第十四章全等三角形培优提升专题 训练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以专题整合全等三角形核心内容，通过性质应用、判定推理、模型建构（如K字模型）及教材难题变式，系统培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质|6题|全等性质转化线段角关系|从基础性质到坐标系综合应用| |判定|6题|SSS/SAS/ASA/AAS判定及辅助线构造|判定定理→动态几何推理| |K字模型|2题|一线三等角模型构造与全等证明|模型识别→异侧/同侧分类应用| |角平分线|6题|角平分线性质（垂线）及面积法|性质→判定→综合证明与计算| |教材难题生长|4题|教材原题变式延伸|原题思路→拓展应用与迁移| |全国视野|6题|跨地区中考题型整合|综合应用性质、判定及模型解决复杂问题|

第十四章 全等三角形 培优提升专题1 全等三角形的性质 1.(2026长春期末)如图,在△ABC中,AD⊥BC 于点D,BE⊥AC 于点 E,AD,BE 交于点 F,△ADC≌△BDF,若 BD =4,CD =2,则△ABC 的面积为( ) A.24 B.18 C.12 D.8 2.(2026 江苏模拟)如图,在△ABC中,点A 的坐标为(0,1),点 B 的坐标为(0,4),点 C 的坐标为(4,3),点D 在第二象限,且△ABD 与△ABC全等,则点 D的坐标是 . 3.如图,D,A,E在同一条直线上,BD⊥DE 于D,CE⊥DE于E,且△ABD≌△CAE,AD=2cm ,BD=4cm. (1)求DE 的长; (2)求∠BAC 的度数. 4. 如图,△ABC≌△ADE,∠CAD = 10°,∠B =25°,∠EAB =120°,求∠DFB 和∠DGB 的度数. 5.如图,在锐角△ABC中,D,E分别是AB,AC 边上的点,△ADC≌△ADC',△AEB≌△AEB',且( ∥BC,BE,CD 交于点 F. 若∠BAC =35°,则∠BFC的大小是( ) A.125° B.120° C.110° D.105° 6.(2026甘肃模拟)如图1,在 Rt△ABC中,∠C=90°,BC=9 cm,AC=12 cm,AB =15 cm,现有一动点 P,从点A 出发，沿着三角形的边AC→CB→BA 运动，回到点A 停止，速度为3c m/s，设运动时间为 ts. (1)如图1,当t= 时,△APC的面积等于△ABC 面积的一半； (2)如图2,在△DEF 中,∠E =90°,DE =4 cm,DF=5cm ,∠D =∠A.在△ABC 的边上,若有另一个动点 Q，与点 P 同时从点A 出发，沿着边AB→BC→CA 运动，回到点A 停止.在两点运动过程中的某一时刻,恰好△APQ≌△DEF,求点Q 的运动速度. 培优提升专题2 全等三角形的判定 1.如图,△ABC 的边 BC 上的高为h₁,△DEF 的边 DE上的高为h₂，若AC=EF，下列结论正确的是( ) D.无法确定 2.如图,在平面直角坐标系中,∠BAC=90°,AB =AC,点A(-1,0),B(0,-4).将△ABC 向上平移1个单位长度后，点C 的坐标为( ) A.(4,1) B.(3,1) C.(4,2) D.(3,2) 3.如图,在△ABC中,∠A =100°,∠ABC =40°,BD 是∠ABC的平分线,延长BD 至 E,使 DE =AD.求证:BC=AB+CE. 4.(2026 东莞期末)如图,已知AB =AC,AD =AE,∠BAC=∠DAE =52°,B,D,E 在同一直线上,则∠BEC 的度数为 . 5.如图,在△ABC和△ADE中,AB = AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°. 特例研究：(1)如图1，当点D在AC上时，线段BD，CE 的数量关系是 ，位置关系是 ； 一般探究：(2)将图1中的△ADE 绕点A 顺时针旋转 ,如图2,线段BD,CE 有怎样的数量关系和位置关系?请说明理由. 6.如图,已知A(-2,0),B(0,-4),C(1,1),点 P 为线段OB上一动点(不包括点O)，CD⊥CP 交x轴于点 D. (1)求证:∠CPO=∠CDO; (2)求证:CP=CD; (3)下列两个结论:①AD-BP 的值不变,②AD+BP的值不变，选择正确的结论并求其值. 