2026-2027学年高三上学期开学摸底数学自编模拟卷（安徽适用）

**基本信息** 2027高三开学考数学综合测试卷（安徽专用），立足基础与能力衔接，通过复数运算、立体几何翻折等题考查数学抽象与逻辑推理，以汽车智能驾驶故障责任比等情境体现数学建模素养，适配高三开学诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数、集合、向量、三角函数、等比数列、条件概率、双曲线离心率|第6题以汽车供应商故障率考查条件概率，体现真实情境| |填空题|3题15分|二项式系数、三角形面积最值、抛物线焦点弦|14题结合抛物线焦点弦与垂直平分线考查运算能力| |解答题|5题77分|数列证明与求和、统计回归、立体几何翻折、函数单调性、椭圆综合|17题翻折问题考查空间想象，19题椭圆面积最值与定点证明体现综合应用|

2027高三开学考数学综合测试卷 （安徽专用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足（其中为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，，，其中，，若，，则可以是（     ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．在等比数列中，若，，则（    ） A． B． C． D． 6．某汽车总装厂从甲、乙、丙三家供应商处采购了同一型号的智能驾驶系统，数量分别为500套、300套、200套，用于装备其生产的同款汽车.已知甲、乙、丙三家供应的该系统的故障率分别为，，.现从已售出的该款汽车中随机抽取一辆，发现其智能驾驶系统发生故障.若在无法追溯故障部件具体来源的情况下，依据概率推断责任，则甲、乙、丙三家供应商应承担的责任比为（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，则（     ） A． B． C． D． 8．过双曲线左焦点的直线交的左支于两点，直线（是坐标原点）交的右支于点，若，且，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（    ） A．数据，，，，，，，的上四分位数是40 B．若随机变量，，则 C．若回归方程为，则变量与成负相关 D．展开式中含项的二项式系数为 10．已知函数，则（    ） A．若，，则函数在上的最大值和最小值分别为4和0 B．若，，则曲线关于中心对称 C．若，，过点仅能够作两条直线与曲线相切 D．若恰有两个不同的零点，则 11．如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．正三棱柱的外接球表面积为 C．周长的最小值为 D．已知动点在侧面内（包含边界），若，则点的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为__________． 13．在中，角的对边分别为，已知，，则面积的最大值为______． 14．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率不为零的直线与C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与y轴交于点E，若，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前项和． 16．2025年“十一”黄金周期间，某市文旅局对五大热门景区的游客数据进行了统计．已知前五日每日总游客接待量（x，单位：万人次）与全市旅游综合收入（y，单位：亿元）的抽样数据如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 x 29 32 36 30 28 y 6 7 8 6.5 5.5 (1)根据数据建立旅游综合收入y关于游客接待量x的线性回归方程，并预测第六日游客接待量达到38万人次时，该市旅游综合收入的估计值； (2)在“十一”黄金周期间，其中某一个景区单日客流量超过承载上限（5万人次）的概率为0.4．在黄金周七天中随机抽取三天，记客流量超过承载上限的天数为X，求X的分布列及数学期望． 参考数据、公式：，，，， 17．如图，在矩形中，，，点是线段上的动点，将沿翻折至． (1)证明：； (2)若平面平面，求在平面内的射影的轨迹的长度； (3)当点与重合时，记二面角的大小为，若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 18．已知函数（）． (1)讨论函数的单调性； (2)，，求的取值范围． 19．已知椭圆的左，右焦点坐标分别为，，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为4． (1)求椭圆的标准方程与离心率； (2)已知点，过定点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线与轴交于点，直线与轴交于点． （i）求面积的最大值； （ii）求证：的中点为定点． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D C D C A D ABC ABD 题号 11 答案 AD 1．A 【分析】根据虚数的幂次运算性质及复数的乘法和除法运算，结合共轭复数的定义求解即可. 【详解】， 分母实数化得， 所以. 2．D 【分析】首先将转化为，然后进行交集运算即可. 【详解】，即，即，因此， 又集合，故. 3．D 【分析】先设向量坐标，再应用向量平行的坐标关系列式排除A，B，C，再应用模长公式计算D选项符合题意即可. 【详解】由，可设，设， 结合得，即，A，B,C选项错误； 再结合得，代入验证仅选项D满足上述条件，故D为正确选项； 4．C 【分析】根据同角三角函数的基本关系式求得，利用两角和的正切公式求得正确答案. 【详解】， 解得， 所以 . 5．D 【分析】根据等比数列性质有，代入计算即可得. 【详解】因为为等比数列，所以， 故， 所以，所以. 6．C 【分析】利用条件概率，全概率公式求解. 【详解】设事件表示“抽取的智能驾驶系统发生故障”,事件表示 “故障系统来自甲供应商”,事件表示 “故障系统来自乙供应商”,事件表示“故障系统来自丙供应商”, 总采购套数是（套），所以,, 由题意可知， 由全概率公式，得总故障概率是 ， 所以甲供应商责任概率是, 乙供应商责任概率是, 丙供应商责任概率是, 所以甲、乙、丙三家供应商应承担的责任比为. 7．A 【分析】构造函数，通过导数分析其单调性，结合单调性及对数运算性质比较即可. 【详解】设函数，定义域为， 对求导得： ， 令，解得， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减.故在处取得最大值， 则，，故，； 又因 ，， 因为函数在上单调递增，则，故，即. 综上可得. 8．D 【解析】如图，设双曲线的右焦点为，连接并延长交右支于，连接，设，利用双曲线的几何性质可以得到，，结合、可求离心率. 【详解】 如图，设双曲线的右焦点为，连接，连接并延长交右支于. 因为，故四边形为平行四边形，故. 又双曲线为中心对称图形，故. 设，则，故，故. 因为为直角三角形，故，解得. 在中，有，所以. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率，注意利用双曲线的对称性（中心对称、轴对称）以及双曲线的定义来构造关于的方程，本题属于难题. 9．ABC 【分析】由上四分位数的概念计算判断A；根据二项分布的期望和方差公式计算判断B；根据回归方程判断C；根据二项式系数概念计算判断D. 【详解】对于A，将数据，，，，，，，从小到大排列为：，，，，，，，， 因为为整数，所以上四分位数是，故A正确； 对于B，因为随机变量，， 所以，解得，故，故B正确； 对于C，若回归方程为，则变量与成负相关，故C正确； 对于D，展开式通项公式为且， 所以展开式中含项的二项式系数为，故D错误. 10．ABD 【分析】对于A，分析函数的单调性即可得出最值；对于B，设的对称中心为，通过求得对称中心即可判断；对于C，利用导数的几何意义写出切线方程，由求出的切点个数即可判断；对于D，由题设重根为，另一根为，则，可得，，从而得到，求导利用函数的单调性求解即可判断. 【详解】对于A，若，，则， 求导可得， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，上单调递增， 又因为， 所以函数在上的最大值和最小值分别为4和0，故A正确； 对于B，若，，则，所以， 设的对称中心为，则， 所以， 化简得，所以， 解得，，故B正确； 对于C，若，，则，， 设切点，切线斜率：， 所以切线方程为. 将代入化简得， 令，则， 令，得，令，得 所以在单调递增，在单调递减， 且，，时，，时，， 所以有三个根， 即过点能够作三条直线与曲线相切，故C错误； 对于D，若恰有两个不同的零点，则有一个重根，设重根为，另一根为, 即， 所以，解得， 则， 令，则，， 令，解得. 所以在上单调递减，上单调递增， 且，所以. 即，故D正确. 11．AD 【分析】选项A：利用线面平行，先判断点到平面的距离不变，底面积固定，所以，三棱锥的体积为定值. 选项B：先求出底面外接圆半径，再根据直三棱柱外接球半径公式，求得：外接球半径，进而计算外接球表面积. 选项C：的周长，又，所以要求周长最小值，即求的最小值，验证周长最小值. 选项D：利用空间向量法，先求平面的法向量，在利用点面距距离公式求点到平面的距离，最后转化为平面内圆得轨迹，计算圆弧长度. 【详解】选项A分析： 三棱锥的体积，其中为点到平面的距离， 在正三棱柱中，侧棱，且平面，所以平面. 因为点在上，所以点到平面的距离等于到平面的距离，这是一个定值. 底面是直角三角形， ，也是定值. 所以，三棱锥的体积为定值. 故A正确. 选项B分析： 设正三棱柱外接球的半径为， 底面是边长为2的等边三角形，其外接圆半径， 棱柱的高， 根据外接球半径公式，得： ， 外接球表面积. 故B错误. 选项C分析： 的周长. 在中， ，为定值. 要求周长最小值，即求的最小值. 如图： ，. 根据勾股定理，的最小值为 . 所以周长的最小值为. 故C错误. 选项D分析： 建立空间直角坐标系.以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴. 则，，. 因为是边长为2的等边三角形，所以. 设：平面得法向量为， 又，， 所以，且， 即，且， 令，则，， 平面的法向量，又因为， 点到平面的距离 . 设点在平面上，且. 根据勾股定理，点在平面上的轨迹是以在平面上的射影为圆心，半径的圆的一部分. 侧面是一个边长为的正方形，是底边的中点. 我们需要计算以为圆心，为半径的圆在正方形内部的弧长. 设圆弧与交于点，与交于点. 在中，，，所以. 同理，. 因为，所以是的中点；同理是的中点. 在正方形中，是的中点，是中点，是中点. ，， 同理. 所以圆弧所对的圆心角为. 轨迹长度 . 故D正确. 12． 【详解】. 的展开式的通项为， 令，得； 令，得. 所以的展开式中含的项为， 故的展开式中的系数为. 13．