精品解析：安徽省蚌埠市2026-2027学年高三上学期开学调研性监测数学试题

2027届高三调研性监测 数　　学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知是虚数单位，复数满足，则复平面内表示的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的几何意义写出复数对应的点的坐标即得. 【详解】因为复平面内，复数对应的点为， 所以表示复数的点在第四象限. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别算出集合和，再结合集合的运算即可求解. 【详解】已知集合，得， ，所以，因此，故C正确. 3. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示建立方程求解即可. 【详解】由平面向量，若，则，解得：. 4. 将一个斜边为2的等腰直角三角形绕斜边旋转一周，形成的几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，所形成的几何体是由底面半径为1，母线长为的两个圆锥拼接而成，则其表面积是两个圆锥的侧面积之和 【详解】等腰直角三角形绕斜边旋转一周，形成的几何体是两个同底的圆锥底面重合的组合体. 设等腰直角三角形为，，斜边， 由题可知：，且， 解得：， 设边上的高为，利用等面积法可得： ， 即，即， 因此，旋转后形成的两个圆锥底面半径，母线， 由圆锥的侧面积公式可得：， 两个圆锥的侧面积之和为：， 故所形成的几何体的表面积为. 5. 已知数列是等差数列，且，，若，则的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求解即可. 【详解】因为数列是等差数列，且，所以, 由于,所以数列的公差为，所以，解得： 6. 如图，单位圆上角的始边为轴正半轴，终边射线交单位圆于点，过点作轴的垂线，垂足为，将点到射线的距离表示为的函数，则在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义、三角形的面积结合正弦函数的图象即可判定. 【详解】由三角函数定义及的面积可得：， 由正弦函数的图象可知B项正确. 而对于A、C项，显然可排除；对于D项，显然当时，M与O重合，此时，可排除. 故选：B. 7. 已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出图形，利用直线斜率的计算公式，结合直线与线段的位置关系分析求解即可. 【详解】如图所示， 要使过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率满足：或， 又， 所以的取值范围为：， 由，所以直线的斜率可以是. 8. 若甲盒中有个红球，个黄球，个白球，乙盒中有个红球（），个黄球，个白球，这些球的大小、材质完全相同.现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“两次取到的球颜色相同”的概率不超过，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合全概率公式得，再解不等式即可得答案. 【详解】设从甲盒中取出红球、黄球、白球的事件分别为， 从甲盒中取出的球与乙盒中取出的球的颜色相同为事件， 则，，， 所以，根据全概率公式得： ， 所以，整理得：，解得， 所以满足题意的的最大值为. 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分. 9. 某同学记录了我市年月中旬连续天的最高气温（单位：摄氏度）分别为：，，，，，，，，则这个数据的（ ） A. 极差为 B. 众数为 C. 中位数为 D. 平均数为 【答案】BC 【解析】 【详解】从小到大排序得：29，31，31，32，34，35，35，35， 故极差为：； 众数为：35， 中位数为：， 平均数为：. 10. 设正实数，，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式依次判断选项即可. 【详解】由题设且， 对于A，，当且仅当时取等号，A对； 对于B，，则，故，当且仅当时取等号，B对； 对于C，，由于， 所以，当且仅当时取等号，C不正确； 对于D，因为， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故D正确 11. 王虹因彻底证明了困扰数学界逾百年的“三维挂谷猜想”于年月日获得菲尔兹奖（国际数学界最高荣誉）.定义方向向量为的直线上长度为的线段为“理想线段”，下列结论正确的是（ ） A. ，平移“理想线段”可使其两端点均在直径为的圆上 B. ，平移“理想线段”，可使其两端点均在勒洛三角形的边界上（的边长均为，分别以，，为圆心，为半径的三段劣弧，，所围成的平面区域称为勒洛三角形） C. ，平移“理想线段”，可使其两端点均在双曲线（，）上 D. ，平移“理想线段”，若其两端点均可在椭圆（）上，则该椭圆的离心率 【答案】ABD 【解析】 【分析】易知“理想线段”的长度均为，所以平移后，可使其两端点均在直径为的圆上，所以A正确；只需将平移后的“理想线段”的一个端点与顶点或或重合，另一端点一定会落在勒洛三角形的边界上，所以B正确；分析时的情况，可知当双曲线的实轴长大于时，与结论不符，所以C不正确；平移“理想线段”，若其两端点均可在椭圆（）上，只需令即可，从而求得离心率和的关系，从而判断D. 