第十六章整式的乘法培优提升专题 训练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以幂的运算为基础，通过分层专题构建“概念-运算-应用-拓展”的完整体系，融合代数推理、整体思想等方法，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |幂的运算|10题（含代数推理证明）|定义新运算转化、幂的性质逆向应用|从单一运算到综合运用，构建幂的运算逻辑链| |整式乘除应用|7题（含几何建模）|图形面积转化、新定义运算规则迁移|结合几何情境，体现“数与形”的关联| |乘法公式变式|8题（含整体代换）|公式变形（如a²+b²=(a+b)²-2ab）、构造平方差|从基本公式到变式应用，强化公式结构认知| |教材难题生长|5题（教材拓展）|已知条件变形、指数关系转化|基于教材母题，延伸知识深度与广度| |全国视野特训|5题（跨学科/新定义）|规律归纳、几何面积验证代数恒等式|整合创新题型，提升知识迁移与应用能力|

第十六章 整式的乘法 培优提升专题1 幂的运算 类型1 同底数幂的乘法 1.(1)已知 求x的值； (2)已知 求a+b+c+d的值. 2.(代数推理)规定： (1)求 的值； (2)求 的值； (3)求证:2M(n)与M(n+1)互为相反数. 类型2 幂的乘方与积的乘方 3.若n，k为正整数，则 A.2knk B. k²ⁿ C.2n⁶ D.2nk 4.(2026成都月考)(1)若 求m的值； (2)若 求 的值. 类型3 同底数幂的除法 5. 已知 则3a-2b的值为 . 6.在等式 中，其中a，b，c为三个连续递增的偶数，求aᵇ的值. 类型4 幂的综合运用 7.若2ˣ=m,3ˣ=n,则 8.已知 求 的值. 9.若 且 求mnnm的值. 10.(1)若 求m的值； (2)若 求 的值. 培优提升专题2 整式乘除的计算与应用 1.如图，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成无盖纸盒，若该纸盒的容积为4a²b，则纸盒底部长方形的周长为( ) A.4ab B.8ab C.4a+b D.8a+2b 2.若 则m+n的值为 . 3.已知多项式x-2a与 的乘积中不含x²项，则常数a的值是 . 4.(新定义)4个数a,b,c,d排列成规定它的运算法则为若| 13,求x的值. 5.(北师7下P28)如图(1)的容器中盛满了水，如果将这个容器中的水全部倒入图(2)的杯子中，那么请用整式运算的知识列式表示一共需要多少个这样的杯子(结果要化简)，并计算出当h=20，H=40时所需杯子的数量. 6.综合与实践. 素材：如图，现有a×a，b×b的正方形纸片和a×b的长方形纸片各若干张. 分析：(1)若用三种纸片拼一个长为a+2b、宽为a+b的长方形，则其中需要b×b的正方形纸片的张数是 ； 实践：(2)利用这些纸片拼成一个面积为 的长方形，画出示意图，并用式子表示它的长和宽； 探究：(3)若用a×a的纸片1张和b×b的纸片5张， 拼成一个长方形(填“能”或“不能”). 7.(新定义)材料阅读：已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”.例如43×68=34×86=2 924,所以43 和68与34 和86 都是“友好数对”. (1)36 和84 “友好数对”(填“是”或“不是”); (2) 若有一个两位数，十位数字为x+2，个位数字为x，另一个两位数，十位数字为x+2，个位数字为x+8，且这两个数为“友好数对”，请求出这两个两位数. 培优提升专题3 乘法公式的变式与应用 类型1 利用乘法公式(变形)计算 1.(整体思想)(2026 郑州期末)已知( 求 的值. 2.已知a+b=8, 求 的值. 3.已知 则 . 类型2 构造乘法公式计算 4.若m,n为正整数, 则m+n的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 6. 计算: 类型3 乘法公式的应用 6.(2026新疆模拟)如图,点 C 是线段AB 上的一点,以AC，BC为边分别向两边作正方形，设AB=9，两正方形的面积和 则图中阴影部分的面积为 . 