2.5 直线与圆，圆与圆的位置关系讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦直线与圆、圆与圆的位置关系核心知识点，系统梳理直线与圆的相离、相切、相交三种位置关系（几何法d与r、代数法Δ），延伸至弦长计算、切线方程（过圆上/外点）、切线长公式，以及圆与圆的外离、外切等五种位置关系及常用结论，构建从基础到应用的学习支架。 资料通过图形直观与表格对比呈现知识（数学眼光），例题变式与逻辑推理培养运算能力和推理意识（数学思维），规范公式表达与分层练习题（数学语言）。课中助教师引导探究，课后学生可通过基础与提升练习查漏补缺，强化知识应用。

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 知识点1 直线与圆的三种位置关系 1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r) 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r 知识点2 直线与圆相交 1．解决圆的弦长问题的方法 几何法 （常用） 如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 2．当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的Rt△ADC)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用． 知识点3 直线与圆相切 1．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法 先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写出切线方程． 2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程 3.切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 知识点4 圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|) 图形 量的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 常用结论 1．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为 . (2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 . 2．圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由 得到． (2)两个圆系方程 ①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为 ； ②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程 为 (其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)． 考点一 直线与圆位置关系的判断 （一）判断直线与圆的位置关系 【例1-1】直线与圆的位置关系为（       ） A．相切 B．相交 C．相离 D．由的取值确定 变式1：圆与直线的位置关系为（       ） A． 相切 B．相离 C．相交 D．无法确定 变式2：直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　　　　 B．相离 C．相交或相切 D．相切 （二）由直线与圆的位置关系求参数 【例1-2】“直线++=0与圆相切”是“=1”的（     ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例1-3】已知圆上仅存在一个点到直线的距离为1，则实数a的值为（       ） A． -2 B． C．-1 D．0 【例1-4】若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（       ） A． B． C． D． （三）由直线与圆的位置关系求距离最值 【例1-5】圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（   ） A．36 B．18 C． D． 考点二 切线问题　 （一）求圆的切线方程 【例2-1】过点作圆的切线，则切线方程为（       ） A． B． C． D．或 【例2-2】过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，求切线l的方程为________． 【例2-3】【多选】与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程为(　　) A．x＋y＝0 B．x－y＝0 C．x＝0 D．x＋y＝4 （二）与切线长有关的问题 【例2-4】由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　) A．1 B．2 C. D．3 【例2-5】点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为________． 　　考点三 弦长问题　　　 【例3-1】圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得的弦长等于(　　) A. B. C．1 D．5 变式1：若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　) A．0或4 B．0或3 C．－2或6 D．－1或 变式2：如果一条直线经过点M且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程． 【例3-2】过点（-2，1）的直线中，被圆x2+y2-2x+4y=0截得的弦最长的直线的方程是（       ） A． x+y+1=0 B．x+y-1=0 C．x-y+1=0 D．x-y-1=0 　　考点四 圆与圆位置关系的判断　　　 （一）判断圆与圆的位置关系 【例4-1】已知圆的标准方程是，圆：关于直线对称，则圆与圆的位置关系为（       ） A． 相离 B．相切 C．相交 D．内含 （二）由圆的位置关系求参数 【例4-2】已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长_________． 【例4-3】(多选)已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　) A．(x－5)2＋(y－7)2＝25 B．(x－5)2＋(y－7)2＝17 C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9 D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25 考点五 与圆相交有关的问题 （一）圆系方程的应用 【例5-1】求经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程． （二）求两圆公共弦方程及公共弦长 【例5-2】求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长． 【例5-3】圆与圆的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是 A． B． C． D． 考点六 圆与圆的位置关系的应用 （一）与圆公切线有关的问题 【例3-1】已知圆：和圆：有且仅有4条公切线，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【例3-2】写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 【例3-3】在平面直角坐标系中，已知圆：，：，及点和.求圆和圆公切线段的长度； 题组A 基础过关练 1．当圆截直线所得的弦最长时，则m的值为（       ） A． B．-1 C．1 D． 2．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系为（　 　） A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 3．直线与圆相切，则实数m等于（       ） A．2 B． C．或 D． 4、已知圆与圆，则两圆的位置关系为（       ） A．内切 B．外切 C．相交 D．外离 5．不论k为何值，直线都与圆相交，则该圆的方程可以是（　　） A． B． C． D． 6、圆与圆的公共弦所在直线的方程为（       ） A． B． C． D． 7、垂直平分两圆，的公共弦的直线方程为（       ） A． B． C． D． 8．（多选）已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝25，圆C2：(x＋1)2＋(y＋a)2＝4，若圆C1与圆C2内切，则实数a的值是(　　) A．－2 B．2 C．－1 D．1 9．已知圆圆心为原点，且与直线相切，直线l过点． (1)求圆的标准方程； (2)若直线l被圆所截得的弦长为，求直线l的方程． 10．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，直线l恒过点P(4,1)． (1)若直线l与圆C相切，求l的方程； (2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求l的方程． 题组B 能力提升练 11．若“直线与圆相交”，“”，则是的（       ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．若方程有两个不等的实根，则实数b的取值范围为（       ） A． B． C． D． 13．已知是圆外一点． (1)过M作圆O的切线l，求切线l的方程； (2)过M任意作一条割线，交圆O于AB两点，求弦AB的中点C的轨迹方程． 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 知识点1 直线与圆的三种位置关系 1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r) 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r 知识点2 直线与圆相交 1．解决圆的弦长问题的方法 几何法 （常用） 如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 2．当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的Rt△ADC)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用． 知识点3 直线与圆相切 1．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法 先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写出切线方程． 2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程 3.切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 知识点4 圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|) 图形 量的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 常用结论 1．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到． (2)两个圆系方程 ①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； ②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)． 考点一 直线与圆位置关系的判断 （一）判断直线与圆的位置关系 【例1-1】直线与圆的位置关系为（       ） A．相切 B．相交 C．相离 D．由的取值确定 【解析】因为圆心到直线的距离，即为圆的半径，所以可知直线与圆相切. 变式1：圆与直线的位置关系为（       ） A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定 【解析】将圆的方程化为标准方程：，得圆心坐标为，半径 则圆心到直线的距离因为，所以圆与直线相离.故选：B 变式2：直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　　　　 B．相离 C．相交或相切 D．相切 【解析】直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1,0)，而(－1,0)在圆上，故直线与圆相切或相交．故选C （二）由直线与圆的位置关系求参数 【例1-2】“直线++=0与圆相切”是“=1”的（     ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】依题意， ，即圆心是（1,0），半径为 ， 如果直线x+y+m=0是此圆的切线，则圆心到直线的距离为 ，即 或-3，所以“直线x+y+m=0与圆相切”不是m=1的充分条件；如果m=1，则直线为x+y+1=0，圆心（1,0）到直线的距离为 ，即相切，是必要条件；故选：A. 【例1-3】已知圆上仅存在一个点到直线的距离为1，则实数a的值为（       ） A．-2 B． C．-1 D．0 【解析】由圆的标准方程为，则圆心为，半径为且， 又到的距离，所以要使圆上仅有一点到直线距离为1，只需且，则.故选：D 【例1-4】若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【解析】圆的圆心为，由题意可知，直线过圆心，则， 因为，则且，因此，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故选：A. （三）由直线与圆的位置关系求距离最值 【例1-5】圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（   ） A．36 B．18 C． D． 【解析】因为圆，即，所以圆心坐标为，半径，因为圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为，故选：D. 考点二 切线问题　 （一）求圆的切线方程 【例2-1】过点作圆的切线，则切线方程为（       ） A． B． C． D．或 【解析】由圆心为，半径为，斜率存在时，设切线为，则，可得，所以，即，斜率不存在时，显然不与圆相切；综上，切线方程为. 【例2-2】过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，求切线l的方程为________． 【解析】∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴点A在圆外．当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意．设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)， 即kx－y＋4＋k＝0.圆心(2,3)到切线l的距离为＝1，解得k＝0或k＝－， 因此，所求直线l的方程y＝4或3x＋4y－13＝0. 【例2-3】【多选】与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程为(　　) A．x＋y＝0 B．x－y＝0 C．x＝0 D．x＋y＝4 【解析】圆C的方程化为(x－2)2＋y2＝2.可分为两种情况讨论：(1)直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则＝，解得k＝±1；(2)直线在x，y轴上的截距均不为0，可设直线方程为＋＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，则＝，解得a＝4(a＝0舍去)．选A、B、D （二）与切线长有关的问题 【例2-4】由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　) A．1 B．2 C. D．3 【解析】因为切线长的最小值是当直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线y＝x＋1的距离为d＝＝2，圆的半径为1，所以切线长的最小值为＝＝，故选C. 【例2-5】点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为________． 【解析】如图所示，因为S四边形PAOB＝2S△POA.又OA⊥AP，所以S四边形PAOB＝2×|OA|·|PA| ＝2＝2.为使四边形PAOB面积最小，当且仅当|OP|达到最小，即为点O到直线2x＋y＋10＝0的距离：|OP|min＝＝2.故所求最小值为2＝8. 　　考点三 弦长问题　　　 【例3-1】圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得的弦长等于(　　) A. B. C．1 D．5 【解析】圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋2)2＝2，则圆的半径r＝，圆心到直线的距离d＝＝，所以直线被圆截得的弦长为2＝2＝.故选A 变式1：若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　) A．0或4 B．0或3 C．－2或6 D．－1或 【解析】由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d＝ ＝.又d＝，所以|a－2|＝2，解得a＝4或a＝0.故选A. 变式2：如果一条直线经过点M且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程． 【解析】圆x2＋y2＝25的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l＝8，于是弦心距d＝ ＝＝3.因为圆心O(0,0)到直线x＝－3的距离恰为3，所以直线x＝－3是符合题意的一条直线．设直线y＋＝k(x＋3)也符合题意，即圆心到直线kx－y＋＝0的距离等于3，于是＝3，解得k＝－.故直线的方程为3x＋4y＋15＝0.综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x＝－3或3x＋4y＋15＝0. 【例3-2】过点（-2，1）的直线中，被圆x2+y2-2x+4y=0截得的弦最长的直线的方程是（       ） A．x+y+1=0 B．x+y-1=0 C．x-y+1=0 D．x-y-1=0 【解析】由题意得，圆的方程为，∴圆心坐标为． ∵直线被圆截得的弦长最大，∴直线过圆心，又直线过点（-2，1），所以所求直线的方程为，即．故选：A． 　　考点四 圆与圆位置关系的判断　　　 （一）判断圆与圆的位置关系 【例4-1】已知圆的标准方程是，圆：关于直线对称，则圆与圆的位置关系为（       ） A．相离 B．相切 C．相交 D．内含 【解析】由题意可得，圆的圆心为，半径为5，因为圆关于直线对称，所以，得，所以圆的圆心为，半径为2，则两圆圆心距，因为，所以圆与圆的位置关系是相交，故选：C. （二）由圆的位置关系求参数 【例4-2】已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长_________． 【解析】由题可知：，，即 且，由两圆向外切可知，解得 所以，到直线的距离为，设圆的半径为 则直线被圆所截的弦长为故答案为： 【例4-3】(多选)已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　) A．(x－5)2＋(y－7)2＝25 B．(x－5)2＋(y－7)2＝17 C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9 D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25 【解析】设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则＝4－1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.故选CD 考点五 与圆相交有关的问题 （一）圆系方程的应用 【例5-1】求经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程． 【解析】法一：解方程组得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2)． 设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4.则有＝ ，解得a＝，故圆心为，半径为 ＝.故圆的方程为2＋2＝，即x2＋y2－x＋7y－32＝0. （二）求两圆公共弦方程及公共弦长 【例5-2】求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长． 【解析】联立两圆的方程得方程组两式相减得x－2y＋4＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程． 法一：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组解得或所以|AB|＝＝2，即公共弦长为2. 法二：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r＝5，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝3.设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝(3)2＋l2，解得l＝，故公共弦长2l＝2. 【例5-3】圆与圆的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是 A． B． C． D． 【解析】圆的圆心为，圆的圆心为，两圆的相交弦的垂直平分线即为直线，其方程为，即；故选A. 考点六 圆与圆的位置关系的应用 （一）与圆公切线有关的问题 【例3-1】已知圆：和圆：有且仅有4条公切线，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径根据题意可得，圆、相离，则，即，∴故选：A． 【例3-2】写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为，所以，设方程为，O到l的距离，解得，所以l的方程为，当切线为m时，设直线方程为，其中，，由题意，解得，当切线为n时，易知切线方程为，故答案为：或或. 【例3-3】在平面直角坐标系中，已知圆：，：，及点和.求圆和圆公切线段的长度； 【解析】圆：，即，，圆：，即，，，圆心距为，故两圆外离，共有4条公切线段，两两长度相同，当两圆在公切线同侧时：.当两圆在公切线异侧时：.综上所述，公切线段长为或. 题组A 基础过关练 1．当圆截直线所得的弦最长时，则m的值为（       ） A． B．-1 C．1 D． 【解析】要使直线与圆所得弦最长，则直线必过圆心，所以，可得. 故选：C 2．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系为（　 　） A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 【解析】圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心坐标为，半径，圆心到直线2x+y+1＝0的距离，由，可得圆与直线的位置关系为相交.故选：C 3．直线与圆相切，则实数m等于（       ） A．2 B． C．或 D． 【解析】因为直线与圆相切，故，即，故 故选：D 4、已知圆与圆，则两圆的位置关系为（       ） A．内切 B．外切 C．相交 D．外离 【解析】因为圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为，因此圆心距为，所以两圆外切.故选：B. 5．不论k为何值，直线都与圆相交，则该圆的方程可以是（　　） A． B． C． D． 【解析】，   ，∴直线恒过点P（—4，1） 故选：B. 6、圆与圆的公共弦所在直线的方程为（       ） A． B． C． D． 【解析】A. 7、垂直平分两圆，的公共弦的直线方程为（       ） A． B． C． D． 【解析】根据题意，圆，其圆心为，则，圆，其圆心为，则，垂直平分两圆的公共弦的直线为两圆的连心线，则直线的方程为，变形可得；故选:B. 8．（多选）已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝25，圆C2：(x＋1)2＋(y＋a)2＝4，若圆C1与圆C2内切，则实数a的值是(　　) A．－2 B．2 C．－1 D．1 答案　BC 解析　由题可知圆心C1(a，－2)，半径r1＝5，圆心C2(－1，－a)，半径r2＝2，因为圆C1与圆C2内切，所以|C1C2|＝＝|r1－r2|＝3，解得a＝－1或a＝2. 9．已知圆圆心为原点，且与直线相切，直线l过点． (1)求圆的标准方程；(2)若直线l被圆所截得的弦长为，求直线l的方程． 【解析】(1)设圆的半径为，则，故圆的标准方程为； (2)设圆心到直线到的距离为，则，解得；当直线l斜率不存在时，易得，此时圆心到的距离，符合题意；当直线l斜率存在时，设，即，则，解得，即，故直线l的方程为或. 10．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，直线l恒过点P(4,1)． (1)若直线l与圆C相切，求l的方程； (2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求l的方程． 解　(1)由题意可知，圆C的圆心为(2,0)，半径r＝2， ①当直线l的斜率不存在时，即l的方程为x＝4，此时直线与圆相切，符合题意； ②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，∴直线l的方程为y－1＝k(x－4)， 即kx－y＋1－4k＝0，若直线l与圆相切，则d＝＝2，解得k＝－， ∴l：－x－y＋4＝0，即l：3x＋4y－16＝0，综上，当直线l与圆C相切时， 所求直线l的方程为x＝4或3x＋4y－16＝0. (2)由题意可知，直线l的斜率一定存在，设斜率为k，∴直线l的方程为y－1＝k(x－4)，即kx－y＋1－4k＝0，设圆心到直线l的距离为d，则d＝，由垂径定理可得，d2＋2＝4，即＋3＝4，整理得，3k2－4k＝0，解得k＝0或k＝，则直线l的方程为y＝1或4x－3y－13＝0. 题组B 能力提升练 11．若“直线与圆相交”，“”，则是的（       ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】直线与圆相交，可得1，解得，且，∴“直线与圆相交”是“”的充分而不必要条件.故选：B. 12．若方程有两个不等的实根，则实数b的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【解析】由得，所以直线与半圆有个公共点，作出直线与半圆的图形，如图： 当直线经过点时，，当直线与圆相切时，，解得或（舍），由图可知，当直线与曲线有个公共点时，，故选：B. 13．已知是圆外一点． (1)过M作圆O的切线l，求切线l的方程； (2)过M任意作一条割线，交圆O于AB两点，求弦AB的中点C的轨迹方程． 【解析】(1)圆的圆心是原点，半径是2，过且斜率不存在的直线是与圆相切， 当过的切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得，所以切线方程为，即， 所以切线方程为和； (2)是中点，则，即，所以点在以为直径的圆上， 中点坐标为，，所以以为直径的圆方程为，即，所以点轨迹方程为（在圆内部） 学科网（北京）股份有限公司 $