【详解】“理想线段”的长度均为，所以平移后，可使其两端点均在直径为的圆上，所以A正确； “理想线段”的长度均为，将其平移后，使其一端点与顶点或或重合，则其另一端点一定相应的落在以，，为圆心，为半径的三段劣弧，，上，即在勒洛三角形的边界上，又点也在勒洛三角形的边界上，所以B正确； 当时，，方向向量为的直线与轴平行， 与轴平行的直线与双曲线（，）相交的线段最短为双曲线的实轴长，即. 因为“理想线段”的长度均为，所以若，则“理想线段”的两端点就不能落在双曲线（，）上， 所以C不正确； ，平移“理想线段”，若其两端点均可在椭圆（）上， 则该椭圆的短轴长，即， 所以，， 所以，即. 所以D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中常数项是__________.（用数字作答）. 【答案】160 【解析】 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中常数项 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，即，∴常数项为. 故答案为：160. 13. 如图，边长为2的正方形内接于圆，是劣弧（包括端点）上一点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，根据数量积的坐标运算，结合圆的方程，即可求得的取值范围. 【详解】如图所示，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，， 所以圆的方程为. 设，则. 由点是劣弧（包括端点）上一点，且在圆上，得，解得， 所以，即的取值范围为. 14. 已知连续函数是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用函数性质将原不等式转化为，结合的单调性即可得解. 【详解】当时，， 则， 令，， 当时，， 所以函数在上单调递增， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 即是上的偶函数， 所以函数在上单调递减，又， 不等式， 即， 即，所以， 由解得， 所以由，即，解得， 综上，所以不等式的解集为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的内角，，的对边分别为，，，已知函数的最小正周期为，其中，，的图象关于直线对称，且. （1）求函数的解析式及的值； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据对称轴求出，再将代入函数解析式就可以求出； （2）先由面积公式得到，再由余弦定理可求得即可求出周长. 【小问1详解】 因为函数的最小正周期为，所以，又，所以. 因为的图象关于直线对称，所以， 解得， 又，所以，即函数的解析式为. 所以，又，故， 所以，解得，. 【小问2详解】 由面积，可得， 由余弦定理得，即， 解得， 所以的周长为. 16. 如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）取的中点，连接，， 因为为的中点，所以，且. 在直三棱柱中，，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 则. 又平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）通过辅助线构造平行四边形证明线面平行即可； （2）建立空间直角坐标系，利用三棱锥的体积得到所需长度，求平面的法向量和直线的方向向量，结合向量夹角公式求结论即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设直三棱柱的侧棱长， ， 故. 如图建立空间直角坐标系， 可得，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则取，得，，得. 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1） （2）当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义及已知平行关系即可求出； （2）求出函数的定义域以及导数，在定义域下，讨论大于0、等于0、小于0情况下导数的正负，即可得到函数的单调性． 【小问1详解】 求导得，因为曲线在点处的切线与直线平行，所以曲线在点处的切线斜率为2. 所以解得. 【小问2详解】 令，解得或，当时，恒成立，所以函数在上单调递增； 当时，，当变化时，，的变化情况如下， 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当时，，当变化时，，的变化情况如下， 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 综上所述： 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 18. 已知抛物线经过点.过点的直线与交于，两点，为坐标原点，直线交准线于点，直线与轴平行. （1）求抛物线的焦点坐标和准线方程； （2）求的值； （3）若，求的外接圆的一般方程. 【答案】（1）焦点坐标为， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）直接利用抛物线定义和性质即可求出； （2）利用直线和抛物线联立方程，借助韦达定理求处纵坐标之积，再利用直线与x轴平行计算即可； （3）根据向量关系求出A,B坐标后，代入圆的一般方程即可求出，注意两种不同的情况. 【小问1详解】 将点的坐标代入得，，解得， 因为， 所以抛物线的焦点坐标为， 准线方程为， 【小问2详解】 由（1）知抛物线的方程为， 依题意可设直线的方程为， 记，的坐标分别为，， 由得，则，且， 直线的方程为， 令，得，即点的纵坐标为， 依题意直线与轴平行，所以，即，从而， 解得，经检验符合题意， 故. 【小问3详解】 若，则，从而， 由（2）知，，， 当时，， 从而、两点坐标分别为，， 设外接圆的一般方程为， 将点，，的坐标代入得， 解得，，，， 故此时外接圆的一般方程为； 同理，当时，，两点坐标分别为，， 设外接圆的一般方程为， 将点，，的坐标代入得， 解得，，， 此时外接圆的一般方程为； 所以外接圆的一般方程为或. 19. 自动驾驶技术是汽车研发的重要方向.某实验室对一款智驾汽车模型进行障碍识别探测试验，已知该汽车模型在单次测试中，有效识别障碍物的概率为，无效识别的概率为，每次测试相互独立. （1）若对该汽车模型连续进行3次障碍识别测试，记有效识别的次数为，求的分布列与期望； （2）若规定累计出现2次无效识别时停止测试，并对汽车模型进行检修.记恰好在第（，）次测试后停止的概率为. （i）求，； （ii）求. 【答案】（1） （2）（i）， （ii） 【解析】 【分析】（1）识别该随机变量服从二项分布，利用二项分布概率公式算出各取值概率写出分布列，再用二项分布期望公式直接求数学期望； （2）（i）依据测试停止规则，分别用独立重复试验概率公式计算对应概率；（ii）先写出第次停止的概率公式，对从到求和，构造等差乘等比型数列，使用错位相减法完成求和运算得到结果. 【小问1详解】 由题意得，的可能取值为，，，. 可得，， ，， 则的分布列为 的数学期望为. 【小问2详解】 （i）； 进行3次测试后停止，即前2次测试结果中有1次是无效识别，且最后1次测试结果为无效识别， 所以. （ii）恰好到第次测试后停止， 即前次测试结果中恰有1次无效识别，且最后一次测试结果为无效识别，所以， ， 记，① 则，② 两式相减得： 所以， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三调研性监测 数　　学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知是虚数单位，复数满足，则复平面内表示的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 将一个斜边为2的等腰直角三角形绕斜边旋转一周，形成的几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列是等差数列，且，，若，则的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 如图，单位圆上角的始边为轴正半轴，终边射线交单位圆于点，过点作轴的垂线，垂足为，将点到射线的距离表示为的函数，则在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（ ） A. B. C. D. 8. 若甲盒中有个红球，个黄球，个白球，乙盒中有个红球（），个黄球，个白球，这些球的大小、材质完全相同.现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“两次取到的球颜色相同”的概率不超过，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分. 9. 某同学记录了我市年月中旬连续天的最高气温（单位：摄氏度）分别为：，，，，，，，，则这个数据的（ ） A. 极差为 B. 众数为 C. 中位数为 D. 平均数为 10. 设正实数，，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. D. 11. 王虹因彻底证明了困扰数学界逾百年的“三维挂谷猜想”于年月日获得菲尔兹奖（国际数学界最高荣誉）.定义方向向量为的直线上长度为的线段为“理想线段”，下列结论正确的是（ ） A. ，平移“理想线段”可使其两端点均在直径为的圆上 B. ，平移“理想线段”，可使其两端点均在勒洛三角形的边界上（的边长均为，分别以，，为圆心，为半径的三段劣弧，，所围成的平面区域称为勒洛三角形） C. ，平移“理想线段”，可使其两端点均在双曲线（，）上 D. ，平移“理想线段”，若其两端点均可在椭圆（）上，则该椭圆的离心率 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中常数项是__________.（用数字作答）. 13. 如图，边长为2的正方形内接于圆，是劣弧（包括端点）上一点，则的取值范围为______. 14. 已知连续函数是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的内角，，的对边分别为，，，已知函数的最小正周期为，其中，，的图象关于直线对称，且. （1）求函数的解析式及的值； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值； （2）讨论函数的单调性. 18. 已知抛物线经过点.过点的直线与交于，两点，为坐标原点，直线交准线于点，直线与轴平行. （1）求抛物线的焦点坐标和准线方程； （2）求的值； （3）若，求的外接圆的一般方程. 19. 自动驾驶技术是汽车研发的重要方向.某实验室对一款智驾汽车模型进行障碍识别探测试验，已知该汽车模型在单次测试中，有效识别障碍物的概率为，无效识别的概率为，每次测试相互独立. （1）若对该汽车模型连续进行3次障碍识别测试，记有效识别的次数为，求的分布列与期望； （2）若规定累计出现2次无效识别时停止测试，并对汽车模型进行检修.记恰好在第（，）次测试后停止的概率为. （i）求，； （ii）求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $