第14章 全等三角形 典例精讲与强化训练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以全等三角形判定与性质为核心，通过典例精讲与分层训练，系统整合动态几何、模型应用及新定义探究，形成“判定-性质-应用”逻辑链条，培养推理意识与几何直观。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例精讲|3道|全等判定应用、动态分类讨论、角平分线辅助线构造|从基础性质推导到动态问题解决，构建判定与性质的应用框架| |强化训练|21道（单选10/填空6/解答5）|一线三等角模型、新定义转化、面积关系推理|覆盖判定方法、性质应用及跨情境综合，形成概念-原理-拓展的完整链条|

第14章全等三角形典例精讲与强化训练 0典例精讲 1.如图，△ABC≌aDBE,点D在边AC上，BC与DE交于点P.已知∠ABE=I62°， ∠DBC=30°，求∠CBE的度数 D 2.如图所示，在△ABC中，AB=AC=24cm,BC=16cm,D为AB的中点，如果点P在 线段BC上以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点O在线段CA上由点C向点A运动： (1)设运动时间为t,则有：BD= BP= PC= (2)当点O运动在某一时刻使△BPD与aCOP全等，求点O运动的速度？ 试卷第1页，共3页 3.如图，在△ABC中，∠A=90°，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥BC于点E, 点F在CD上，连接EF,∠ABD=∠FEC. A D E (1)试说明∠BDF+∠DFE=180°； (2)已知4B=2.BC=5Sm=m 求4A C的面积.（结果用含m的代数式表示） 强化训练 一、单选题 1,小明同学要去玻璃店配一块完全一样的三角形玻璃，可以带哪块碎片去玻璃店() 1 ② ③ ④ A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 2.已知△ABC2aDEF,且AB=5,BC=7,AC=6,则DE的长为() A.5 B.6 C.7 D.无法确定 3.如图是两个全等三角形，由图中条件可知∠“=() 试卷第2页，共3页 a 850 30° A.65 B.30° C.85° D.30°或65 4.如图，若BC=EC,∠BCE=∠ACD,则添加不能使△ABC≌△DEC的条件是() A.AB=DE B.∠B=∠E C.AC=DC D.∠A=∠D 5.下列命题中，是真命题的是() A,如果两个角相等，那么它们是对顶角 B.如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等 C.三角形三个内角的和等于180° D.如果a=b,c=d,那么b=C 6.如图，在R1△ABC中，∠ACB=9O°.根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是( ) A.PC=PO B.AC=A0 C.AP=BP D.∠BPQ=∠BAC 7.如图，CD是△ABC的高，BE平分∠ABC交CD于点E,BC=7,DE=2,则△BEC 的面积为() 试卷第3页，共3页 A.10 B.8 C.7 D.6 8.如图，OC平分∠A0B,在OC上取一点P,作PF⊥OB,己知OF=8cm,△FOP的面 积为12cm,点E是射线OA上一动点，则PE长度的最小值为() E B A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 9.如图，在△ABC中，AB=AC,AB>BC,点D在边BC上，CD=2BD,点E、F在线 段AD上，∠I=∠2=∠BAC,若△ABC的面积为24，则△DFC与△BDE的面积之差是( ) E D A.9 B.8 C.7 D.6 10.如图，∠E=∠F=90,∠B=∠C,BE=CF,给出下列结论：①A=∠2：②AE=AF: ③△ACN≌△ABM:④CD=AE.其中正确的结论有() E M D 1 B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 I1.如图，AC⊥CB,AD⊥DB,要证明△ACB≌△ADB,还需要的条件是： 试卷第4页，共3页 12.如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD,BC=DC,CE⊥AD于点E, AD=12,AB=8,则DE的长为 E 13.如图，∠ACB=90°，AC=BC,BE⊥CE于E,AD⊥CE于D.AD=5cm, DE=3cm,BE=」 cm. 14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12,BC=5,AB=13,BP平分∠ABC,点 D、E分别是BC、BP上不与端点重合的动点，连接CE、DE,则CE+DE的最小值为 D B 15.如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB=AD,AC=AE,BC=DE,若 ∠1+∠2+∠3=102°，则∠3的度数为一· 试卷第5页，共3页 B 16.图，AB=4cm,AC=BD=3cm，,∠CAB=∠DBA,点P在线段AB上以2cm/s的速度 t(s) 由点4向点B运动.同时，点在线段BD上由点B向点D运动，设运动时间为⑤，则 BP= cm ACP,△BPQ ”(用含有t的式子表示)；当 与 全等时，点的运动速度为 cm/s R P 三、解答题 17.如图，已知CA=CD,∠BCE=∠ACD,BC=EC.求证：AB=DE. 18.如图，∠A=∠B,I=∠2，点D在AC边上，AE和BD相交于点O. 试卷第6页，共3页 E ) (1)若L2=40°，求∠AEB的度数： (2)若∠EDC=∠C,求证：△AEC≌△BED 19.已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB,CD分别与射线AM,AN相交 于B,D两点，过点C作CE⊥AB,垂足为E,∠ABC+∠ADC=180°. N B E -M 图1 图2 (1)若CE=4,则点C到AN的距离是 (2)如图1，当点E在线段AB上时，则BC和CD满足什么数量关系？请说明理由： 6)如图2，当点E在线段1的延长线上时，若4B=5,D=6,CE=3.求Ss ”,求 20.如图，己知：点R、B、D、E在同一直线上，AE=CF,DE=BF,∠E=∠F.求证： 试卷第7页，共3页 ABICD 把以下证明过程补完整. 证明：，DE=BF, _+_=_+- ∴.BE=DF 在△ABE与△CDF中， AE=CF, ∠E=∠F, BE=DF, :.△ABE≌△CDF(). ∠_=∠_ .ABII CD.( 21.数学探究课上，老师给同学们展示了几道有趣的几何问题，大家围绕图形中的面积关 系、线段关系展开了思考和讨论，请你也来尝试解决下面的问题. 试卷第8页，共3页 图1 【探究初步】 探究1新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形. (I)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2,D为AC边上的一点，若△ABD与 △CBD为偏等积三角形，则CD=: (2)如图2，在△ABC中，AB=2,AC=4,D为BC边上的一点，且满足△ABD与△ACD 为偏等积三角形，过点B作BE‖AC,交AD的延长线于点E,如果线段AD的长度为正整 数，那么AE= 探究2如图3，∠BAD=90°，AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC 于点卫.我们把这个数学模型称为K字”模型或“一线三等角”模型. (3)探究图3中线段CE、BCDE之间的数量关系，可得_， 【迁移应用】 (4)如图4，已知△ADC与△BDE是有公共顶点且不全等的两个等腰三角形，其中DA=DC, DB=DE,∠ADC=∠BDE=9O°，∠ADB>∠CDE,过D作DM⊥AB,垂足为点M,MD 的延长线与CE交于点N,请写出图中所有的偏等积三角形，并选择其中一对进行证明. 试卷第9页，共3页 典例精讲解析 1.∠CBE=66° 【分析】利用全等三角形等角减去公共角得到两角相等，结合已知总角与中间角求出两角 之和，平分后算出目标角度， 【详解】解：：△ABC≌aDBE, .∠ABC=∠DBE .∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC,即∠ABD=LCBE 由图可知，∠ABE=∠ABD+∠DBC+∠CBE=I62°， ∠DBC=30° .∠ABD+∠CBE=162°-30°=132°， 又，∠ABD=∠CBE. ∴.∠CBE=132°÷2=66° 2.(1)12cm;4icm:(16-41)cm (2)4cm/s或6cm/s 【分析】()根据中点定义可得BD4B=2m,再根据点P的淡度及BC=16cm可得 2 答案； (2)先说明∠B=∠C,再设点O的运动速度为xcm/s,可得CO=xtcm,然后分两种情 况：当BD=CP,BP=CO时，△DBP2aPCO,可得l2=16-4,4=t,求出解即可：当 BD=CO,BP=CP △DBP≌AOCP12=x1,4t=16-4t 时， ,可得 ,求出解. 【详解】(1)解：：点D是AB的中点，且AB=24cm, :0-4B=12am ,点P在线段BC上以4cm/s的速度由点B向点C运动，且BC=l16cm, .BP=4,PC=(I6-4)cm, (2)解：AB=AC, 答案第1页，共2页 .∠B=∠C 设点O的运动速度为xcm/s,则CO=xtcm, 当BD=CP,BP=CO时，△DBP≌aPCO, 12=16-41,41=xt. 解得x=4, 则点O的运动速度是4cm/s: 当BD=CO,BP=CP时，△DBP≌△OCP, :.12=x1,41=16-4t, 解得1=2，x=6」 则点O的运动速度是6cm/s, 所以点O的运动速度是4cm/s或6cm/s. 3.(I)证明：BD是△ABC的角平分线， .∠ABD=∠DBC ∠ABD=LFEC, .∠DBC=∠FEC, .BD∥EF, .∠BDF+∠DFE=180° 、7m 2)2 【分析】(1)证明BD∥EF,即可解答： (2)利用角平分线的性质可得AD=DE=m,再利用三角形面积公式即可解答. 【详解】(1)略 (2)解：∠A=90, .DA⊥AB, :BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC, .DA=DE, 1 SAu -24B-AD-m 答案第2页，共2页 .AD=m .'DE=m. SNc+c= BC.DE=m+5m-7m 2 22· 强化训练解析 1.A 【分析】此题考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练 掌握。 可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案， 【详解】解：A、带①②去，符合ASA判定，能得到一块完全一样的三角形玻璃： B、带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，不能得到一 块完全一样的三角形玻璃； C、带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，不能得到一 块完全一样的三角形玻璃： D、带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，不能得到一 块完全一样的三角形玻璃。 故选：A. 2.A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是根据全等三角形的对应顶点，准确 找出对应边. 由△ABC≌aDEF可知，对应顶点A对应D,B对应E,C对应F,因此对应边AB与DE 相等，已知AB=5,可得DE=5 【详解】解：，'△ABC≌△DEF, .AB与DE是对应边. :AB=5, .DE=AB=5. 故选：A. 3.A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相 答案第3页，共2页 等是解题的关键 由全等三角形的对应角相等和三角形内角和定理可求得答案。 【详解】解：这是两个全等三角形， ∴.a边所对的角相等， ∴.a=180°-30°-85°=65° 故选：A. 4.A 【分析】本题考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键.已知条 件中已经有一边一角，需要证明全等，可以添加角，也可以添加边.若添加边，只能添加 AC=DC,若添加角，另外两组角随便添加即可， 【详解】解：.∠BCE=∠ACD .∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE. .∠ACB=∠DCE. A、根据BC=CE,AB=DE,∠ACB=∠DCE不能推出△ABC≌aDEC,故本选项符合题 意； B、∠ACB=∠DCE,∠B=∠E,BC=CE, “.符合ASA定理，即能推出△ABC≌aDEC,故本选项不符合题意： C、.BC=CE,∠ACB=∠DCE,AC=CD ∴.符合SAS定理，即能推出△ABC≌aDEC,故本选项不符合题意； D、,∠A=∠D,∠ACB=∠DCE,BC=CE, .符合AAS定理，即能推出△ABC≌aDEC,故本选项不符合题意； 故选：A. 5.c 【分析】本题考查真假命题的判断，涉及对顶角的定义、三角形全等的判定、三角形内角 和定理、等式的性质等知识点.关键是逐一分析每个选项，结合相关定义和定理判断命题 的真假 【详解】解：对于选项A,相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角相等， 但它们不是对顶角，故选项A是假命题； 对于选项B,两个三角形面积相等，只能说明它们的底与高的乘积相等，不一定满足全等 三角形的判定条件，例如底为4、高为3的三角形和底为6、高为2的三角形面积均为 答案第4页，共2页 ×4×3=6,但它们不全等，故选项B是假命题： 2 对于选项C,根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和等于180°，故选项C是真命题： 对于选项D,若a=b,c=d,当a≠c时，b≠c,例如a=2,b=2,c=3,d=3,此时 b≠C,故选项D是假命题. 故选：C. 6.C 【分析】根据角平分线的尺规作图、过直线外一点作垂线的尺规作图、得出AP平分 ∠BAC且P№LAB,再结合角平分线的性质以及三角形的全等相关性质逐一判断即可. 【详解】解：根据作图可知：AP平分∠BAC且PO L AB, .∠AQP=∠C=90° .PC=P№，故A正确： AP=AP, 在R1aAPO与R1aAPC中， (PC=PO AP=AP, ,Rt△APO≌Rt△APC(H) :.AC=AQ,故B正确： .∠AQP=∠C=90° .∠BAC+∠QPC=360°-90°-90°=180° :∠BP9+∠QPC=180° :∠BPO=∠BAC,故D正确： PQ⊥AB,但不一定平分AB, AP=BP不一定成立，故C错误，满足题意. 答案第5页，共2页 7.c 【分析】本题考查角平分线的性质.作EF⊥BC,根据角平分线的性质，得到EF=DE, 再根据三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：作EF⊥BC, E ,CD是边AB上的高，BE平分∠ABC,交CD于点E, DE⊥AB .EF DE=2, .BC=7,EF⊥BC ·ABCE的面积=2 BC.EF-1x7x2-7 故选：C. 8.A 【分析】本题考查了角平分线的性质，先求解PF=3,过P点作PH⊥OA于H,根据角平 分线的性质得到PH=PF=3cm,然后根据垂线段最短求解。 【详解】解：，OF=8cm,△FOP的面积为l2cm,PF⊥OB, x8xPF=12 .PF=3, 过P点作PH⊥OA于H,如图： H 答案第6页，共2页 :OC平分∠AOB,PH⊥OA,PF⊥OB, .'PH=PF =3cm, :点E是射线OA上的动点， ,PE的最小值为3cm, 故选：A. 9.B 【分析】本题主要考查的是三角形外角性质、全等三角形的判定(AAS)与性质、三角形 面积的比例关系，熟练掌握相关知识是解题的关键.先利用三角形外角性质和角的和差关 系推出∠ABE=∠FAC、∠AEB=∠CFA,结合AB=AC,通过AAS证明△ABE≌△FAC, 得到两者面积相等，再根据CD=2BD及△1BC的面积，求出.和S ”,进而得出 △DFC与△BDE的面积之差， 【详解】解：∠I=∠ABE+∠BAE,∠I=∠BAC, ∴.∠BAC=∠ABE+∠BAE, :∠BAC=∠BAE+∠FAC, :∠ABE=LFAC, ∠1=∠2， .∠AEB=∠CFA, 在△ABE和△FAC中， I∠AEB=∠CFA ∠ABE=∠FAC AB=AC ,∴.