2.2 直线的方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线的方程，系统梳理点斜式、两点式、一般式等方程及适用条件，通过知识解读、例题详解与分层练习，构建从基础概念到综合应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于采用基础、中档、拔高分层训练，结合思维导图与高考难度模式，以例题解析和对点练习发展学生逻辑推理与数学运算素养。教师可利用一体化教学资源提升效率，学生通过梯度训练深化知识理解与应用能力。

高二数学●2024人教A版选择性必修一 第二章 直线和圆的方程 2.2 直线的方程 本节掌握直线点斜式、两点式、一般式等方程及适用条件，能根据条件求直线方程并完成形式转化。体会坐标法，发展直观想象、逻辑推理与数学运算素养 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括126张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 图解课标要点 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 直线的点斜式方程 1 直线的点斜式方程的定义 图2.2-1 如图2.2-1，直线经过点，且斜率为.设是直线 上不同于点的任意一点，因为直线的斜率为 ，由斜率公式得 ，即 .（两个方程的几何意义不同,前者表 示不包含的直线，后者表示包含 在内的所有点的直 线） 方程（由点斜式方程能观察到，直线过定点 ，斜率为 ）由直线上一个定点及该直线的斜率 确定，我们把它叫做直线的点斜式方 程，简称点斜式. . . . . . . 4 2 两种特殊情况 倾斜角 图形特征 斜率 直线 的方程 ,即 ,即 无意义,即斜率不存在 ,即 特别提醒 1.构成直线的要素有两个：一点和一个方向，点斜式方程是这两个要素的 直接反映. 2.当倾斜角为 时，直线没有斜率，点斜式方程不存在. 5 3 直线的方程与方程的直线 （1）直线的方程：直线上每一个点的坐标 都满足关系式 ; （2）方程的直线：坐标满足关系式的每一个点都在直线 上. （满足（1）（2）后，直线与方程就一一对应了） 6 4 点斜式方程的特殊情形——斜截式方程 如果斜率为的直线过点，这时是直线与 轴的交点，代入直线的点 斜式方程，得，即 我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在 轴上的截距（截距不是 距离，可正可负，也可为0）. 这样，方程由直线的斜率与它在轴上的截距（, 的几何意义） 确定，我们把方程 叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. . . . . . . 7 知识剖析 （1）直线的斜截式方程其实是点斜式方程在 时的特殊情况.斜截式 方程应用的前提是直线的斜率存在（与 轴不垂直）. （2）当直线与轴正半轴相交时，截距；当直线与 轴负半轴相交时， 截距；当直线经过原点时，截距.但并非所有的直线都与 轴有交点，当 直线与轴平行时，在 轴上没有截距. （3）斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是 的形式，但有区别： 当时,为一次函数；当时， ，不是一次函数.故一次函数 一定可看成一条直线的斜截式方程. 8 学思用·典例详解 例1-1 ［教材改编P60例1](2026·北京市第二中学期中)经过点 ，且倾斜角为 的直线的点斜式方程为______________. 【解析】倾斜角为 的直线的斜率为，又该直线经过点 ，所以 用直线的点斜式求得直线的方程为 . 9 例1-2 [多选题](2026·福建省厦门市大同中学月考)在平面直角坐标系中，下列四个结 论中正确的是( ) CD A.每一条直线都有点斜式方程 B.方程与方程 可表示同一条直线 C.直线过点,倾斜角为 ，则其方程为 D.直线恒过点 【解析】直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，所以A错误. 点不在方程所表示的直线上,但是在方程 所表示的直 线上，所以B错误. C显然正确. 由直线的点斜式方程知，不论为何值，直线恒过点 ,故D正确. 10 例1-3 [教材改编P62 T3（1）]倾斜角为 且在轴上的截距为 的直线的方程为 ______________. 【解析】斜率为，则直线方程为 ． 11 【想一想丨问题质疑】 教材第61页【？】：截距是距离吗？ 提示 直线的截距分为横截距和纵截距，横截距是直线与 轴交点的横坐标，纵截 距是直线与 轴交点的纵坐标.因此截距可以取正数、零、负数，而距离只能为非负 数，所以截距不是距离. 例1-4 方程 表示的直线可能是( ) B A. B. C. D. 【解析】由方程可知，直线的斜率，在轴上的截距 ，显然， ，而选项A，D中，选项C中 ，故排除A，C，D，选B. 12 知识点2 直线的两点式方程 1 直线的两点式方程的定义 就是经过两点，（其中， ）的直 线的方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式.（对于两点式中的两点， 只要是直线上的两个不同点即可，两点式方程与这两个点的顺序无关） . . 13 知识剖析 1.当时，垂直于轴，直线方程为，当 时, 垂直于轴，直线方程为 . 与 ，显然后者 表示直线的范围比前者缩小了，但后者便于记忆和应用，所以采用后者作为公式. 3.把直线的两点式方程化为 ，则该方程 表示过平面内任意不同两点, 的直线. 14 2 两点式方程的特殊形式——截距式方程 特别提醒 （1）截距式方程应用的前提是截距存在且均不为0，即直线过原点或与坐 标轴平行时不能用截距式方程. （2）截距式方程中要求， 均不能为0，但事实上截距可以为0，因此在解决截 距相等问题时，要注意截距为零的情况.（此时不能设为截距式方程） . . 15 学思用·典例详解 例2-5 ［教材改编P64 T1]经过两点， 的直线的方程是_______________. 【解析】根据直线的两点式方程得，整理得 ． 例2-6 直线在 轴上的截距是( ) B A. B. C. D. 【解析】可化为 1（直线截距式方程的特点是等式的左边是两 式相加）,故直线在轴上的截距是 . . . . . 16 例2-7 (2026·天津市耀华中学检测)求过点，且在轴， 轴上的截距互为相反 数的直线的方程. 【解析】当直线经过原点时，设直线的方程为,由于该直线经过点 ，故 直线的方程为 ； 当直线不经过原点时，设直线的方程为，由于该直线经过点 ，故 ，解得，故直线的方程为 ． 故所求直线方程为或 . 总结 若直线的截距相等，则直线过原点或者斜率为 ；若直线的截距互为相反数， 则直线过原点或者斜率为1. 17 知识点3 直线的一般式方程 1 直线的一般式方程的定义 我们把关于，的二元一次方程（其中， 不同时为0 （也可写成 ））叫做直线的一般式方程，简称一般式. 知识剖析 一般式方程中的系数,, 取值情况与图形特征 图形特征 ,, 取值情况 平行于轴（只与 轴相交） ,, 平行于轴（只与 轴相交） ,, 与 轴重合 ,, 与 轴重合 ,, 与两坐标轴相交 , 直线过原点 , . . 18 2 直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化 一般式 斜截式 截距式 ,不同时为0 从以上表格中可以看出，若直线的一般式方程为 ，则 其斜率为，在轴上的截距为，在轴上的截距为 . 说明 解题时，若无特殊说明，应把求得的直线方程化为一般式.对一般式作如 下约定:按含项、含项、常数项的顺序排列，且的系数为正，, 的系数和常数项 一般不出现分数. 19 知识剖析 一般式方程系数的取值与图形的关系 ,, 取值 情况,,都不为0 , , , , , , , , 斜率、截距与0的关系 , , , , 图形 20 3 选用恰当形式求直线方程 （1）直线方程五种形式的比较： 方程 常数的几何意义 适用条件 点斜式 是直线上的一个定点, 是 斜率 直线不垂直于 轴 斜截式 是斜率,是直线在 轴上的截距 直线不垂直于 轴 两点式 , 是直线上的两个 定点 直线不垂直于 轴 和 轴 截距式 ,分别是直线在轴, 轴上的非 零截距 直线不垂直于 轴 和 轴,且不过原点 一般式 ,不同时为0 ,, 为系数 任何情况 21 （2）直线方程五种形式的互化： 22 学思用·典例详解 例3-8 [多选题](2026·江苏省常州市北郊高级中学调研)关于直线 ， 则下列结论正确的是( ) BD A.倾斜角为 B.斜率为 C.在轴上的截距为 D.在轴上的截距为 23 【解析】直线 ， 即 ， 所以直线的斜率为，倾斜角为 ，在轴上的截距为 ，故A错误，B正确，C 错误， 令，得，所以直线在轴上的截距为 ，故D正确． 故选 ． 24 例3-9 若直线不经过第一象限，则 的取值范围为_ _______. 【解析】根据题意，直线的方程为 ， 变形可得 ， 又直线 不经过第一象限， 则有 ， 解得 , 所以的取值范围为 . 25 例3-10 (2026·福建省福州市段考)已知直线过点且与轴、轴分别交于， 两点，若恰为线段的中点，求直线 的方程． 【解析】 由题意知直线的斜率存在且不为0，设为 . 因为直线过点 , 所以直线的方程为 . 令，得 ; 令，得 . 所以, . 26 因为为线段 的中点, 所以 所以 , 所以直线的方程为,即 . 27 由题意知直线的斜率存在且不过原点，设直线的方程为 （题中涉及与轴， 轴的交点，即截距，因此在截距非零的情况下，可选用截距 式），则， ， 由中点坐标公式得，，解得， ， 所以直线的方程为 ， 即 . . . 28 释疑惑 重难拓展 知识点4 利用直线方程判断两直线的位置关系 方程形式 条件 位置关系 斜截式 , 一般式 , 相交 或 垂直 29 平行 且 或或 （该形式更直观，易对比） 重合 且 或 续表 . . 30 学思用·典例详解 例4-11 若直线与直线平行，则 ____. 【解析】 , 解得 . 31 例4-12 若直线与互相垂直，则 的值为_______. 1或 【解析】 ， ， 即 ， 解得或 . 32 知识点5 常见的直线系方程 一条直线的确定需要两个独立条件.具有某个独立条件的所有直线的集合，称为 直线系，它的方程称为直线系方程. 1 平行直线系 （1）斜率为的直线系方程为为常数，为参数 . （2）与直线平行的直线系方程都能表示为 其中为参数，且，我们可以依据题设中另一个条件来确定 的值. （3）过点，且平行于直线 的直线方程为 . 33 2 垂直直线系 （1）与直线垂直的直线系方程为, 为参 数 . （2）与直线垂直的直线方程可表示为 ，再由 其他条件列方程求出 . （3）过点，且垂直于直线 的直线方程为 . 34 3 过定点的直线系 （1）斜率存在设为且过定点的直线系方程为 . （2）为避免对斜率是否存在进行讨论，过定点 的直线系方程还可设为 （链接教材P67 T11），为参数 . 特别提醒 ①已知直线的纵截距为，即直线过点时，常设其方程为 ， 其中 为参变量（不适用于斜率不存在的直线）. ②已知直线的横截距为，即直线过点时，常设其方程为 ，其 中 为参变量（不适用于斜率为0的直线）. . . 35 4 直线的平移变换 直线的平移规律：直线上下（或沿轴）平移 个 单位长度，得（上加下减）；直线左右（或沿 轴）平移 个单位长度，得 （左加右减）. . . . . 36 学思用·典例详解 例5-13 ［教材改编P67 T8（1） （1）求过点，且与直线 平行的直线的方程． 【解析】 直线的斜率为 ， 所以所求直线的方程为,即 . 设所求的直线方程为，把代入，得 ，解 得 ， 所以所求直线的方程为 ． 所求直线的方程为，即 . 37 （2）已知直线过点，且与直线垂直，求直线 的一般式方程. 【解析】直线与直线垂直，则可设直线方程为 ， 因为直线过点 ， 所以 ， 解得 ， 所以直线的一般式方程为 ． 38 例5-14 已知直线，将直线 向上平移2个单位长度，再向左平移4个单 位长度得到直线，则直线 的方程为___________. 【解析】根据直线的平移规律，可得直线的方程为 ， 即 . 39 知识点6 方向向量与直线的参数方程 图2.2-2 如图2.2-2，设直线经过点, 是它的一 个方向向量,是直线上的任意一点,则向量与 共线. 根据向量共线的充要条件,存在唯一的实数，使 ,即 ,所以（ 的几何意义是这条直线的方向向量）.在①中,实数是对应点 的参变数,简称参数. . . 40 由上可知,对于直线上的任意一点,存在唯一实数 使①成立;反之,对于参 数的每一个确定的值,由①可以确定直线上的一个点 .我们把①称为直线的参 数方程. 特别地，当直线的倾斜角为 ，则直线的一个方向向量为 , 于是直线的参数方程为为参数.由于 为单 位向量，所以的几何意义（只有在，即为单位向量时， 才等于 ）为向量 的模. . . 41 学思用·典例详解 例6-15 已知直线过点,且斜率为,点在直线上,若以的模 为参数, 求直线 的参数方程. 【解析】 直线的斜率为 , 直线的倾斜角 . , . 直线 的参数方程为 为参数 . 42 例6-16 直线为参数 的一般方程为_______________. 【解析】消去参数方程中的，可得一般方程为 . 43 知识点7 点与直线的位置关系 学思用·典例详解 教材深挖 该知识点是对教材P68T15的深挖 点与直线的位置关系只有三种情况：点在直线上、点在直线的上方或点在直线 的下方. 44 如何判断点和直线 的位置关系呢？ 几何法：通过画图观察点与直线 的位置来判断. 代数法：只需要将点的坐标代入直线方程中， （1）若成立，则点在直线 上； （2）若成立，则点在直线 上方； （3）若成立，则点在直线 下方. 注意 当直线斜率不存在，即直线方程为时，若点的横坐标 ，则点 在直线右侧（可理解为一种广义的“上方”）；若 ，则点在直线左侧 （广义的“下方”）. 45 学思用·典例详解 例7-17 [教材改编P68 T15]画图判断点，，，， 与直 线 的位置关系；观察有什么规律，并把这个规律表示出来. 图2.2-3 【解析】如图2.2-3所示，发现点 在直线上，点 的坐标使得 ； 点， 在直线上方，这些点的坐标使得 ； 点， 在直线下方，这些点的坐标使得 . 可得如下规律：直线上的点的坐标使得 ，直线上方的点的坐标使得 ，直线下方的点的坐标使得 46 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 直线的点斜式方程 1 点斜式方程 例18 已知直线绕着其上一点逆时针旋转 后得直线，则直线 的 点斜式方程为_________________. 47 【解析】 直线的斜率 ， 所以倾斜角为 . 由题意知，直线的倾斜角为 ， 所以直线的斜率 ， 又点在直线 上， 所以直线的点斜式方程为 ． 直线旋转 后得直线,所以直线与直线 垂直， 直线的斜率为 ， 则直线的斜率为 ， 所以直线的点斜式方程为 . 48 利用点斜式求直线方程的注意点 用点斜式求直线的方程，首先要确定直线的斜率和其上一个点的坐标.注意在斜率存 在的条件下，才能用点斜式方程表示直线. 49 【学会了吗丨变式题】 图2.2-4 1.(2026·山东省潍坊市期中)如图2.2-4，直线 的方程是( ) D A. B. C. D. 【解析】因为直线过点，所以设直线方程为 , 由图可知直线的倾斜角为 ，（注意，倾斜角为 轴正方向与 直线 向上方向所成的角） 即，所以 , 化简得 . . . 50 2 点斜式方程的特殊情形——斜截式方程 例19 根据条件写出下列直线的斜截式方程： （1）倾斜角为 ，与 轴的交点到坐标原点的距离为3; 【解析】因为直线的倾斜角为 ，所以斜率.因为直线与 轴的交 点到坐标原点的距离为3,所以直线在轴上的截距或 ，故所求直线的斜 截式方程为或 . 51 （2）在轴上的截距为，且与轴夹角为 . 【解析】与轴夹角为 的直线倾斜角为 或 ，（注意倾斜角有两个） 所以斜率为 或 ，即 ， 又直线在轴上的截距为 ， 故所求直线的斜截式方程为 . 思路点拨 结合截距、斜率的几何意义，明晰各题中直线的截距、斜率，从而写出 直线的斜截式方程. . . 52 例20 已知，，则直线 的位置可能是( ) B A. B. C. D. 53 【解析】因为直线方程为,且，，即 ， 所以,令,得 , 所以直线与轴的交点坐标为.只有选项B中的图形符合要求.（也可由， 的正 负，分析图形直接判断） 54 斜截式方程的特点及应用 1.若能求得直线的斜率，且直线在 轴上的截距已知，可选用直线的斜截式方程直接 求解直线方程. 2.根据，的正负分析斜率和截距的几何意义， 直线呈上升趋势， 直线呈下降趋势， 直线呈水平状态； 直线与 轴的交点 在轴上方， 直线与轴的交点在轴下方， 直线过原点. 55 【学会了吗丨变式题】 2.(2026·湖北省襄阳市第四中学测试)已知直线的方向向量为，且在 轴上的截 距为，则直线 的方程为( ) C A. B. C. D. 【解析】由直线的方向向量为得直线的斜率为，又在轴上的截距为 ， 所以直线的方程为，即 .故选C. 3.[多选题]直线不经过第一象限，则点 可能在( ) BD A.第二象限 B.第三象限 C.第四象限 D.坐标轴上 【解析】 直线不经过第一象限，，，或， ．则 点可能在第三象限或坐标轴上．故选 ． 56 题型2 直线的两点式方程 1 两点式方程 例21 [教材改编P63例4](2025·江西省丰城市第九中学段考)已知 的三个顶点分 别为，， ． （1）求边 所在直线的方程； 【解析】由直线的两点式方程得边所在直线的方程为,即 . （2）求边上的中线为中点 所在直线的方程． 【解析】由题意，得点的坐标为 ， 由直线的两点式方程，得所在直线的方程为,即 ． 57 已知两点求直线方程的方法（或思路） （1）已知直线上两点的坐标求直线方程时，若满足两点式方程的适用条件，可直接 将两点的坐标代入直线的两点式方程，化简即得; （2）代入点的坐标时注意横、纵坐标的对应关系，若点的坐标中含有参数，需注意 对参数的讨论； （3）在斜率存在的情况下，也可以选用斜率公式求出斜率，再用点斜式求方程． 58 2 两点式方程的特殊情形——截距式方程 母题 致经典·结构化试题 与截距有关的直线方程 当题设条件中涉及直线“在两坐标轴上截距相等”“截距的绝对值相等”“截距互为相反 数”“截距相差 ”“截距有倍数关系”“与两坐标轴所围成的三角形的周长（或面积）” 等时，我们常用直线方程的截距式求解．此时要考虑直线的截距是否为0. 59 例22 [教材改编P67 T7][多选题](2026·河南省南阳市第一中学月考)过点 且在 两坐标轴上截距相等的直线方程为( ) BC A. B. C. D. 【解析】 经过点 且在两坐标轴上截距相等的直线，若它过原点 （直线的截距可以为0，解题时切勿遗漏此情况），则它的斜率为2， 方程为,即 ． . . 60 图2.2-5 若它不经过原点，设它的方程为 ,（截距式方程的适用条 件：横、纵截距存在且不为0） 把点代入，求得 ， 此时，直线的方程为，即 ． 综上可得，过点 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 或 . . . 61 由题意知直线的斜率存在且，设直线方程为 ，令 ，得 , 令，得 . 由题意知 , 即,解得或 , 所求直线方程为或，即 或 . 由图2.2-5可知,截距相等的直线过原点或斜率为 （不过原点）,又直线过 ，则可得直线方程为或,即所求直线方程为 或 . 62 子题 情境转化 [多选题](2026·江西省上高二中月考)已知直线过点 ，且与两坐标轴正半轴围成 的三角形面积为9，则直线 的斜率为( ) AC A. B. C. D. 63 【解析】由题意，可设直线的方程为 .（与两坐标轴正半轴围成三角形，截 距存在且不为0，因此可直接运用截距式） 直线过点 ，且与两坐标轴正半轴围成的三角形面积为9， 解得或 直线的方程为 ， 直线的斜率为 ， 故直线的斜率为或 ． . . 名师点评 直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况（两个点是直线与坐标轴的交 点,记为, ，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较 为方便.一条直线与坐标轴围成的三角形的面积 . 65 求直线的截距式方程的方法（或思路） （1）由已知条件确定横、纵截距. （2）若两截距为零，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距不为零，则代入 公式 ，可得所求的直线方程． 注意：此类型的题目也可用点斜式方程求解，避免分类讨论. 66 【学会了吗丨变式题】 4.[多选题](2026·福建省莆田第四中学月考)若直线过点 且在两坐标轴上截距的 绝对值相等，则直线的方程可能为( ) ABC A. B. C. D. 67 【解析】 （从截距式入手） 当直线在两坐标轴的截距为0时，可设直线方程 为,因为直线过点，则，故直线方程为,即 ,故C正确. 当直线在两坐标轴的截距不为0时，可设直线方程为，又点 在直线上， 则 , 若,则，则直线的方程为 ，故B正确; 若，则，，则直线的方程为,故A正确.故选 ． 68 （从点斜式入手） 由题意知，直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为 , 令，得，令，得 ， 因为直线在两坐标轴上截距的绝对值相等， 所以，解得或或 ， 所以所求直线的方程为或或.故选 . 69 题型3 直线过定点问题 例23 已知直线.求证：不论为何值，直线 总经过第一象限. 【解析】 将直线的方程整理为 ， 的斜率为，且过定点， ， 图2.2-6 而点，在第一象限（如图2.2-6），故不论为何值， 恒过第一象 限. 70 直线的方程可化为 . 要使上式对任意的 总成立， 必有即 即过定点， . 以下同方法1. 名师点评 含有一个参数的直线方程一般是过定点的，这里对一般式灵活变形后发现 定点是解决问题的关键，在变形后特点还不明显的情况下，可采用方法2求解. 71 求直线过定点的方法 1.直接法：将已知的方程转化为点斜式、斜截式或截距式方程，进而得定点. 2.方程法：将已知方程整理成关于参数的方程，由于直线恒过定点，则关于参数的 方程恒成立，进而求出定点.如整理成，而该方程关于 恒成 立，则有 其解就是所有直线都恒过的定点的坐标. 说明：在学习完求直线的交点坐标后，我们可以任取直线系中的两条直线 （一般取特殊直线），它们的交点坐标即为所求定点的坐标. 72 【学会了吗丨变式题】 5.直线 过一定点，则该定点的坐标为______. 【解析】由得 ，令 解得故直线过定点 . 73 题型4 直线的一般式方程 例24（1）设直线的方程为，若直线 的斜率为 ，则___;若直线在轴、轴上的截距之和等于0，则 ___. 5 1 【解析】因为直线的斜率存在，所以直线的方程可化为 , 由题意得,解得 . 直线的方程可化为，由题意得，（分别令， ， 得到直线在轴、轴上的截距）解得 . . . 74 （2）设直线的方程为，若 不经过第二象限，则实 数 的取值范围是__________． 【解析】将直线的方程化为 ，则 解得 . 75 76 例25 若,,都大于0，则直线 的大致图形是下列选项中的( ) D A. B. C. D. 【解析】将直线方程化为，,, 都大于0， , . 直线 的大致图形是D. 77 1.直线的一般式方程中要求, 不同时为0. 2.由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线 的一般式方程（化为一般式方程后原方程的限制条件就消失了）；反过来，也可以 由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程.（注意斜截式、截距式方程的适用条 件） 3.解决与图形有关的问题时，常通过把直线的一般式方程化为斜截式，利用直线的 斜率和纵截距作出判断. 78 【学会了吗丨变式题】 6.(2026· 湖北省武汉市第六中学月考)设直线的方程为，则直线 的倾斜角 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 79 【解析】当时，直线方程为，直线垂直于轴，所以倾斜角 ； 当时，直线的斜率 ， 因为，所以 ， 结合正切函数的图象可知 . 综上所述，倾斜角 的取值范围是 ，故选C. 80 题型5 由直线的位置关系求方程或参数 1 求参数 例26（1）当为何值时，直线与直线 平行？ 【解析】 , , 当时，显然不平行于 . 当时，若,则需 ①. （用此法解题时，切勿忽略对含参数的分母是否为0的讨论） 由①式得,解得或 . 当或时， . . . 81 若，则需 ,（此方法可避免讨论） 解得或 . 当或时， . 当或时， . . . 82 （2）当为何值时，直线 与直线 垂直？ 【解析】 由题意得 . 当,即时，直线与直线 显然垂直. 当，即时，直线与直线 不垂直. 当且时，直线,的斜率,都存在，, . 83 当时， ， 即,解得 . 综上可知，当或时， . ,，解得 . 故当或时， . 84 根据直线的位置关系求参数的思路 利用两直线平行或垂直的充要条件构建关于变量的方程（组），通过解方程（组） 求值.由于两直线平行的充要条件较复杂，因此解题中可先利用其必要条件构建变量 的方程，求值后再加以检验. 85 【学会了吗丨变式题】 7.已知直线， ，则“ ”是“ ”的( ) C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 86 【解析】由题意得直线的斜率为，直线的斜率为 ， ，，即，解得或 ． 当时，直线的方程可化为，直线 的方程可化为 ，此时两直线重合，不符合题意，故舍去， 当时，直线的方程可化为，直线 的方程可化为 ，满足 ， “”是“ ”的充要条件． 87 8.(2026·江西省南康中学月考)已知直线 和 ，则“”是“直线与直线 垂直”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】由直线和 垂直，得 ，化简整理可得，，解得或 ，故 “”是“直线与直线 垂直”的充分不必要条件．故选A． 88 2 求方程 例27 已知直线的方程为，求直线的方程，使 满足： （1）过点，且与 平行； 【解析】 （点斜式）的方程可化为 ， 的斜率为 . 与平行，的斜率为 . 又过点， 由点斜式得直线的方程为 ，即 . 89 （直线系方程） 由与平行，可设的方程为 ， 将代入得 . 所求直线方程为 . 由与平行，且过点 ， 则的方程为 ， 即 . 90 （2）过点，且与 垂直； 【解析】 （点斜式）的方程可化为 ， 的斜率为 ， 由与垂直，得的斜率为 . 又过点， 由点斜式得直线的方程为 ，即 . 91 （直线系方程） 由与垂直，可设的方程为，将 代入得 . 所求直线方程为 . 由与垂直，且过 ， 则的方程为 ， 即 . 92 （3）与垂直，且 与两坐标轴围成的三角形面积为4. 【解析】 （点斜式）的方程可化为 ， 的斜率为 . , . 设在轴上的截距为 , 则直线的方程为 , 令,可得在轴上的截距为 , 由题意可知，围成的三角形面积, . 直线的方程为或 . 即或 . 93 （直线系方程） 由与垂直，可设直线的方程为 , 则在轴上的截距为,在轴上的截距为 , 由题意可知，围成的三角形面积,得 . 直线的方程为或 . 94 利用直线的位置关系求直线方程的方法 （1）利用直线的平行或垂直，确定待求直线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程， 但要注意直线斜率不存在的情况. （2）利用直线系方程设出待求直线的方程，依据条件求得参数的取值，即得所求直 线的方程. 95 【学会了吗丨变式题】 9.已知直线与直线平行，且直线在轴上的截距比在 轴上的截距大1， 则直线 的方程为( ) A A. B. C. D. 【解析】由题意得直线的斜率与直线的斜率相等，设直线 的方程为 ，根据直线在轴上的截距比在轴上的截距大1，可得 ， 解得，故直线的方程为，即 ． 96 10.(2026·山东省济南市月考)直线的一个方向向量为，直线过点且与 垂 直，则直线 的方程为( ) A A. B. C. D. 【解析】直线的一个方向向量为，直线过点且与 垂直，故所求的直线 的方程为，整理得 ． 97 题型6 直线方程的综合问题 1 直线方程的实际应用 例28 在路边安装路灯，路宽，灯杆长,且与灯柱成 角.路灯采用锥形 灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直.当灯柱高 约为多少米时，灯罩轴线正好与道路路面的 中线相交？,精确到 思路点拨 根据题意画出图形，建立适当的坐标系，结合已知条件求出灯罩轴线所 在的直线方程. 98 图2.2-7 【解析】记灯柱顶端为点，灯罩处为点，灯杆为 ，灯罩 轴线与道路路面的中线交于点.以灯柱底端 点为坐标原点， 灯柱所在直线为 轴，建立如图2.2-7所示的平面直角坐标 系， 则点的坐标为，点的坐标为 . 因为 ，所以直线 的倾斜角为 ，则点 的坐标为 ，即 . 99 因为 ， 所以 . 由直线的点斜式，得直线的方程是 . 因为灯罩轴线过点 , 所以 ， 解得 . 故灯柱高约为 . 100 2 与最值有关的问题 图2.2-8 例29 某小区内有一块荒地 ，今欲在该荒地上划出一块长方形 地面（不改变方位）进行开发（如图2.2-8所示）．问如何设计才能使 开发的面积最大？最大开发面积是多少？（已知 ， ，， ） 图2.2-9 【解析】以所在直线为轴，所在直线为 轴建立 平面直角坐标系（如图2.2-9），由已知可知， ， 所在直线的方程为,即 . 由图2.2-9可知，欲使开发的长方形地面面积最大，则长方形的一个顶 点必在线段上，从而可设该顶点为，其中 ， 101 所开发部分的面积为 ， 当时， 取得最大值，最大值为 ，此时 ． 因此当点距所在直线，距所在直线 时所开发的面积最大，最大面积 为 . 102 解决有关最值问题，首先要选好自变量，然后建立关于这个自变量的函数表达式， 最后利用求函数最值的方法求解;或者利用基本不等式求解. 103 【学会了吗丨变式题】 11.是直线上的第一象限内的一点，为定点，直线交 轴正半轴 于点，求使面积最小的点 的坐标. 【答案】如图D 2.2-1，设点的坐标为 . 图D 2.2-1 104 （1）当直线不垂直于 轴时， 由两点式得直线的方程为，且 . 令，得.因为点在轴的正半轴上，所以，即 . 所以 的面积 ， 当且仅当时等号成立，此时点的坐标为 . （2）当直线与轴垂直时，点的坐标为 ，此时 . 综上所述，的面积的最小值为，此时点的坐标为 . 105 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间：20分钟 1.(2026·陕西省西安市期中)如果直线 与直线 平行，那么 等于( ) A A. B. C.1 D.2 【解析】 由题意得，解得.经检验 符合题意. 直线与直线 平行， 解得 ． 106 2.直线的斜率为，在轴上的截距为 ，则( ) C A.， B.， C.， D.， 【解析】将直线的方程化为斜截式为，所以 ， . 3.(2026·河南省周口市月考)已知直线的一个方向向量为，且经过点 ， 则直线 的方程为( ) D A. B. C. D. 【解析】直线的一个方向向量为，则直线的斜率为，直线过点 ， 则，即 ． 107 4.(2026·甘肃省兰州市期中)方程和 表示的直线可能是( ) D A. B. C. D. 【解析】若直线经过第一、二、三象限，则， ，从而直线 也要经过第一、二、三象限，所以A， 选项错误； 若直线经过第二、三、四象限，则，，从而直线 也 要经过第二、三、四象限，所以C选项错误； 若直线经过第一、三、四象限，则，，从而直线 要 经过第一、二、四象限，所以D选项正确． 108 5.[多选题](2026·河南省信阳高级中学月考)下列说法正确的是( ) BD A.截距相等的直线都可以用方程 表示 B.方程能表示平行于 轴的直线 C.经过点,倾斜角为 的直线方程为 D.经过两点, 的直线方程为 109 【解析】对于A，若直线过原点，横纵截距都为零，则不能用方程 表示， 所以A不正确. 对于B，当时，，表示平行于 轴的直线，所以B正确. 对于C，若直线的倾斜角为 ，则该直线的斜率不存在，不能用 表示，所以C不正确. 对于D，由两点式方程易知经过两点, 的直线方程为 ，所以D正确. 110 6.[多选题](2026·天津市武清区月考)下列说法正确的是( ) ABD A.直线必过定点 B.直线在轴上的截距为 C.直线的倾斜角为 D.过点且垂直于直线的直线的方程为 111 【解析】对于A，可化为 ,则直线 必过定点 ,故A正确. 对于B，令，则，即直线在轴上的截距为 ,故B正确. 对于C，可化为，则该直线的斜率为 ，即倾斜角 为 ，故C错误. 对于D，设垂直于直线的直线的斜率为,因为直线 的斜 率为,所以，解得，则过点且垂直于直线 的直 线的方程为,即 ,故D正确. 112 7.设直线的方程为 . （1）若直线在轴上的截距为，则 _ ___; 【解析】由直线在轴上的截距为，得直线过点 ,代入方程得 ，即 ， 解得或，经检验可知当时，直线方程为 ，不合题意，舍去， 所以 . （2）若直线的斜率为1，则 ____. 【解析】由直线的斜率为1，得直线方程中, 的系数互为相反数，且不为0，所以 ，解得或,当 时， ，不合题意，舍去,所以 . 113 8.(2026·四川省达州外国语学校期中)已知顶点,, . （1）求边所在的直线 的方程； 【答案】 （点斜式） 由，，可得直线 的斜率为 ， 所以边所在的直线的方程为 ， 即 . （两点式） 由，，可得直线 的两点式方程为 ，整理得直线的方程为 . 114 （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线 的方程. 【答案】当直线过坐标原点时，由过点，得斜率为2，则直线 方程为 , 此时，直线 的纵截距和横截距均为零（【易错点】不要忽略截距为零的情况）， 符合题意. 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为 ， 由过点，得，解得，所以直线方程为 ，即 . 综上所述，直线的方程为或 . . . 115 B 综合练丨高考模拟 建议时间：30分钟 9.数学文化 欧拉线 (2026·天津市耀华中学月考)数学家欧拉在1765年提出定理：三 角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心 距离的一半．这条直线被称为三角形的欧拉线．已知的顶点， ， 且，则 的欧拉线的方程为( ) B A. B. C. D. 【解析】因为，，可得线段的中点为，直线的斜率为 ， 所以线段的垂直平分线方程为，即为 .由于等腰 三角形中，边 上的垂直平分线，也为高线和中线，所以欧拉线方程为 ，故选B． 116 10.(2026·河北省唐山市第二中学月考)经过点 的直线在两坐标轴上的截距都是 正值，若使截距之和最小，则该直线的方程为( ) B A. B. C. D. 【解析】设直线的方程为，因为直线过点 ，所以 .则截距之和 ，当且 仅当，即时取得最小值，所以，解得，则 ，所以 直线的方程为，即 . 117 11.(2026·四川省成都市玉林中学期中)已知点， .若直线 与线段相交，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 118 图D 2.2-1 【解析】 直线，即，由直线的点斜式方程可得直线 过定点，直线的斜率为 ， 又， ， 要使直线与线段 有公共点，由图D 2.2-1 可知，即的取值范围是 .故选A. 119 12.[多选题](2026·河北省衡水中学期中)记直线 ， ，则( ) ACD A.过定点 B. 的倾斜角为钝角 C.若，则 D.若，则 120 【解析】对于选项A，整理直线方程得，则 解 得即过定点 ，故A正确； 对于选项B，整理直线方程得，当，即时， 的倾斜角 为直角，故B错误； 对于选项C，代入，可得直线，，显然 ， 故C正确； 对于选项D，若，则，解得 ， 故D正确.故选 . 121 13.(2026·福建省厦门外国语学校周测)已知直线 和直线 都过点，则过点和点 的直线方程为 ________________. 【解析】因为两条直线都过，所以， ，所 以点和点都在直线 上，而经过两点的直线只有一 条，所以所求直线的方程为 ． 122 14.(2026·江苏省南京市第一中学月考)已知直线 . （1）证明：直线 过定点； 【答案】直线的方程可化为 ，（根据直线的点斜式方程判断定点） 可知无论取何值，直线总过定点 . （2）若直线不经过第四象限，求 的取值范围； 【答案】由题意，直线，即 ， 因为直线不经过第四象限，所以, ，（斜率和截距均不小于0） 解得，所以的取值范围为 . 123 （3）若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点， 为坐标原点，设 的面积为，求的最小值及此时直线 的方程. 【答案】由题意知 . 当时，，即点 ， 当时，，即点 ， 所以， ， 所以的面积 ， 因为，所以 ， 当且仅当，即 时等号成立， 所以，此时，直线 . 124 C 培优练丨能力提升 15.新考法 新定义题 [多选题]平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点 为整点，则下列命题是真命题的为( ) AD A.存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 B.如果与都是无理数，那么直线 不经过任何整点 C.如果与都是有理数，那么直线 必经过无穷多个整点 D.存在恰经过一个整点的直线 125 【解析】对于A，如直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点， 是真 命题. 对于B，如直线，过整点， 是假命题. 对于C，如直线，不过任何整点， 是假命题. 对于D，如直线，过唯一的整点， 是真命题. 126 $