第十四章全等三角形 专项训练 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 以全等判定方法为基础，通过专题化设计构建“判定-性质-模型-方法”四层逻辑体系，提炼17类核心解题思想，培养推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判定方法|5专题/20题|SAS强调夹角、ASA/AAS角推导、SSS边转化、HL直角前提|从单一判定到多方法辨析，构建判定条件选择逻辑| |辅助线与模型|6专题/24题|中线倍长构造全等、截长补短证线段和差、角平分线作垂线|以中点/角平分线为线索，形成“条件-辅助线-全等”转化链| |综合应用|6专题/22题|二次全等找中间条件、多结论问题逐证推理、尺规作图用SSS原理|从简单证明到复杂情境，提升空间观念与逻辑表达能力|

第14章 全等三角形题集 ——判定·性质·模型·方法 专题1 全等三角形判定（一）——SAS 【核心思想】 1、 SAS判定的核心是"两边及其夹角"，必须强调是夹角，而非任意一角。 2、 已知两组边相等时，优先证明夹角相等，从而用SAS证全等。 3、夹角相等常通过平行线性质、角的和差关系、公共角等途径推导。 4、等式性质（同加同减）是推导边或角相等的常用工具。 第1题 如图，点F，C在线段BE上，AC∥DF，AC=DF，BF=EC。△ABC与△DEF全等吗？为什么？ 【答案与解析】 解：全等。∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE。∵BF=EC，∴BF+FC=EC+FC，即BC=EF。 在△ABC和△DEF中，AC=DF，∠ACB=∠DFE，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SAS）。 第2题 如图，AB=AD，∠1=∠2，AC=AE，请说明：△ABC≌△ADE。 【答案与解析】 证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE。 在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠BAC=∠DAE，AC=AE，∴△ABC≌△ADE（SAS）。 第3题 如图，E是AB上一点，AB=DE，CB=CE，∠CEB=∠B，EC平分∠BED，求证：△DEC≌△ABC。 【答案与解析】 证明：∵EC平分∠BED，∴∠DEC=∠CEB。又∵∠CEB=∠B，∴∠DEC=∠B。 在△DEC和△ABC中，DE=AB，∠DEC=∠B，CE=CB，∴△DEC≌△ABC（SAS）。 第4题 如图，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=∠CAD。求证：△ADB≌△AEC。 【答案与解析】 证明：∵∠BAE=∠CAD，∴∠BAE+∠EAD=∠CAD+∠EAD，即∠BAD=∠CAE。 在△ADB和△AEC中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）。 专题2 全等三角形判定（二）——ASA，AAS 【核心思想】 1、 ASA是"两角及其夹边"，AAS是"两角及其中一角的对边"，二者可互通。 2、已知两组角相等时，只需再找一组边相等即可证全等。 3、平行线性质、三角形内角和、同角的余角/补角相等是推导角相等的常用途径。 4、 直角三角形中，两锐角互余，常通过同角的余角相等推导角相等。 第1题 如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AD∥BC，∠DFA=∠BEC，AF=CE。求证：△ADF≌△CBE。 【答案与解析】 证明：∵AD∥BC，∴∠DAF=∠BCE。 在△ADF和△CBE中，∠DAF=∠BCE，AF=CE，∠DFA=∠BEC，∴△ADF≌△CBE（ASA）。 第2题 如图，点C在线段BD上，CE∥AB，BC=CE，∠ACB=∠E。求证：△ABC≌△DCE。 【答案与解析】 证明：∵CE∥AB，∴∠B=∠DCE。 在△ABC和△DCE中，∠B=∠DCE，BC=CE，∠ACB=∠E，∴△ABC≌△DCE（ASA）。 第3题 如图，∠BAD=∠EAC，∠B=∠E，BC=ED，求证：△ABC≌△AED。 【答案与解析】 证明：∵∠BAD=∠EAC，∴∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD，即∠BAC=∠EAD。 在△ABC和△AED中，∠BAC=∠EAD，∠B=∠E，BC=ED，∴△ABC≌△AED（AAS）。 第4题 如图，MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，垂足分别为S，N，Q，且MS=PS。求证：△MNS≌△SQP。 【答案与解析】 证明：∵MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，∴∠MSP=∠N=∠SQP=90°。 ∴∠M+∠MSN=∠MSN+∠PSQ=90°，∴∠M=∠PSQ。 在△MNS和△SQP中，∠M=∠PSQ，∠N=∠SQP，MS=PS，∴△MNS≌△SQP（AAS）。 专题3 全等三角形判定（三）——SSS 【核心思想】 1、SSS是唯一不含角的判定方法，已知三组边相等时直接使用。 2、公共边、等式性质（同加同减）、中点定义是推导边相等的三大途径。 3、SSS证完全等后，常利用全等性质求角的度数或证明角相等。 4、选择题中SSS常与其他判定混合考查，需仔细辨别条件类型。 第1题 如图，AB=AC，BD=CD，求证：∠1=∠2。 【答案与解析】 证明：在△ABD和△ACD中，AB=AC，AD=AD，BD=CD，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠ADB=∠ADC。 ∵∠1+∠ADB=180°，∠2+∠ADC=180°，∴∠1=∠2。 第2题 如图，E为BC的中点，AB=DE，AE=CD，则下列结论中不正确的是（ ） A.∠A=∠D B.∠B=∠DEC C.∠C=∠AEB D.∠B=∠C 【答案与解析】 答案：D。解：∵E为BC中点，∴BE=EC。△ABE≌△DEC（SSS），∴∠A=∠D，∠B=∠DEC，∠C=∠AEB。故D不正确。 第3题 如图，AB=AD，CB=CD，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD的度数是（ ） A.120° B.125° C.127° D.144° 【答案与解析】 答案：C。解：△ABC≌△ADC（SSS），∴∠D=∠B=30°，∠CAD=½∠BAD=23°。 ∠ACD=180°−30°−23°=127°。 第4题 如图，已知AB=AC，AD=AE，BE=CD。（1）求证：∠BAC=∠EAD；（2）写出∠1，∠2，∠3的数量关系并证明。 【答案与解析】 （1）证明：△BAE≌△CAD（SSS），∴∠BAE=∠1，∴∠BAE+∠EAC=∠1+∠EAC，即∠BAC=∠EAD。 （2）∠3=∠1+∠2。证明：∵△BAE≌△CAD，∴∠BAE=∠1，∠ABE=∠2。∵∠3=∠BAE+∠ABE，∴∠3=∠1+∠2。 专题4 全等三角形判定（四）——HL 【核心思想】 1、 HL仅适用于直角三角形，是"斜边和一条直角边对应相等"。 2、 使用HL前必须先证明两个三角形都是直角三角形（有一个角是90°）。 3、直角三角形中，HL是最便捷的判定方法，但也可用SAS/ASA/AAS。 4、 涉及高、垂线、垂直等条件时，优先考虑直角三角形和HL。 