△ABE≌AFAC(AAS) ·.SAABE=SAMC :△DFC与△BDE的面积之差 S.ACD-S.ABD :CD=2BD,△ABC的面积为24， 1 SAD=2SABc=2×24=8 3 答案第7页，共2页 S. 2×24=16 △DrC与△BDB的面积之差-SmSm=8 故选：B. 10.C 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题 的关键.证明△ACF≌aABE,得到∠BAE=∠CAF，AE=AF,即可判断①②；由 △ACF≌△ABE推出∠C=∠B,根据ASA即可证出△ACN≌△ABM,即可判断③；已知条 件不能证出CD=AE进而判断④. 【详解】解：∠E=∠F=90°，∠B=∠C,BE=CF, :.△ACF≌aABE(ASA) ∴.∠BAE=∠CAF,AE=AF, .∠1+∠BAC=∠2+∠BAC,即I=∠2，故①②正确： '△ACF≌AABE. .∠C=∠B 在△ACN和△ABM中， [∠C=∠B AC=AB ∠CAN=∠BAM' :.△ACN≌aABM(ASA) ,故③正确： ~根据已知不能推出CD=AE,故④错误； ∴正确的结论有①②③，共3个， 故选：C. 11.AC=AD(或BC=BD或∠BAC=∠BAD或∠ABC=∠ABD) 【分析】根据全等三角形的判定定理添加条件即可. 【详解】解：，AC⊥CB,AD⊥DB, .∠C=∠D=90°， 又AB=AB, 答案第8页，共2页 :∴，添加AC=AD或BC=BD可根据HL得到△ACB≌aADB 添加∠BAC=∠BAD或∠ABC=∠ABD可根据AAS得到△ACB≌△ADB, 即还需要的条件是AC=AD(或BC=BD或∠BAC=∠BAD或∠ABC=∠ABD) 12.2 【分析】过点C作CF L AB交AB的延长线于点F,证明 t4CFS≌RtACE(HL),则 AE=AF=AB+BF,证明 aBC≌RtDCE(HL),则DE=BF,得到MD=AB+2DE, 即可得到DE的长 【详解】如图，过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F, B- 平分 于点， 于， D AC ∠BAD CE⊥AD E CF⊥ABF :.CE=CF, 在Rt△ACF和RtAACE中， AC=AC CF=CE, ∴.RtAACFS≌Rt△ACE(HL) .AE AF =AB+BF, 在Rt△BCF和Rt△DCE中， CE=CF BC=DC」 ∴.RtaBCF≌RtADCE(HL) :.DE=BF, .AD=AE+DE=AB+BF+DE=AB+2DE, .AD=12,AB=8 12=8+2DE, 答案第9页，共2页 .DE=2. 13.2 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是 解题的关键。 证明△ACD2△CBE,根据全等三角形的对应边相等即可证得BE=CD,CE=AD,从而求 解. 【详解】解：BE⊥CE,AD⊥CE, .∠E=∠ADC=90° .∠DAC+∠DCA=90°， .∠ACB=90° ∴.∠BCE+∠DCA=90° .∠BCE=∠DAC, 在△ACD和△CBE中， [∠DAC=∠ECB ∠ADC=∠E AC=CB :aMCD≌aCBE(AMS) .'BE=CD,EC=AD=5cm .CD=CE-DE=5cm-3cm=2cm, .'BE=2cm, 故答案为：2. 4g倍 【分析】在BA上截取线段BF=BD,作CG⊥AB,垂足为G,容易证明 △DBE≌AFBE(SAS) 则CE+DE=CE+FE.由垂线段最短可得，点C、E、F都在垂线 段CG上时，CE+DE最小，利用三角形的面积公式求出CG的值即可. 【详解】解：如图，在BA上截取线段BF=BD,作CG⊥AB,垂足为G, 答案第10页，共2页 G BP平分∠ABC, .∠DBE=∠FBE, 在△DBE和△FBE中， BD=BF ∠DBE=∠FBE BE=BE ADBE≌AFBE(SAS) .DE=FE, 由垂线段最短可知，CE+FE≥CG, .当点C、E、F都在垂线段CG上时，CE+FE最小，即CE+DE最小， C、SABc=)AC:BC=)1B.C☑ 2 :cG=4CC=5×12-60 AB 13 13, 0 ·CE+DE的最小值为13 60 故答案为：13· 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段和最值问题，三角形 的面积公式，掌握好相关知识是关键. 15.51° 【分析】根据条件，通过SSS证明△ABC≌△ADE,得到∠I,∠2，∠3之间的关系，再利 用已知角度关系求解即可. AB=AD, AC=AE, 【详解】解：在和 中， △ABC△ADE BC=DE, 答案第11页，共2页 △ABC≌△ADE(SSS) ∴.∠BAC=∠2，∠ABC=∠I, .∠3=∠ABC+∠BAC=∠I+∠2， 又∠1+∠2+∠3=102°， .2∠3=102°， .∠3=51° (4-21) 16 2或3 【分析】本题考查了动点几何、全等三角形的性质，设点O的运动速度为aCm/s时，有 AP=2tcm BO=atcm BP=(4-2t)cm 1,当△MCP与△BP全等时，需要分 △ACP≌△BPQ,△ACP≌△BOP 和 两种情况讨论，根据全等三角形对应边相等，可得关于 a、t的方程，解方程即可求出a的值. 【详解】解：设点O的运动速度为acm/s时，△ACP与△BP№全等， 则有4P=2cm,B0=atcm.BP=AB-AP=(4-2)cm △ACP≌△BPQ 当 时， 可得：BP=AC,AP=BQ. .AB=4cm,AC=BD=3cm, 4-21=3 .at =2t, 1 2 解得： a=2 ∴.点Q的运动速度为2cm/s; 当△ACP≌△BOP时， 答案第12页，共2页 可得：AC=BO,AP=BP, 「4-2t=21 at=3 [t=1 解得：a=3, 点Q的运动速度为3cms; 综上所述，点Q的运动速度为2cm/s或3cm/s. 故答案为： (4-2）2或3 17.证明：∠BCE=∠ACD :∠BCE+LECA=∠ACD+∠ECA,即∠BCA=∠ECD 在△BCA和△ECD中， 「BC=EC ∠BCA=∠ECD CA=CD :△BCA≌aECD(SAS) .AB=DE 【分析】通过证明三角形全等来推导对应边相等来证明AB=DE, 【详解】略。 18.(1)40° (2)证明：：∠EDC=∠C, .'EC=ED, 由(1)可知：∠AEB=∠1， 又∠1=∠2， ∴.∠2=∠AEB, ,∠2+∠AED=∠AEB+∠AED,即∠AEC=∠BED, 在△AEC和△BED中， 答案第13页，共2页 ∠A=∠B ∠AEC=∠BED EC=ED △AEC≌ABED(AAS) 【分析】(I)在△AOD和△BOE中，利用三角形内角和定理可得∠I=∠AEB,从而得到答 案 (2)先证明ED=EC,∠AEC=∠BED,再利用AAS可证得△AEC≌△BED, 【详解】(1)解：：∠A=∠B,∠BOE=∠AOD,点D在AC边上，AE和BD相交于点 0, ∴.∠AEB=∠I, 又：1=∠2，∠2=40°， .∠AEB=∠1=∠2=40°： (2)略. 19.(1)4 (2) BC=CD理由：如图1，过点C作CF⊥AN于点F,则∠CEB=∠CFA=90°， -M E B 图1 :点C是∠MAN平分线上一点， ..CF=CE. ∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDF=180° .∠ABC=∠CDF, ∠CEB=∠CFD ∠ABC=∠CDF 在ACBE△CDF 和 中， CE=CF 答案第14页，共2页 .ACBE≌ACDF(AAS) :.BC=CD; 6) 【分析】(1)根据角平分线的性质定理即可求解： (2)过点C作CF⊥AN于点F,利用角平分线的性质定理证明△CBE≌△CDF即可： (3)过点C作CF⊥AW于点F,利用角平分线的性质定理证明△CBE≌△CDF,再证明 RtAACE≌Rt△ACF即可求解 【详解】(I)解：：点C是∠MAN平分线上一点，CE⊥AB,CE=4, ∴.点C到AN的距离是4； (2)解：BC=CD: 理由略； (3)解：过点C作CF⊥AW于点F,如图， -M B E 图2 则∠CEB=∠CFA=90°， ,点C是∠MAN平分线上一点， ∴.CF=CE=3, ∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠CBE=180°， :.∠CBE=∠CDF, ∠CEB=∠CFD ∠CBE=∠CDF 在 和 中， △CBE△CDF CE=CF ∴.aCBE≌aCDF(AAS) .BE=DF, .AC=AC,CE=CF, 答案第15页，共2页 Rt△ACE≌RtAACF(HL) .'AF=AE=5. .BE=DF=AD-AF=6-5=1, CE-xlx3 20.DE;BD;BF;BD;SAS;ABE;CDF;内错角相等，两直线平行 【分析】根据等式的性质得出BE=DF,根据SAS证明△ABE≌aCDF,得出 ∠ABE=∠CDF,然后根据平行线的判定即可得证. 【详解】证明：，DE=BF, .DE+BD=BF+BD, ∴.BE=DF 在△ABE与△CDF中， 「AE=CF, ∠E=∠F, BE=DF, △ABE≌ACDF(SAS) .∠ABE=∠CDF. :.AB‖CD.(内错角相等，两直线平行)· 21.(1)1: (2)4: (3)CE=DE+BC: (4)解：ACDN与△EDN为偏等积三角形，△ADB与△CDE为偏等积三角形，证明如下： 如图所示，过E作EP⊥DN于点P,过C作CO⊥DN交DN延长线于点Q. .∠EPN=∠EPD=∠CQN=90°， ,DM⊥AB .∠DMB=90°=∠EPD」 .∠PDE+∠PED=90°： 答案第16页，共2页 ∠BDE=90°， .∠PDE+∠MDB=90°」 .∠PED=∠MDB, 又DE=BD, .△PED≌AMDB(AAS) .PE=DM: 同理可证明△QDC≌△MAD ..Co=DM .CQ=PE A M B D P中> E C 又：∠ONC=∠PNE,∠CON=∠EPN △EPN≌aCON(AAS) ..CN=NE S.CDN=S.FDN 又：aADC与△BDE不全等， .DC≠DE .aCDN与△EDN不全等， :.△CDN与是偏等积三角形： 如图所示，过E作EG⊥CD于点G,过B作BF⊥AD交AD延长线于点P. 答案第17页，共2页 D G ∴.∠BFD=∠EGD=90° :∠EDG+∠ADB+∠ADC+∠BDE=360°，∠ADC=∠BDE=90°， .∠EDG+∠ADB=180° 又∠BDF+∠ADB=180° .∠EDG=∠BDF, 又DB=DE, :△BFD2AEGD(AAS) .BF=EG」 1 _1.CD-EG S.o=AD-BF.S.co SADB=S.CDE 又，∠ADB>∠CDE,AD=CD,DB=DE, .△ADB与△CDE不全等， ∴，△ADB与△CDE是偏等积三角形. 【分析】（少根据定义可得So=Sa0则可正明AD-CD即CD=4C=1, S.ABD=BD=1 (2)根据定义可得S.ACD CD,则BD=CD;证明aDBE≌aDCA得到 DE=DA,BE=AC=4;根据三角形三边的关系求出AD的取值范围，结合线段AD的长度 为正整数，求出AD的长即可求出AE的长； (3)证明△CMB2ABD1(AAS),得到AC=DB,AE=BC,即可证明 CE=AC+AE=DE+BC: 答案第18页，共2页 (4)过E作EP⊥DN于点P,过C作C吧⊥DN交DN延长线于点O.证明 △PED≌△MDB△QDC≌△MAD CQ=PE EPN≌aCQN ，推出 ，再证明 ,得到 CN=NE ，则可推 SN=m,可证明DC≠DE,则可证明△CDN与△BDN 全等， 故△CDN与是偏等积三角形：过E作EG⊥CD于点G,过B作BF⊥AD交AD延长线于点 P.证明△BFD≌aEGD ，得到BF=EG 则可证明.m=S.,可证明△MDB与△CDE 不全等，则可证明△ADB与△CDE是偏等积三角形. 【详解】(1)解：如图1所示， 图1 ,△ABD与ACBD为偏等积三角形， .SAABD=S△CD ,∠BAC=90°，即AB1AC, 1 1 S=AD-AB.SAcm=CD-AB 2 40B0D, 2 1 ·AD=CD,即CD=)AC=1: 2 (2)解：：△ABD与△ACD为偏等积三角形， S.ABD=SACD S.ABD=BD =1 :S,4cD CD, .BD=CD: 答案第19页，共2页 ·BElAC .∠DBE=∠DCA,∠DEB=∠DAC. 片ADBE≌DC4(SAS) .'DE DA,BE=AC=4. 在△ABE中，BE-AB<AE<BE+AB, .4-2<AE<4+2,即2<2AD<6, .1<AD<3, 线段AD的长度为正整数， AD=2, .AE=4: (3)解：：BC⊥AC,DE⊥AC, .∠C=∠E=90°. .∠B+∠CAB=90°： ,∠BAD=90° .∠CAB+∠EAD=90° .∠B=∠EAD, 又，AB=DA, :△CMB2AEDA(AAS) .AC=DE,AE=BC, .CE=AC+AE=DE+BC, (4)略 答案第20页，共2页