安徽省六安市毛坦厂中学东部新城校区2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

高三8月数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 2. 已知，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 样本数据8，3，12，5，9，15，6的上四分位数为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 15 4. 已知椭圆：的两个焦点分别为，，点是上除长轴端点外的动点，若的周长恒为6，面积的最大值为，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 在正项数列中，，，成等差数列，，，成等比数列，若，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7.5 6. 若圆台的母线与下底面成角，且下底面半径是上底面半径的2倍，记圆台的侧面积为，上、下底面积之和为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知直角坐标系中的点集，，，则中的点形成的曲线长度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记等比数列的前项和为，已知，，则（ ） A. 的公比 B. 是递减数列 C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 的最小正周期为 C. 在上单调递减 D. 的图象关于直线对称 11. 定义：过曲线上一点且垂直于曲线在该点处的切线的直线，称为曲线在该点处的“法线”．已知，，是抛物线：上不重合的三个点，且在，，三点处的法线交于一点，若点的横坐标为，则下列说法正确的是（ ） A. 在点处的法线方程为 B. ，两点的横坐标之和为1 C. 点的纵坐标最小值为 D. 若点在轴上，则一定是等腰三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，常数项为________． 13. 已知函数，若曲线的任意一条切线都与直线相交，则的取值范围为________． 14. 已知正四面体的棱长为，球与正四面体的四个面分别相切于点，，，，为球的球面上一点，则的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 16. 如图，在三棱锥中，棱，，两两互相垂直，且，．点是的中点，点是棱上的一个动点． （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 17. 已知双曲线：的离心率为2，过的右顶点作轴的垂线，与的两条渐近线分别交于点，，且． （1）求的方程； （2）过点作两条互相垂直的直线，，分别交于点，（，均异于），证明：直线过定点． 18. 已知，集合，，其中是不小于3的正整数，从中随机抽取3个不同的元素，，． （1）若，记，，中数值大于6的元素个数为，求的分布列； （2）对于任意的，求，，成等差数列的概率； （3）对于任意的，若已知，，成等差数列，求的概率． 19. （1）分析函数的单调性； （2）证明：当时，； （3）证明：，． 高三8月数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】60 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】12 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）如图，连接． 因为，是的中点，所以． 因为，，且，平面，所以平面， 因为平面，所以． 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以． （2）1 【17题答案】 【答案】（1） （2）易得，设：，，． 由得， 则，，且，， 所以，． 则 ． 因为，所以，解得（舍去）或， 所以：，故直线过定点． 【18题答案】 【答案】（1） 0 1 2 3 （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1）在上单调递增 （2）设， 因为， 所以． 设，则， 当时，单调递增，且，注意到，所以， 所以，， 故存在唯一的，使得， 则在上单调递增，在上单调递减． 又，，所以当时，， 又当时，显然有，所以， 所以在上单调递增． 所以当时，，即． （3）①在（2）所证的结论中，令（，且），得． ②当时，． ③由（1）知，当时，，即， 令（，且），得， 整理得． 综合①②③，得． 所以 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $