第十三章 三角形重难点题型专训（12个专题解析版）2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以12个专题构建三角形解题方法体系，从基础概念到模型应用形成递进式训练，突出几何直观与推理意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形要素|2专题/4例|中线面积性质、高的位置规律|从线段性质到面积计算，构建几何直观| |角度计算|7专题/12例|内角和、外角定理、8字/燕尾型导角公式、三类角平分线模型|从基本定理到复杂模型，形成推理链条| |折叠与重心|3专题/5例|折叠角相等原理、重心分中线比|从静态性质到动态变换，培养空间观念|

第十三章 三角形 重难点题型专训 （12个专题 解析版） 目 录 专题1 三角形的中线和高 1 专题2 三角形的内角 4 专题3 三角形的外角 6 专题4 八字型与导角 8 专题5 燕尾型与导角 10 专题6 双内角平分线 13 专题7 一内一外角平分线 16 专题8 双外角平分线 19 专题9 角度计算 22 专题10 角与角之间的数量关系 25 专题11 折叠角 28 专题12 三角形的重心 31 专题1 三角形的中线和高 【方法提炼】 1．三角形的中线平分三角形的面积． 2．三角形的高可能在三角形外． 【典例剖析】 【例1】如图，BD是△ABC边AC上的中线，点E在BC上，CE＝2BE，△AED的面积是3，则△BED的面积是________． 【答案】3/2 【详解】 ∵ BD是AC边上的中线，∴ AD＝DC． △AED与△CED同高（从E到AC），且AD＝DC，∴ S△CED＝S△AED＝3． 又∵ CE＝2BE，△BED与△CED同高（从D到BC）， ∴ S△BED/S△CED＝BE/CE＝1/2，∴ S△BED＝1/2×3＝3/2． 【例2】我们发现了几个基本事实：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条角平分线交于一点，三角形的三条高所在的直线交于一点．请根据以上的基本事实，解决下列问题． （1）如图，在钝角三角形ABC中，AD，BE分别为边BC，CA上的高．请用无刻度直尺画出边AB上的高CF（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若AB＝4，AC＝2，则高CF与BE的比为________． 【答案】（1）见作图；（2）1∶2 【详解】 （2）∵ S△ABC＝1/2·AB·CF＝1/2·AC·BE， ∴ CF/BE＝AC/AB＝2/4＝1/2，即高CF与BE的比为1∶2． 【实战演练】 1．如图，△ABC是一块面积为10的三角形纸板，点D，E，F分别是线段AF，BD，CE的中点，则阴影部分的面积为________． 【答案】10/7 【详解】 设阴影部分△DEF的面积为S． ∵ E为BD的中点，△DEF与△BEF同高（从F到BD），∴ S△BEF＝S△DEF＝S． ∵ F为CE的中点，△BEF与△BCF同高（从B到CE），∴ S△BCF＝S△BEF＝S． 同理可得：S△CDF＝S，S△ACD＝S，S△ADE＝S，S△ABE＝S． ∴ S△ABC＝7S＝10，解得S＝10/7． 2．在△ABC中，AB＝AC，P是BC上一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点B作BF⊥AC，垂足为F，连接AP． （1）如图1，当P为边BC上的任意一点时，请写出线段PD，PE，BF之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当点P在边BC的延长线上时． ①试猜想线段PD，PE，BF之间的数量关系，并证明你的猜想； ②当S△ABC＝10，AB＝5，PE＝2时，线段PD的长为________． 【答案】（1）PD＋PE＝BF；（2）①PD－PE＝BF；②6 【详解】 （1）PD＋PE＝BF．理由如下： ∵ S△APB＋S△APC＝S△ABC，∴ 1/2·AB·PD＋1/2·AC·PE＝1/2·AC·BF． ∵ AB＝AC，∴ PD＋PE＝BF． （2）①猜想：PD－PE＝BF．证明如下： ∵ S△APB－S△APC＝S△ABC，∴ 1/2·AB·PD－1/2·AC·PE＝1/2·AC·BF． ∵ AB＝AC，∴ PD－PE＝BF． ②∵ S△ABC＝1/2·AC·BF，AB＝AC，∴ 10＝1/2×5×BF，解得BF＝4． ∵ PD－PE＝BF，∴ PD＝PE＋BF＝2＋4＝6． 专题2 三角形的内角 【方法提炼】 三角形的内角和等于180°． 【典例剖析】 【例1】在△ABC中，若∠A－∠B＝∠C，则△ABC是________三角形． 【答案】直角 【详解】 ∵ ∠A－∠B＝∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴ 2∠A＝180°，解得∠A＝90°，∴ △ABC是直角三角形． 【实战演练】 1．如图，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线，若∠B＝38°，∠C＝70°，则∠DAE＝________． 【答案】16° 【详解】 ∠BAC＝180°－∠B－∠C＝72°， ∵ AE平分∠BAC，∴ ∠CAE＝1/2∠BAC＝36°． ∵ ∠CAD＝180°－∠ADC－∠C＝20°， ∴ ∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝16°． 2．如图，已知AB∥EF，∠A＝∠DEF． （1）求证：AC∥DE； （2）利用此图形，试证明"三角形内角和为180°"，即求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°． 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解 【详解】 （1）∵ AB∥EF，∴ ∠A＝∠CFE． ∵ ∠A＝∠DEF，∴ ∠CFE＝∠DEF，∴ AC∥DE． （2）∵ AB∥EF，AC∥DE，∴ ∠B＝∠CEF，∠C＝∠BED． ∵ ∠DEF＋∠CEF＋∠BED＝180°，∠A＝∠DEF， ∴ ∠A＋∠B＋∠C＝180°，即三角形内角和为180°． 3．如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交AB，AC和CB的延长线于点D，E，F．∠F＝30°，∠C＝50°．求∠ADE的度数． 【答案】35° 【详解】 在△CEF中，∵ ∠F＝30°，∠C＝50°， ∴ ∠CEF＝180°－∠F－∠C＝100°，∴ ∠AED＝180°－∠CEF＝80°． 在△ABC中，∵ ∠A＝∠ABC，∠C＝50°， ∴ ∠A＝∠ABC＝1/2(180°－∠C)＝65°． 在△ADE中，∵ ∠A＝65°，∠AED＝80°， ∴ ∠ADE＝180°－∠A－∠AED＝35°． 专题3 三角形的外角 【方法提炼】 1．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 2．三角形的外角和等于360°． 【典例剖析】 【例1】如图，五角星的顶点分别是A，B，C，D，E，那么∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝________． 【答案】180° 【详解】 ∠1＝∠C＋∠E，∠2＝∠B＋∠D， ∵ ∠A＋∠1＋∠2＝180°，∴ ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°． 【实战演练】 1．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝________度． 【答案】540 【详解】 连AD，GE，设AG与DE相交于点O， ∠AOE＝∠OAD＋∠ODA＝∠OEG＋∠OGE， ∴ ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G ＝(∠B＋∠C＋∠CDA＋∠BAD)＋(∠F＋∠FEG＋∠FGE)＝360°＋180°＝540°． 2．如图，平面上六个点A，B，C，D，E，F构成一个封闭折线图形，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝________． 【答案】180° 【详解】 ∠1＝∠A＋∠E，∠2＝∠B＋∠C， ∵ ∠1＋∠2＋∠D＝180°，∴ ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°． 3．如图，∠EAC和∠DCA是△ABC的外角，若∠EAC＝∠DCA＝3∠B，则∠B的度数是________． 【答案】36° 【详解】 设∠B＝α，则∠EAC＝∠DCA＝3α，∠ACB＝180°－∠DCA＝180°－3α． ∵ ∠EAC＝∠B＋∠ACB，∴ 3α＝α＋(180°－3α)，解得α＝36°，∴ ∠B＝36°． 4．如图，已知：∠1，∠2，∠3是△ABC的外角，求证：∠1＋∠2＋∠3＝360°． 【答案】证明见详解 【详解】 ∵ ∠1，∠2，∠3是△ABC的外角， ∴ ∠1＝∠ABC＋∠ACB，∠2＝∠BAC＋∠ACB，∠3＝∠ABC＋∠BAC， ∴ ∠1＋∠2＋∠3＝2(∠ABC＋∠ACB＋∠BAC)＝2×180°＝360°． 专题4 八字型与导角 【方法提炼】 如图所示线段AB与线段CD相交于点O． （1）则∠A＋∠D＝∠C＋∠B； （2）若∠A＝∠C，则∠D＝∠B． 【典例剖析】 【例1】如图，已知直线AB，CD相交于点O，∠C＝80°，∠A＝40°，∠B＝90°，∠D＝________． 【答案】30° 【详解】 ∠AOD＝∠A＋∠C＝∠B＋∠D， ∴ ∠D＝∠A＋∠C－∠B＝40°＋80°－90°＝30°． 【实战演练】 1．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF⊥AD于点M，交BC的延长线于点N，已知∠ACB＝70°，∠B＝40°，则∠N的度数为________． 【答案】15° 【详解】 ∠BAC＝180°－∠ACB－∠B＝70°，∠AMF＝90°，∠ACN＝180°－∠ACB＝110°． ∵ AD平分∠BAC，∴ ∠CAD＝1/2∠BAC＝35°． ∵ ∠CAD＋∠AMF＝∠ACN＋∠N＝∠AFN， ∴ ∠N＝∠CAD＋∠AMF－∠ACN＝35°＋90°－110°＝15°． 2．（1）已知：如图1的图形我们把它称为"8字形"，试说明：∠A＋∠B＝∠C＋∠D； （2）如图2，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，猜测∠B，∠D，∠P三者的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见详解；（2）∠P＝(∠D＋∠B)/2 【详解】 （1）证明：∵ △AOB中，∠AOC＝∠A＋∠B，△COD中，∠AOC＝∠C＋∠D， ∴ ∠A＋∠B＝∠C＋∠D． （2）解：∠P＝(∠D＋∠B)/2，证明如下： 由（1）知，∠BAP＋∠B＝∠BCP＋∠P ①， ∠DAP＋∠P＝∠DCP＋∠D ②． ∵ AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，∴ ∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP． ②－①得∠P－∠B＝∠D－∠P，∴ ∠P＝(∠D＋∠B)/2． 专题5 燕尾型与导角 【方法提炼】 在如图所示的图形中，有结论∠A＋∠B＋∠C＝∠P． 【典例剖析】 【例1】如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝40°，则∠ABD＝________． 【答案】30° 【详解】 ∵ ∠D＝∠DAC＋∠C＋∠CBD， ∴ ∠CBD＝∠D－∠DAC－∠C＝90°－20°－40°＝30°． ∵ BD平分∠ABC，∴ ∠ABD＝∠CBD＝30°． 【实战演练】 1．如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G．若∠BDC＝140°，∠BGC＝100°，则∠A的度数为________． 【答案】60° 【详解】 ∵ BE，CF分别平分∠ABD，∠ACD，∴ 设∠ABE＝∠DBE＝α，∠ACF＝∠DCF＝β． ∵ ∠BDC＝∠BGC＋α＋β ①，∠BGC＝∠A＋α＋β ②， ∴ ①－②得∠BDC－∠BGC＝∠BGC－∠A， ∴ ∠A＝2∠BGC－∠BDC＝2×100°－140°＝60°． 2．如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D＋∠E等于________． 【答案】50° 【详解】 设BE，CD交于点O，∵ ∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C， ∴ ∠BOC＝130°＝∠DOE，∴ ∠D＋∠E＝180°－∠DOE＝50°． 3．（1）如图1，∠BDC与∠A，∠B，∠C之间存在着什么关系，并说明理由； （2）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决以下问题： ①如图2，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，若∠BAC＝40°，∠BDC＝120°，求∠BEC的度数； ②如图3，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点F₁，F₂，…，F₉，若∠BDC＝110°，∠BF₄C＝62°，则∠A的度数为________． 图1 图2 图3 【答案】（1）∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C；（2）①80°；②30° 【详解】 （1）∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C．理由如下： 如图，过点D作射线AF．根据三角形外角的性质， 可得∠BDF＝∠BAD＋∠B，∠CDF＝∠CAD＋∠C， 由此即可证明∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C． （2）①利用（1）的结论可知∠ABD＋∠ACD＝∠BDC－∠BAC＝120°－40°＝80°， 由角平分线的定义得到∠ABE＋∠ACE＝40°， 则∠BEC＝∠BAC＋∠ABE＋∠ACE＝40°＋40°＝80°． ②设∠ABF₁＝x，∠ACF₁＝y，则∠ABD＝10x，∠ACD＝10y， 根据题意可得∠A＋4x＋4y＝62°，∠A＋10x＋10y＝110°， ∴ 6x＋6y＝110°－62°，∴ x＋y＝8°，∴ ∠A＝62°－4(x＋y)＝30°． 专题6 双内角平分线 【方法提炼】 如图，若BP，CP分别平分∠ABC和∠ACB，则∠P＝90°＋1/2∠A． 【典例剖析】 【例1】如图，在△ABC中，点O是三条角平分线的交点，∠BAO＝40°，则∠BOC＝________． 【答案】130° 【详解】 ∵ 点O是三条角平分线的交点，∴ AO平分∠BAC，∴ ∠BAC＝2∠BAO＝80°． ∵ BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB， ∴ ∠BOC＝90°＋1/2∠BAC＝90°＋40°＝130°． 【实战演练】 1．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P．若∠BPC＝130°，则∠A＝________． 【答案】80° 【详解】 ∵ BP，CP平分∠ABC，∠ACB，∴ ∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB． ∵ ∠BPC＝130°，∴ ∠PBC＋∠PCB＝180°－∠BPC＝50°， ∴ ∠A＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－2(∠PBC＋∠PCB)＝80°． 2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，AD，BE交于点O，OF⊥BC，若∠C＝70°，∠BAC＝60°，则∠DOF＝________． 【答案】10° 【详解】 ∠ABC＝180°－∠C－∠BAC＝50°， ∠ADC＝∠ABC＋1/2∠BAC＝50°＋30°＝80°， ∴ ∠DOF＝90°－∠ADC＝10°． 3．如图1，△ABC的角平分线CE和BD交于点I，记∠A＝α． （1）当α＝60°时，则∠BIC＝________； （2）求∠BIC的度数（用含α的式子表示）； （3）如图2，若∠ABD和∠ACE的角平分线交于点G，则∠BGC＝________（用含α的式子表示）． 图1 图2 【答案】（1）120°；（2）90°＋1/2α；（3）45°＋3/4α 【详解】 （1）∵ BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB， ∴ ∠IBC＝1/2∠ABC，∠ICB＝1/2∠ACB， ∵ ∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝120°， ∴ ∠BIC＝180°－∠IBC－∠ICB＝180°－1/2(∠ABC＋∠ACB)＝120°． （2）∵ ∠A＝α，∴ ∠ABC＋∠ACB＝180°－α， ∴ ∠IBC＋∠ICB＝1/2∠ABC＋1/2∠ACB＝90°－1/2α， ∴ ∠BIC＝180°－(∠IBC＋∠ICB)＝90°＋1/2α． （3）∵ BG，CG分别平分∠ABD，∠ACE， ∴ 设∠ABG＝∠DBG＝x，∠ACG＝∠ECG＝y， ∴ ∠ABC＝4x，∠ACB＝4y，∠GBC＝3x，∠GCB＝3y． ∵ ∠A＝180°－∠ABC－∠ACB，∴ α＝180°－4(x＋y)， ∴ x＋y＝45°－1/4α， ∴ ∠BGC＝180°－∠GBC－∠GCB＝180°－3x－3y＝45°＋3/4α． 专题7 一内一外角平分线 【方法提炼】 如图，若BP平分∠ABC，CP平分∠ACD，则∠P＝1/2∠A． 【典例剖析】 【例1】如图，已知∠AOB＝70°，点C，D分别在射线OA，OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点P，则∠P＝________． 【答案】35° 【详解】 由一内一外角平分线模型，∠P＝1/2∠AOB＝1/2×70°＝35°． 【实战演练】 1．如图，∠ABC和∠ACD的角平分线相交于点P，∠A＝64°，则∠BPC的度数为________． 【答案】32° 【详解】 由一内一外角平分线模型，∠BPC＝1/2∠A＝1/2×64°＝32°． 2．如图，BA₁和CA₁分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA₂是∠A₁BD的角平分线，CA₂是∠A₁CD的角平分线，BA₃是∠A₂BD的角平分线，CA₃是∠A₂CD的角平分线．若∠A₁＝α，则∠A₂₀₂₅为________． 【答案】1/2²⁰²⁴ α 【详解】 ∵ BA₁，CA₁分别平分∠ABC，∠ACD， ∴ ∠A₁BC＝1/2∠ABC，∠A₁CD＝1/2∠ACD， ∴ ∠A₁＝∠A₁CD－∠A₁BC＝1/2(∠ACD－∠ABC)＝1/2∠A＝α，∴ ∠A＝2α． 同理可得，∠A₂＝1/2∠A₁＝1/2²∠A，∠A₃＝1/2∠A₂＝1/2³∠A，…， ∴ ∠A₂₀₂₅＝1/2²⁰²⁵∠A＝1/2²⁰²⁴ α． 3．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，且BO，CO交于点O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，给出下面四个结论：①∠1＝2∠2；②∠BOC＝3∠2；③∠BOC＝90°＋∠2；④∠ECO＝90°，上述结论中，正确结论的序号是________． 【答案】①③④ 【详解】 ∵ BO，CO，CE分别平分∠ABC，∠ACB，∠ACD， ∴ ∠ABO＝∠CBO＝1/2∠ABC，∠ACO＝∠BCO＝1/2∠ACB，∠ACE＝∠DCE＝1/2∠ACD． ∵ ∠2＝∠DCE－∠CBO＝1/2∠ACD－1/2∠ABC＝1/2(∠ACD－∠ABC)＝1/2∠1， ∴ ∠1＝2∠2，①正确； ∵ ∠BOC＝180°－∠CBO－∠BCO＝180°－1/2(∠ABC＋∠ACB)＝90°＋1/2∠1， 又∠1＝2∠2，∴ ∠BOC＝90°＋∠2≠3∠2，②错误，③正确； ∠ECO＝∠ACE＋∠ACO＝1/2∠ACD＋1/2∠ACB＝1/2(∠ACD＋∠ACB)＝1/2×180°＝90°，④正确． 专题8 双外角平分线 【方法提炼】 如图，若BP平分∠DBC，PC平分∠BCE，则∠P＝90°－1/2∠A． 【典例剖析】 【例1】如图，已知∠ABC＝90°，点D是BC上一定点，点E是射线BA上一动点，∠CDE和∠AED的平分线DM，EM交于点M，则∠DME＝________． 【答案】45° 【详解】 由双外角平分线模型，∠DME＝90°－1/2∠ABC＝90°－45°＝45°． 【实战演练】 1．如图，∠DBC与∠ECB是△ABC的两个外角，BF平分∠DBC交∠ECB的平分线于点F．若∠F＝50°，则∠A＝________． 【答案】80° 【详解】 ∵ ∠F＝180°－∠FBC－∠FCB＝180°－1/2∠DBC－1/2∠ECB ＝180°－1/2(∠DBC＋∠ECB)＝180°－1/2(180°＋∠A)＝90°－1/2∠A， ∴ ∠A＝2(90°－∠F)＝180°－2∠F＝180°－100°＝80°． 2．如图，在△ABC中，三个内角的角平分线交于点D，其中∠CAB＝n°，∠CBA＝m°，延长DB至点G，∠FCB与∠CBG的平分线交于点E，若BE∥AC，则4/7 n＋3/7 m＝________． 【答案】360/7 【详解】 ∵ BD平分∠CBA，BE平分∠CBG， ∴ ∠CBD＝1/2∠CBA＝1/2 m°，∠CBE＝1/2∠CBG＝1/2(180°－1/2 m°)＝90°－1/4 m°． ∵ BE∥AC，∴ ∠ACB＝∠CBE＝90°－1/4 m°， ∵ ∠ACB＋∠CBA＋∠CAB＝180°， ∴ 90°－1/4 m°＋m°＋n°＝180°，∴ n°＋3/4 m°＝90°， ∴ 4n＋3m＝360，∴ 4/7 n＋3/7 m＝360/7． 3．如图，∠ABC＝∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC，角∠ABC，外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝∠ADB；③2∠ADB＝∠ACB；④∠DCF＝1/2(∠BAC＋∠ACB)．其中正确的结论有________． 【答案】①③④ 【详解】 ①③④．提示：∵ AD，BD，CD分别平分∠EAC，∠ABC，∠ACF， ∴ ∠CAD＝∠EAD＝1/2∠EAC＝1/2(∠ABC＋∠ACB)＝∠ABC＝∠ACB， ∴ AD∥BC，①正确；∠ACB＝∠DAE＞∠ADB，②错误； ∠ACB＝∠EAC－∠ABC＝2∠EAD－2∠ABD＝2(∠EAD－∠ABD)＝2∠ADB，③正确； ∠DCF＝1/2∠ACF＝1/2(∠BAC＋∠ABC)＝1/2(∠BAC＋∠ACB)，④正确． 专题9 角度计算 【方法提炼】 熟练运用基本模型进行角度计算． 【典例剖析】 【例1】如图，∠ABC，∠ADC的角平分线交于点F，若∠A＝15°，∠C＝65°，则∠F的度数为________． 【答案】25° 【详解】 ∵ BF，DF分别平分∠ABC，∠ADC， ∴ 设∠ABF＝∠CBF＝α，∠ADF＝∠CDF＝β， ∵ ∠ABC＝∠A＋∠ADC＋∠C，∴ 2α＝15°＋2β＋65°，∴ α－β＝40°． ∵ ∠F＋∠FBC＝∠C＋∠CDF，∴ ∠F＝65°＋β－α＝65°－(α－β)＝25°． 【实战演练】 1．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数是________． 【答案】180° 【详解】 连BC，则∠A＋∠D＝∠ACB＋∠DBC． ∵ ∠E＋∠EBC＋∠ECB＝180°， ∴ ∠E＋∠EBD＋∠DBC＋∠ECA＋∠ACB＝180°， 即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°． 2．如图，已知∠BOF＝120°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________°． 【答案】240 【详解】 连BC，则∠A＋∠D＝∠ACB＋∠DBC． ∵ ∠BOF＝∠E＋∠F＝∠OBC＋∠OCB， ∴ ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝∠OBC＋∠OCB＋∠E＋∠F＝120°＋120°＝240°． 3．如图，已知线段BE，CF交于点G，∠CGE＝150°，那么∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数是________． 【答案】300° 【详解】 ∵ ∠A＋∠C＋∠E＝∠CGE＝150°， ∠B＋∠D＋∠F＝∠BGF＝∠CGE＝150°， ∴ ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝150°＋150°＝300°． 4．如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是________． 【答案】50° 【详解】 ∠ECF＝180°－∠E－∠F＝50°， ∵ AB∥CF，AD∥CE，∴ ∠B＝∠BCF，∠D＝∠ECD． ∵ ∠BCD＝∠A＋∠B＋∠D，即∠BCF＋∠ECF＋∠ECD＝∠A＋∠B＋∠D， ∴ ∠ECF＝∠A＝50°． 专题10 角与角之间的数量关系 【方法提炼】 用消元法寻找角与角之间的数量关系． 【典例剖析】 【例1】在图中，直线BP平分∠ABC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，猜想∠P与∠A，∠C的关系，并说明理由． 【答案】∠P＝180°－1/2∠A－1/2∠C 【详解】 ∠P＝180°－1/2∠A－1/2∠C．理由如下：延长AB交PD于J， ∵ 直线BP平分∠ABC，DP平分∠ADE， ∴ 设∠PBJ＝x，∠ADP＝∠PDE＝y，则∠ABC＝2x，∠ADC＝180°－2y． ∵ ∠A＋∠ABC＝∠C＋∠ADC，即∠A＋2x＝∠C＋180°－2y， ∴ x＋y＝90°＋1/2(∠C－∠A)． ∵ ∠AJD＋∠A＋∠ADP＝180°，且∠AJD＝∠P＋∠PBJ， ∴ ∠P＋x＋∠A＋y＝180°，∴ ∠P＝90°－1/2∠A－1/2∠C． 【实战演练】 1．综合与实践：在△ABC中，∠C＝40°，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α． 【问题初探】 （1）如图1，若点P在线段AB上，且∠α＝60°，则∠1＋∠2＝________°； 【问题再探】 （2）如图2，若点P在线段AB上运动，写出∠1，∠2，∠α之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，写出∠1，∠2，∠α之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （4）如图4，若点P运动到△ABC的内部，请直接写出此时∠1，∠2，∠α之间的数量关系． 图1 图2 图3 图4 【答案】（1）100；（2）∠1＋∠2＝40°＋∠α；（3）∠1－∠2＝40°＋∠α；（4）∠1＋∠2＋∠α＝400° 【详解】 （1）如图1，连CP，∠1＝∠DCP＋∠DPC，∠2＝∠ECP＋∠EPC， ∴ ∠1＋∠2＝∠DCE＋∠DPE＝40°＋60°＝100°． （2）∠1＋∠2＝40°＋∠α．理由如下：如图2，连CP， ∠1＝∠DCP＋∠DPC，∠2＝∠ECP＋∠EPC， ∴ ∠1＋∠2＝∠DCE＋∠DPE＝40°＋∠α． （3）∠1－∠2＝40°＋∠α．理由如下：如图3，连CP， ∠1＝∠DCP＋∠DPC，∠2＝∠ECP＋∠EPC， ∴ ∠1－∠2＝∠DCE＋∠DPE＝40°＋∠α． （4）∠1＋∠2＋∠α＝400°．理由如下：如图4，连CP， ∠1＝∠DCP＋∠DPC，∠2＝∠ECP＋∠EPC， ∴ ∠1＋∠2＋∠α＝∠DCE＋∠DPC＋∠EPC＋∠DPE＝40°＋360°＝400°． 专题11 折叠角 【方法提炼】 关注折叠前后重合的角相等． 【典例剖析】 【例1】如图，∠A＝75°，∠B＝65°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内部，若∠1＝45°，则∠2＝________． 【答案】35° 【详解】 如图，标记点E，F，连CC′，∠1＝∠FCC′＋∠FC′C， ∠2＝∠ECC′＋∠EC′C，∴ ∠1＋∠2＝∠FCE＋∠FC′E． ∵ ∠FCE＝∠FC′E，∴ ∠2＝2∠FCE－∠1． ∵ ∠A＝75°，∠B＝65°，∴ ∠FCE＝40°，∴ ∠2＝2×40°－45°＝35°． 【实战演练】 1．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠，使点B落在点B′处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB′的度数为________． 【答案】54° 【详解】 在△BMN中，∠B＝35°，∠BNM＝28°， ∴ ∠BMN＝180°－∠B－∠BNM＝117°． 由折叠可知，∠B′MN＝∠BMN＝117°， ∴ ∠AMB′＝∠BMN＋∠B′MN－180°＝117°＋117°－180°＝54°． 2．如图，三角形纸片ABC沿DE折叠，使点B落在图中的B′处，∠1＝24°，∠2＝80°，则∠B＝________． 【答案】28° 【详解】 由折叠可知，∠BDE＝∠B′DE，∠BED＝∠B′ED， ∵ ∠1＝24°，∠2＝80°， ∴ ∠BED＝∠B′ED＝1/2(180°＋∠1)＝102°， ∠BDE＝∠B′DE＝1/2(180°－∠2)＝50°， ∴ ∠B＝180°－∠BED－∠BDE＝180°－102°－50°＝28°． 3．已知△ABC中，∠A＝65°，将∠B、∠C按照如图所示折叠，若∠ADB′＝35°，则∠1＋∠2＋∠3＝________． 【答案】265° 【详解】 连CC′，BB′，∠1＝∠FCC′＋∠FC′C，∠2＝∠GCC′＋∠GC′C， ∴ ∠1＋∠2＝∠FCG＋∠FC′G＝2∠FCG， ∠3＝∠EBB′＋∠EB′B，∠ADB′＝∠DBB′＋∠DB′B， ∴ ∠3－∠ADB′＝∠EBD＋∠EB′D＝2∠EBD， ∴ ∠1＋∠2＋∠3－∠ADB′＝2∠FCG＋2∠EBD＝2(∠FCG＋∠EBD) ＝2(180°－∠A)＝2×115°＝230°， ∴ ∠1＋∠2＋∠3＝230°＋∠ADB′＝230°＋35°＝265°． 4．如图，将△ABC沿DE，HG，EF翻折，三个顶点均落在点O处，若∠1＝129°，则∠2的度数为________． 【答案】51° 【详解】 由翻折得∠A＝∠DOE，∠B＝∠HOG，∠C＝∠EOF， ∵ ∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴ ∠DOE＋∠HOG＋∠EOF＝180°， ∴ ∠1＋∠2＝360°－180°＝180°，∴ ∠2＝180°－∠1＝180°－129°＝51°． 专题12 三角形的重心 【方法提炼】 三角形的重心是三角形三条中线的交点． 【典例剖析】 【例1】如图，点D是△ABC的重心，连接AD并延长交BC于点E，AB＝4，△ABE的周长比△ACE的周长大1.8，则AC＝________． 【答案】2.2 【详解】 ∵ 点D是△ABC的重心，∴ AE为△ABC的BC边上的中线， C△ABE－C△ACE＝(AB＋AE＋BE)－(AC＋AE＋CE)＝AB－AC， ∴ 1.8＝4－AC，∴ AC＝2.2． 【实战演练】 1．如图，△ABC的周长为24 cm，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，AD，BE相交于点O，CO的延长线交AB于点F，且BD＝4 cm，AE＝3.5 cm，求AF的长． 【答案】4.5 cm 【详解】 ∵ BD＝4 cm，AE＝3.5 cm，AD，BE分别是BC，AC边上的中线， ∴ AC＝2AE＝7 cm，BC＝2BD＝8 cm， ∵ △ABC的周长为24 cm，∴ AB＝24－7－8＝9 (cm)， ∵ O点是中线AD，BE的交点，∴ CF是AB边上的中线， ∴ AF＝1/2 AB＝4.5 (cm)． 2．【问题背景】 （1）已知点A(1，2)，B(5，2)，C(－1，－1)，D(3，－3)，在平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段AB和CD的中点M，N，然后写出点M和点N的坐标； 【尝试应用】 （2）①结合上述结果，我们可以发现：如果线段的两个端点坐标分别为(a，b)，(c，d)，则这条线段的中点坐标为________； ②若点P(－3，7)，Q(1，－3)，用我们发现的结论可以直接得到线段PQ的中点坐标为________； 【拓展创新】 （3）已知三点E(1，1)，F(7，4)，H(4，－2)． ①直接写出线段EF的三等分点的坐标； ②三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，该点叫作三角形的重心．请你写出△EFH的重心G的坐标． 【答案】（1）M(3，2)，N(1，－2)；（2）①((a＋c)/2，(b＋d)/2)；②(－1，2)；（3）①(3，2)，(5，3)；②G(4，1) 【详解】 （1）如图所示，M(3，2)，N(1，－2)． （2）①中点坐标为((a＋c)/2，(b＋d)/2)． ②PQ的中点坐标为((－3＋1)/2，(7＋(－3))/2)＝(－1，2)． （3）①线段EF的三等分点坐标为(3，2)，(5，3)． ②线段EF的中点P坐标为(4，5/2)，HP＝5/2－(－2)＝9/2，∴ 1/3 HP＝3/2． ∵ G为△EFH的重心，∴ 点G为线段HP上靠近点P的三等分点，∴ G(4，1)． 3 学科网（北京）股份有限公司 $