7. 已知 扫码批改+错题本 求a-b的值. 8.(跨学科融合)春晚机器人的节目将文化遗产与尖端技术融为一体，向世界展示了中国的科技实力.淇淇同学深受智能技术触动，发明了一个智能关联盒.当输入数或式时，盒子会直接加4后输出. (1)第一次淇淇输入为 n+2，则关联盒输出为 ；若关联盒第二次输出为 n+8，则淇淇输入的是 (n>0); (2)在(1)的条件下，若把第一次输入的式子作为长方形甲的宽，输出的式子作为长，其面积记作S₁，把第二次输入的式子作为长方形乙的宽，输出的式子作为长，其面积记作S₂. ①请用含 n的代数式分别表示S₁和S₂(结果化成多项式的形式)； ②淇淇发现 可以化为两数和的平方的形式，请解释说明. 培优提升专题 4 教材难题生长题 教材难题 【例】(人教版 8 上 P102 拓宽探索) (运算能力、推理能力、应用意识) (1) 已知 , , 求 ; (2) 已知 , ( , 是正整数), 求 的值. ○解题思路: (1) 首先变形出 , 进而利用幂的乘方以及同底数幂的运算法则求出即可. (2) 运用同底数幂相乘和整体思想进行求解. 难题生长 已知 , , 则 的值为 . 已知 , , 则 的值为 . 已知 , , 求 的值. 已知 , 求 的值. 乐于思考的小宏在学习《幂的运算》时发现: 若 , 且 , , 都是正整数), 则 , 例如: 若 , 则 . 小宏将这个发现与老师分享, 并得到老师确认是正确的, 请用小宏发现的这个正确结论解决下面的问题: (1) 已知 , 求 的值; (2) 已知 , 求 的值. 培优提升专题5 全国视野培优特训 1.(代数推理)(2026湖北模拟)对于任意一个三位正整数，我们可以记为 即a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9,且a,b,c均为整数).若规定：对三位正整数 abc进行F运算，得到整数F(abc) 例如， (1)计算:F(168)= ; (2)当b=m+2时,证明: 的结果一定是4 的倍数. 2.(2026 淮北模拟)你能化简吗? 我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论. (1)先填空:(a-1)(a+1)= ; 由此猜想： = ; (2)利用这个结论，请你解决下面的问题： ①求: 的值； ②若 则a等于多少? 3.(2026 惠州模拟改编)综合与实践.扫码批改+错题本主题：四边形卡片的拼接. 素材：如图1，A型，B型正方形卡片和C 型长方形卡片各若干张. 实践：(1)用1张A型卡片，2张B 型卡片，3张C型卡片拼成一个长方形，如图2，用两种方法计算这个长方形的面积，可以得到一个等式，请你写出该等式: ; 探究:(2)选取1 张 A 型卡片,8张 C 型卡片, 张B型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含a，b的式子表示为 ； 拓展：(3)如图3，正方形的边长分别为m，n，已知m+2n=10,mn=12,求阴影部分的面积. 4.(2026 东莞期末)综合探究. 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式.例如，由图1可以得到 基于此，请解答下列问题. 【直接应用】(1)若x+y=4, 求 xy的值; 【类比应用】(2)若x(4-x) =2,则 = ; 【知识迁移】(3)将两块全等的特制直角三角板(∠AOB=∠COD=90°)按如图2所示的方式放置,其中点A，O，D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上,连接AC,BD.若AD =12,S△AOC +S△BOD =40，求一块直角三角板的面积. 5.(代数推理)(2026 广州模拟)请观察下列关于正整数的平方拆分等式： (1)请用上面的拆分方法拆分2026²； (2)用含有字母n(n是正整数)的等式表示这一规律，并借助运算证明这个结论是正确的； (3)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题.初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释. 例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式. 证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个长方形和两个正方形，如图. 这个图形的面积可以表示成( 或 这就验证了两数和的完全平方公式. 类比解决：请你用图形的几何意义证明(2)中等式结论的正确性.(画出图形并标出相关数据) 第十六章 整式的乘法 培优提升专题1 幂的运算 1.解: ∴3x+1=4,解得x=1. ∴a+b+c+d=10. 2.(1)解: (2)解: (3)证明: ∴2M(n)与M(n+1)互为相反数. 3. A 4.解:(1) ∴7m+7=0,∴m= - 1. ∴原式 -16=56. 5. 6.解：∵a，b，c为三个连续递增的偶数， ∴设b=m,则a=m-2,c=m+2, 8.解: ∴a+2b=2. 9.解：由题意得 解得 则 10.解：(1)原等式可化为 ∴m+1=16,∴m=15. (2)原式 培优提升专题2 整式乘除的计算与应用 1. D 2.4 3.\frac{1}{2} 4.解: 化简得-8x=12, 解得 5.解：由题意，得 ∴一共需要 个这样的杯子. 当h=20,H=40时,原式=10+80=90, ∴此时所需杯子的数量为90个. 6.解:(1)2 (2)如图, 因为 所以用2张a×a的纸片和4张a×b的纸片就可以拼一个长为a+2b，宽为2a的长方形. (3)不能 7.解:(1)是 (2)设一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，另一个两位数的十位数字为c，个位数字为d， 故两个两位数依次表示为10a+b,10c+d, 若这两个数是“友好数对”， 则有((10a+b)(10c+d)=(10b+a)(10d+c), 化简得 ac= bd. 由题意得(x+2)(x+2)=x(x+8),解得x=1, ∴这两个两位数为31 和39. 培优提升专题3 乘法公式的变式与应用 1.解:令t=x-2024,则原式可化简为 则 解得 即 2.解: ∵a²b²=4,∴ab=±2. ①当a+b=8,ab=2时, ×2=28; ②当a+b=8,ab=-2时, -2×(-2)=36. 综上所述， 的值为28或36. 3.2 0 4. B 5.解：原式 7.解: =1+(3+2)+(5+4)+…+(25+24)=1+2+3+4+5+…+24+25 =25×13=325. 8.解:(1)n+6 n+4 可以化为两数和的平方的形式. 培优提升专题4 教材难题生长题 教材难题 【例】解:(1)∵2"=a,32"=b, (2)∵x+2y-7=0, ∴x+2y=7, 难题生长 3.解: 4.解:∵2x+5y-3=0, ∴2x+5y=3, 5.解:( 即 ∴1+7x=36,解得x=5. 即 ∴x+1=3,解得x=2. 培优提升专题5 全国视野培优特训 1.(1)45 (2)证明: =4m+4=4(m+1), ∵4(m+1)是4的倍数, 的结果一定是4的倍数. 2.解: (2)①原式: 当a=1时,( 不成立，∴a= - 1. 3.解: (2)16 a+4b (3)由图形面积之间的关系可得， ∵m+2n=10, mn=12, 4.解:(1)∵x+y=4,∴(x+y)²=x²+2xy+y²=16,又∵ ∴2xy=16-9=7,∴xy=3.5. (2)12 (3)∵两块直角三角板全等， ∴AO=CO,BO=DO,∠AOB=∠COD=90°, 又∵点A，O，D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上， ∴∠AOC=180°-∠COD=90°,∠BOD=∠AOC=90°. 设AO=CO=x,BO=DO=y. ∵AD=AO+OD=x+y=12, 即 又 即一块直角三角板的面积为16. 5.(1)解:由题意得 (2)解:规律: 证明：∵右边 左边 ∴左边=右边， 是正确的. (3)证明:如图, 大正方形的面积为n²，左上方的长方形面积为(n-1)，左下方的正方形面积为( 右边的长方形面积为n， 1 学科网（北京）股份有限公司 $