第1题 如图，点A，E，F，B在同一直线上，CA⊥AB，DB⊥AB，AE=FB，CF=DE。求证：△CAF≌△DBE。 【答案与解析】 证明：∵CA⊥AB，DB⊥AB，∴∠CAF=∠DBE=90°，△CAF和△DBE都是直角三角形。 ∵AE=FB，∴AE+EF=FB+EF，即AF=BE。 在Rt△CAF和Rt△DBE中，CF=DE，AF=BE，∴Rt△CAF≌Rt△DBE（HL）。 第2题 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC，BD相交于O，如果AC=BD，那么：①AD=BC；②∠DAC=∠CBD；③OC=OD，其中正确的有（ ） A.①②③ B.①② C.① D.③ 【答案与解析】 答案：A。解：连接AB，Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），∴AD=BC，①正确； △ADO≌△BCO（AAS），∴∠DAC=∠CBO，OC=OD，②③正确。 第3题 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AD边上一点，且DE=DC，AC=BE，若BD=4，则AD=______。 【答案与解析】 答案：4。解：在Rt△ADC和Rt△BDE中，AC=BE，DC=DE，∴Rt△ADC≌Rt△BDE（HL），∴AD=BD=4。 第4题 如图，已知AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，AE=DF，AB=DC，AC与BD有怎样的数量关系？你能证明吗？ 【答案与解析】 解：AC=BD。证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB=∠DFC=90°。 在Rt△ABE和Rt△DCF中，AB=DC，AE=DF，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴∠ABE=∠DCF。 在△ABC和△DCB中，AB=DC，∠ABE=∠DCF，BC=CB，∴△ABC≌△DCB（SAS），∴AC=BD。 专题5 三点定全等 【核心思想】 1、当图形中有两组共顶点的边相等时，可猜想存在全等三角形。 2、 通过连接辅助线（如对角线），构造出可证全等的三角形。 3、公共边是"三点定全等"中最常用的隐含条件。 4、四边形问题常转化为三角形问题，通过连对角线实现。 第1题 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，求证：∠A=∠C。 【答案与解析】 证明：连接BD。在△BAD和△DCB中，AB=CD，BD=DB，AD=CB，∴△BAD≌△DCB（SSS），∴∠A=∠C。 第2题 如图，AB=AE，BC=ED，AF⊥CD且F是CD的中点，求证：∠B=∠E。 【答案与解析】 证明：连接AC，AD。∵AF⊥CD，∴∠AFC=∠AFD=90°。∵F为CD中点，∴CF=DF。 在△AFC和△AFD中，CF=DF，∠AFC=∠AFD，AF=AF，∴△AFC≌△AFD（SAS），∴AC=AD。 在△ABC和△AED中，AB=AE，BC=ED，AC=AD，∴△ABC≌△AED（SSS），∴∠B=∠E。 第3题 如图，AB=CD，AC=BD，求证：∠A=∠D。 【答案与解析】 证明：连接BC。在△ABC和△DCB中，AB=CD，AC=BD，BC=CB，∴△ABC≌△DCB（SSS），∴∠A=∠D。 第4题 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，求证：BC=CD。 【答案与解析】 证明：连接AC。∵∠B=∠D=90°，∴△ABC和△ADC都是直角三角形。 在Rt△ABC和Rt△ADC中，AC=AC，AB=AD，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴BC=CD。 专题6 全等三角形的判定与性质 【核心思想】 1、找准全等三角形，然后根据条件和结论用好全等的性质。 2、判定与性质综合运用时，常需"先证全等，再用性质"。 3、 涉及角度计算时，利用全等对应角相等，结合三角形内角和求解。 4、涉及线段长度时，利用全等对应边相等，结合线段和差求解。 第1题 如图，AC=DC，E为AB上一点，∠A=∠D，∠1=∠2。 （1）求证：△ABC≌△DEC；（2）若∠3=30°，求∠2的度数。 【答案与解析】 （1）证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE，即∠DCE=∠ACB。 在△ABC和△DEC中，∠A=∠D，AC=DC，∠ACB=∠DCE，∴△ABC≌△DEC（ASA）。 （2）解：由（1）知△ABC≌△DEC，∴∠B=∠DEC。∵∠AEC=∠B+∠2，∴∠DEC+∠3=∠B+∠2，∴∠2=∠3=30°。 第2题 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，E为AC上一点，且BF=AC，DF=DC。 （1）求证：△BDF≌△ADC；（2）已知AF=6，BC=12，求AD的长。 【答案与解析】 （1）证明：∵AD⊥BC，∴∠BDF=∠ADC=90°。 在Rt△BDF和Rt△ADC中，BF=AC，DF=DC，∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）。 （2）解：由（1）得BD=AD。∵BC−CD=AF+DF，即12−DF=6+DF，∴DF=3，∴AD=AF+DF=6+3=9。 第3题 如图，△ABC中，∠A=∠ABC，延长AC到E，过E作EF⊥AB交AB延长线于F，延长CB到G，过G作GH⊥AB交AB延长线于H，且EF=GH。 （1）求证：AE=BG；（2）连接EG与FH相交于D，若AB=10，求DH的长。 【答案与解析】 （1）证明：∵EF⊥AB，GH⊥AB，∴∠EFA=∠GHB=90°。∵∠A=∠ABC，∠ABC=∠GBH，∴∠A=∠GBH。 在△AEF和△BGH中，∠EFA=∠GHB，∠A=∠GBH，EF=GH，∴△AEF≌△BGH（AAS），∴AE=BG。 （2）解：由（1）知AF=BH，∴AF−BF=BH−BF，即AB=FH=10。 ∵EF∥GH，∴∠FED=∠HGD。又∠EFD=∠GHD=90°，EF=GH，∴△EFD≌△GHD（ASA），∴FD=HD，∴DH=½FH=5。 专题7二次全等 【核心思想】 1、 通过证明两对三角形全等完成证明，是复杂几何题的常用策略。 2、第一对全等常用来推导中间条件（边或角相等），为第二对全等做准备。 3、解题关键是找到"中间桥梁"——第一对全等的结论恰好是第二对全等的条件。 第1题 如图，A，B，C，D四点在同一直线上，AB=CD，AE∥FD，BF∥EC，AD和EF相交于点O。求证：OE=OF。 【答案与解析】 证明：∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=DB。 ∵AE∥FD，∴∠EAC=∠FDB。∵BF∥EC，∴∠ECA=∠FBD。 在△AEC和△DFB中，∠EAC=∠FDB，AC=DB，∠ECA=∠FBD，∴△AEC≌△DFB（ASA），∴EC=FB。 在△EOC和△FOB中，∠ECO=∠FBO，∠EOC=∠FOB，EC=FB，∴△EOC≌△FOB（AAS），∴OE=OF。 第2题 如图，已知：AB=DC，BM=CM，AC=DB。求证：AM=DM。 【答案与解析】 证明：在△ABC和△DCB中，AB=DC，BC=CB，AC=DB，∴△ABC≌△DCB（SSS），∴∠ABC=∠DCB。 在△ABM和△DCM中，AB=DC，∠ABM=∠DCM，BM=CM，∴△ABM≌△DCM（SAS），∴AM=DM。 第3题 如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，AB=DE，AC=FD，求证：AF=CD。 【答案与解析】 证明：∵FB=CE，∴FB+FC=CE+FC，即BC=EF。 在△ABC和△DEF中，BC=EF，AB=DE，AC=FD，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠B=∠E。 在△ABF和△DEC中，FB=CE，∠B=∠E，AB=DE，∴△ABF≌△DEC（SAS），∴AF=CD。 专题8 全等三角形与尺规作图 【核心思想】 1、 尺规作图的原理：圆的半径相等，作图痕迹隐含相等线段。 2、作一个角等于已知角、作角平分线等，本质都是构造全等三角形（SSS）。 3、尺规作图题常结合全等判定考查，需从作图痕迹中提取相等条件。 4、作图题的证明关键是识别作图步骤中蕴含的相等线段和相等角。 第1题 如图，已知△ABC，△DEF为小明根据△ABC所作的图形，且△ABC≌△DEF，则他作图的根据是（ ） A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS 【答案与解析】 答案：D。解：由作图痕迹可知，先作一个角等于已知角，再在角的两边截取相等线段，符合SAS判定。 第2题 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，按下列步骤作图：①在AB，AC上分别截取AD，AE，使AD=AE；②分别以D，E为圆心、大于½DE为半径作弧，两弧交于F；③作射线AF交BC于M；④过M作MN⊥AB于N。下列结论不一定正确的是（ ） A.∠CAM=∠BAM B.AC=AN C.∠CMA=∠NMA D.AN=BN 【答案与解析】 答案：D。解：由作图知AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠BAM，A正确。 △CAM≌△NAM（AAS），∴AC=AN，∠CMA=∠NMA，B、C正确。 无法直接得出AN=BN（仅当∠B=30°时成立），故D不一定正确。 第3题 如图，在△ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC上，且AE=AF，BF与CE相交于点O。求证：CE∥DF且CE=DF（注：D为BC延长线上点，由作图可得）。 【答案与解析】 证明：过点A作AH⊥BC于H。由题意AE=AF，FB=FD。∵AH⊥BC，∴∠AHB=∠AHC=90°。 在Rt△AHB和Rt△AHC中，AB=AC，AH=AH，∴Rt△AHB≌Rt△AHC（HL），∴∠ABH=∠ACH。 ∵AB−AE=AC−AF，∴EB=FC。可进一步证△EBC≌△FCB等，最终得CE∥DF且CE=DF。 专题9 中线倍长 【核心思想】 1、中线倍长是处理中点问题的核心辅助线方法：延长中线至两倍，构造全等三角形。 2、倍长中线后，利用SAS证明三角形全等，将边和角转移到新的位置。 3、中线倍长常用于证明线段不等关系（如三角形三边关系）或线段相等。 4、涉及中线、中点时，优先考虑倍长中线构造全等。 第1题 如图，△ABC中，AD是中线。（1）求证：AB+AC>2AD；（2）若AB=5，AC=7，求AD长的取值范围。 【答案与解析】 （1）证明：延长AD到E，使DE=AD，连接BE。∵AD是中线，∴BD=CD。 在△ADC和△EDB中，CD=BD，∠ADC=∠EDB，AD=ED，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=EB。 根据三角形三边关系，AB+EB>AE，∴AB+AC>2AD。 （2）解：由（1）知AC−AB<2AD<AC+AB，即7−5<2AD<7+5，∴1<AD<6。 第2题 如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，BD平分∠ABC，交AE于D。若∠DBE+∠BAE=∠CAE，求证：BD=AC。 【答案与解析】 证明：延长AE至F，使EF=AE，连接BF。∵AE是中线，∴EC=EB。 在△AEC和△FEB中，AE=EF，∠AEC=∠FEB，EC=EB，∴△AEC≌△FEB（SAS），∴AC=FB，∠CAE=∠F。 ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBE，∴∠BDE=∠ABD+∠BAE=∠DBE+∠BAE。 ∵∠DBE+∠BAE=∠CAE，∴∠BDE=∠CAE=∠F。 过B作BG⊥AF于G，则∠BGD=∠BGF=90°。 在△BGD和△BGF中，∠BDE=∠F，∠BGD=∠BGF，BG=BG，∴△BGD≌△BGF（AAS），∴BD=FB，∴BD=AC。 第3题 如图，△ABC中，∠B=90°，AB=3，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE=6，且∠ADE=90°，求AE的长。 【答案与解析】 解：延长AD交EC的延长线于F。∵AD是中线，∴BD=CD。 ∵CE⊥BC，∴∠DCF=90°。∵∠B=90°，∴∠B=∠DCF。 在△ABD和△FCD中，∠B=∠DCF，BD=CD，∠ADB=∠FDC，∴△ABD≌△FCD（ASA），∴AB=FC=3，AD=FD。 ∵∠ADE=90°，∴∠FDE=90°=∠ADE。 在△ADE和△FDE中，AD=FD，∠ADE=∠FDE，DE=DE，∴△ADE≌△FDE（SAS），∴AE=FE。 ∵FE=CE+FC=6+3=9，∴AE=9。 专题10 中点与两端作垂 【核心思想】 1、 过线段两端点向中点处的线段作垂线，根据AAS或ASA构造全等三角形。 2、当图形中有中点且涉及垂线、高时，优先考虑"两端作垂"构造全等。 3、作垂线后，利用对顶角相等、中点定义、直角相等，构造AAS/ASA全等。 4、 该方法常用于证明线段相等或求线段长度。 第1题 如图，△ABC中，D为BC的中点。（1）在图中作出CM⊥AD，BN⊥AD，垂足分别为M，N；（2）求证：DM=DN；（3）若AD=3，求AM+AN的值。 【答案与解析】 （2）证明：∵CM⊥AD，BN⊥AD，∴∠M=∠BND=90°。∵D为BC中点，∴CD=BD。 在△CDM和△BDN中，∠M=∠BND，∠CDM=∠BDN，CD=BD，∴△CDM≌△BDN（AAS），∴DM=DN。 （3）解：由（2）知DM=DN，∴AM+AN=(AD+DM)+(AD−DN)=2AD=2×3=6。 第2题 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，点E，F分别在BD，AD上，EF∥AB，且DE=CD。求证：EF=AC。 【答案与解析】 证明：作EQ⊥AD交AD延长线于Q，作CP⊥AD于P，则∠Q=∠APC=∠DPC=90°。 在△EDQ和△CDP中，∠Q=∠DPC，∠EDQ=∠CDP，ED=CD，∴△EDQ≌△CDP（AAS），∴EQ=CP。 ∵EF∥AB，∴∠EFQ=∠BAD。∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAP，∴∠EFQ=∠CAP。 在△EFQ和△CAP中，∠Q=∠APC，∠EFQ=∠CAP，EQ=CP，∴△EFQ≌△CAP（AAS），∴EF=AC。 第3题 如图，∠C=90°，BE⊥AB且BE=AB，BD⊥BC且BD=BC，CB的延长线交DE于F。（1）求证：∠A=∠EBF；（2）求证：DF=EF。 