培优提升专题3 全等三角形中的K字模型 【概述】广东省卷加大了对几何模型的考查，特别是近年的考题中有多道题可以转化为K字模型进行解答. K字模型：指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的图形，这三个等角可以是直角，也可以是锐角或钝角，通常称为 K 字模型(或“一线三等角”). 1.(2026 湖北模拟改编)综合运用. 问题提出:在△ABC中,. ,直线 MN经过点 C,且AD⊥MN于点 D,BE⊥MN 于点 E.探究线段DE，AD，BE之间的数量关系. 分类探究:(1)如图1,当A,B两点在直线MN同侧时,①求证:△ADC≌△CEB; ②推断：线段DE，AD，BE之间的数量关系是 ； (2)如图2，当A，B两点在直线MN异侧时，请探究线段DE，AD，BE之间的数量关系，并写出证明过程；拓展运用:(3)如图3,∠ACB=90°,AC=BC,A(-3,m),B(2,n),C(-1,-1),请直接写出m,n的值. 2.综合探究. 【模型感知】如图1，点A，B，C在同一条直线上， 当 时，有 请说明理由； 【模型变式】如图2，在等边 中,A,C分别为DE,DF 边上的动点, ,连接AC,以AC 为边在 内作等边 连接BF，当点A从点 E 向点D 运动(不与点D 重合)时，的度数变化吗?若不变，请直接写出它的度数；若变化，请说明它是怎样变化的.(提示：如果一个三角形中有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等) 培优提升专题4 角的平分线 1.如图,AD 是△ABC 的角平分线,∠C =90°,CD =3cm,点 P 在 AB 上,连接DP,则 DP 的最小值为 cm. 2.(2026 茂名期末)如图,已知△ABC 的周长是21,BO,CO 分别平分∠ABC 和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=4,则△ABC 的面积是 . 3.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC. (1)求证:S△ABD:S△ACD =AB:AC; (2)若AB=8,AC=6,BC=7,求BD的长. 4.如图，在 的边OA,OB上取点M,N,连接MN,MP平分 NP 平分 ,若MN=2,△PMN的面积是2， 的面积是8,求OM+ON的长. 5.(2026 深圳期中)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,△ABC 的角平分线AD,BE 相交于点P,过点 P 作PF⊥AD 交BC 的延长线于点 F,交AC于点 H. (1)求∠APB 的度数; (2)求证:PF =PA. 6.如图, BE 相交于点 H. (1)求证:AD=BE; (2)连接CH,求证:HC平分 (3)求 的度数(用含α的式子表示). 培优提升专题5 教材难题生长题 教材难题 【例1】(人教8上P53 拓广探索)(几何直观、推理能力、模型观念、应用意识)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,连接EF,EF与AD 相交于点 G. AD 与EF垂直吗? 证明你的结论. 解题思路:根据角平分线的性质可得DE=DF,再利用“HL”证明Rt△AED≌Rt△AFD,由此可得AE=AF,然后利用“SAS”证明△AEG≌△AFG,可得∠AGE=∠AGF,由此可得出结论. 难题生长 1.(2026 内蒙古期末)如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,EF⊥AD,垂足分别是点E,G,EF与AC相交于点F.问：DF 与AC垂直吗?若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由. 2.如图，在 中,D,C分别在AE,BE上,且(CD=CB,AC平分 于点H. (1)求证: (2)若AD=3,AB=9,求AH的长. 教材难题 【例2】(人教8上P53拓广探索)(几何直观、推理能力、模型观念)如图,∠B=∠C=90°,点E是BC的中点,DE平分∠ADC.求证:AE 是∠DAB 的平分线.(提示:过点 E 作EF⊥AD,垂足为F) 解题思路:由 DE 平分∠ADC得到 EC=EF,再由点 E 是 BC 的中点得到 EF =EB,最后证明△EAF≌△EAB 得到∠EAF =∠EAB,从而得证. 