/ 【分析】根据题意，利用余弦定理和基本不等式，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】在中，由余弦定理得， 即， 当且仅当时，等号成立，所以， 所以面积的最大值为. 14．6 【分析】设直线AB的方程为，，，并与抛物线方程联立，结合韦达定理求出AB中点M的坐标，再进一步求出直线EM的方程，据此得到E点的坐标，进而得到，同时根据梯形中位线及抛物线性质求出，最后比较两者可得、之间的比例关系，结合题干所给条件分别求出、的具体值即可． 【详解】如图所示， 设过F的直线AB的方程为，      联立直线与抛物线方程，可得，整理得， 设，，由韦达定理， 所以AB的中点M满足，， 即，又垂直平分线EM的斜率为， 所以EM的方程为， 展开整理，则EM与y轴的交点满足， 即，所以， 根据梯形中位线可得， 所以，解得，所以， 所以． 15．(1)证明：因为，所以， 即， 所以， 所以数列是公差为4的等差数列． (2) 【详解】（1）略 （2）因为，所以，，     所以，     所以， ， 两式相减得 ，     所以． 16．(1)；8.7亿元． (2)分布列为： X 0 1 2 3 P ． 【分析】（1）根据所给条件求出线性回归方程，再由回归方程计算估计值即可； （2）根据二项分布概率公式求出分布列，再由二项分布期望公式求期望. 【详解】（1）因为， 所以 所以回归方程为：，当时， 当第六日游客接待量达到38.0万人次时，该市旅游综合收入的估计值为8.7亿元． （2）由题意可知，， 则， ． 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P ． 17．(1)连接，作于，连接，由翻折性质知，， ，，又，平面，， 平面，又平面，． (2) (3) 【分析】（1）连接，作于，连接，利用线面垂直的判定定理和线面垂直的定义即可得证； （2）法一：利用线面垂直的判定定理得平面，即为点在平面上的射影，由，得的轨迹是以为直径的一段圆弧，利用弧长公式即可求解； 法二：建立空间直角坐标系，设，则，取中点，得，即的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，且圆弧对应的圆周角为，利用弧长公式即可求解； （3）法一：建立空间直角坐标系，过作的垂线，垂足为，得，二面角的平面角为，得，求平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则，利用三角函数的性质即可求解. 法二：作平面于点，连接，，利用线面垂直的判定定理得平面，进而得是二面角的平面角，即，在中，，设直线与平面所成角为，得，利用三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）略 （2）法一： ∵平面平面，平面平面，平面，， 平面， 为点在平面上的射影． 又，可知的轨迹是以为直径的一段圆弧， ∴当点从移动至时，的轨迹长度从增长至最大， ∵点与重合，，又，， ， 在平面的射影的轨迹长度为； 法二： 以为原点，以向量，的方向为轴，轴正方向，如图建立空间直角坐标系，则， ∵平面平面，平面平面，平面，， 平面，为点在平面上的射影， 设，则， 即，取中点，则， 的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，且圆弧对应的圆周角为， ∴该圆弧的长度为； （3）法一： 以为原点，以向量，的方向为轴，轴正方向，如图建立空间直角坐标系，则，，， 过作的垂线，垂足为，求得，， 二面角的平面角为，则， 设平面的法向量为，，， 由，，得， 令，则，代入解得， 即平面的一个法向量， 直线的方向向量，设直线与平面所成角为，则， ，单调递增，， ，即直线与平面所成角的正弦值的取值范围为． 法二： 作平面于点，连接，， 平面，， 又，，平面，，平面， 又平面，，是二面角的平面角，， 在中，， 又，设直线与平面所成角为，又， 所以， ，单调递增，， ，即直线与平面所成角的正弦值的取值范围为． 18．(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）求导后拆分因式，定义域内恒正，只需根据的正负分类讨论符号，划分单调区间； （2）不等式消去二次项，将参数单独移到一侧，转化为大于右侧函数在区间上的最大值，再通过求导求右侧函数最值. 【详解】（1）因为函数，函数定义域为， 所以（），因为，故， 若时，恒成立，，在上单调递减； 若时，令，得，当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）不等式化简得：， ，变形得：． 所以对，不等式恒成立． 令（），求导得， 当时，，在上单调递增 当时，，在上单调递减， 因此的最大值为， 故，即的取值范围为． 19．(1)椭圆方程为：，离心率：. (2)（i）面积最大值. （ii）设 直线：，令得：；同理可得： 带入得：，，带入韦达定理化简得： 所以中点坐标.即的中点为定点. 【分析】 (1) 利用椭圆定义和可求椭圆的标准方程，再利用离心率公式可求离心率. (2) （i）联立直线和椭圆方程利用韦达定理构建三角形的面积函数，再利用换元法和基本不等式可求面积最大值. （ii）通过代数式表示直线，再求出两点坐标，化简可得中点坐标. 【详解】（1） 由题可知，，结合椭圆中可得，所以椭圆方程为：，离心率：. （2）（i）设直线：，联立得. 化简得：. 设，由韦达定理得：. 化简得：，令，则， （当且仅当时取等）. （ii）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $