精品解析：湖南岳阳市汨罗市第一中学 2025-2026学年九年级上学期数学开学 学情自测试题

2025—2026学年度汨罗一中开学考试 数学试题卷 考试时间：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．答题前准备：请在答题卡上清晰地填写你的姓名、班级、考号等信息． 2．答题规范：所有答案均须写在答题卡上，写在本试题卷上无效． 3．作答要求：选择题用2B铅笔填涂，非选择题用黑色签字笔书写，字迹工整． 4．上交要求：考试结束铃响后，请立即停止答题．只需上交答题卡，试题卷请自行保管好． 一、单选题（共30分） 1. 下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形以及中心对称图形，熟练掌握轴对称图形以及中心对称图形是解题的关键．根据轴对称图形以及中心对称图形的定义即可得到答案． 【详解】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不符合题意； 不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项B不符合题意； 既是轴对称图形也是中心对称图形，故选项C符合题意； 是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项D不符合题意； 故选：C． 2. 反比例函数的图象在 A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质即可判断． 【详解】由于，则图象在第二、四象限， 故选：C． 【点睛】主要考查反比例函数的性质，当时，函数图象在第一、三象限，当时，函数图象在第二、四象限． 3. 已知，若与的相似比为，的周长为40，则的周长为 A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质：两个相似三角形周长的比等于它们的相似比即可解题 【详解】∵△ABC与△DEF的相似比为2:3， ∴△ABC与△DEF的周长比也为2:3 ∵△ABC的周长为40,设△DEF的周长为x 所以40：x=2:3 所以△DEF的周长为60 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质：两个相似三角形的周长的比等于它们的相似比，掌握相似三角形的性质是解题的关键. 4. 如图，点D是的边BC上一点，，，若的面积为30，则的面积为（ ） A B. 10 C. 12 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定和性质是解决本题的关键．先说明，利用相似三角形的性质得结论． 【详解】解：，， ∴ 相似比 故选：A 5. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图−基本作图，直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 根据作图过程可得，是的垂直平分线，也是的角平分线，可得，再根据，，即可求出的度数，进而即可求解． 【详解】解：由作图过程可知： 是的垂直平分线，也是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则的值是（ ） A. −3或1 B. 1 C. −3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】把x=0代入原方程，转化为k的方程，并求解，注意二次项系数的非零性． 【详解】∵关于x的一元二次方程的一个根是0， ∴+2k-3=0，且k+3≠0, ∴k=1或k=-3, 且k+3≠0, ∴k=1, 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程的解法，一元二次方程的定义，熟练掌握两个概念，准确进行解方程是解题的关键． 7. 如图，在菱形中，，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，过两弧的交点作直线分别交、于、两点，则的度数为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 【答案】B 【解析】 【分析】先由菱形的性质可知BD平分∠ABC，AD∥BC，从而可求出∠ABC=150°，∠A=30°，再由作图过程可知EF是AB的垂直平分线，所以有AF=BF，再根据等边等角可得∠ABF=∠A=30°，再根据角的和差关系即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴∠ABD=∠CBD=75°，AD∥BC， ∴∠ABC=150°，∠ABC+∠A=180°， ∴∠A=30°． ∵分别以，为圆心，大于长为半径画弧，过两弧的交点作直线分别交、于、两点， ∴EF垂直平分AB， ∴AF=BF， ∴∠ABF=∠A=30°． ∴=∠ABD-∠ABF=45°． 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形和平行线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 8. 在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点、恰好分别落在反比例函数，的图像上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义、相似三角形的性质以及勾股定理．点、落在函数，的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积，证，而相似比恰好是直角三角形的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案． 【详解】解：过点、分别作轴，轴，垂足为、， 点在反比例函数上，点在上， ，， 又，， ，， ， ， ， 设，则，， 在中， 故选：． 9. 如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（ ） A. 5 B. 1 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图形与性质，反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用线段的长度表示出点的坐标是解题的关键．设，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得到a，b的关系式，再利用求得a，b值，则点A坐标可求，最后利用待定系数法解答即可得出结论． 【详解】解：设， 由题意得：． ∵正方形与（其中边分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴． 故选：C 10. 矩形 ABCD中，O为 AC 的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接 BF交AC于点M连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①△AOE≌△COF；②△EOB≌△CMB；③FB⊥OC，OM=CM；④四边形 EBFD 是菱形；⑤MB：OE=3：2其中正确结论的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】作辅助线找全等三角形和特殊的直角三角形解题,见详解. 【详解】解：连接BD ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD，AC、BD互相平分 ∵O为AC中点 ∴BD也过O点 ∴OB=OC ∵∠COB=60°，OB=OC ∴△OBC是等边三角形 ∴OB=BC=OC，∠OBC=60° ∵FO=FC，BF=BF ∴△OBF≌△CBF（SSS） ∴△OBF与△CBF关于直线BF对称 ∴FB⊥OC，OM=CM.故③正确 ∵∠OBC=60° ∴∠ABO=30° ∵△OBF≌△CBF ∴∠OBM=∠CBM=30° ∴∠ABO=∠OBF ∵AB∥CD ∴∠OCF=∠OAE ∵OA=OC 可得△AOE≌△COF,故①正确 ∴OE=OF 则四边形EBFD是平行四边形，又可知OB⊥EF ∴四边形EBFD是菱形.故④正确 ∴△EOB≌△FOB≌△FCB.则②△EOB≌△CMB错误 ∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°, 设MB=a,则OM=a,OB=2a, OF=OM, ∵OE=OF ∴MB：OE=3：2.则⑤正确 综上一共有4个正确的, 故选B. 【点睛】本题考查了四边形的综合应用,特殊的直角三角形,三角形的全等,菱形的判定,综合性强,难度大,认真审题,证明全等找到边长之间的关系是解题关键. 二、填空题（共18分） 11. 一元二次方程的根是_________． 【答案】， 【解析】 【分析】由两式相乘等于0，则这两个式子均有可能为0即可求解． 【详解】解：由题意可知：或， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，计算细心即可． 12. 若点（5-a，a-3）在一、三象限的角平分线上，则a=____________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据第一、三象限角平分线上的点的坐标特点即可解答． 【详解】解：∵点（5-a，a-3）在一、三象限的角平分线上，且第一、三象限角平分线上的点的坐标特点为点的横纵坐标相等， ∴5-a=a-3， 解得a=4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了象限的角平分线上的点的坐标特征． 13. 已知点P（x，y）在第四象限，且到y轴的距离为3，到x轴的距离为5，则点P的坐标是_____． 【答案】（3，﹣5）． 【解析】 【分析】首先根据点P（x，y）在第四象限，且到y轴的距离为3，可得点P的横坐标是3；然后根据到x轴的距离为5，可得点P的纵坐标是﹣5，据此求出点P的坐标是多少即可． 【详解】解：∵点P（x，y）在第四象限，且到y轴的距离为3， ∴点P的横坐标是3； ∵点P到x轴的距离为5， ∴点P的纵坐标是﹣5， ∴点P的坐标（3，﹣5）； 故答案为（3，﹣5）． 【点睛】此题主要考查了点的坐标的确定，要熟练掌握，解答此题的关键是要确定出点P的横坐标和纵坐标各是多少，并要明确：（1）建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．（2）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 14. 在平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝10，∠B＝30°，则▱ABCD的面积为__． 【答案】40 【解析】 【分析】直接利用直角三角形的性质得出AM的长，进而利用平行四边形面积求法得出答案. 【详解】解：如图所示：过点A作AM⊥BC于点M， ∵AB=8，∠B=30°， ∴AM=AB=4， ∴▱ABCD的面积为：AM•BC=4×10=40． 故答案为：40． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，正确得出求出平行四边形的高是解题关键． 15. 已知点是反比例函数图象上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图象于点、，交坐标轴于、，且，连接.现有以下四个结论：①；②在点运动过程中，的面积始终不变；③连接，则；④不存在点，使得.其中正确的结论的序号是__________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①由反比例函数图象上点的坐标特征用函数a的代数式表示出来b，并找出点C坐标，根据AC=3CD，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论； ②根据①得出A、C的坐标，由AB∥x轴找出B点的坐标，由此即可得出AB、AC的长度，利用三角形的面积公式即可得出结论； ③已知B(,)，C(a,)，D(a,0)，E(0,)四点坐标，B、C、D、E四点坐标，经过B、C两点的直线斜率k1=，经过D、E两点的直线斜率k2=，得出，即 ④先假设，得到对应边成比例，列出关于a的等式，看a是否有解，即可求解． 【详解】①∵A(a,b)，且A在反比例函数图象上， ∴ ∵AC∥y轴，且C在反比例函数的图象上， ∴C(a,) 又∵AC=3CD， ∴AD=4CD，即 ∴k=2． 故①正确 ②由①可知：A(a,)，C(a,) ∵AB∥x轴， ∴B点的纵坐标为， ∵点B在反比例函数的函数图象上， ∴，解得：x=， ∴点B(,)， ∴AB=a−=，AC=−= ∴S=AB×AC=××= ∴点A运动过程中，△ABC面积不变，始终等于 故②正确 ③连接DE，如图所示 ∵B(,)，C(a,) ∴经过B、C两点的直线斜率k1= ∵轴，轴 ∴D(a0)，E(0,) ∴经过D、E两点的直线斜率k2= ∴，即 故③正确 ④假设 ∴ ∴ 解得 ∴当时， 故④错误 故答案为：①②③ 【点睛】本题是反比例函数的综合题目，考查了反比例函数性质，相似三角形的性质，一次函数斜率求法． 16. 如图，反比例函数 的图象经过点，点是该图象第一象限分支上的动点，连接并延长交另一分支于点，以为对角线作菱形，使，顶点在第四象限，与轴交于点，连接．在点的运动过程中，当平分时，点的坐标是______________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定及性质、角平分线的性质等，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点和点，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点和点，过点分别作和的延长线的垂线，垂足分别为点和点，先求得反比例函数的表达式，设点的坐标为，证明，求得，，根据和，可求得，进而可求得答案． 【详解】解：如图所示，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点和点；过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点和点；过点分别作和的延长线的垂线，垂足分别为点和点． 根据题意可知，，，的边上的高与的边上的高相同，设高均为． ∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∴ ∴反比例函数的表达式为． 设点的坐标为，可知，． ∵， ， ∴． ∵． ∴． ∴． ∴，． ∵平分，，， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴，． ∴点的坐标为 ． 故答案为： 三、解答题（共72分） 17. 如图，在中，，求边上的高． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理可证明是直角三角形，再利用直角三角形的面积公式即可．关键是掌握“如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形”． 【详解】解：， ， 是直角三角形， ， 即， ． 18. 如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B． （1）求直线l2的解析式； （2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标． 【答案】（1）y＝﹣2x+6；（2）M（3，6）或（﹣1，2）． 【解析】 【分析】（1）把点C的坐标代入y＝x＋3，求出m的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式； （2）由已知条件得出M、N两点的横坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标． 【详解】解：（1）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3， ∴B（﹣3，0）， 把x＝1代入y＝x+3得y＝4， ∴C（1，4）， 设直线l2的解析式为y＝kx+b， ∴，解得， ∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6； （2）AB＝3﹣（﹣3）＝6， 设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6）， MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6， 解得a＝3或a＝﹣1， ∴M（3，6）或（﹣1，2）． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，求得交点坐标是解题的关键． 19. 如图，在中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AB的中点，延长CA到点D，使得AC＝2AD，连接DE，DF，AE，EF，AF与DE交于点O． （1）求证：四边形AEFD是平行四边形； （2）如果AB＝5，BC＝13，求平行四边形AEFD的面积． 【答案】（1）见详解 （2）15 【解析】 【分析】（1）E，F分别是BC，AC的中点，利用中位线的性质即可得，AC＝2EF，结合已知AC＝2AD，即可求证结论． （2）在中，利用勾股定理求得AC，进而可得EF=AD的值，根据中点的性质可求得AF，利用平行四边形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 证明：∵E，F分别是BC，AC的中点， ∴EF是的中位线， ∴，AC＝2EF， ∵AC＝2AD， ∴AD＝EF 又∵， ∴四边形ADFE是平行四边形． 【小问2详解】 解：在中，∠BAC＝90°，AB＝5，BC＝13， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质、平行四边形的判定及勾股定理的应用，掌握勾股定理及平行四边形的判定定理是解题的关键． 20. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若方程的一个根为2，求方程的另一个根； （2）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识点，掌握的方程有两个不相等的实数根是解题关键． （1）将代入方程，求出，化简原方程可得，再根据因式分解法解二元一次方程即可； （2）根据一元二次方程根的判别式得到，再根据平方的非负性，即可证明结论． 【小问1详解】 解：将代入方程，得：，解得：． 当时，方程为， ， ，， ∴方程的另一个根是． 【小问2详解】 证明：∵在中，， ， ， ， ， ∴不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 21. 九年级2201班数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究： 已知：等腰中，，的顶点在三边上的不同位置都满足． 【一线模型】如图1：当的顶点在底边上，与两腰，分别交于点，，求证：； 【变化模型】如图2：当的顶点与点重合，与底边及其延长线分别交于点，，求的值； 【拓展延伸】如图3：当的顶点在边上，与底边分别交于点，，且，求的值．（用的代数式表示） 【答案】[一线模型]见解析；[变化模型]；[拓展延伸] 【解析】 【分析】一线模型：利用三角形外角性质，找到角的等量关系，结合已知的角相等，依据相似三角形判定定理（两角分别相等）证明 ． 变化模型：通过角的关系推导，得出与相似，再利用相似三角形对应边成比例，结合已知（即 ），求出的值 ． 拓展延伸：作辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的性质和线段的等量代换，将转化为与已知相关的表达式，进而求解 ． 本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等判定相似）和性质（对应边成比例），以及通过作辅助线构造相似三角形、利用角的关系和线段等量代换解题是关键． 【详解】解：（1）∵， 且 ∴， ∴， ∴； （2）∵，， 而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）过点作， 则：，， ∴， ∵， ∴， 则， 同理可证：， ∴，即， ∴． 22. 如图，在梯形中，是对角线的中点，联结并延长交边或边于E． （1）当点E在边上时， ①求证：； ②若，求的值； （2）若，求的长． 【答案】（1）①见解析；②；（2）或 【解析】 【分析】（1）①根据已知条件、平行线性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推导，，由此可得； ②若，那么在中，由．可得，作于H．设，那么．根据所对直角边是斜边一半可知，由此可得的值． （2）①当点E在上时，可得四边形是矩形，设，在和中，根据，列方程求解即可． ②当点E在上时，设，由，得，所以，所以；由得，所以，解出x的值即可． 【详解】（1）①由，得． 由，得． 因为是斜边上的中线，所以．所以． 所以． 所以． ②若，那么在中，由．可得． 作于H．设，那么． 在中，，所以． 所以． 所以． （2）①如图5，当点E在上时，由是的中点，可得， 所以四边形是平行四边形． 又因为，所以四边形是矩形， 设，已知，所以． 已知，所以． 在和中，根据，列方程． 解得，或（ 舍去负值）． ②如图6，当点E在上时，设，已知，所以． 设，已知，那么． 一方面，由，得，所以，所以， 另一方面，由是公共角，得． 所以，所以． 等量代换，得．由，得． 将代入，整理，得． 解得，或（舍去负值）． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，斜边上的中线，勾股定理等，能够运用相似三角形边的关系列方程是解题的关键． 23. 如图，在矩形中，，，点E为中点，连接，点F为中点，点G为线段上一点，连接． （1）如图1，若点G为中点，求证：四边形为平行四边形； （2）如图2，若点G使得，求四边形的面积； （3）如图3，连接，若点G使得，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用三角形的中位线定理和矩形的性质得到，，进而得到四边形为平行四边形； （2）连接，先证明，得到，再推导得到，然后计算面积即可； （3）过点作交延长线于点，作于点，作于点，得到，然后利用三角形的面积求出边的长度即可． 【小问1详解】 证明：点为中点，点为中点 ， 矩形 ， ， 点为中点 四边形为平行四边形； 【小问2详解】 连接 矩形 ， 点为中点 设，则 ， ， 点为中点 ， ， ； 【小问3详解】 过点作交延长线于点，作于点，作于点 ∴ 由（2）可知， ． 【点睛】本题考查三角形的中位线性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线性质等知识，能作出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 24. 在综合实践课上，数学老师带领同学们探究了四边形中线段乘积的特殊性，探索过程如下： 【发现问题】老师首先用四边形中比较特殊的矩形给同学们做了示范，如图1所示． （1）在矩形中，为边上一点，连接，若，过作交于点．同学们猜想是个定值．老师给予了肯定，请你帮助同学们证明． 【深入探究】同学们分组进行探究，组选用了菱形进行探究，如图2所示． （2）在菱形中，过作交的延长线于点，过作交于点，． ①求证：； ②若时，求的值． 【拓展提升】组选用了平行四边形进行探究，如图3和备用图所示，但过程中出现了一些问题，请你试着帮助他们解决． （3）在平行四边形中，，，，点在边上，且，点为边上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）是个定值，为；（2）①见解析；②；（3）的长为3或4或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得出，进而证明，结合已知条件，即可证明；由①可得，根据，即可求解； （2）①根据菱形的性质得出，则，进而根据即可得证； ②根据结合已知条件得出，根据相似三角形的性质即可求解； （3）分三种情况讨论，①当点G在边上时；②当G点在边上时；③当G点在边上时． 【详解】（1）解：是个定值，理由如下： 四边形是矩形，则， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ； （2）①证明：∵在菱形中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ②∵，， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）①当点G在边上时，如图所示，延长交的延长线于点M，连接，过点E作于点H， ∵平行四边形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴2， ∴， 在中，， 则 ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，，， ∴， 解得：或， 即或， ②当G点在边上时，如图所示， 连接，延长交的延长线于点M，过点G作，则，四边形是平行四边形， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点E作于点H， 在中，， ∴，， ∴， 则 ， ∴， ∴，， ∵， 又， ∴ ∴， ∴， 即， 解得：，（舍去）， 即； ③当G点在边上时，如图所示， 过点B作于点T， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴G点不可能在边上， ④当G点在上时，，不符合相交，舍去， 综上所述，的长为3或4或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度汨罗一中开学考试 数学试题卷 考试时间：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．答题前准备：请在答题卡上清晰地填写你的姓名、班级、考号等信息． 2．答题规范：所有答案均须写在答题卡上，写在本试题卷上无效． 3．作答要求：选择题用2B铅笔填涂，非选择题用黑色签字笔书写，字迹工整． 4．上交要求：考试结束铃响后，请立即停止答题．只需上交答题卡，试题卷请自行保管好． 一、单选题（共30分） 1. 下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 反比例函数的图象在 A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 3. 已知，若与的相似比为，的周长为40，则的周长为 A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 4. 如图，点D是的边BC上一点，，，若的面积为30，则的面积为（ ） A B. 10 C. 12 D. 24 5. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为（　　　） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则的值是（ ） A. −3或1 B. 1 C. −3 D. 7. 如图，在菱形中，，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，过两弧的交点作直线分别交、于、两点，则的度数为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 8. 在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点、恰好分别落在反比例函数，的图像上，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（ ） A. 5 B. 1 C. 3 D. 2 10. 矩形 ABCD中，O为 AC 的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接 BF交AC于点M连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①△AOE≌△COF；②△EOB≌△CMB；③FB⊥OC，OM=CM；④四边形 EBFD 是菱形；⑤MB：OE=3：2其中正确结论的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（共18分） 11. 一元二次方程的根是_________． 12. 若点（5-a，a-3）在一、三象限的角平分线上，则a=____________． 13. 已知点P（x，y）在第四象限，且到y轴的距离为3，到x轴的距离为5，则点P的坐标是_____． 14. 在平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝10，∠B＝30°，则▱ABCD的面积为__． 15. 已知点是反比例函数图象上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图象于点、，交坐标轴于、，且，连接.现有以下四个结论：①；②在点运动过程中，的面积始终不变；③连接，则；④不存在点，使得.其中正确的结论的序号是__________． 16. 如图，反比例函数 的图象经过点，点是该图象第一象限分支上的动点，连接并延长交另一分支于点，以为对角线作菱形，使，顶点在第四象限，与轴交于点，连接．在点的运动过程中，当平分时，点的坐标是______________ 三、解答题（共72分） 17. 如图，在中，，求边上的高． 18. 如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B． （1）求直线l2的解析式； （2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M坐标． 19. 如图，在中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AB的中点，延长CA到点D，使得AC＝2AD，连接DE，DF，AE，EF，AF与DE交于点O． （1）求证：四边形AEFD是平行四边形； （2）如果AB＝5，BC＝13，求平行四边形AEFD的面积． 20. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若方程的一个根为2，求方程的另一个根； （2）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 21. 九年级2201班数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究： 已知：等腰中，，的顶点在三边上的不同位置都满足． 【一线模型】如图1：当的顶点在底边上，与两腰，分别交于点，，求证：； 【变化模型】如图2：当的顶点与点重合，与底边及其延长线分别交于点，，求的值； 【拓展延伸】如图3：当的顶点在边上，与底边分别交于点，，且，求的值．（用的代数式表示） 22. 如图，在梯形中，是对角线的中点，联结并延长交边或边于E． （1）当点E在边上时， ①求证：； ②若，求的值； （2）若，求的长． 23. 如图，在矩形中，，，点E为中点，连接，点F为中点，点G为线段上一点，连接． （1）如图1，若点G为中点，求证：四边形为平行四边形； （2）如图2，若点G使得，求四边形的面积； （3）如图3，连接，若点G使得，求的长． 24. 在综合实践课上，数学老师带领同学们探究了四边形中线段乘积的特殊性，探索过程如下： 【发现问题】老师首先用四边形中比较特殊的矩形给同学们做了示范，如图1所示． （1）在矩形中，为边上一点，连接，若，过作交于点．同学们猜想是个定值．老师给予了肯定，请你帮助同学们证明． 【深入探究】同学们分组进行探究，组选用了菱形进行探究，如图2所示． （2）在菱形中，过作交的延长线于点，过作交于点，． ①求证：； ②若时，求值． 【拓展提升】组选用了平行四边形进行探究，如图3和备用图所示，但过程中出现了一些问题，请你试着帮助他们解决． （3）在平行四边形中，，，，点在边上，且，点为边上一点，连接，过作交平行四边形边于点，若时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $