所求直线的斜率存在， 可设直线方程为，即 . 由，两点到该直线的距离相等，得,解得或 . 故所求直线方程为或 . 53 设所求直线为，由平面几何知识可知，直线与平行或过线段 的中点. 易求得，若，则直线的方程为,即.若 过的中点，又过点，所以直线的方程为 . 故所求直线方程为或 . 54 题型4两条平行直线间的距离公式的应用 例19 (2026·安徽省芜湖市期中)两条平行直线与 间 的距离为( ) C A. B. C. D. 【解析】直线即直线 （系数化统一）， 由题意知，.故两条平行直线与 间的距离为 . . . 55 例20（1）已知直线与两直线和 平行且距离相 等，求 的方程. 【解析】设所求直线的方程为（平行直线系方程）, ， 则由题意可得，解得 ， 故直线的方程为 . （与两直线， 平行且距离相等的直线为 ） . . 56 （2）已知直线过点，过点，如果，且与 之间的距离为5， 求， 的方程． 【解析】①当直线斜率存在时，设直线的斜率为，由斜截式得 的方程为 ，即；由点斜式可得的方程为 ，即 . 则直线与间的距离 ， ， ， 故的方程为，的方程为 . ②若，的斜率不存在，则的方程为，的方程为 ，它们之间的距离 为5，同样满足条件． 综上，满足条件的直线方程有两组，即 ， ;或， . 57 解决两条平行直线间的距离问题的方法 1.转化为点到直线的距离，体现了转化与化归的数学思想． 2.直接使用公式，其中， ，需 注意此时直线与的方程为一般式且， 的系数分别对应相同． 3.如果直线方程为, ，那么这两条直线间的距离 . 58 【学会了吗丨变式题】 5.已知直线经过点，且被两条平行直线和 截得的线段长为5，则直线 的方程为_____________. 或 【解析】 （代数法） ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为 ， 此时与直线，的交点分别为， ，截得的线段长 ，符合题意， ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，且设直线与直线 和 的交点分别为， ， 解方程组得 ， 解方程组得 ， 59 ， , 解得，故所求直线的方程为 ， 综上所述，所求直线的方程为或 ． （几何法） 直线和 的距离为 , ， 直线与直线的夹角为 . 直线的倾斜角为 ， 直线的倾斜角为 或 ， 又直线经过点， 直线的方程为或 ． 60 题型5 对称问题 1 点关于点对称 例21 已知不同的两点与关于点对称，则 ( ) C A. B.14 C. D.5 【解析】由题意知即解得故 . 61 解决点关于点对称问题的方法 点关于点对称是对称问题中最基本的问题,是解决其他对称问题的基础，一般用中点 坐标公式解决点关于点对称的问题. 设点关于点的对称点为,则有所以 即 点的坐标为.特别地,点关于坐标原点的对称点为 . 62 2 直线关于点对称 例22 求直线关于点对称的直线 的方程. 【解析】 在直线上任取两点,,则点 关于点的对称点为,点关于点的对称点为 , 由两点式方程，可得直线的方程为 . 63 由题意可得,直线 与已知直线平行（若两直线关于一点对称，则两直线平行）, 可设的方程为 , 点到直线的距离 , 由于点到两直线距离相等,所以,解得或 （舍去）, 所以直线的方程为 . . . 64 设直线上任一点为,则此点关于点 的对称点为 ,且点在直线 上, 所以 , 即 , 所以所求直线的方程为 . 65 解决直线关于点对称问题的方法 （1）转化法:在已知直线上取两点,根据点的中心对称的方法求出对称点,再由对称点 确定对称直线. （2）直线系法:先利用对称直线与原直线平行设出直线方程，再根据点到两直线距 离相等求出参数. （3）直接法：在所求直线上任取一点并设出坐标 ，求出它的对称点并代入已 知直线方程，整理即可. 特别地，直线关于原点对称的直线方程是 . 66 【学会了吗丨变式题】 6.(2026·浙江省宁波市三锋教研联盟期中)已知直线 与直线 关于点对称，则实数 ( ) C A.2 B.1 C. D. 【解析】因为不在直线 上，（当点在直线上时，直线 与 为同一直线） 且直线与直线关于点 对称，所以直线 与直线 平行， 则（斜率相等），解得 . 在直线上取一点 ， 关于点的对称点为 , 将代入直线，解得 .故选C. . . . . 67 3 点关于直线对称 例23 (2026·天津市第二十中学调研)已知直线,则点关于 的对称点 的坐标为________. 【解析】设点关于直线的对称点为 , 则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线 , 即解得 点的坐标为 . 68 解决点关于直线对称问题的方法 （1）已知,直线,求点关于直线的对称点 可以分 两步来求: 第一步,直线和垂直,故 ①; 第二步,线段的中点刚好在直线 上， 即满足直线方程 , 得到 ②; 第三步，联立①②式可以解出, . 69 （2）常见的点 的对称点： 对称轴 对称点 轴 轴 直线 直线 直线 直线 直线 （可画出草图，借助图形理解） 直线 . . . . 70 【学会了吗丨变式题】 7.(2026·江苏省南通市期中)在平面直角坐标系中，已知点 ，直线 ，且点在直线上， . （1）求直线 的方程； 【答案】因为，即 ， 所以直线的斜率为 . 设直线的斜率为，因为 ， 所以，所以 . 所以直线的方程为，即 . 71 （2）若点与点关于直线对称，求证：点在 轴上. 【答案】解方程组解得即 . 设，则（线段的中点为 ） 所以即，所以点在 轴上. 72 4 直线关于直线对称 （1）已知直线与对称轴平行 例24 已知直线，直线.若直线关于直线 的对称 直线为，求直线 的方程. 【解析】 因为，所以 ， 设直线的方程为 . 因为直线，关于直线对称，所以与间的距离等于与 间的距离. 由两平行直线间的距离公式,得，解得或 （舍去）. 所以直线的方程为 . 73 由题意知，设直线的方程为 . 在直线上取点，设点关于直线的对称点为 ， 于是有解得 即点的坐标为 . 把点的坐标代入的方程，得 ， 所以直线的方程为 . 74 （2）已知直线与对称轴相交 例25 求直线关于直线对称的直线 的方程. 【解析】解方程组得 所以直线与相交，且交点为 ， 故点也在直线 上. 在直线上取点 ， 设点关于直线的对称点为 ， 则解得 即点的坐标为 . 故由两点式得直线的方程为 . 75 解决直线关于直线对称问题的方法 （1）已知直线<m></m>,<m></m>,求直线<m></m>关于直线<m></m>的 对称直线的方程. 如果<m></m>,则设所求直线方程为<m></m>,然后在<m></m>上找一点<m></m>,求 出点<m></m>关于直线<m></m>的对称点<m></m>,再代入<m></m>即可解出<m></m>. 如果<m></m>不平行于<m></m>,则先找出<m></m>与<m></m>的交点<m></m>,然后在<m></m>上确定一点（不同于交点） ,找 出这一点关于<m></m>的对称点<m></m>,由直线的两点式方程确定所求直线方程.#1.2.2 76 （2）常见的直线 的对称直线：#1.3 对称轴 对称直线 轴 轴 直线 直线 直线 直线 77 【学会了吗丨变式题】 8.(2026·江苏省苏州实验中学期中)将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点 与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则 的值是( ) A A. B. C. D. 【解析】由与，可得线段的中点为，且直线的斜率 ， 因为折叠后点与点重合，所以折痕所在直线为线段 的垂直平分线，所以折痕所 在直线的斜率为 ， 则折痕所在直线的方程为，即 . 78 解方程组得 即折痕所在直线与轴的交点为 ， 而折叠后，轴与直线也正好重合，即轴与直线 关于直线 对称， 因为点在轴上，所以点，都在 上， 则解得 . 79 5 利用对称解决有关最值问题 例26 在平面直角坐标系中，点，分别是轴、 轴上两个动点，又有一定点 ，则 的最小值是( ) A A.10 B.11 C.12 D.13 80 图2.3-5 【解析】如图2.3-5，设点关于 轴的对称点为 ，关于轴的对称点为 ， 则， . 当与重合于坐标原点 时， 之和大于第三边） . 综上可知，当与重合于坐标原点时， 取得最小值，最小值为 10． ; 当与不重合时， （三角形两边 . . 81 例27 在直线上求两点, ，使得： （1）到与 的距离之差最大； 【解析】如图2.3-6,设点关于的对称点的坐标为，连接 ， 图2.3-6 82 提示 当直线的斜率为 时，求已知点关于其的对称点可利用第93页“解题通法”中的结论， 记住此结论可快速解客观题. 则，即 ， . 的中点，在直线 上， ，即 ②. 由①②得 点的坐标为 ． 83 于是所在直线的方程为 ， 即 . 易知,且当,,三点共线时 最大. 联立直线与的方程，解得 即与的交点坐标为， . 故点的坐标为， ． 84 （2）到与 的距离之和最小． 【解析】如图2.3-7,设点关于的对称点为，可求得的坐标为 ， 图2.3-7 所在直线的方程为 . 易知,且当,,三点共线时， 最小. 85 联立直线与的方程，解得 即与的交点坐标为， ． 故点的坐标为， . 求直线上一点到两定点的距离之差的最大值的方法 当两点，在直线的两侧时，可以在直线上找到一点，使得 最大. 图2.3-8 如图2.3-8， 作点关于直线的对称点，连接并延长，交于点 ，连接 ,则点就是所求点,此时 最大，且 . 若在直线上取不同于点的点（如图2.3-8），连接,, ， 则.在中， （三角形两边之差小于第三边）,即 . 87 图2.3-9 求直线上一点到两定点的距离之和的最小值的方法 当两点，在直线的同侧时，可以在直线上找到一点 ,使得 最小. 如图2.3-9,作点关于直线的对称点，连接交于点 ，连接 ,则点就是所求点,此时 最小，且 . 若在直线上取不同于点的点（如图2.3-9），连接,,, 则 . 在中， （三角形两边之和大于第三边），即 . 88 【学会了吗丨变式题】 9.(2026·安徽省合肥市第八中学月考)直线分别交轴和轴于点 ， ，为直线上一点，则 的最大值是____. 【解析】直线分别交轴和轴于点，，则， ，易得 点关于直线的对称点为 ，所以 ，当且仅当， ， 三点共线时，等号成立，故的最大值为 ． 89 10.(2026·江苏省宿迁市期中)已知点，在直线和 轴上各找一 点和，则 的周长的最小值为_____. 【解析】如图D 2.3-1，由点及直线,可求得点关于的对称点 ，同样 可求得点关于轴的对称点 ，故 图D 2.3-1 . 90 6 利用对称解决光线反射问题 图2.3-10 例28 (2026·山西省晋中市期中)如图2.3-10所示,已知点 , ,从点射出的光线经直线反射后再射到直线 上,最后经直线反射后又回到点 ，则光线所经过的路程是 ( ) A A. B.6 C. D. 91 图2.3-11 【解析】由题意知,所在直线的方程为 . 如图2.3-11,点关于直线的对称点为,关于 轴的对称 点为 ， 连接,,易知, ,所以 , 故光线所经过的路程为 . 图2.3-12 利用对称解决光线反射问题的方法 （1）根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线所在的 直线关于法线对称,即入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对 称的.利用点的对称关系可以求解. 如图2.3-12所示,点,分别为入射光线、反射光线上的点,点,关于 的对称点分别为 ,,则点在反射光线所在的直线上,点 在入射光线所在的直线上,于是可利用两点 式求得入射光线或反射光线所在的直线方程. （2）在解决这类问题时,要充分探索出题目的内涵及图形的几何特征,用光学的知识 去求解,往往使问题的求解变得非常简便. 93 【学会了吗丨变式题】 11.(2026·广东省佛山市七校月考)一束光线经过点，且在轴上的截距为 ， 然后被直线 反射，则反射光线所在直线的方程为( ) B A. B. C. D. 【解析】入射光线所在直线的方程为，即 ，由 解得即入射点的坐标为 ， 94 图D 2.3-2 如图D 2.3-2，设点关于直线 对称的点为 ， 则 （线段的中点在直线上，且直线 与直 线 垂直） 解得即 ， 因为反射光线所在直线经过入射点和点 ，所以反射光 线所在直线的斜率为 ， 所以反射光线所在直线的方程为，即 .故选B. 95 题型6 与距离有关的综合问题 1 与三角形、四边形有关的综合问题 例29 已知点，， . （1）求 的面积； 【解析】 设边上的高为，则就是点到 所在直线的距离. . 由两点式可得边所在直线的方程为，即 . 点到直线的距离 , 所以 .（无论用哪个底及对应的高，得出 的结果是一样的） 96 , , . （三角形面积公式的向量坐标形式） 97 （2）求 的平分线所在直线的方程. 【解析】 由（1）知，边所在直线方程为 , 边所在直线方程为 ， 即 , 设的平分线上任意一点的坐标为 , 则点到边, 的距离相等， 则 , 98 即 ， 整理得或 . 数形结合知，角平分线所在直线的斜率应为正， 故 满足题意. 99 ,,则直线，的方向向量分别为, , 设所求角平分线所在直线的斜率为（介于直线, 的斜率之间）， 其方向向量为 . 因为角平分线平分 ， 所以,, , 即 , ， . . 100 解得（舍）或 . 又角平分线所在直线过点 ， 所以角平分线所在直线方程为 , 即 . 101 102 关于角平分线的几个常用的几何特征 （1）角平分线上任意一点到角两边的距离相等； （2）角的两边所在直线关于角平分线所在直线对称； 图2.3-13 （3）角的一边所在直线上的点关于角平分线所在直线的对称点在 角的另一边所在直线上，特别地，如图2.3-13所示，在 中， 点关于的平分线的对称点在直线上，点关于 的 平分线的对称点在直线 上; 103 图2.3-14 （4）角平分线性质定理: 如图2.3-14，在中，的平分线交所在直线于点 ,则 . 104 【学会了吗丨变式题】 12.(2026·四川省绵阳中学测试)如图2.3-15，面积为8的平行四边形， 为原点， 点的坐标为，点， 在第一象限． 图2.3-15 105 （1）求直线 的方程； 【答案】因为四边形 是平行四边形， 所以，所以 ． 设直线的方程为，即 ． 因为平行四边形的面积为8， ， 所以与之间的距离为 . 易知直线的方程为 , 于是，解得 ． 由题图可知，，所以 ， 故直线的方程为 ． 106 （2）若，求点 的横坐标． 【答案】设点的坐标为 ． 因为，所以 ． 所以解得或 故点的横坐标为 或2. 107 2 解决有关最值问题 例30 的最小值为_____. 【解析】 （转化为两点间 的距离公式）， ， 图2.3-16 如图2.3-16,设点,,，要求 的最小值,即求 的最小值. 由于,当,, 三点共线时,等号成立,且 , 故的最小值为 . . . . . 108 名师点评 常见代数式的几何含义: 可以看作与 两点间距离的平方; 可以看作与 两点间距离的平方. 109 例31 (2026·广东省广州市期中)已知定点 和直线 ，则点到直线 的距离的最大值为( ) B A. B. C. D. 【解析】直线的方程可化为，所以直线 经过直线 和 的交点， 由得即交点坐标为 ， 所以直线恒过定点 . 故点到直线的距离，即点到直线 的距 离的最大值为 . 110 例32 (2026·北京市东直门中学期中)已知，，，，且满足 ， ，则 的最小值为___. 1 【解析】设， ， 则 . 依题意，，两点分别在直线与 上. 易知直线与平行，所以的最小值就是两平行直线间的距离 ， 又 ， 所以 的最小值为1. 111 解决与距离有关的最值问题的方法 根据题目条件求距离的最大值及最小值是解析几何的一个重要问题,解决此类问题主 要有两种方法. （1）代数法:把距离表示为某个变量的函数,转化为函数的最值问题，或把距离表示 为某种代数关系，运用基本不等式求解. （2）几何法:由几何图形指出哪种状态下有最大、最小值,进而研究这种状态得到的 最大、最小值是多少. 112 【学会了吗丨变式题】 13.新考法 数学文化(2026·福建省厦门市湖滨中学月考)著名数学家华罗庚曾说过： “数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问 题加以解决，如：可以转化为点到点 的距离.则 的最小值为( ) D A.3 B. C. D. 【解析】 ，令 ，，，则求的最小值转化为在 轴上，求 一点，使得取得最小值，关于轴的对称点为 ， ．故选D． 113 3 坐标法解决实际应用问题 例33 新考法 数学建模已知，两个城市在一条河同侧且分别距这条河 和 ，，两城市之间的距离为 .把这条河看作一条直线，今在这条河边上 建一座提水站，供，两城市用水，要使提水站到， 两城市 铺设的水管长度之和最小，则提水站应建在什么地方？ 图2.3-17 【解析】如图2.3-17，以河所在直线为轴，过点作垂直 轴于 点,以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则点 的坐标 为 ， 过点作于点 . 在中，， ， 由勾股定理，得 ， 114 所以点的坐标为 ． 点关于轴的对称点为，连接交轴于点，连接 ,则 . 易得直线的方程为 . 令，得，即点的坐标为 ． 故将提水站（点）建在距点处时，其到， 两城市铺设的水管长度之和最小． 115 建立平面直角坐标系的途径 ①若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立平面直角坐标系; ②若已知两定点,常以两点的中点（或一个定点）为原点,两定点所在的直线为 轴建 立平面直角坐标系; ③若已知一定点和一定直线，常以定点到定直线的垂线段的中点为原点,以定点到定 直线的垂线为轴（或 轴）建立平面直角坐标系; ④若已知两条互相垂直的直线,则常以它们为坐标轴建立平面直角坐标系. 116 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间：25分钟 1.(2026·河北省张家口市第二中学期中)已知点，直线，则点 到直线 的距离为( ) D A.1 B.2 C. D. 【解析】由点到直线的距离公式可得所求距离 ．故选D． 117 2.若直线与直线的交点位于第四象限，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 【解析】解方程组得 直线 与直 线的交点位于第四象限，解得 3.已知直线与直线关于直线对称，则 的方程为( ) A A. B. C. D. 【解析】在的方程中以代替，以代替，即得 的方程， 从而直线关于直线对称的直线 的方程是 ，即 ． 118 4.(2026·陕西省西安高新一中月考)直线关于点对称的直线 的方程 是( ) A A. B. C. D. 【解析】 直线，，在此直线上. 关于点 的对称点为，关于点的对称点为，， 所在直 线的斜率为， 直线关于点对称的直线 的方程为 ，即 .故选A． 119 5.已知，，，则 一定是( ) B A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.直角三角形 【解析】，， ， , , , ， 是等腰三角形，不是直角三角形，也不是等边三角形，故选B． 120 6.(2026·四川省内江市期中)经过直线与 的交点，且 垂直于直线 的直线的方程是_______________. 【解析】易求得直线与的交点坐标为 ，根据垂直关系可得所求直线的斜率为 ，故所求直线的方程为，即 . 7.已知的三边所在直线的方程分别是, , ,则 的平分线所在直线的方程为________________. 【解析】设是的平分线所在直线上任意一点,则点到， 的距离相 等，即,所以,即 或.又的平分线所在直线的斜率在和 之间,所以所求角平分线 所在直线的方程为 . 121 8.新考法 结构不良 已知：与坐标轴所围成的三角形面积为6;与 之间的距离 为;③点到的距离为 .在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中， 并解答． 问题：已知直线与直线平行，且____，求 的方程． 【答案】依题意可设直线的方程为 ， 选择①，令，得，令，得 ， 与坐标轴所围成的三角形的面积，解得 ， 的方程为或 ． 122 选择②，与之间的距离为 ， ，解得或 ， 的方程为或 ． 选择③， 点到的距离为 ， ，解得或 ， 的方程为或 ． 123 B 综合练丨高考模拟 建议时间：35分钟 9.(2026·北京市第二中学段考)已知三条直线， ， 将平面分为六个部分，则满足条件的 的值共有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 【解析】因为三条直线，， 将平面分 为六个部分，所以三条直线交于一点或两条平行线且与第三条直线相交.当三条直线 交于一点时，由解得将代入可得 ， 即；当两条平行线与第三条直线相交时，可得或，所以 或 ．故选C． 124 10.新情境 费马点 (2026·湖北省武汉市检测)费马点是平面上到一个三角形的三个顶 点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于 时，费马点与三个顶点连线正 好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为 ，根据 以上性质, 的最小值为( ) D A.2 B. C. D. 125 图D 2.3-1 【解析】由题可知，的最小值的几何意义为点 到点 ,,的距离之和的最小值，此时 是“费 马点”，所以 ,且点在 轴上，如图D 2.3-1. 故， , . 故的最小值为 .故选D. 126 图2.3-1 11.(2026·甘肃省武威第六中学月考)如图2.3-1所示，已知 点，，，， ，一束光 线从点出发，落到上的点，经反射后，再经 反射，落到线段上（不含端点），则直线 的斜率的 取值范围是( ) B A. B. C. D. 127 图D 2.3-2 【解析】如图D 2.3-2所示，从特殊位置考虑． 点 关 于直线的对称点为，连接,直线 的斜率.点关于直线 的对称点为 ，点关于直线 的对称点为 ，连接，此时直线 的斜率不存在， ，即 ． 128 12.新定义 距离坐 [多选题](2026·江苏省南京市期中)如图2.3-2，直线， 相交于点 ，点是平面内的任意一点，若，分别表示点到，的距离，则称为点 的“距离坐标”．下列说法正确的是( ) ABC 图2.3-2 A.距离坐标为的点有1个 B.距离坐标为 的点有2个 C.距离坐标为的点有4个 D.距离坐标为 的点在一条直线上 129 【解析】对于A选项，距离坐标为的点既在上也在上，所以该点是， 的 交点 ，只有一个，故A正确； 对于B选项，距离坐标为的点在上，且与 的距离为1，易知满足的点有两个， 故B正确； 对于C选项，距离坐标为的点与的距离为1，与的距离为2，与 的距离为1的 直线有两条，与 的距离为2的直线有两条，四条直线共四个交点，故C正确； 对于D选项，距离坐标为的点在与所成锐角的角平分线所在直线上，也在 与所成钝角的角平分线所在直线上，有两条直线满足，故D错误.故选 . 130 13.(2026·安徽省皖北七校期中)已知点，，为直线 上一点，则 的最小值是___. 5 图D 2.3-3 【解析】如图D 2.3-3，作点关于直线 的对称点 ，则 ， 故 ， 当且仅当，， 三点共线时取等号， 设，是线段 的垂直平分线， ， 131 的中点坐标为 , 的中点在直线上， ， 由解得 ， ， 的最小值为5. 132 14.(2026·福建省厦门市期中)在平面直角坐标系中，四边形 为等腰梯形， ，点， ． （1）求点 的坐标； 【答案】因为，所以 . 又，所以直线的方程为 . 设,由，得 ， 解得或 ． 当时，, ，不符合题意． 当时，，与不平行，符合题意，故点的坐标为 . 133 （2）求等腰梯形 的面积． 【答案】 , ,点到直线 的距离 , 故等腰梯形的面积 . 134 C 培优练丨能力提升 15.(2026·广东华侨中学期中)已知三条直线: , ,,且与之间的距离是 . （1）求 的值； 【答案】可化为 ， 与的距离 , .， . 135 （2）能否找到一点,使得 点同时满足下列三个条件: 是第一象限的点;点到的距离是点到的距离的;点到的距离与 点 到的距离之比是？若能,求出 点坐标;若不能,请说明理由. 【答案】能找到点 同时满足三个条件. 设点,若点满足条件②,则点在与,平行的直线 上,且 ,即或 . 或 . 136 若点 满足条件③,由点到直线的距离公式有 , 即 . 或 . 点在第一象限， 不合题意,舍去. 由解得 不合题意,舍去. 由解得 即点 同时满足三个条件. 137 $