难题生长 3.如图,在梯形ABCD中,∠B=∠C=90°,若AE平分∠BAD,且点E是BC边的中点,求证:AB+CD=AD. 4.如图,AB∥CD,∠BAD,∠ADC的平分线AE,DE 相交于点E. (1)如图1,∠E= ; (2)如图2,过点E作直线AB,AD,DC的垂线,垂足分别为F,G,H,求证:EF=EG=EH; (3)如图3,过点E的直线与AB,DC分别相交于点B,C(B,C在AD的同侧),求证:E为线段BC的中点. 培优提升专题6 全国视野培优特训 1.(2026山东期中)如图,AE⊥AB 且AE =AB,BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，求图中实线所围成的图形的面积S. 2.(2026 贵州期末)如图,AE 与BD 相交于点C,AC=EC,BC=DC,AB=8cm,点 P 从点A 出发,沿A→B→A 的路线以2cm /s的速度运动,点 Q 从点 D 出发,沿D→E 的路线以1 cm/s 的速度运动,P,Q 两点同时出发，当点 P 到达点A 时，P，Q两点同时停止运动，设点 P 的运动时间为t(s). (1)求证:AB∥DE; (2)写出线段AP 的长(用含t的式子表示)； (3)连接PQ,当线段 PQ 经过点 C 时,求t的值. 3.(2026 黑龙江月考)已知点B，E，扫码批改+错题本C,F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF. (1)如图1,求证:∠A=∠D; (2)如图2,∠A =70°,∠B =40°,FG平分∠DFE 交AC于点G,求∠CGF的度数. 4.(2026高州模拟)如图,在△ABC 中,点 D 在 BC 边上,∠BAD=100°,∠ABC 的平分线交AC 于点 E,过点E作EF⊥AB,垂足为 F,∠AEF =50°,连接DE. (1)求证:DE平分∠ADC; (2)若AB =7,AD =4,CD=8,且 求△ABE 的面积. 5.(2026 漳州期中)综合探究. 【问题背景】在四边形ABCD 中,AB =AD,∠BAD =120°,∠B=∠ADC =90°,E,F 分别是 BC,CD 上的点,且∠EAF=60°,试探究图1中线段BE,EF,FD之间的数量关系. 【初步探索】(1)小亮同学认为：延长 FD 到点 G，使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,则可得到BE,EF,FD 之间的数量关系是 ； 【探索延伸】(2)如图2,在四边形ABCD 中,AB =AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点, 上述结论是否仍成立?说明理由； 【结论运用】(3)如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的 B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60 海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以80 海里/时的速度前进，1.5 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角(∠EOF)为70°，则此时两舰艇之间的距离为 . 6.(2026 江苏期末)推理:(1)如图1,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB =AC,直线m经过点A,BD⊥m于点D,CE⊥m于点 E,求证:△ABD≌△CAE; 拓展:(2)如图2,在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线 m 上,并且∠BDA =∠AEC =∠BAC=α,α为任意锐角或钝角，请问结论DE=BD +CE 是否成立?如成立，请证明；若不成立，请说明理由；应用:(3)如图3,在△ABC中,∠BAC 是钝角,AB =AC,∠BAD>∠CAE,∠BDA =∠AEC =∠BAC,直线m与BC的延长线交于点F,若BC=2CF,△ABC 的面积是 16,则 △ABD 与△CEF 的面积之和为 . 