3.2.1双曲线及其标准方程导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“双曲线及其标准方程”，引导学生掌握双曲线定义、几何图形及标准方程。通过拉链实验导入，联系椭圆定义形成对比，搭建从旧知到新知的学习支架。 以实验探究激发数学眼光，例题变式结合冷却塔等实际问题培养数学思维，习题分层设计覆盖定义应用、方程求解及焦点三角形，助力学生深化理解，提升用数学语言表达现实问题的能力。

第三章　圆锥曲线的方程 3.2双曲线 3.2.1双曲线及其标准方程 学习目标了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 问题 做下面一个实验：取一条拉链，拉开一部分；在拉开的两边各选择一点，分别固定在两点，；把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线。这条曲线是什么样的曲线？ 一、双曲线的定义 知识梳理 （1） 平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的 等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距. （2） 其数学表达式：集合 ，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0： ①若 ，则集合P为双曲线； ②若a＝c，则集合P为 ； ③若 ，则集合P为空集. 【例1】在一个平面上，设、是两个定点，P是一个动点，且满足P到的距离与P到的距离差为，即，则动点P的轨迹是（ ）． A．一条线段 B．一条射线 C．一个椭圆 D．双曲线的一支 【变式1-1】已知动点满足，则动点的轨迹是（ ） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的左支 D．双曲线的右支 2、 双曲线的标准方程 知识梳理 焦点位置 焦点在轴 焦点在轴 图形 标准方程 焦点坐标 、 、 的关系 【例2】如图，双曲线型冷却塔外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m．试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）． 【变式2-1】求适合下列条件的双曲线的标准方程． （1）焦点在轴上，，经过点； （2）经过、两点． 【例3】设，分别是双曲线的左、右焦点，若点在双曲线上，且，则（ ） A．5 B．1 C．3 D．1或5 【例4】已知定圆，定圆，动圆圆与定圆都内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（ ） A． B． C． D． 【例5】已知曲线C的方程为，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是（ ）． A． B． C． D．或5 【变式5-1】（多选）方程表示曲线，给出以下命题是真命题的有（ ） A．曲线可能为圆 B．若曲线为双曲线，则或 C．若曲线为椭圆，则 D．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 3、 双曲线的焦点三角形 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积。 （2）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积 【例6】已知为双曲线的左焦点，为双曲线同一支上的两点．若，点在线段上，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】双曲线的两焦点为、，点P在双曲线上，直线、倾斜角之差为，则面积为（ ） A． B． C．32 D．42 巩固加练 1.已知双曲线的左､右焦点分别是，，点P在双曲线C上，且，则（ ） A．13 B．16 C．1或13 D．3或16 2.经过点和的双曲线的标准方程是（ ） A． B． C． D． 3.已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 4.若方程表示双曲线，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5.设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ） A．24 B． C． D．30 6.与圆及圆都外切的圆P的圆心在（ ） A．一个椭圆上 B．一个圆上 C．一条射线上 D．双曲线的一支上 7.如图，双曲线C：的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则的值是（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 8.已知双曲线的方程为，如图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线的右支上，则的最小值为_______． 9.已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章　圆锥曲线的方程 3.2双曲线 3.2.1双曲线及其标准方程 学习目标了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 问题 做下面一个实验：取一条拉链，拉开一部分；在拉开的两边各选择一点，分别固定在两点，；把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线。这条曲线是什么样的曲线？ 参考答案 画出的曲线是双曲线的一支；更换拉链固定点后，可画出另一支，合起来就是完整双曲线。 一、双曲线的定义 知识梳理 （1） 平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距. （2） 其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0： ①若a<c，则集合P为双曲线； ②若a＝c，则集合P为两条射线； ③若a>c，则集合P为空集. 【例1】在一个平面上，设、是两个定点，P是一个动点，且满足P到的距离与P到的距离差为，即，则动点P的轨迹是（ ）． A．一条线段 B．一条射线 C．一个椭圆 D．双曲线的一支 【答案】B 【解析】依题意，、是两个定点，P是一个动点，且满足， 所以动点P的轨迹是一条射线. 如图所示，在线段的延长线上. 故选：B 【变式1-1】已知动点满足，则动点的轨迹是（ ） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的左支 D．双曲线的右支 【答案】D 【解析】表示： 动点到两定点，的距离之差等于2， 而，由双曲线的定义，知动点的轨迹是双曲线的右支．故选：D 2、 双曲线的标准方程 知识梳理 焦点位置 焦点在轴 焦点在轴 图形 标准方程 焦点坐标 、 、 的关系 【例2】如图，双曲线型冷却塔外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m．试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）． 【答案】 【解析】根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图所示的直角坐标系，使小圆的直径在x轴上，圆心与原点重合．这时，上、下口的直径，都平行于x轴，且，． 设双曲线的方程为，点C的坐标为，则点B的坐标为． 因为直径是实轴，所以．又B，C两点都在双曲线上，所以 由方程②，得（负值舍去）．代入方程①，得 ． 化简得． ③ 解方程③，得（负值舍去）． 因此所求双曲线的方程为． 【变式2-1】求适合下列条件的双曲线的标准方程． （1）焦点在轴上，，经过点； （2）经过、两点． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）因为，且双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为，将点的坐标代入双曲线的方程得，解得， 因此，双曲线的标准方程为； （2）设双曲线的方程为，将点、的坐标代入双曲线方程可得，解得，因此，双曲线的标准方程为. 【例3】设，分别是双曲线的左、右焦点，若点在双曲线上，且，则（ ） A．5 B．1 C．3 D．1或5 【答案】A 【解析】依题意得，，，因此，由于，故知点只可以在双曲线的左支上，因此，即，所以，故选:A 【例4】已知定圆，定圆，动圆圆与定圆都内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，设动圆的圆心为，半径为r，圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为5. 而圆与定圆都内切，所以，，则. 于是，动圆的圆心的轨迹为以，为焦点的双曲线的右支，则，故动圆的圆心的轨迹方程为.故选：A. 【变式4-1】设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设动点，则，则，，， 直线与直线的斜率之积为定值，，化简可得，，故点的轨迹方程为.故选：C. 【例5】已知曲线C的方程为，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是（ ）． A． B． C． D．或5 【答案】C 【解析】若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则，解得．故选：C. 【变式5-1】（多选）方程表示曲线，给出以下命题是真命题的有（    ） A．曲线可能为圆 B．若曲线为双曲线，则或 C．若曲线为椭圆，则 D．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 【答案】AB 【详解】当，即时，方程为，为圆，A正确 当，即或时，方程为双曲型，B正确； 当，即且时，方程为椭圆，C错误； 当，即时，方程为焦点在轴上的椭圆，D错误； 3、 双曲线的焦点三角形 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积。 （2）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积， 【例6】已知为双曲线的左焦点，为双曲线同一支上的两点．若，点在线段上，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，，所以，解得， 所以双曲线的左焦点， 所以点是双曲线的右焦点．作出双曲线，如图所示． 由双曲线的定义，知①，②， 由①②，得， 又， 所以的周长为．故选：C. 【变式6-1】双曲线的两焦点为、，点P在双曲线上，直线、倾斜角之差为，则面积为（ ） A． B． C．32 D．42 【答案】A 【解析】根据、为双曲线的两焦点可得， 又直线、倾斜角之差为，所以， 根据余弦定理可得， 整理得①， 根据点P在双曲线上可得， 则②， ①-②得，， 则面积为.故选：A. 巩固加练 1.已知双曲线的左､右焦点分别是，，点P在双曲线C上，且，则（ ） A．13 B．16 C．1或13 D．3或16 【答案】A 【解析】由双曲线可得，.因为，所以点P在双曲线C的左支上，所以，则.故选：A 2.经过点和的双曲线的标准方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设双曲线的方程为，则解得 故双曲线的标准方程为．故选：B． 3.已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由椭圆的标准方程为，可得，即， 因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同， 所以双曲线中，半焦距， 又因为双曲线满足，即， 又由，即，解得，可得， 所以双曲线的方程为.故选：A． 4.若方程表示双曲线，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为方程表示双曲线，所以，解得，故选：A 5.设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ） A．24 B． C． D．30 【答案】A 【解析】由，可得 又是是双曲线上的一点，则， 则，，又 则，则 则的面积等于，故选：A 6.与圆及圆都外切的圆P的圆心在（ ） A．一个椭圆上 B．一个圆上 C．一条射线上 D．双曲线的一支上 【答案】D 【解析】设圆的半径为， 又圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为， 根据题意可得：， 则， 根据双曲线定义可知，其表示焦点为的双曲线的一支.故选：D. 7.如图，双曲线C：的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则的值是（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】设双由线的右焦点为，连接，因为双由线上的点与关于轴对称，根据双曲线的对称性，可得，所以 8.已知双曲线的方程为，如图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线的右支上，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】双曲线的方程为，则，双曲线焦点为、，， 圆心为，半径为， 则，当、、共线时，等号成立；又，当、、共线时，等号成立，的最小值为， 9.已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程． 【答案】 【解析】如图，建立平面直角坐标系，使A，B两点在x轴上，并且原点O与线段的中点重合． 设炮弹爆炸点P的坐标为，则 ， 即，． 又，所以，，． 因为，所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此． 所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为 ． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $