2.4.1 圆的标准方程 （教学课件） 数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆的标准方程，通过城市规划（三棵古树定圆）和航海安全（台风影响区判断）情境导入，回顾直线方程几何要素，引出圆的圆心和半径，构建从直线到圆的知识支架。 其亮点在于以现实问题培养数学眼光，如古树保护问题引导发现空间形式，推导方程过程发展数学思维，题型训练强化数学语言表达。小结结构化知识点，助力学生系统掌握，教师教学有清晰路径和丰富例题。

第二章 直线与圆的方程 2.4.1 圆的标准方程 ·选择性必修第一册· 学习目标 探索并掌握圆的标准方程. （重点） 会根据不同的已知条件求圆的标准方程. （难点） 能圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标. 能准确判断点与圆的位置关系.（重点） 加深对数形结合思想的理解和加强待定系数法的运用．（难点） 目录 CATALOG 01.圆的标准方程 03.应用新知 02.点与圆的位置关系 04.题型强化训练 05.真题感知 06.小结及随堂练习 2.4.1 圆的标准方程 01 圆的标准方程 导入新知1：城市规划——古树保护与圆形广场设计 某公园计划修建一座圆形广场，场地内保留有三棵古树 A(5,1)、B(7,−3)、C(2,−8)（单位：米）。设计要求广场边缘恰好经过这三棵古树，即古树在圆周上。附近有一座雕塑 D(6,0)。 问题1：你能帮助设计师确定这个圆形广场的圆心位置和半径大小吗？ 问题2：动工前需要确定雕塑是否位于广场区域内。如果雕塑在圆内或圆上，就需要提前移走；如果在圆外则可保留。请你帮忙判断雕塑 D 是否在规划圆内，并说明理由。 导入新知2：航海安全——轮船能否避开台风 一艘轮船在沿直线返港途中，接到气象台警报：台风中心位于轮船正西 70 km处，受台风影响的圆形区域半径为 30 km。港口恰好位于台风中心正北 40 km处。 情境引入：船长需要立即判断——如果轮船不改变航线，是否会进入台风危险区？ 问题1：以台风中心为原点建立平面直角坐标系，请写出轮船当前位置、港口位置以及台风影响区域的边界方程。 问题2：如何判断轮船的航线（一条直线）是否会与台风区域（一个圆）发生交集？ 探究新知 回顾 思考：如果我们要确定一个圆又需要哪些几何要素呢？ 前面我们学习直线方程时，确定一条直线的几何要素是什么？ 两个点 或者 一个点和直线方向（倾斜角） 提示 回顾初中对“圆”的定义可以找到答案 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合． 确定一个圆的几何要素：圆心和半径 探究新知 尝试 要求： 思考 能否将以上过程进行一般化处理？如：令圆心，半径为 探究新知 一般化 要求： 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由圆心（或半径）求圆的方程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由圆心（或半径）求圆的方程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由圆心（或半径）求圆的方程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由圆心（或半径）求圆的方程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由圆心（或半径）求圆的方程 02 点与圆的位置关系 2.4.1 圆的标准方程 探究新知 思考：是否在圆上的点都满足这个方程？ 思考：满足这个方程的坐标的点是否都在圆上？ 探究新知 定义 特别的：1.圆心在坐标原点，半径为 r 的圆的标准方程： 以点为圆心，以为半径的圆的标准方程为： 特别的：2.圆心在坐标原点，半径为1的圆的标准方程： 单位圆 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求过已知三点的圆的标准方程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求过已知三点的圆的标准方程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求过已知三点的圆的标准方程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求过已知三点的圆的标准方程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由标准方程确定圆心和半径 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由标准方程确定圆心和半径 03 应用新知 2.4.1 圆的标准方程 应用新知 例 1： 分析 根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上． 解析 应用新知 例 1： 分析 根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上． 解析 点与圆的位置关系如右图所示: 应用新知 总结 第 1 步 准备圆心坐标(a,b)和半径 r 第 2 步 将圆心坐标a,b和半径 r 的值代入圆的标准方程即可 1.已知圆的圆心坐标和半径写圆的标准方程： 注意：左边是平方和的样子，不需要去括号，右边半径的平方要计算出结果 2.如何判断点是否在圆上？ 将点的坐标代入圆的标准方程，满足方程则在圆上，反之，不在圆上 探究新知 点与圆的关系如图所示，将点代入方程等号左边，与等号右边比较大小，得出什么结论？ 点A在圆内 点B在圆外 点C在圆上 探究 点A: 点B: 点C: 结论 将点的坐标代入圆的方程等号左边： 左边右边点在圆内；左边右边点在圆外；左边右边点在圆上 探究新知 一般化 推广 探究新知 总结 04 题型强化训练 2.4.1 圆的标准方程 应用新知 解析 题型一 求圆的标准方程 例题 应用新知 题型一 求圆的标准方程 例题 解析 应用新知 题型一 求圆的标准方程 例题 解析 待定系数法 应用新知 题型一 求圆的标准方程 例题 解析 应用新知 题型一 求圆的标准方程 例题 解析 几何法 重要题型专练 题型二 根据点与圆的位置关系求参数（值）范围 例题 解析 总结：点在圆上等价于点的坐标满足圆的方程，将点的坐标代入圆的标准 方程，解方程即可得解. 重要题型专练 题型二 根据点与圆的位置关系求参数（值）范围 例题 总结：1.利用点在圆内（圆外）的条件建立不等式，解不等式即可得解. 2.注意分母≠0、偶次方的被开方数≥0、对数的真数＞0. 解析 重要题型专练 题型三 与圆有关的最值问题 之 圆上的动点到定点的距离最值问题 例题 解析 重要题型专练 题型三 与圆有关的最值问题之圆上的动点到定直线的距离最值问题 例题 解析 重要题型专练 总结 1.圆上的动点到定点的距离最值问题： ①求距离：利用圆心和定点的坐标，求两定点之间的距离 d ②求最值：圆上的动点到定点的距离的最大值为 d+r 圆上的动点到定点的距离的最小值为 d−r 2.圆上的动点到定直线的距离最值问题： ①求距离：用点到直线距离公式求圆心到定直线的距离 d ②求最值：圆上的动点到定直线的距离的最大值为 d+r 圆上的动点到定直线的距离的最小值为 d−r 05 真题感知 2.4.1 圆的标准方程 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 06 小结及随堂练习 2.4.1 圆的标准方程 课堂小结 作业 作业1：完成教材：第85页 练习1,2,3,4. 作业2：配套辅导资料对应的《圆的标准方程》.  2.4.1 圆的标准方程 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第一册· 1.（25-26高三·全国·一轮复习）已知 ，则以线段 为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【详解】圆的圆心是，半径是． 故圆的方程为． 2.（25-26高二下·河南·阶段检测）过点 的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】圆的面积最小时线段为直径，圆心为线段的中点，坐标为，半径为， 故所求的圆的标准方程为． 3.（25-26高二下·河南·阶段检测）过点 的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】圆的面积最小时线段为直径，圆心为线段的中点， 坐标为，半径为， 故所求的圆的标准方程为． 4.（25-26高二上·河北唐山·期末）已知圆 经过 、 两点，圆心在直线 上，则圆 的方程为（　　） A． B． C． D． 【详解】根据题意设圆心，因为圆经过、两点，则，所以，解得， 故圆心为，圆的半径为， 故圆的方程为. 故选：C. 5.（25-26高二上·甘肃武威·期末）以 为直径的两个端点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】易知该圆圆心为的中点， ，故半径， 所以该圆的方程为. 故选：D. 6.（2026·贵州遵义·模拟预测）已知圆 经过点 ，则圆 的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】设圆的标准方程为，因为圆经过点，所以，即， 化简得,解得，代入方程得,则圆的标准方程为. 故选：A. 【详解】以为原点，建立平面直角坐标系， 如图：设该圆弧所在圆为圆． 将的坐标代入圆的方程，得， 解得，∴圆． 当时，得或． 由图可知，支柱的高度为7． 故选：C． 7.（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊．如今人行道两侧进行了加宽，建成了“彩虹桥”（图1），非常漂亮．桥上一圆拱形的结构跨度 ，拱高 ．在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑， ， 为其中的两根支柱(图2)，且 ，则支柱 的高度为（    ） A．7.5 B．8.5 C．7 D．8 8.（25-26高二上·广西来宾·期中）圆心在 轴上，且经过点 的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】设该圆的标准方程为， 将代入方程，可得，解得， 得到圆的标准方程为，故C正确. 故选：C 9.（25-26高二上·浙江杭州·期中）若直线 是圆 的一条对称轴，则 （   ） A．1 B． C． D． 【详解】由题意可知圆的圆心为， 因为圆的对称轴必过圆心， 所以，解得. 故选：B 10.（25-26高一下·全国·课后作业）已知圆的方程为 ，则圆的圆心 、半径 分别为（   ） A． ，2 B． ，4 C． ，2 D． ，4 【详解】因为圆的方程为， 所以圆心的坐标为，半径. 故选：A （1）若点 在圆 上，则实数a等于_____. 因为点 在圆 上， 所以 ，解方程得： （2） 已知点 在圆 的内部， 则a的取值范围是　 　.  由题意可知 解不等式组解得 .所以，a的取值范围是 . （1）若P(x，y)为圆C(x＋1)2＋(y-1)2＝eq \f(1,4)上任意一点，请求出 P(x，y)到原点的距离的最大值和最小值． P B A C O 如右图，由题意可得，求 的最大值和最小值 由两点之间距离公式可得： 圆心与原点（定点）确定的直线与圆相较于与A、B两点， 易知，当动点P运动到A点时， 取最小值： 当动点P运动到B点时， 取最大值： （2）若P(x，y)是圆C(x－3)2＋y2＝4上任意一点，请求出P (x，y) 到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值． P(x，y)是圆C上的任意一点， 而圆C的半径为2，圆心C(3,0)， 圆心C到直线x－y＋1＝0的距离d＝eq \f(|3－0＋1|,\r(12＋－12))＝2eq \r(2)， 过圆心做直线的垂线交圆于点A、B，易知： 动点P运动到A点时， 取最小值为 动点P运动到B点时， 取最大值为 1.（2026·河南开封·三模）若实数x，y满足，则的最大值为（   ） A．3 B．5 C．2 D． 因为，所以，令，，， 其中，所以的最大值为故选：C. 2.（25-26高二上·广东广州·期末）已知实数x，y满足，则的最大值为（   ） A．1 B．11 C．21 D．31 因为，则设， 则， 其中，则， 当时，取最大值为.故选：C. 3.（25-26高三上·重庆·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 已知圆的圆心为，半径为， 设圆心关于直线的对称点为， 则，解得，又对称圆的半径不变， 所以圆的方程为，故选：B. 4．（25-26高三上·贵州·阶段检测）“”是“圆：的直径为4”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 时，圆：，直径为4，充分性成立； 当圆：的直径为4时，则的半径为2，则，则，必要性不成立，所以“”是“圆：的直径为4”的充分不必要条件．故选：A $