第十四章 全等三角形 培优提升专题1 全等三角形的性质 1. C 2.(-4,3)或(-4,2) 3.解:(1)∵△ABD≌△CAE,AD=2cm,BD=4cm, ∴AE=BD=4cm, ∴DE=AD+AE=6cm. ∴∠DBA+∠BAD=90°, ∵△ABD≌△CAE,∴ ∠DBA=∠CAE. ∴∠BAD+∠CAE=90°,∴ ∠BAC=90°. 4.解:∵△ABC≌△ADE,∴∠D=∠B=25°, ∴∠DFB=∠FAB+∠B =∠FAC+∠CAB+∠B =10°+55°+25°=90°. ∴∠DGB=∠DFB-∠D=90°-25°=65°. 5. C 6.解:(1)\frac{11}{2}或\frac{19}{2} (2)△APQ≌△DEF,则A与D,P与E,Q与F是对应顶点. ①当点P在AC上,此时,AP=DE=4 cm,AQ=DF=5cm,∴点Q的运动速度为5÷(4÷3)=\frac{15}{4}(cm/s); ②当点P在AB上,此时,AP=DE=4 cm,AQ=DF=5cm,即点P 的运动距离为12+9+15-4=32(cm),点Q 的运动距离为12+9+15-5=31(cm), ∴点Q 的运动速度为 综上所述，点Q的运动速度为\frac{15}{4}cm/s或\frac{93}{32}cm/s. 培优提升专题2 全等三角形的判定 1. C 2. D 3.证明:如图,在BC上截取BF=AB,连接DF, ∵BD 是∠ABC的平分线, 在△ABD和△FBD中 ∴DA=DF=DE,∠A=∠DFB=100°, 又∵∠ABC=40°, ∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=40°,∠DFC=180°-∠DFB=80°, ∴∠FDC=60°, ∵∠EDC=∠ADB=180°-∠1-∠A =180°-20°-100°=60°,∴∠EDC=∠FDC, 又∵DE=DF,DC=DC, ∴△DCE≌△DCF(SAS),∴ CE=CF, ∴BC=BF+CF=AB+CE. 4.52° 5.解:(1)BD=CE BD⊥CE (2)BD=CE且BD⊥CE.理由如下: 延长BD交CE于F, ∵∠BAD+∠CAD=90°,∠CAD+∠CAE=90°, ∴∠BAD=∠CAE, ∵在△DAB和△EAC中, ∴△DAB≌△EAC(SAS), ∴BD=CE,∠ABD=∠ACE, ∵∠ABC+∠ACB=90°, ∴∠CBF+∠BCF=∠ABC-∠ABD+∠ACB+∠ACE=90°, ∴∠BFC=90°,即BD⊥CE. 6.(1)证明:∵x轴⊥y轴,CP⊥CD, ∴∠DOP=∠DCP=90°, ∴∠CPO+∠OKP=∠CDO+∠CKD=90°, ∵∠OKP=∠CKD,∴∠CPO=∠CDO. (2)证明:如图,过C作CN⊥x轴于N,CQ⊥y轴于Q, 则∠CND=∠CQP=90°, ∵C(1,1),∴CN=CQ=1, 在△CND 和△CQP 中, ∴△CND≌△CQP(AAS),∴CD=CP,即CP=CD. (3)解:结论②正确. ∵A(-2,0),B(0,-4),C(1,1), ∴AN=2+1=3,QB=4+1=5, =8. 培优提升专题3 全等三角形中的K字模型 1.(1)①证明:∵AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点 E, ∴∠ADC=∠BEC=∠ACB=90°, ∴∠DAC+∠ACD=∠ACD+∠BCE=90°, ∴∠DAC=∠BCE, 在△ADC和△CEB中, ∴△ADC≌△CEB(AAS). ②DE=AD+BE (2)解:DE=AD-BE.证明如下: 由(1)①同理可证△ADC≌△CEB, ∴AD=CE,CD=BE, ∴DE=CE-CD=AD-BE. (3)解:m=2,n=1. 【解析】如图,过点C作DE∥x轴,过点A作AD⊥DE于点D,过点B作BE⊥DE于点 E,由(1)①可知△ADC≌△CEB, ∴AD=CE,CD=BE, ∴m+1=1+2,3-1=n+1, ∴m=2,n=1. 2.解:【模型感知】∵∠A=∠DBE, ∴∠D+∠DBA=180°-∠A,∠DBA+∠CBE=180°-∠DBE, ∴∠D=∠CBE, 在△ABD和△CEB中, ∴△ABD≌△CEB(AAS). 【模型变式】不变,∠CFB=30°. 【解析】在 CF 上取一点N,使得FN=CD,证明△ADC≌△CNB(SAS),推出BN=CD,∠D=∠BNC=60°,可得结论. 培优提升专题4 角的平分线 1.3 2.42 3.(1)证明:如图,过D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F, ∵AD平分∠BAC,∴DE=DF, (2)解:设BC 边上的高为h,则 ∴由(1)得 ∵BC=7,∴BD=4. 4.解:如图,过点 P作PE⊥OB,垂足为E,过点 P作PF⊥MN,垂足为 F,过点 P作PG⊥OA,垂足为G,连接OP, ∵P是△MON外角平分线的交点,∴PF=PG=PE, ∵MN=2,△PMN的面积是2. ∴PF=2,∴PG=PE=2, ∵△OMN的面积是8, ∴△OMP 的面积+△ONP 的面积-△PMN的面积=8, 5.(1)解:∵∠ACB=90°,∴∠CAB+∠CBA=90°, ∵AD,BE是△ABC的角平分线, ∠CBA)=45°, ∴ ∠APB=180°-∠PAB-∠PBA=135°. (2)证明:由(1)可知∠APB=135°,∴∠BPD=45°,∵FP⊥AD,∴∠FPD=90°, ∴∠FPB=∠FPD+∠BPD=90°+45°=135°, ∴∠APB=∠FPB, ∵BE平分∠ABC,∴∠ABP=∠FBP, 在△ABP和△FBP中, ∴△ABP≌△FBP(ASA),∴PA=PF,即PF=PA. 6.(1)证明:∵∠ACB=∠DCE=α,∴∠ACD=∠BCE, 在△ACD和△BCE中, ∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE. (2)证明:如图,过点C作CM⊥AD于M,CN⊥BE于N,∵△ACD≌△BCE,∴∠CAM=∠CBN,在△ACM 和△BCN中, ∴ △ACM≌△BCN(AAS),∴CM=CN, ∴ HC平分∠AHE. (3)解:如图,设AD,BC交于点G, ·△ACD≌△BCE,∴∠CAD=∠CBE, ∴ ∠AGC=∠BGH,∴∠AHB=∠ACB=α, ∵∠AHE=180°-α. 培优提升专题5 教材难题生长题 教材难题 【例1】解:AD与EF垂直.证明如下: ∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴DE=DF,∠BAD=∠CAD, 在Rt△AED 和Rt△AFD中, ∴ Rt△AED≌Rt△AFD(HL),∴AE=AF, 在△AEG和△AFG中, ∴△AEG≌△AFG(SAS),∴∠AGE=∠AGF, 又∵∠AGE+∠AGF=180°, ∴∠AGE=∠AGF=90°, ∴AD⊥EF. 【例2】证明:如图,过点E作EF⊥AD 于点 F, ∵DE平分∠ADC,EC⊥DC, ∴EC=EF, ∵点E是BC的中点,∴CE=EB, ∴EF=EB, 在Rt△EAF和Rt△EAB中, ∴ Rt△EAF≌Rt△EAB(HL), .∠EAF=∠EAB, ∴AE是∠DAB的平分线. 难题生长 1.解:DF与AC垂直,证明如下: ∵AD是△ABC的角平分线,∴∠EAD=∠FAD, ∵EF⊥AD,∴∠AGE=∠AGF=90°, 在△AGE和△AGF中, ∴△AGE≌△AGF(ASA),∴AE=AF, 在△ADE和△ADF中, ∴ △ADE≌△ADF(SAS),∴∠AED=∠AFD, ∵DE⊥AB,∴∠AED=90°, ∴ ∠AFD=90°,∴ DF⊥AC. 2.(1)证明:如图,过点C作CM⊥DE,垂足为M, ∵AC平分∠EAB,CH⊥AB,CM⊥DE, ∴CM=CH,∠CMA=∠CHB=90°,在 Rt△DMC和Rt△BHC中, ∴ Rt△DMC≌Rt△BHC(HL), ∴∠1=∠B, ∵∠1+∠ADC=180°,∴∠ADC+∠B=180°. (2)解:由(1)得∠CMA=∠CHB=90°,DM=BH,CM=CH,在Rt△AMC和Rt△AHC中, ∴ Rt△AMC≌Rt△AHC(HL),∴AM=AH, 设BH=DM=x,则AH=9-x,AM=3+x, ∴9-x=3+x,解得x=3,∴AH=6. 3.证明:过点 E作EF⊥AD于点 F, ∵AE平分∠BAD,∴∠EAB=∠EAF, ∵EF⊥AD,∴∠AFE=90°, ∵∠B=90°,∴∠AFE=∠B, 又∵AE=AE,∴△EAB≌△EAF(AAS), ∴AB=AF,BE=EF, ∵点E是BC的中点,∴BE=CE,∴EF=CE,在Rt△DFE和Rt△DCE中,DE=DE,EF=EC, ∴ Rt△DFE≌Rt△DCE(HL),∴DF=DC, ∴AB+CD=AF+DF=AD. 4.(1)90° (2)证明:∵EF⊥AB,EG⊥AD,AE平分∠BAD, ∴EF=EG,同理可证EH=EG, ∴EF=EG=EH. (3)证明:如图,在AD上取一点M,使得AM=AB,连接ME,∵AE平分∠BAD,DE平分∠ADC, ∵AE=AE,AM=AB, ∴△AME≌△ABE(SAS), ∴ME=BE,∠AEM=∠AEB, 由(1)知∠AED=90°, ∴∠AEM+∠DEM=∠AED=90°, ∠BEA+∠CED=180°-∠AED=90°, ∴∠DEM=∠DEC, ∵DE=DE,∠ADE=∠CDE, ∴△DME≌△DCE(ASA), ∴ME=CE,∴ME=BE=CE,∴E 为线段BC 的中点. 培优提升专题6 全国视野培优特训 1.解:∵∠EAF+∠BAG=90°,∠EAF+∠AEF=90°, ∴ ∠BAG=∠AEF, ∵在△AEF 和△BAG中, ∴△AEF≌△BAG(AAS), 同理可得△BCG≌△CDH, ∴AF=BG=3,AG=EF=6,GC=DH=4,BG=CH=3, ∵梯形 DEFH的面积 ∴图中实线所围成的图形的面积S=80-2×9-2×6=50. 2.(1)证明:在△ABC和△EDC中, ∴△ABC≌△EDC(SAS), ∴∠A=∠E,∴AB∥DE. (2)解:当0≤t≤4时,AP=2t cm, 当4<t≤8时,BP=(2t-8) cm, ∴线段AP 的长为2t cm或(16-2t) cm. (3)解:根据题意得DQ= tcm, 由(1)得∠A=∠E,ED=AB=8cm,则EQ=(8-t) cm, 在△ACP 和△ECQ中, ∴△ACP≌△ECQ(ASA),∴AP=EQ, 当0≤t≤4时,2t=8-t,解得 当4<t≤8时,16-2t=8-t,解得t=8. 综上所述，当线段PQ经过点 C时，t的值为\frac{8}{3}或8. 3.(1)证明:∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF, 在△ABC和△DEF 中, ∴△ABC≌△DEF(SSS), ∴∠A=∠D. (2)解:在△ABC中,∠A=70°,∠B=40°, ∴∠ACB=180°-(∠A+∠B)=70°, 由(1)可知△ABC≌△DEF,∴∠ACB=∠DFE=70°,∵FG平分∠DFE交AC 于点 G, 又∵∠ACB 是△CFG的一个外角, ∴∠ACB=∠CFG+∠CGF, 即70°=35°+∠CGF,∴∠CGF=35°. 4.(1)证明:如图,过点E作EG⊥AD于G,EH⊥BC于H, ∵EF⊥AB,∠AEF=50°,∴∠FAE=90°-50°=40°, ∵∠BAD=100°,∴∠CAD=180°-100°-40°=40°, ∴∠FAE=∠CAD=40°,即AC为∠DAF的平分线, 又EF⊥AB,EG⊥AD,∴EF=EG, ∵BE 是∠ABC的平分线,∴EF=EH, ∴EG=EH,∴点E在∠ADC的平分线上, ∴DE平分∠ADC. (2)解:设EG=x,由(1)得EF=EH=EG=x, 即2x+4x=15,解得 5.解:(1)EF=BE+FD (2)结论仍成立，理由如下： 如图,延长FD到G,使DG=BE,连接AG, ∴∠B=∠ADG, 在△ABE和△ADG中, ∴△ABE≌△ADG(SAS),∴AE=AG,∠BAE=∠DAG, ∠EAF=∠EAF, ∴∠EAF=∠GAF, 在△AEF 和△AGF 中, ∴△AEF≌△AGF(SAS),∴EF=GF, ∵GF=DG+FD=BE+FD,∴EF=BE+FD. (3)210海里 6.(1)证明:∵∠BAC=90°,BD⊥m于点D,CE⊥m于点E, ∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°, ∴∠BAD+∠CAE=90°,且∠ABD+∠BAD=90°, ∴∠ABD=∠CAE, 在△ABD 和△CAE中, △ABD≌△CAE(AAS). (2)解:结论DE=BD+CE成立;证明如下: ∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α, ∴∠BAD+∠CAE=180°-α,且∠DBA+∠BAD=180°-α, ∴∠DBA=∠CAE, 在△ABD和△CAE中, ∴△ABD≌△CAE(AAS),∴BD=AE,AD=CE, (3)8 1 学科网（北京）股份有限公司 $