【答案与解析】 （1）证明：∵BE⊥AB，∴∠ABE=90°，∴∠ABC+∠EBF=90°。∵∠C=90°，∴∠ABC+∠A=90°，∴∠A=∠EBF。 （2）证明：过E作EH⊥CF交CF延长线于H，则∠H=90°=∠C。 在△ABC和△BEH中，∠C=∠H，∠A=∠EBF，AB=BE，∴△ABC≌△BEH（AAS），∴BC=EH。 ∵BD=BC，∴BD=EH。∵BD⊥BC，∴∠DBF=90°=∠H。 在△BFD和△HFE中，∠BFD=∠HFE，∠DBF=∠H，BD=EH，∴△BFD≌△HFE（AAS），∴DF=EF。 专题11 角平分线的性质 【核心思想】 1、角平分线上的点到角两边的距离相等，这是角平分线最核心的性质。 2、 见到角平分线，常过角平分线上的点向角两边作垂线，得到相等线段。 3、角平分线性质常用于求面积、证明线段相等、求线段长度。 4、面积法是角平分线性质的重要应用：等高三角形面积比等于底之比。 第1题 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若DC=6，AB=24，求△ADB的面积。 【答案与解析】 解：过D作DE⊥AB于E。∵AD平分∠BAC，∠C=90°，∴DE=DC=6。 ∴S△ADB=½·AB·DE=½×24×6=72。 第2题 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于E，点F在AC上，BD=DF。（1）求证：CF=EB；（2）若AB=12，AF=8，求CF的长。 【答案与解析】 （1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DC=DE。 在Rt△CDF和Rt△EDB中，DF=DB，DC=DE，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF=EB。 （2）解：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠EAD。∵DE⊥AB，∠C=90°，∴∠C=∠AED。 在△ACD和△AED中，∠CAD=∠EAD，∠C=∠AED，AD=AD，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AC=AE。 设CF=EB=x，则AC=AF+CF=8+x，AE=AB−EB=12−x，∴8+x=12−x，解得x=2，∴CF=2。 第3题 （1）如图1，AD是△ABC的角平分线，求证：S△ABD:S△ACD=AB:AC； （2）如图2，AD是△ABC的外角平分线，若AB=10，AC=4，BC=7，求BD的长。 【答案与解析】 （1）证明：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC延长线于F。∵AD平分∠BAC，∴DE=DF。 ∴S△ABD:S△ACD=(½·AB·DE):(½·AC·DF)=AB:AC。 （2）解：过D作DM⊥AE于M，DN⊥AC于N。∵AD平分∠EAC，∴DM=DN。 ∴S△ABD/S△ACD=(½·AB·DM)/(½·AC·DN)=BD/CD，∴AB/AC=BD/CD。 ∴10/4=(7+CD)/CD，解得CD=14/3，∴BD=BC+CD=7+14/3=35/3。 专题12 角平分线的判定 【核心思想】 1、到角两边距离相等的点在角的平分线上，这是角平分线的判定定理。 2、 判定角平分线时，常过点向角两边作垂线，证明垂线段相等。 3、角平分线的性质和判定是互逆定理，需根据题意选择使用。 4、三角形的三条角平分线交于一点（内心），该点到三边距离相等。 第1题 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD。求证：DE是∠ADC的平分线。 【答案与解析】 证明：过E作EF⊥AD于F。∵∠B=∠C=90°，∴EB⊥AB，EC⊥DC。 ∵AE平分∠BAD，EB⊥AB，EF⊥AD，∴EB=EF。 ∵E是BC中点，∴EB=EC，∴EC=EF。 ∵EC⊥DC，EF⊥AD，∴DE是∠ADC的平分线。 第2题 如图，已知C为射线AD上一点，∠DAP=∠PBC，PA=PB。求证：CP平分∠DCB。 【答案与解析】 证明：过P作PF⊥AD于F，PE⊥BC于E，∴∠PFA=∠PEB=90°。 在△PAF和△PBE中，∠PFA=∠PEB，∠DAP=∠PBC，PA=PB，∴△PAF≌△PBE（AAS），∴PF=PE。 ∵PF⊥AD，PE⊥BC，∴CP平分∠DCB。 第3题 如图，在△ABC中，∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P。求证：点P在∠A的平分线上。 【答案与解析】 证明：过P作PF⊥AB于F，PG⊥BC于G，PH⊥AC于H。 ∵BD平分∠ABC的外角，∴PF=PG。∵CE平分∠ACB的外角，∴PH=PG。 ∴PH=PF。∵PF⊥AB，PH⊥AC，∴点P在∠A的平分线上。 第4题 如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD=120°，∠ABC的平分线BE交AC于E，过E作EF⊥AB交BA的延长线于F，且∠AEF=60°，连接DE。求证：DE平分∠ADC。 【答案与解析】 证明：过E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H。 ∵EF⊥AB，∠AEF=60°，∴∠EAF=90°−60°=30°。 ∵∠BAD=120°，∴∠CAD=180°−∠BAD−∠EAF=180°−120°−30°=30°， ∴∠EAF=∠CAD=30°，即AC平分∠DAF。又∵EF⊥AF，EG⊥AD，∴EF=EG。 ∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EH⊥BC，∴EF=EH，∴EG=EH。 ∵EG⊥AD，EH⊥BC，∴点E在∠ADC的平分线上，∴DE平分∠ADC。 专题13 角平分线中的尺规作图 【核心思想】 1、 尺规作角平分线的原理是SSS全等：通过取等线段构造全等三角形。 2、 作图痕迹中蕴含相等线段，需从作图步骤中提取全等条件。 3、角平分线尺规作图常与角平分线性质结合考查。 4、 作图题的选择题需仔细辨别每个结论是否能从作图痕迹中推出。 第1题 如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，通过判定三角形全等可说明∠BAD=∠CAD。则判定三角形全等的依据是（ ） A.ASA B.SAS C.SSS D.AAS 【答案与解析】 答案：C。解：由作图可知AE=AF，DE=DF，AD为公共边，∴△AED≌△AFD（SSS），∴∠BAD=∠CAD。 第2题 如图，可以看出小明用尺规作∠AOB的平分线OC的作图痕迹，已知作图正确，下列推断不一定成立的是（ ） A.OM=ON B.CM=CN C.OM=CM D.若连接CM，CN，则∠OCM=∠OCN 【答案与解析】 答案：C。解：由作图知OM=ON，CM=CN（A、B成立）。OC=OC，∴△OCM≌△OCN（SSS），∴∠OCM=∠OCN（D成立）。OM与CM不一定相等，故选C。 第3题 阅读作图步骤：①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC=OD；②分别以C和D为圆心，大于½CD为半径作弧，两弧在∠AOB内交于P；③作射线OP，连接CP，DP。根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ） A.∠1=∠2且CP=DP B.∠1=∠3且CP=DP C.∠1=∠2且OD=DP D.∠2=∠3且OD=DP 【答案与解析】 答案：A。解：由作图得OC=OD，CP=DP，OP为公共边，∴△OCP≌△ODP（SSS），∴∠1=∠2。故一定可得∠1=∠2且CP=DP。 第4题 如图，在Rt△ABC中，以A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于F，交AC于E，分别以E，F为圆心，大于½EF为半径作弧，两弧在∠BAC内部交于G，作射线AG交BC于D。若AB=6，CD=2，则△ABD的面积为______。 【答案与解析】 答案：6。解：连接GE，GF，过D作DH⊥AB于H。由作图得AE=AF，GE=GF，AG为公共边，∴△AEG≌△AFG（SSS），∴∠CAD=∠BAD，即AG是∠BAC的平分线。 ∵∠C=90°，即DC⊥AC，又DH⊥AB，∴DH=CD=2。 ∴S△ABD=½·AB·DH=½×6×2=6。 专题14 翻折型截长补短 【核心思想】 1、 截长补短遇角平分线就翻折：利用角平分线的对称性，将三角形沿角平分线翻折。 2、翻折的本质是构造全等三角形，将线段或角转移到新的位置。 3、翻折型截长补短常用于证明线段和差关系（如a=b+c）。 4、角平分线是翻折的天然对称轴，翻折后对应边、对应角相等。 第1题 如图，点E在∠BAC的平分线上，过E作EF⊥AB于F，EG⊥CD于G，且EF=EG。求证：AC=AF+CG。 【答案与解析】 证明：过E作EM⊥AC于M。∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EM⊥AC，∴EF=EM。 ∵EF=EG，∴EM=EG。 易证Rt△AEF≌Rt△AEM（HL），∴AF=AM。 易证Rt△CEM≌Rt△CEG（HL），∴CM=CG。 ∵AC=AM+CM，∴AC=AF+CG。 第2题 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB。求证：AC=AE+CD。 【答案与解析】 证明：∵∠BAC=90°，∠ABC=60°，∴∠ACB=30°。 ∵AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，∴∠CAO=45°，∠ACO=15°，∴∠AOE=∠CAO+∠ACO=60°。 在AC上截取AF=AE，连接OF。∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。 易证△AOE≌△AOF（SAS），∴∠AOE=∠AOF=60°，∴∠AOF=∠COD=60°=∠COF。 易证△COF≌△COD（ASA），∴CF=CD。 ∵AC=AF+CF，∴AC=AE+CD。 第3题 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，外角∠CBM的平分线BP与外角∠BCN的平分线CP相交于P，延长BP交AC延长线于D，延长PC交BA延长线于E。求证：CD=BC+BE。 【答案与解析】 证明：在CD上截取CF=BC，连PF。∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠CBM+∠BCN=240°。 ∵BP，CP分别平分∠CBM，∠BCN，∴∠PBC+∠PCB=120°，∴∠CPB=60°。 在△CBP和△CFP中，CB=CF，∠BCP=∠FCP，CP=CP，∴△CBP≌△CFP（SAS）， ∴PB=PF，∠CPB=∠CPF=60°，∠CBP=∠CFP=∠MBP， ∴∠FPD=60°=∠BPE，∠PFD=∠PBE。 在△PFD和△PBE中，∠FPD=∠BPE，PF=PB，∠PFD=∠PBE，∴△PFD≌△PBE（ASA），∴FD=BE。 ∵CD=CF+FD，∴CD=BC+BE。 专题15 截长补短 【核心思想】 1、截长补短法是解决线段和差问题的核心方法：在长线段上截取一段等于短线段（截长），或延长短线段使其等于长线段（补短）。 2、 截长补短的本质是构造全等三角形，将分散的线段集中到一起。 3、截长法：在长边上截取一段等于一短边，证明剩余部分等于另一短边。 4、 补短法：延长一短边使其等于长边，证明延长部分等于另一短边。 第1题 如图，四边形ABCD中，AB>AD，CD>CB，E在线段BD上，且AE⊥BD，∠BAC=∠DAE，∠ACB=∠ACD。求证：BE+BC=DC+DE。 【答案与解析】 证明：在CD上截取CF=BC，连AF；在BE上截取ME=DE，连AM。 在△CBA和△CFA中，BC=CF，∠ACB=∠ACF，AC=AC，∴△CBA≌△CFA（SAS），∴AB=AF，∠BAC=∠CAF。 ∵∠BAC=∠DAE，∴∠CAF=∠DAE。∵AE⊥BD，∴∠AED=∠AEM=90°。 在△ADE和△AME中，DE=ME，∠AED=∠AEM，AE=AE，∴△ADE≌△AME（SAS），∴AD=AM，∠DAE=∠MAE。 ∴∠CAF=∠MAE，∴∠CAF+∠CAM=∠MAE+∠CAM，即∠FAM=∠CAE。 可进一步证△AFM≌△AEC等，最终得BE+BC=DC+DE。 第2题 如图，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点，∠BDC=∠BAC，AE⊥CD于E。求证：CD−BD=2DE。 【答案与解析】 证明：在CD上截取CF=BD，连接AD，AF，设AB，CD交于H。 ∵∠BDC=∠BAC，且∠BHD=∠AHC，∴∠DBA=∠FCA。 在△ABD和△ACF中，BD=CF，∠DBA=∠FCA，AB=AC，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴AD=AF。 ∵AE⊥CD，∴∠AED=∠AEF=90°。 在Rt△ADE和Rt△AFE中，AD=AF，AE=AE，∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL），∴DE=FE。 ∵CD=DE+FE+CF，∴CD=2DE+BD，∴CD−BD=2DE。 专题16 对角互补模型 【核心思想】 1、运用四边形内角和等于360°导角，是对角互补模型的核心技巧。 2、 对角互补模型中，一组对角互补常可推出另一组角的关系（如外角等于内对角）。 3、对角互补+角平分线条件，常通过截长补短或作垂线构造全等。 4、该模型常见于四边形综合题，需结合全等、角平分线性质综合运用。 第1题 如图，在四边形ABCD中，BC>CD，AC平分∠BCD，∠B+∠ADC=180°。过点A作AE⊥BC，垂足为E。 （1）求证：AB=AD；（2）探究线段CE，CD和BE的数量关系并证明。 【答案与解析】 （1）证明：在CB上截取CF=CD，连AF。∵AC平分∠BCD，∴∠ACD=∠ACF。 易证△ACD≌△ACF（SAS），∴AD=AF，∠ADC=∠AFC。 ∵∠B+∠ADC=180°，∠AFE+∠AFC=180°，∴∠B=∠AFE。 ∵AE⊥BC，∴∠AEB=∠AEF=90°。易证△AEB≌△AEF（AAS），∴AB=AF，∴AB=AD。 （2）CE=CD+BE。证明：由（1）得△AEB≌△AEF，∴BE=FE，∴CE=CF+FE=CD+BE。 第2题 如图，在四边形ABCD中，∠BAD=2∠BCD=120°，AB=AD。求∠ACB的度数。 【答案与解析】 解：过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD交CD延长线于F，则∠AEB=∠AFD=90°。 ∵∠BAD=2∠BCD=120°，∴∠BCD=60°，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴∠B+∠ADC=180°。 ∵∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF。易证△ABE≌△ADF（AAS），∴AE=AF。 ∵AE⊥BC，AF⊥CD，AE=AF，∴CA平分∠BCD， ∴∠ACB=∠ACD=½∠BCD=½×60°=30°。 第3题 如图，点E是∠AOB的平分线上一点，∠MEN的两边分别与∠AOB的两边交于M，N，且∠AOB+∠MEN=180°，EC⊥OA于C，若△OEN和△OEM的面积分别为50和30，求△CEM的面积。 【答案与解析】 解：过E作ED⊥OB于D，∴∠ODE=∠EDN=90°。∵EC⊥OA，∴∠OCE=90°，∴∠OCE=∠EDN，∠AOB+∠CED=180°。 ∵∠AOB+∠MEN=180°，∴∠CED=∠MEN，∴∠CED−∠MED=∠MEN−∠MED，即∠CEM=∠DEN。 ∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，∴EC=ED。 易证△CEM≌△DEN（ASA），∴S△CEM=S△DEN。 易证Rt△COE≌Rt△DOE（HL），∴S△COE=S△DOE。 设S△CEM=S△DEN=x，则S△COE=x+30，S△DOE=50−x，∴x+30=50−x，解得x=10。 ∴△CEM的面积为10。 专题17 全等中的多结论问题 【核心思想】 1、多结论问题需关注前后结论之间的联系，一个结论的推导常为下一个结论铺垫。 2、 解决多结论选择题，可通过构造全等三角形逐一验证每个结论。 3、多结论问题常结合辅助线（如倍长中线、截长补短），需灵活运用。 4、 判断结论是否正确时，注意区分"一定成立"和"在特定条件下成立"。 第1题 如图，在直角△ABC中，∠ABC=90°，以AC为边作△ACD，满足AC=AD，点E为BC上一点，连接AE，DE，∠CAD=2∠BAE。有下列结论：①∠ACB=∠ADE；②AC⊥DE；③DE−BE=BE+CE；④若CD∥AB，则AE⊥AD。其中正确结论的序号是______。 【答案与解析】 答案：①③④。 解：延长EB至F，使BF=BE，连AF。证△ABE≌△ABF（SAS），∴AE=AF，∠BAE=∠BAF=α，则∠CAD=2α=∠EAF。 ∴∠CAD+∠CAE=∠EAF+∠CAE，即∠DAE=∠CAF。证△ACF≌△ADE（SAS），∴∠ACB=∠ADE，①正确。 ∵△ACF≌△ADE，∴∠F=∠AED=∠AEF，仅当∠BAE=∠CAE时AC⊥DE，②错误。 ∵△ACF≌△ADE，∴CF=DE，∴DE−BE=CF−BF=BC=BE+CE，③正确。 若CD∥AB，则∠BAD+∠ADC=180°。∵∠CAD=2α，AC=AD，∴∠ADC=∠ACD=½(180°−∠CAD)=90°−α。 ∴∠BAD=180°−∠ADC=90°+α，∴∠EAD=∠BAD−∠BAE=90°+α−α=90°，∴AE⊥AD，④正确。 第2题 如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于O，AE交BC于E，BF交AC于F，过O作OD⊥BC于D，下列结论：①连接OC，则OC平分∠ACB；②∠AOB=90°+½∠C；③当∠C=60°时，AF+BE=AB；④若OD=a，AB+BC+CA=2b，则S△ABC=2ab。其中正确的是______。 【答案与解析】 答案：①②③。 解：过O作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N。∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，OD⊥BC，∴OM=ON，OM=OD，∴ON=OD，∴OC平分∠ACB，①正确。 ∠AOB=180°−∠OAB−∠OBA=180°−½(180°−∠C)=90°+½∠C，②正确。 当∠C=60°时，∠AOB=120°。在AB上截取AG=AF，连OG。证△AOF≌△AOG（SAS），∴∠AOF=∠AOG=60°，∴∠BOG=∠BOE=60°。证△BOE≌△BOG（ASA），∴BE=BG，∴AF+BE=AG+BG=AB，③正确。 S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=½·AB·OM+½·BC·OD+½·CA·ON=½(AB+BC+CA)·OD=½·2b·a=ab，④错误。 第3题 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于G，交BE于H，给出以下结论：①BF=AF；②S△ABE=S△BCE；③∠BAD=2∠ACF；④∠AFG=∠AGF。上述结论中，正确结论的序号有______。 【答案与解析】 答案：②③④。 解：过F作FM⊥BC于M。∵CF平分∠ACB，∠BAC=90°，∴AF=MF<BF，①错误。 ∵BE是中线，∴AE=CE，∴S△ABE=S△BCE，②正确。 ∵∠BAD+∠CAD=90°，∠ACB+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠ACB。又∵CF平分∠ACB，∴∠ACB=2∠ACF，∴∠BAD=2∠ACF，③正确。 ∵∠AFG=90°−∠ACF，∠AGF=∠CGD=90°−∠BCF。又∵CF平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF，∴∠AFG=∠AGF，④正确。 学科网（北京）股份有限公司 $第14章全等三角形题集 一判定性质·模型方法 专题1全等三角形判定（一）一SAS 【核心思想】 1、SA$判定的核心是"两边及其夹角"，必须强调是夹角，而非任意一角。 2、己知两组边相等时，优先证明夹角相等，从而用SAS证全等。 3、夹角相等常通过平行线性质、角的和差关系、公共角等途径推导。 4、等式性质（同加同减）是推导边或角相等的常用工具。 第1题如图，点F,C在线段BE上，ACIDF,AC=DF,BF-EC。△ABC与△DEF全等 吗？为什么？ 第2题如图，AB=AD,∠1=∠2，AC=AE,请说明： △ABC≌△ADE。 第3题如图，E是AB上一点，AB=DE,CB-CE,∠CEB=∠B,EC平分∠BED,求 证：△DEC≌△ABC. D 第4题如图，在△ABC中，AB=AC,AD=AE,∠BAE=∠CAD。求证： △ADB≌△AEC. E D B C 专题2全等三角形判定（二)一ASA,AAS 【核心思想】 1、ASA是"两角及其夹边"，AAS是"两角及其中一角的对边"，二者可互通。 2、已知两组角相等时，只需再找一组边相等即可证全等。 3、平行线性质、三角形内角和、同角的余角/补角相等是推导角相等的常用途径。 4、直角三角形中，两锐角互余，常通过同角的余角相等推导角相等。 第1题如图，已知点A,F,E,C在同一直线上， AD‖BC,∠DFA=∠BEC,AF=CE。求证： △ADF≌△CBE. E B 第2题如图，点C在线段BD上，CEAB, A BC-CE,∠ACB=∠E。求证：△ABC≌△DCE。 R C 第3题如图，∠BAD=∠EAC,∠B=∠E, BC=ED,求证：△ABC≌△AED. 第4题如图，MS⊥PS,MN⊥SN,PQ⊥SN, M 垂足分别为S,N,Q,且MS=PS。求证： △MNS≌△SQP。 专题3全等三角形判定（三）一S$S 【核心思想】 1、SSS是唯一不含角的判定方法，己知三组边相等时直接使用。 2、公共边、等式性质（同加同减）、中点定义是推导边相等的三大途径。 3、SSS证完全等后，常利用全等性质求角的度数或证明角相等。 4、选择题中SSS常与其他判定混合考查，需仔细辨别条件类型。 第1题如图，AB=AC,BD=CD,求证：∠1=∠2。 第2题如图，E为BC的中点，AB=DE,AE=CD,则下列结论中不正确的是() A.∠A=∠D B.∠B=∠DEC C.∠C=∠AEB D.∠B=∠C E 第3题如图，AB=AD,CB=CD,∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD的度数是() A.120°B.125°C.127°D.144° B D 第4题如图，已知AB=AC,AD=AE,BE=CD。(I)求证：∠BAC=∠EAD;(2)写 出∠1，∠2，∠3的数量关系并证明。 A 1 3 2 E B C 专题4全等三角形判定（四）一HL 【核心思想】 1、HL仅适用于直角三角形，是"斜边和一条直角边对应相等"。 2、使用L前必须先证明两个三角形都是直角三角形（有一个角是90°）。 3、直角三角形中，HL是最便捷的判定方法，但也可用SAS/ASA/AAS。 4、涉及高、垂线、垂直等条件时，优先考虑直角三角形和亚。 第1题如图，点A,E,F,B在同一直线上， D CA⊥AB,DB⊥AB,AE=FB,CF=DE。求证： △CAF≌△DBE。 E F B 第2题如图，AC⊥BC,BD⊥AD,AC,BD相 交于O,如果AC=BD,那么：①AD=BC; ②∠DAC=∠CBD:③OCOD,其中正确的有( A.①②③B.①②C.①D.③ 第3题如图，在△ABC中，AD是BC边上的 A 高，E是AD边上一点，且DE=DC,AC=BE,若 BD=4,则AD=。 E B D C 第4题如图，已知AE⊥BC于E,DF⊥BC于F,AE=DF,AB=DC,AC与BD有怎样的 数量关系？你能证明吗？ B E 专题5三点定全等 【核心思想】 1、当图形中有两组共顶点的边相等时，可猜想存在全等三角形。 2、通过连接辅助线（如对角线），构造出可证全等的三角形。 3、公共边是"三点定全等"中最常用的隐含条件。 4、四边形问题常转化为三角形问题，通过连对角线实现。 第1题如图，在四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC,求 证：∠A=∠C。 B 第2题如图，AB=AE,BC=ED,AF⊥CD且F是CD的 A 中点，求证：∠B=∠E。 B C F D 第3题如图，AB=CD,AC-=BD,求证：∠A=∠D。 B 第4题如图，在四边形ABCD中，AB=AD, ∠B=∠D=90°，求证：BCCD。 B C 专题6全等三角形的判定与性质 【核心思想】 1、找准全等三角形，然后根据条件和结论用好全等的性质。 2、判定与性质综合运用时，常需"先证全等，再用性质"。 3、涉及角度计算时，利用全等对应角相等，结合三角形内角和求解。 4、涉及线段长度时，利用全等对应边相等，结合线段和差求解。 第1题如图，AC=DC,E为AB上一点， ∠A=∠D,∠1=∠2。 (1)求证：△ABC≌△DEC:(2)若∠3=30°， 求∠2的度数。 E B 第2题如图，在△ABC中，AD⊥BC于D,E为 AC上一点，且BF=AC,DF=DC。 (1)求证：△BDF≌△ADC:(2)已知AF=6, BC=12,求AD的长。 E B D 第3题如图，△ABC中，∠A=LABC,延长AC到E,过E作EF⊥AB交AB延长线于 F,延长CB到G,过G作GH⊥AB交AB延长线于H,且EFGH。 (1)求证：AE=BG;(2)连接EG与FH相交于D,若AB=10,求DH的长。 A A B B F E F D G H 图1 图2 专题7二次全等 【核心思想】 1、通过证明两对三角形全等完成证明，是复杂几何题的常用策略。 2、第一对全等常用来推导中间条件（边或角相等），为第二对全等做准备。 3、解题关键是找到"中间桥梁”一第一对全等的结论恰好是第二对全等的条件。 第1题如图，A,B,C,D四点在同一直线 E 上，AB=CD,AEFD,BF‖EC,AD和EF相交 于点O。求证：OEOF。 第2题如图，己知：AB=DC,BM-CM,AC=DB。求证：AM=DM。 A D M C 。 第3题如图，点B,F,C,E在一条直线上，FB=CE,AB=DE,AC-FD,求证： AF-CD。 y E B F D 专题8全等三角形与尺规作图 【核心思想】 1、尺规作图的原理：圆的半径相等，作图痕迹隐含相等线段。 2、作一个角等于已知角、作角平分线等，本质都是构造全等三角形(SSS)。 3、尺规作图题常结合全等判定考查，需从作图痕迹中提取相等条件。 4、作图题的证明关键是识别作图步骤中蕴含的相等线段和相等角。 第1题如图，已知△ABC,△DEF为小明根据△ABC所作的图形，且 △ABC≌△DEF,则他作图的根据是() A.SSS M B.ASA C.AAS D.SAS H 第2题如图，在△ABC中，∠ACB=90°，按下列步骤作图：①在AB,AC上分别截取 AD,AE,使AD=AE;②分别以D,E为圆心、 大于DE为半径作弧，两弧交于F:③作射线 AF交BC于M;④过M作MN⊥AB于N。下列 L B 结论不一定正确的是() A.∠CAM=∠BAM B.AC-AN C.∠CMA=∠NMA D.AN-BN 第3题如图，在△ABC中，AB=AC,点E在AB上，点F在AC上，且AE-AF,BF与 CE相交于点O。求证：CEDF且CE=DF(注：D为BC延长线上点，由作图可得)。 专题9中线倍长 【核心思想】 1、中线倍长是处理中点问题的核心辅助线方法：延长中线至两倍，构造全等三角形。 2、倍长中线后，利用SAS证明三角形全等，将边和角转移到新的位置。 3、中线倍长常用于证明线段不等关系（如三角形三边关系）或线段相等。 4、涉及中线、中点时，优先考虑倍长中线构造全等。 第1题如图，△ABC中，AD是中线。(1)求 证：AB+AC>2AD;(2)若AB=5,AC=7,求 AD长的取值范围。 D B 第2题如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，BD平分∠ABC,交AE于D。若 ∠DBE+∠BAE=∠CAE,求证：BD=AC。 A B E 第3题如图，△ABC中，∠B=90°，AB=3,AD是△ABC的中线，CE⊥BC,CE6,且 ∠ADE=90°，求AE的长。 E A B D C 专题10中点与两端作垂 【核心思想】 1、过线段两端点向中点处的线段作垂线，根据AAS或ASA构造全等三角形。 2、当图形中有中点且涉及垂线、高时，优先考虑"两端作垂"构造全等。 3、作垂线后，利用对顶角相等、中点定义、直角相等，构造AAS/ASA全等。 4、该方法常用于证明线段相等或求线段长度。 第1题如图，△ABC中，D为BC的中点。(I)在图中作出CM⊥AD,BN⊥AD,垂 足分别为M,N;（2)求证：DM=DN;（3)若AD=3,求AM+AN的值。 D 第2题如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D,点E,F分别在BD,AD上， EFAB,且DE-CD。求证：EF=AC。 A B E D C 第3题如图，∠C=90°，BE⊥AB且BE=AB,BD⊥BC且BD=BC,CB的延长线交DE 于F。（1)求证：∠A=∠EBF;(2)求证：DF=EF。 E B D C 专题11角平分线的性质 【核心思想】 1、角平分线上的点到角两边的距离相等，这是角平分线最核心的性质。 2、见到角平分线，常过角平分线上的点向角两边作垂线，得到相等线段。 3、角平分线性质常用于求面积、证明线段相等、求线段长度。 4、面积法是角平分线性质的重要应用：等高三角形面积比等于底之比。 第1题如图，在△ABC中，∠C-90°，AD平分∠BAC,交BC于D,若DC-6, AB=24,求△ADB的面积。 B 第2题如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB于E,点F在AC上， BD=DF。(1)求证：CF=EB:(2)若 AB=12,AF=8,求CF的长。 A AE=AB-EB=12-x,∴.8+=12-x,解得=2， .CF=2。 D B 第3题(1)如图1，AD是△ABC的角平分线，求证：S△ABD:S△ACD=AB:AC: (2)如图2，AD是△ABC的外角平分线，若AB=10,AC=4,BC=7,求BD的长。 A B 图1 E A B C D 图2 专题12角平分线的判定 【核心思想】 1、到角两边距离相等的点在角的平分线上，这是角平分线的判定定理。 2、判定角平分线时，常过点向角两边作垂线，证明垂线段相等。 3、角平分线的性质和判定是互逆定理，需根据题意选择使用。 4、三角形的三条角平分线交于一点（内心)，该点到三边距离相等。 第1题如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，点E为BC的中点，且AE平分 ∠BAD。求证：DE是∠ADC的平分线。 B E 第2题如图，已知C为射线AD上一点，∠DAP-∠PBC,PA=PB。求证：CP平分 ∠DCB. B 第3题如图，在△ABC中，∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于 点P。求证：点P在∠A的平分线上。 C D A B 第4题如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD=120°，∠ABC的平分线BE交AC 于E,过E作EF⊥AB交BA的延长线于F,且∠AEF=60°，连接DE。求证：DE平分 ∠ADC。 F A E B D C 专题13角平分线中的尺规作图 【核心思想】 1、尺规作角平分线的原理是SSS全等：通过取等线段构造全等三角形。 2、作图痕迹中蕴含相等线段，需从作图步骤中提取全等条件。 3、角平分线尺规作图常与角平分线性质结合考查。 4、作图题的选择题需仔细辨别每个结论是否能从作图痕迹中推出。 第1题如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，通过判定三角形全等可说明 ∠BAD=∠CAD。则判定三角形全等的依据是 () A.ASA B.SAS C.SSS D.AAS 第2题如图，可以看出小明用尺规作∠AOB的 平分线OC的作图痕迹，已知作图正确，下列推 A 断不一定成立的是（) A.OM-ONB.CM=CNC.OM-CMD.若连接 CM,CN,则∠OCM=∠OCN M B 第3题阅读作图步骤：①在OA和OB上分别截取OC,OD,使OC=OD:②分别以C 和D为圆心，大于CD为半径作弧，两弧在 ∠AOB内交于P:③作射线OP,连接CP,DP。 根据以上作图，一定可以推得的结论是（) A.∠1=∠2且CP=DPB.∠1=∠3且CP=DP C.∠1=∠2且OD=DPD.∠2=∠3且OD=DP B 第4题如图，在Rt△ABC中，以A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于F,交AC于 E,分别以E,F为圆心，大于EF为半径作弧，两弧在∠BAC内部交于G,作射线AG 交BC于D。若AB=6,CD=2,则△ABD的面积为 B E 专题14翻折型截长补短 【核心思想】 1、截长补短遇角平分线就翻折：利用角平分线的对称性，将三角形沿角平分线翻折。 2、翻折的本质是构造全等三角形，将线段或角转移到新的位置。 3、翻折型截长补短常用于证明线段和差关系（如=b+c)。 4、角平分线是翻折的天然对称轴，翻折后对应边、对应角相等。 第1题如图，点E在∠BAC的平分线上，过E作EF⊥AB于F,EG⊥CD于G,且 EF=EG。求证：AC=AF+CG。 B D C 第2题如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD,CE分别平分∠BAC, ∠ACB。求证：AC=AE+CD。 A B D 第3题如图，在△ABC中，∠BAC=60°，外角∠CBM的平分线BP与外角∠BCN的平 分线CP相交于P,延长BP交AC延长线于D,延长PC交BA延长线于E。求证： CD=BC+BE。 D/N E A B M 专题15截长补短 【核心思想】 1、截长补短法是解决线段和差问题的核心方法：在长线段上截取一段等于短线段（截长）， 或延长短线段使其等于长线段（补短）。 2、截长补短的本质是构造全等三角形，将分散的线段集中到一起。 3、截长法：在长边上截取一段等于一短边，证明剩余部分等于另一短边。 4、补短法：延长一短边使其等于长边，证明延长部分等于另一短边。 第1题如图，四边形ABCD中，AB>AD,CD>CB,E在线段BD上，且AE⊥BD, ∠BAC=∠DAE,∠ACB=∠ACD。求证：BE+BC=DC+DE。 A B E 第2题如图，在△ABC中，AB=AC,D是△ABC外一点，∠BDC=∠BAC,AE⊥CD于 E。求证：CD-BD=2DE。 D H E B C 专题16对角互补模型 【核心思想】 1、运用四边形内角和等于360°导角，是对角互补模型的核心技巧。 2、对角互补模型中，一组对角互补常可推出另一组角的关系（如外角等于内对角）。 3、对角互补+角平分线条件，常通过截长补短或作垂线构造全等。 4、该模型常见于四边形综合题，需结合全等、角平分线性质综合运用。 第1题如图，在四边形ABCD中，BCCD,AC平分∠BCD,∠B+∠ADC-l80°。过点 A作AE⊥BC,垂足为E。 (1)求证：AB=AD;(2)探究线段CE,CD和BE 的数量关系并证明 D B E C 第2题如图，在四边形ABCD中， ∠BAD=2∠BCD=120°，AB=AD。求∠ACB的度 数。 B 第3题如图，点E是∠AOB的平分线上一点，∠MEN的两边分别与∠AOB的两边交于 M,N,且∠AOB+∠MEN=180°，EC⊥OA于C,若△OEN和△OEM的面积分别为50和 30,求△CEM的面积。 A C M E NB 专题17全等中的多结论问题 【核心思想】 1、多结论问题需关注前后结论之间的联系，一个结论的推导常为下一个结论铺垫。 2、解决多结论选择题，可通过构造全等三角形逐一验证每个结论。 3、多结论问题常结合辅助线（如倍长中线、截长补短），需灵活运用。 4、判断结论是否正确时，注意区分”一定成立"和"在特定条件下成立"。 第1题如图，在直角△ABC中，∠ABC-90°，以AC为边作△ACD,满足AC=AD,点 E为BC上一点，连接AE,DE,∠CAD=2∠BAE。有下列结论：①∠ACB=∠ADE: ②AC⊥DE;③DE-BE=BE+CE:④若CDIAB,则AE⊥AD。其中正确结论的序号是 B E C 第2题如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE,BF相交于O,AE交BC于 E,BF交AC于F,过O作OD⊥BC于D,下列结论：①连接OC,则OC平分∠ACB; ②∠AOB=90°+LC;③当∠C=60时，AF+BE=AB:④若OD=a,AB+BC+CA=2b,则 S△ABC=2ab。其中正确的是 0 0 B ED C 第3题如图，在△ABC中，∠BAC90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交 AD于G,交BE于H,给出以下结论：①BF=AF;②S△ABE-S△BCE: ③∠BAD-2∠ACF;④∠AFG=LAGF。上述结论中，正确结论的序号有_ A G E H B D