1.2.5有理数的大小比较（讲义）2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的大小比较核心知识点，以利用数轴（从左到右为从小到大顺序）、分类比较（正数大于0、0大于负数、正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小）、作差法（通过a-b与0比较大小）为学习支架，衔接有理数概念、数轴及绝对值知识。 资料亮点在于分层通关设计（基础、提升、培优练习）适配不同学生，题型探究融入生产生活情境（如工厂生产情况分析）培养应用意识，例题与变式题强化推理能力和运算能力，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

1.2.5有理数的大小比较（讲义） Part1 考点突破 ● 【考点1：有理数的大小比较】 Part2 题型探究 ● 【题型1：有理数比较大小】 ● 【题型2：有理数大小比较的实际应用】 Part3 分层通关 📌 【考点1：有理数的大小比较】 1. 利用数轴比较大小：在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数． 2. 利用有理数的分类比较大小：一般地，正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小． 3. 作差法:若两数分别为a，b，，则；若，则；若，则． 例：整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数。 📝 【题型1：有理数比较大小】 【例1】在中，最小的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数大小比较，根据相反数和绝对值的定义化简后，再根据“负数小于正数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”判断即可． 【详解】解： ，，， 又， ， 即在中，最小的数是， 故选：B． 【变式1-1】下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数大小的比较，熟知有理数的大小比较法则是解题的关键．根据有理数的大小比较法则，即正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数，两个负数中绝对值大的反而小，进行比较判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 又 ∴， ∴最小的数是． 故选：D． 【变式1-2】比较大小： ．（填“”“”或“”号） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值的意义，根据有理数的大小比较方法即可求解，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：，， ∵，即， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】在下面数轴上画出表示下列各数的点，比较这些数的大小，并用“”号将所有的数按从小到大的顺序连接起来． ． 【答案】见解析， 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，把各点在数轴上表示出来，从左到右用“”号连接起来即可．熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键． 【详解】解：， 在数轴上画出表示各数的点，如下图： 用“”号将所有的数按从到大的顺序连接起来如下： ． 📝 【题型2：有理数大小比较的实际应用】 【例2】在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所示，则熔点最高的是（   ） 晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精 熔点（单位：） A．固态氢 B．固态氧 C．固态氮 D．固态酒精 【答案】D 【分析】本题考查负数的知识，负数大小的比较．分别比较几个凝固点的大小，即可得到解答．． 【详解】解：由表格可知，固态氢的熔点为，固态氧的熔点为，固态氮的熔点为，固态酒精的熔点为， ∵， ∴熔点最高的是固态酒精． 故选：D． 【变式2-1】某工厂生产雨伞，每天标准生产量为200把，但由于各种原因，实际每天生产的量与标准产量相比有所不同，下表是这周的实际生产情况（超过每日标准产量的记作正数，不足每日标准产量的记作负数）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 生产情况 8 12 14 7 (1)表中的表示什么？ (2)哪一天生产的雨伞数量最多？哪一天生产的雨伞数量最少？ (3)这周雨伞的总生产量是多少？ 【答案】(1)表示比每日标准产量少生产5把雨伞 (2)星期六生产的雨伞数量最多，星期四生产的雨伞数量最少 (3)这周雨伞的总生产量是1414把 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正负数的实际应用： （1）根据正负数的意义，进行作答即可； （2）比较表格中数值的大小，作答即可； （3）标准产量乘以天数，再加上表格中的数据之和，进行求解即可． 【详解】（1）解：表示比每日标准产量少生产5把雨伞； （2）由表格可知，星期六生产的雨伞数量最多，星期四生产的雨伞数量最少； （3）（把）； 答：这周雨伞的总生产量是1414把． 【变式2-2】【新情境生产生活】某校举办了“废纸回收，变废为宝”活动，各班收集的废纸均以5为标准，超过的记为“”，不足的记为“－”．七年级六个班的废纸收集情况如下表所示．统计员小虎不小心将六班的数据弄丢了，但他记得三班收集的废纸最少，且收集废纸最多和最少的班级的质量差为4． 班级 一 二 三 四 五 六 质量/kg 0 (1)计算七年级六班同学收集废纸的质量； (2)将本次活动七年级六个班收集的废纸集中卖出，其中有3的硬纸板是元，其余废纸均是元，求卖废纸的总钱数． 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的大小比较，有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据，得到，不符合题意，判断七年级六班同学收集废纸的质量最多，解答即可． （2）先计算总质量：，分类计算求和即可． 【详解】（1）解：根据，得到，不符合题意，故六班收集废纸的质量最多，超出标准质量． 故七年级六班收集废纸的质量为． （2）解：收集的废纸的总质量为：． 故卖废纸的总钱数为（元）． 【变式2-3】某海鲜超市每天要到小龙虾养殖基地购进小龙虾，下表是该海鲜超市记录的本周小龙虾购进单价变化情况（正号表示价格比前一天上涨，负号表示价格比前一天下降）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 单价变化/元 已知小龙虾上周末的进价为每千克元，这周四的进价为每千克元． (1)请你求出表中星期四的单价变化值； (2)这周购进小龙虾的最高价是每千克多少元？最低价是每千克多少元？ (3)若该海鲜超市本周五将购进的小龙虾以每千克25元全部售出，那么该海鲜超市在本周五的收益情况如何？ 【答案】(1) (2)这周购进小龙虾的最高价是每千克25元；最低价是每千克21元； (3)该海鲜超市在本周星期五的收益情况是盈利元. 【分析】本题考查正负数的意义和有理数的混合运算的应用． （1）通过题意和图中的表格，可以计算出每天小龙虾的进价，即可求出星期四的单价变化值 （2）根据（1）的结论，将进价从小到大排列，即可求解； （3）算出周五购进的小龙虾的价格，根据题意列出关系式即可算出最终收益情况． 【详解】（1）由题意可知：星期一的小龙虾每千克进价为：（元）； 星期二的小龙虾每千克进价为：（元）； 星期三的小龙虾每千克进价为：（元）； 星期四的小龙虾每千克进价为：元； 所以星期四的单价变化值为； 星期五的小龙虾每千克进价为：（元）； 星期六的小龙虾每千克进价为：(元)； 星期日的小龙虾每千克进价为：(元)， 故答案为：． （2）由（1）可知： ，这周购进小龙虾的最高价是每千克25元；最低价是每千克21元； （3）由（1）可知：星期五的小龙虾每千克进价为21元， （元） 答：该海鲜超市在本周星期五的收益情况是盈利元. ✏️ 【基础通关练】 1．下列各数中，最小的有理数是（    ） A．4 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较．熟练掌握负数小于0小于正数，两个负数比大小，绝对值大的反而小是解题的关键． 根据负数小于0小于正数，两个负数比大小，绝对值大的反而小进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：B． 2．下列各数中最大的负数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是有理数大小比较的方法，解题关键是要明确负数绝对值大的其值反而小． 有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：，，，， ， ， 所给的各数中最大的负数是． 故选：． 3．下列各数中，绝对值最小的数是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查比较有理数的大小，根据绝对值的意义，求出每一个数的绝对值，再比较大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴绝对值最小的数是0； 故选：A． 4．在有理数，，0，，中最小的数是（   ） A．| B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，求一个数的绝对值，化简多重符号，先计算绝对值，化简多重符号，再根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小进行求解即可． 【详解】解：， ∴最小的数为， 故选：D． 5．若足球质量与标准质量相比，超出部分记作正数，不足部分记作负数，则在下面4个足球中，质量最接近标准的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值和正数和负数的应用，主要考查学生的理解能力，题目具有一定的代表性，难度也不大． 求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：， ∵， ∴从轻重的角度看，最接近标准的是， 故选：C． ✏️ 【提升通关练】 1．2024年春节前，一轮雨雪降温席卷湘北地区，某地一周最低气温如下表，其中最低气温出现在（   ） 日期 周日 周一 周二 周三 周四 周五 周六 气温（） 0 3 A．周一 B．周二 C．周五 D．周六 【答案】A 【分析】本题考查有理数大小比较的实际应用，根据有理数的大小比较的方法，确定最小的那个数所在的日期即可． 【详解】解：∵， ∴最低气温出现在周一； 故选A． 2．下列说法正确的是（    ） A．自然数就是非负整数 B．正数和负数统称为有理数 C．零是最小的有理数 D．有最小的正整数，没有最大的负整数 【答案】A 【分析】本题考查了有理数，根据有理数的相关知识逐一判断即可． 【详解】解：A．自然数就是非负整数，则A正确，故A选项符合题意； B．正有理数和负有理数以及0统称为有理数，则B错误，故B选项不符合题意； C．没有最小的有理数，则C错误，故C选项不符合题意； D．1是最小的正整数，是最大的负整数，则D错误，故D选项不符合题意， 故选A． 3．当时，的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的大小比较， 熟知正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，根据可令求出的值，再比较大小即可，绝对值大的反而小是解题的关键． 【详解】解： ∴令则 ， 故选：A． 4．把四个数按由大到小的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数大小比较，先比较各数绝对值的大小，再比较各数即可． 【详解】解：， 又， ∵， ∴， ∴， ． 故选：A． 5．已知，其中都是自然数，且，则满足条件的整数的个数有（   ） A．36个 B．63个 C．69个 D．88个 【答案】D 【分析】本题考查的是代数式的求值，有理数的大小比较，清晰的分类讨论是解本题的关键，先判断为到的自然数，再讨论即可． 【详解】解：∵，，都是自然数， ∴为到的自然数， 当时，则为到的自然数，有个， 此时，为的倍数， 当时，， ∴为到的自然数，有个， 当时，， ∴为到的自然数，有个， 当时，， ∴为到的自然数，有个， 当时，， ∴为到的自然数，有个，但是全部重复， 当时，， ∴为到的自然数，有个，但是全部重复， 同理可得：为到的自然数，全部重复， 综上：满足条件的整数的个数有（个）， 故选D 6．比较大小： ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的大小比较，先化简绝对值，再根据正数大于0，负数小于0进行比较即可． 【详解】解：， 即， 故答案为：<． 7．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较； 根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 8．大于而小于的整数共有 个． 【答案】7 【分析】本题主要考查有理数大小的比较，根据正数负数进行判断即可． 【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得： 大于而小于的整数有：、、、、0、1、2，共7个． 故答案为：7． 9．比较大小： ； （填“>”或“<”）． 【答案】 【分析】 本题主要考查有理数的比较大小，解答本题的关键在于熟练掌握两个负数的大小比较的方法．根据两个负数绝对值大的反而小，负数小于正数可得答案. 【详解】解：根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小可得 ∵ ∴． 故答案为：． 由负数小于正数可得： ， 故答案为： 10．太原市某星期一的最高温度是，之后几天的最高温度变化如表所示，最高温度比前一天高记为正数，比前一天低记为负数，则五天中温度最高的是星期 ． 星期 星期二 星期三 星期四 星期五 温度变化（单位：℃） 【答案】二 【分析】本题考查了有理数加法运算，正负数的应用，有理数大小比较，根据题意算出每天的温度进行比较即可． 【详解】解：星期一的最高温度是， 星期二的最高温度是， 星期三的最高温度是， 星期四的最高温度是， 星期五的最高温度是， ∴星期二的最高气温最高． 故答案为：二． ✏️ 【培优通关练】 1．已知，其中是三个正数，把三个数从小到大的顺序排列起来： （用“”符号连接）． 【答案】 【分析】本题考查了分数的除法、通分和大小比较．解题的关键在于进行通分．首先把已知统一成乘法，然后再把分数通分，可得，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 2．画出数轴，在数轴上标出下列各数，并用“”把这些数连接起来（为一个单位长度）． ，，，， 【答案】数轴上表示数见详解， 【分析】根据数轴的特点，有理数与数轴的关系即可求解． 【详解】解：如图所示，      ∴． 【点睛】本题主要考查有理数与数轴的关系，理解并掌握数轴的特点，有理数与数轴上点一一对应的关系是解题的关键． 3．比较下列各对数的大小： ①与； ②与； ③与； ④与． 【答案】①；②；③；④ 【分析】本题主要考查有理数比较大小，绝对值的性质的运用，掌握有理数比较大小的方法是解题的关键． ①两个负数比较大小，绝对值大的反而小，由此即可求解； ②先化简绝对值，再根据负数小于零，即可求解； ③两个负数比较大小，绝对值大的反而小，由此即可求解； ④先化简，再根据负数小于零，即可求解． 【详解】解：①∵，，， ∴； ②， 因为负数小于， 所以； ③∵，， ， ∴； ④分别化简两数，得： ， ∵正数大于负数， ∴． 4．已知有理数，其中数在如图所示的数轴上对应点，是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为． (1)______，______； (2)写出大于的所有负整数： (3)在数轴上标出表示的点，并用“”连接起来． 【答案】(1)，； (2)、、； (3)． 【分析】（）根据点表示的数即可求出，根据是负数且到原点的距离为可以得出的值； （）根据有理数的大小比较法则即可得出答案； （）先在数轴上表示出各个数，再比较大小即可； 本题考查了有理数的比较大小，相反数，数轴，绝对值等知识点，能熟记有理数的大小法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，， ∵是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为， ∴， 故答案为：，； （2）解：为，，； （3）解：，， 各数在数轴上表示为： 由数轴可得，． 5．请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 【答案】(1)；绝对值 (2) 【分析】本题主要考查有理数大小比较： （1）根据计算过程和有理数大小比较法则得出答案即可； （2）找出中间量是，再比较大小即可， 【详解】（1）上述方法是先通过找中间量来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； 故答案为：；绝对值； （2）∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.5有理数的大小比较（讲义） Part1 考点突破 ● 【考点1：有理数的大小比较】 Part2 题型探究 ● 【题型1：有理数比较大小】 ● 【题型2：有理数大小比较的实际应用】 Part3 分层通关 📌 【考点1：有理数的大小比较】 1. 利用数轴比较大小：在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数． 2. 利用有理数的分类比较大小：一般地，正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小． 3. 作差法:若两数分别为a，b，，则；若，则；若，则． 例：整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数。 📝 【题型1：有理数比较大小】 【例1】在中，最小的数是（   ） A．0 B． C． D． 【变式1-1】下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C．1 D． 【变式1-2】比较大小： ．（填“”“”或“”号） 【变式1-3】在下面数轴上画出表示下列各数的点，比较这些数的大小，并用“”号将所有的数按从小到大的顺序连接起来． ． 📝 【题型2：有理数大小比较的实际应用】 【例2】在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所示，则熔点最高的是（   ） 晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精 熔点（单位：） A．固态氢 B．固态氧 C．固态氮 D．固态酒精 【变式2-1】某工厂生产雨伞，每天标准生产量为200把，但由于各种原因，实际每天生产的量与标准产量相比有所不同，下表是这周的实际生产情况（超过每日标准产量的记作正数，不足每日标准产量的记作负数）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 生产情况 8 12 14 7 (1)表中的表示什么？ (2)哪一天生产的雨伞数量最多？哪一天生产的雨伞数量最少？ (3)这周雨伞的总生产量是多少？ 【变式2-2】【新情境生产生活】某校举办了“废纸回收，变废为宝”活动，各班收集的废纸均以5为标准，超过的记为“”，不足的记为“－”．七年级六个班的废纸收集情况如下表所示．统计员小虎不小心将六班的数据弄丢了，但他记得三班收集的废纸最少，且收集废纸最多和最少的班级的质量差为4． 班级 一 二 三 四 五 六 质量/kg 0 (1)计算七年级六班同学收集废纸的质量； (2)将本次活动七年级六个班收集的废纸集中卖出，其中有3的硬纸板是元，其余废纸均是元，求卖废纸的总钱数． 【变式2-3】某海鲜超市每天要到小龙虾养殖基地购进小龙虾，下表是该海鲜超市记录的本周小龙虾购进单价变化情况（正号表示价格比前一天上涨，负号表示价格比前一天下降）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 单价变化/元 已知小龙虾上周末的进价为每千克元，这周四的进价为每千克元． (1)请你求出表中星期四的单价变化值； (2)这周购进小龙虾的最高价是每千克多少元？最低价是每千克多少元？ (3)若该海鲜超市本周五将购进的小龙虾以每千克25元全部售出，那么该海鲜超市在本周五的收益情况如何？ ✏️ 【基础通关练】 1．下列各数中，最小的有理数是（    ） A．4 B． C．0 D． 2．下列各数中最大的负数是（    ） A． B． C． D． 3．下列各数中，绝对值最小的数是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 4．在有理数，，0，，中最小的数是（   ） A．| B． C．0 D． 5．若足球质量与标准质量相比，超出部分记作正数，不足部分记作负数，则在下面4个足球中，质量最接近标准的是（　　） A． B． C． D． ✏️ 【提升通关练】 1．2024年春节前，一轮雨雪降温席卷湘北地区，某地一周最低气温如下表，其中最低气温出现在（   ） 日期 周日 周一 周二 周三 周四 周五 周六 气温（） 0 3 A．周一 B．周二 C．周五 D．周六 2．下列说法正确的是（    ） A．自然数就是非负整数 B．正数和负数统称为有理数 C．零是最小的有理数 D．有最小的正整数，没有最大的负整数 3．当时，的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 4．把四个数按由大到小的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，其中都是自然数，且，则满足条件的整数的个数有（   ） A．36个 B．63个 C．69个 D．88个 6．比较大小： ． 7．比较大小： ． 8．大于而小于的整数共有 个． 9．比较大小： ； （填“>”或“<”）． 10．太原市某星期一的最高温度是，之后几天的最高温度变化如表所示，最高温度比前一天高记为正数，比前一天低记为负数，则五天中温度最高的是星期 ． 星期 星期二 星期三 星期四 星期五 温度变化（单位：℃） ✏️ 【培优通关练】 1．已知，其中是三个正数，把三个数从小到大的顺序排列起来： （用“”符号连接）． 2．画出数轴，在数轴上标出下列各数，并用“”把这些数连接起来（为一个单位长度）． ，，，， 3．比较下列各对数的大小： ①与； ②与； ③与； ④与． 4．已知有理数，其中数在如图所示的数轴上对应点，是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为． (1)______，______； (2)写出大于的所有负整数： (3)在数轴上标出表示的点，并用“”连接起来． 5．请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $